関数高校入試対策14

たむかい学習教室
1月23日
読了時間: 7分

関数高校入試対策14

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試のグラフを利用した関数の出題では、一次関数や反比例と二次関数との融合問題や、三角形や四角形の図形との融合問題があります。特に図形の問題では、それぞれの図形の性質を押さえておく必要があります。

問題

図１で、①は関数ｙ＝16/ｘのグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ－４、８である。点Ｐはｙ軸上にあり、ｙ座標は点Ｂのｙ座標と同じである。②は２点Ａ、Ｂを通る直線であり、②とｙ軸との交点をＱとする。あとの問いに答えなさい。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）点Ｐを通り、直線②に平行な直線の式を求めなさい。

1）

点Ａは、

ｙ＝16／ｘ上にあり、ｘ＝－４だから

ｙ＝16／（－４）＝－４

よって、－４

2）

点Ｂは、

ｙ＝16／ｘ上にあり、ｘ＝８だから

ｙ＝16／８＝２

求める式の傾きは直線ＡＢと同じだから

直線ＡＢの傾きを求める。

Ａ（－４，－４）　Ｂ（８，２）

ｘの増加量　８－（－４）＝12

ｙの増加量　２－（－４）＝６

傾き　６／12＝１／２

点Ｐのｙ座標はＢと同じ２だから

求める式は、

ｙ＝（1/2）ｘ＋２

図２は、図１に③、④をかき加えたもので、③は関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフであり、④は直線ｘ＝ｔである。また、④と②、③の交点をそれぞれＲ、Ｓとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

3）点Ｓのｙ座標をｔを用いた式で表しなさい。

4）四角形ＰＱＲＳが平行四辺形になるとき、ｔの値をすべて求めなさい。

3）

点Ｓは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（1/4）ｔ²

よって、（1/4）ｔ²

4）

直線ＰＱと直線ＳＲはｘ軸に垂直だから

ＰＱ//ＳＲ

よって、

ＰＱ＝ＳＲとなる点ＳとＲを求める。

👉１組の対辺が等しく平行

点Ｑのｙ座標は、直線ＡＢの切片だから

切片の値をｂとする。

傾き1/2だから

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂ

Ｂ（８，２）を通るから

２＝（1/2）×８＋ｂ

ｂ＝－２

よって、

点Ｑのｙ座標は、－２

点Ｐのｙ座標が２だから

ＱＰ＝２－（－２）＝４　①

また、

直線ＡＢの式は、ｙ＝（1/2）ｘ－２

点Ｒは、ＡＢ上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（1/2）ｔ－２

点Ｓは、ｙ＝（1/4）ｔ²だから

ＳＲ＝（1/4）ｔ²－｛（1/2）ｔ－２｝　

　　＝（1/4）ｔ²－（1/2）ｔ＋２　②

①、②より

（1/4）ｔ²－（1/2）ｔ＋２＝４

両辺×４

ｔ²－２ｔ＋８＝16

ｔ²－２ｔ－８＝０

（ｔ－４）（ｔ＋２）＝０

よって、

ｔ＝４，－２

問題

図１で、①は関数ｙ＝（2/3）ｘ²のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点である。点Ａの座標は（６，24）であり、点Ｂのｘ座標は負の値をとり、ｙ座標は６である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ｂのｘ座標を求めなさい。

2）①の関数について、ｘの変域が－３≦ｘ≦６のときのｙの変域を求めなさい。

1）

点Ｂは、

ｙ＝（2/3）ｘ²上にあり、ｙ＝６だから

６＝（2/3）ｘ²

ｘ²＝９

ｘ＝±３

ｘ＜０より、ｘ＝－３

よって、－３

2）

グラフは上開き（下に凸）だから

ｘの絶対値が大きいほうがｙは最大

ｘ＝６のとき、

ｙ＝（2/3）×６²＝24

ｘ＝０のときがｙは最小だから

０≦ｙ≦24

図２は、図１に②と四角形ＡＢＤＣをかき加えたものである。②は関数ｙ＝ａｘ²（ａ＜０）のグラフであり、２点Ｃ、ＤはＡ、Ｂそれぞれからｘ軸に垂直な直線をひいたときの、②との交点である。四角形ＡＢＤＣの面積が180cm²であるとき、あとの問いに答えなさい。

3）ａの値を求めなさい。

4）点Ｄを通り、直線ＡＢに平行な直線の式を求めなさい。

3）

ＡＣとＢＤはｘ軸に垂直に交わり

ＡＣ//ＢＤだから

四角形ＡＢＤＣは台形である

点ＡとＣのｘ座標はともに６

点Ｃは、

ｙ＝ａｘ²上にあり、ｘ＝６だから

ｙ＝ａ×６²＝36ａ

点Ａは、ｙ＝24だから

ＡＣ＝24－36ａ

点ＢとＤのｘ座標はともに－３

点Ｄは、

ｙ＝ａｘ²上にあり、ｘ＝－３だから

ｙ＝ａ×（－３）²＝９ａ

点Ｂは、ｙ＝６だから

ＢＤ＝６－９ａ

台形の高さは、

直線ＡＤとＢＤとの距離だから

６－（－３）＝９

台形の面積の公式より

（24－36ａ＋６－９ａ）×９×（1/2）＝180

９（30－45ａ）＝360

30－45ａ＝40

－45ａ＝10

ａ＝－2/9

4）

求める式の傾きは直線ＡＢと同じだから

求める式の傾きを求める

Ａ（６，24）　Ｂ（－３，６）

ｘの増加量　６－（－３）＝９

ｙの増加量　24－６＝18

傾き　18／９＝２

求める式の切片をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂ

点Ｄのｙ座標は、

ａ＝－2/9だから

９ａ＝９×（－2/9）＝－２

ｙ＝２ｘ＋ｂは、

Ｄ（－３，－２）を通るから

－２＝２×（－３）＋ｂ

ｂ＝４

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ＋４

👉2次関数練習問題

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