関数高校入試対策15

たむかい学習教室
2月6日
読了時間: 7分

関数高校入試対策15

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の関数の出題では、長い文章題から必要な情報を整理しながら、グラフを利用して式や値を求める問題があります。文章題に関しては、ふだんからていねいに読み進めることを心がけます。

問題

次の図Ⅰは、荷物検査のようすを真横から見たものであり、荷物Ａ、Ｂが矢印の方向にベルトコンベアℓ上を、一定の速さで荷物検査機に向かって進んでいるところである。荷物検査機と荷物Ａ、Ｂを真横から見た形は長方形で、荷物検査機の横の長さは120cmであり、荷物Ａの縦の長さは30cm、横の長さは60cmである。また、２つの荷物の間の距離はａcmである。

荷物Ａが荷物検査機に入り始めてからｘcm進んだとき、荷物Ａと荷物Ｂが荷物検査機の中に入っている部分の真横の面積の合計をｙcm²とする。

次の図Ⅱは、荷物Ａが荷物検査機に入り始めてから、荷物Ｂが荷物検査機を完全に出るまでのｘとｙの関係をグラフに表したものである。

1）ａの値を求めなさい。

2）荷物Ｂを真横から見たときの長方形について、縦と横の長さをそれぞれ求めなさい。

3）図Ⅱのグラフで、ｘの変域が120≦ｘ≦180のとき、ｙをｘの式で表しなさい。

1）

Ａの長方形の面積は、

30×60＝1800cm²

グラフから、ｘ＝100のとき

Ａの横幅60＋間隔ａ＝100cm

※100cmを超えるとＢの面積が加わる

よって、

60＋ａ＝100

ａ＝40cm

2）

ｘ＝180のとき、

Ｂだけの面積になるから

Ａが完全に出たときになる。

※検査機120＋Ａの横幅60＝180cm

よって、

間隔40＋Ｂの横幅＝検査機120cm

になるから

Ｂの横幅は、120－40＝80cm

ｘ＝180のとき、ｙ＝1600cm²だから

Ｂの縦幅は、1600÷80＝20cm

よって、

縦の長さ　20cm

横の長さ　80cm

3）

ｘ＝120のとき、面積が最大

Ａの横幅60＋間隔40＋Ｂが入った部分＝検査機120cm

になるから

Ｂが検査機に入った分の横の長さは、

120－100＝20cm

Ｂの縦幅は20cmだから

入った分の面積は、

20×20＝400cm²

よって、

ｘ＝120のとき

ｙ＝1800＋400＝2200cm²

グラフから

（120，2200）と（180，1600）を通る直線の式だから

ｘの増加量　180－120＝60

ｙの増加量　1600－2200＝－600

傾き　－600／60＝－10

求める式の切片をｂとする

ｙ＝－10ｘ＋ｂ

ｘ＝120、ｙ＝2200を代入

2200＝－10×120＋ｂ

ｂ＝3400

よって、求める式は、

ｙ＝－10ｘ＋3400

三角形の面積

問題

下の図のように、関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフ上に点Ｐがあり、Ｐのｘ座標は正である。また、ｘ軸上に点Ａ（２，０）、ｙ軸上に点Ｂ（０，３）がある。△ＯＡＰと△ＯＢＰの面積が等しくなるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

点Ｐのｘ座標をｔとする

点Ｐは、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあり、ｘ＝ｔだから

ｙ＝（1/4）ｔ²

よって、ｙ座標は（1/4）ｔ²

△ＯＡＰにおいて

底辺ＯＡ＝２

高さはＰとｘ軸との距離（1/4）ｔ²

面積は、

（1/2）×２×（1/4）ｔ²

＝（1/4）ｔ²　①

△ＯＢＰにおいて

底辺ＯＢ＝３

高さはＰとｙ軸との距離ｔ

面積は、

（1/2）×３×ｔ

＝（3/2）ｔ　②

①＝②より

（1/4）ｔ²＝（3/2）ｔ

ｔ²＝６ｔ

ｔ²－６ｔ＝０

ｔ（ｔ－６）＝０

ｔ＞０より

ｔ＝６

よって、

Ｐのｘ座標は、６

ｙ座標は、（1/4）×６²＝９

求める座標は、（６，９）

問題

下の図において、①は関数ｙ＝ａｘ²のグラフで、①上に２点Ａ（－２，２）、Ｂ（６，ｂ）がある。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）ｂの値を求めなさい。

3）２点Ａ、Ｂを通る直線の式を求めなさい。

4）△ＯＡＢの面積を求めなさい。

5）①上の点Ｏと点Ｂの間に点Ｐを、△ＯＡＢと△ＰＡＢの面積が等しくなるようにとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

1）

ｙ＝ａｘ²は、（－２，２）を通るから

２＝ａ×（－２）²

４ａ＝２

ａ＝1/2

2）

点Ｂは、

ｙ＝（1/2）ｘ²上にあり、ｘ＝６だから

ｙ＝（1/2）×６²＝18

よって、ｂ＝18

3）

Ａ（－２，２）　Ｂ（６，18）を通る直線

ｘの増加量　６－（－２）＝８

ｙの増加量　18－２＝＝16

傾き　16／８＝２

求める式の切片をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂ

ｘ＝－２、ｙ＝２を代入

２＝２×（－２）＋ｂ

ｂ＝６

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ＋６

4）

直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする

△ＯＡＢ＝△ＯＡＣ＋△ＯＢＣとして求める

△ＯＡＣについて

底辺ＯＣ、高さはＡからｙ軸への垂線ＡＨ

ＯＣ＝６－０＝６

ＡＨ＝０－（－２）＝２

よって、面積は、

（1/2）×ＯＣ×ＡＨ

＝（1/2）×６×２＝６　①

△ＯＢＣについて

底辺ＯＣ、高さはＢからｙ軸への垂線ＢＨ’

ＢＨ’＝６－０＝６

△ＯＡＣと底辺が同じで、

△ＯＡＣの高さの３倍だから

△ＯＢＣ＝３△ＯＡＣ＝３×６＝18　②

①＋②より

求める面積は、24

5）

△ＯＡＢ＝△ＰＡＢより

辺ＡＢを共通の底辺とすると

２つの三角形の高さも等しいから

ＡＢ//ＯＰ

よって、

直線ＯＰはＡＢの傾きと同じ

原点を通るから、ＯＰの式はｙ＝２ｘ

点Ｐは、

ｙ＝２ｘとｙ＝（1/2）ｘ²との交点だから

２式の連立方程式より

（1/2）ｘ²＝２ｘ

ｘ²＝４ｘ

ｘ²－４ｘ＝０

ｘ（ｘ－４）＝０

ｘ＞０より

ｘ＝４

ｙ＝２ｘに代入

ｙ＝２×４＝８

よって、求める座標は、

（４，８）

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