関数高校入試対策9

たむかい学習教室
5 日前
読了時間: 7分

関数高校入試対策9

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試の関数では、グラフ上の図形を利用した出題があります。ｘ軸やｙ軸と平行な直線、または一次関数の直線と平行な直線を引いて、面積を求める式を立てます。

グラフ上の四角形

問題

図１で、①は関数ｙ＝（2/3）ｘ²のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点である。点Ａの座標は（６，24）であり、点Ｂのｘ座標は負の値をとり、ｙ座標は６である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ｂのｘ座標を求めなさい。

2）①の関数について、ｘの変域が－３≦ｘ≦６のときのｙの変域を求めなさい。

1）

点Ｂは、

ｙ＝（2/3）ｘ²上にあり、ｙ＝６だから

６＝（2/3）ｘ²

ｘ²＝９

ｘ＝±３

負の値をとるから、－３

2）

グラフは上に開くから

ｘの絶対値が大きいほうがｙは最大になる。

ｘ＝６のとき

ｙ＝（2/3）×６²＝24

ｘ＝０のとき

ｙ＝（2/3）×０＝０で最小

よって、

０≦ｙ≦24

3）図２は、図１に②と四角形ＡＢＤＣをかき加えたものである。②は関数ｙ＝ａｘ²（ａ＜０）のグラフであり、２点Ｃ、ＤはＡ、Ｂそれぞれからｘ軸に垂直な直線をひいたときの、②との交点である。四角形ＡＢＤＣの面積が180cm²であるとき、ア、イに答えなさい。

ア

ａの値を求めなさい。

イ

点Ｄを通り、直線ＡＢに平行な直線の式を求めなさい。

ア

ＢＤ、ＡＣはｘ軸に垂直だから

四角形ＡＢＤＣは、ＢＤ//ＡＣの台形である。

点Ｄは、ｙ＝ａｘ²上にあり、

ｘ座標は点Ｂと同じ－３だから

ｙ＝ａ×（－３）²＝９ａ

よって、

ＢＤ＝６－９ａ

点Ｃは、ｙ＝ａｘ²上にあり、

ｘ座標は点Ａと同じ６だから

ｙ＝ａ×６²＝36ａ

よって、

ＡＣ＝６－36ａ

高さは、

ＢＤがｘ＝－３、ＡＣがｘ＝６、

２つの直線はｘ軸に垂直だから

６－（－３）＝９

台形ＡＢＤＣの面積は180cm²だから

（ＢＤ＋ＡＣ）×９×（1/2）＝180

（30－45ａ）×（9/2）＝180

両辺×（2/9）

30－45ａ＝40

両辺×（1/5）

６－９ａ＝８

ａ＝－2/9

イ

点Ｄのｙ座標は、

９ａ＝９×（－2/9）＝－２

求める直線の傾きはＡＢと同じ

Ａ（６，24）　Ｂ（－３，６）

ｘの増加量　６－（－３）＝９

ｙの増加量　24－６＝18

ＡＢの傾きは、18／９＝２

求める式の切片の値をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂ

Ｄ（－３，－２）を通るから

－２＝２×（－３）＋ｂ

ｂ＝４

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ＋４

青森県立高入試・過去問

問題

図1で、①は関数ｙ＝（－4/9）ｘ²のグラフであり、点Ａの座標は（２，－４）、点Ｂは①上の点でｘ座標が負の値をとり、ｙ座標は－４である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ｂのｘ座標を求めなさい。

2）①の関数について、ｘの値が３から６まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

3）点Ｐをｘ軸上にとり、ＡＢ＝ＡＰとなる二等辺三角形ＡＢＰをつくる。点Ｐのｘ座標が正の値をとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

1）

点Ｂは、

ｙ＝（－4/9）ｘ²上にあり、ｙ＝－４だから

－４＝（－4/9）ｘ²

ｘ²＝９

ｘ＝±３

負の値をとるから、－３

2）

ｘ＝３のとき、

ｙ＝（－4/9）×３²＝－４

ｘ＝６のとき、

ｙ＝（－4/9）×６²＝－16

ｘの増加量　６－３＝３

ｙの増加量　－16－（－４）＝－12

よって、変化の割合は、

－12／３＝－４

3）

ＡＢの長さは２点のｘの値の差だから

ＡＢ＝２－（－３）＝５cm

よって、

ＡＢ＝ＡＰ＝５cm

半直線ＢＡと点Ｐからの垂線との交点をＱとする

ＰＱの長さは２点のｙの値の差だから

ＰＱ＝０－（－４）＝４

△ＰＡＱにおいて、三平方の定理より

ＡＱ²＝ＡＰ²－ＰＱ²

ＡＱ²＝５²－４²

ＡＱ＝３（ＡＱ＞０）

点Ａがｘ＝２だから、点Ｐはｘ＝５

点Ｐはｘ軸上だから、ｙ＝０

よって、（５，０）

4）図２は、図１の①上にｘ座標が６である点Ｃをとり、四角形ＯＢＣＡをかき加えたものである。点Ａを通り、四角形ＯＢＣＡの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

点Ｃは、

ｙ＝（－4/9）ｘ²上にあり、ｘ＝６だから

ｙ＝（－4/9）×６²＝－16

四角形ＯＢＣＡの面積を、

△ＯＢＡ＋△ＣＢＡとして求める。

△ＯＢＡの底辺ＡＢ＝５cm

高さはＯからＡＢへの垂線４cm

△ＯＢＡ＝（1/2）×５×４＝10cm²

△ＣＢＡの底辺ＡＢ＝５cm

高さは点ＡとＣのｙの値の差だから

－４－（－16）＝12cm

高さは△ＯＢＡの３倍だから

△ＣＢＡ＝10cm²×３＝30cm²

よって、

四角形ＯＢＣＡ

＝△ＯＢＡ＋△ＣＢＡ

＝10＋30＝40cm²

直線ＢＣとｙ軸との交点をＤとする

△ＯＢＡ＝△ＤＢＡ＝10cm²となるから

△ＤＢＡの高さｈcmは、

（1/2）×ＡＢ×ｈ＝10

（1/2）×５×ｈ＝10

ｈ＝４cm

点ＡとＢのｙ座標が－４だから

点Ｄのｙ座標は－８

よって、

四角形ＯＢＣＡを２等分する直線は、

Ａ（２，－４）とＤ（０，－８）を通る。

切片の値が－８だから

求める式を、ｙ＝ａｘ－８とする。

（２，－４）を通るから

－４＝ａ×２－８

ａ＝２

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ－８

👉１次関数練習問題

👉２次関数練習問題

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