階乗と順列高校数学

たむかい学習教室
6 日前
読了時間: 8分

階乗と順列高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校数学Ａの「順列」では、異なるｎ個のものをすべて並べる場合の総数を「階乗（ｎ！）」で求めます。例えば、１～４の４枚のカードを並べてできる４桁の数の個数は、４！＝４×３×２×１＝24個になります。

順列と階乗の考え方

異なるｎ個のものをすべて並べる場合の総数

👉ｎ！

例）

４人を一列に並べる場合の総数

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人

４か所にそれぞれが入る並び方

□　□　□　□

Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ

Ａ　Ｂ　Ｄ　Ｃ

Ａ　Ｃ　Ｂ　Ｄ

Ａ　Ｃ　Ｄ　Ｂ

Ａ　Ｄ　Ｂ　Ｃ

Ａ　Ｄ　Ｃ　Ｂ

Ａを左端にすると、Ｂ・Ｃ・Ｄの並び方は６通り。

Ｂを左端、Ｃを左端、Ｄを左端にしても同じ場合の数になるから、

６×４＝24通り

異なる４人をすべて並べる場合の総数は、

４！＝４・３・２・１＝24通り

横並びの順列

問題

男子４人、女子３人の計７人の高校生がいる。また、下の図のように、長方形のテーブルに７つの席がある。このとき、あとの問いに答えよ。

1）７人が座る座り方は、全部で何通りあるか。

2）男子と女子が交互に座る座り方は、全部で何通りあるか。

3）男子４人のうちの３人と女子３人の計６人が、一方の端を空席にして座るとき、男子と女子が交互に座る座り方は、全部で何通りあるか。

1）

７！

＝7・6・5・4・3・2・1

＝5040通り

2）

交互に座る場合、男子が必ず列の両端になる。

男　女　男　女　男　女　男

男子４人は、

□　女　□　女　□　女　□

それぞれ４か所に入る並び方だから

４！＝24通り

女子３人は

男　○　男　○　男　○　男

それぞれ３か所に入る並び方だから

３！＝６通り

積の法則より　※

４！×３！＝24×6＝144通り

※

男子４人をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ

女子３人をア、イ、ウとする

男子ＡＢＣＤの並びに対して、女子の並び方は、

ＡＢＣＤーアイウ

ＡＢＣＤーアウイ

ＡＢＣＤーイアウ

ＡＢＣＤーイウア

ＡＢＣＤーウアイ

ＡＢＣＤーウイア　の６通りある

男子の他の並び方にも同じことが言える

👉４！×３！

3）

男子４人のうち、３人の選び方は、

₄Ｃ₃＝₄Ｃ₁＝４通り

空席の決め方は、左右にあるから

₂Ｃ₁＝２通り

空席でない６か所の並び方は、

左から　男　女　男　女　男　女

または、

左から　女　男　女　男　女　男

３！×３！×２＝72通り

以上から、積の法則より

₄Ｃ₃×₂Ｃ₁×３！×３！×２

＝４×２×72

＝576通り

円順列

問題

男子４人、女子３人の計７人の高校生がいる。下の図のように、大小２つの円形のテーブルがあり、大きいテーブルには４つの席、小さいテーブルには３つの席がある。ただし、それぞれのテーブルについて、回転して同じになる席の座り方は同じ座り方とみなす。このとき、あとの問いに答えよ。

1）男子と女子がそれぞれ別々のテーブルの席に座る座り方は、全部で何通りあるか。

2）大きいテーブルの席に男子と女子が交互に座り、残りの３人が小さいテーブルの席に座る座り方は、全部で何通りあるか。

3）７人のうちの６人が、大小２つのテーブルの席に座る座り方は、全部で何通りあるか。

1）

男子４人が大テーブル、

女子３人が小テーブルに座る場合になる。

それぞれ円順列の総数だから、

男子　（４－１）！＝６通り

女子　（３－１）！＝２通り

積の法則より

（４－１）！×　（３－１）！

＝６×２

＝12通り

2）

大テーブルは男女交互に座るから、

男子２人、女子２人が座る。

大テーブルに座る男子

４人から２人を選ぶので、

₄Ｃ₂＝６通り

大テーブルに座る女子

３人から２人を選ぶので、

₃Ｃ₂＝３通り

また、男女交互に座るときは、

男子２人、女子２人がそれぞれ向かい合う。

その場合は、

男子を固定して考えると、

女子２人の並び方が総数になるから

２！＝２通り

大テーブルの並び方の総数は、

積の法則より

₄Ｃ₂×₃Ｃ₂×２！

＝36通り

小テーブルの並び方の総数は、

残り３人の円順列の総数だから、

（３－１）！＝２通り

よって、すべての並び方の総数は、

36×２＝72通り

3）

合計６人だから

大テーブルに４人、

小テーブルに２人の場合と、

または、

大テーブルに３人、

小テーブルに３人の場合がある。

大テーブルに４人の場合

７人のうちの６人を選ぶから

₇Ｃ₆＝₇Ｃ₁＝７通り

大テーブルは、

６人から４人を選ぶので、

₆Ｃ₄＝₆Ｃ₂＝15通り

４人の円順列の総数だから

（４－１）！＝６通り

小テーブルは、

空席１つを固定して考えると、

残り２席に２人が並ぶ場合だから

２！＝２通り

大４人・小２人の並び方の総数は、

積の法則より

７×15×６×２＝1260通り

大テーブルに３人の場合

７人のうちの６人を選ぶから

₇Ｃ₆＝₇Ｃ₁＝７通り

大テーブルは、

６人から３人を選ぶので、

₆Ｃ₃＝20通り

空席１つを固定して考えると、

残り３席に３人が並ぶ場合だから

３！＝６通り

小テーブルは、

３人の円順列の総数だから

（３－１）！＝２通り

大３人・小３人の並び方の総数は、

積の法則より

７×20×６×２＝1680通り

よって、すべての並び方の総数は、

和の法則より

1260＋1680＝2940通り

円順列の考え方

下図の通り、真上から見て配置が変わっても、並び順は同じである。

これらは、すべて同じ場合（同じ１通り）として考える。

異なる４個の場合、

①を１か所に固定して、残りの②・③・④の並び方を求めればよい。

①　□　□　□

①　②　③　④

①　②　④　③

①　③　②　④

①　③　④　②

①　④　②　③

①　④　③　②

異なる３個の並び方だから、３！＝６通り

異なる５個の円順列は、残り４個

異なる６個の円順列は、残り５個

の並び方を考えればよいから、

円順列の総数は、（ｎ－１）！で求めることができる。

👉円順列

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