面積比と体積比

たむかい学習教室
1月22日
読了時間: 8分

面積比と体積比

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

平面図形の面積比は底辺と高さを、空間図形の体積比は底面積と高さをもとにして求めます。相似な図形の場合は、相似比の２乗が面積比、３乗が体積比になります。

問題tei

下の図で、２点Ｄ、Ｅは△ＡＢＣの辺ＢＣ上にあり、ＢＤ：ＤＥ：ＥＣ＝１：３：２である。このとき、△ＡＤＥの面積は△ＡＢＣの面積の何倍か、求めなさい。

△ＡＢＤ、△ＡＤＥ、△ＡＣＥは

ともに高さが等しいから、

底辺比が面積比になる。

よって、

△ＡＢＤ：△ＡＤＥ：△ＡＣＥ

＝１：３：２

△ＡＢＣ＝１＋３＋２＝６

よって、

△ＡＤＥ÷△ＡＢＣ

＝３÷６＝1/2倍

問題

下の図の△ＡＢＣの面積は８cm²で、ＢＤ：ＤＣ＝５：３である。このとき、△ＡＢＤの面積を求めなさい。

ＢＤ：ＤＣ＝５：３より

△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝５：３

△ＡＢＣ＝５＋３＝８

よって、

△ＡＢＤ：△ＡＢＣ＝５：８

△ＡＢＣ＝８cm²だから

△ＡＢＤ：８＝５：８

△ＡＢＤ：１＝５：１

よって、

△ＡＢＤ＝５cm²

問題

下の図で、△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似であり、その相似比は２：３である。このとき、△ＡＢＣの面積と△ＤＥＦの面積の比を求めなさい。

相似比は、辺の長さの比

相似比の２乗が面積比だから

２²：３²＝４：９

問題

下の図で、△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似であり、その相似比は１：３である。このとき、△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの面積の何倍か、求めなさい。

△ＡＢＣ：△ＤＥＦ＝１²：３²

△ＤＥＦ＝９△ＡＢＣ

よって、９倍

問題

下の図で、四角すいＡと四角すいＢは相似であり、相似比は２：３である。このとき、四角すいＡの体積と四角すいＢの体積の比を求めなさい。

相似比の３乗が体積比だから

２³：３³＝８：27

問題

下の図で、円錐Ｐ、Ｑは相似で、相似比は１：２である。円錐Ｐの体積が20cm³のとき、円錐Ｑの体積を求めなさい。

円錐ＰとＱの体積比は、

１³：２³＝１：８

円錐Ｑの体積をｘcm³とする

１：８＝20：ｘ

ｘ＝160

よって、160cm³

問題

下の図は、底面の半径がｒcm、高さがｈcmの円柱である。この円柱の底面積（１つの底面の面積）と側面積の比は１：４である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）この円柱の底面積（１つ分）を、ｒを用いた式で表しなさい。

2）この円柱の側面積を、ｈとｒを用いた式で表しなさい。

3）ｈを、ｒを用いた式で表しなさい。

1）

円の面積の公式より

π×ｒ²＝πｒ²

2）

側面は長方形である

縦は、円柱の高さと同じｈcm

横は、底面の円周と同じだから

２π×ｒ＝２πｒ cm

よって、

ｈ×２πｒ＝２πｒｈ cm²

3）

底面積１つ分と側面積が１：４だから

１：４＝πｒ²：２πｒｈ

右の項を２で約分

１：２＝πｒ²：πｒｈ

πで約分

１：２＝ｒ²：ｒｈ

ｒで約分

１：２＝ｒ：ｈ

ｈ＝２ｒ

問題

下の図のように、ＡＣ＝６cm、ＢＣ＝４cm、∠ＡＣＢ＝90°の直角三角形ＡＢＣがある。あとの問いに答えなさい。ただし、円周率はπとする。

1）△ＡＢＣを、辺ＡＣを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。

2）辺ＢＣの中点をＤとする。△ＡＢＤを、辺ＡＣを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。

1）

底面の半径４cm、高さ６cmの円錐ができる。

円錐の体積の公式より

（1/3）×π×４²×６

＝32π cm³

2）

△ＡＢＣを回転させた円錐をＰ、

△ＡＤＣを回転させた円錐をＱとする。

ＰとＱの相似比は２：１だから

体積比は、４：１

△ＡＢＤを回転させた円錐の体積比は、

Ｐ－Ｑ＝３

求める体積をｘcm³とする

４：３＝32π：ｘ

１：３＝８π：ｘ

ｘ＝24π

よって、24π cm³

問題

図１のように、底面の半径が８cm、高さが18cmの円柱の形をした容器に、底から10cmの高さまで水を入れ、水平な台の上に置いた。この容器に、図２のように、半径３cmの球の形をした穴の空いていないガラス玉４個を、水がこぼれないように入れたところ、水面が上昇した。このとき、容器の底から水面までの高さを求めなさい。ただし、容器の厚みは考えないものとする。

球４つ分の体積は、

球の体積の公式より

（4/3）×π×３³×４＝144π cm³

水の入っている部分の体積は、

円柱の体積の公式より

π×８²×10＝640π cm³

合わせて

144π＋640π＝784π cm³

容器と水の部分は、底面積が同じだから

高さと体積は比例の関係になる。

求める高さをｘcmとする

ｘ：10＝784π：640π

ｘ：１＝784π：64π

64πｘ＝784π

両辺÷16π

４ｘ＝49

ｘ＝49/4

よって、49/4cm

2022年青森県立高校入試

問題

下の図のように、１辺の長さが12cmである立方体の容器が水平に固定されている。その容器の中には、面ＥＦＧＨを底面とし、高さが12cmの正四角錐が入っており、点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈは容器の底面ＡＢＣＤの各辺の中点にある。あとの問いに答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。

1）　辺ＥＦの長さを求めなさい。

2）　容器の中にいっぱいになるまで水を入れ、その後、容器の外に水をこぼすことなく正四角錐を取り出したとする。このとき、容器の中にある水の底面ＡＢＣＤから水面までの高さを求めなさい。

1）

△ＢＥＦにおいて

∠ＥＢＦ＝90°、ＢＥ＝ＢＦ＝６cmだから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＥＦ：ＢＥ＝√２：１

ＥＦ＝６＝√２：１

ＥＦ＝６√２cm

2）

立方体の底面積は、12²＝144cm²

四角錐の底面積は、（6√2）²＝72cm²

それぞれの立体の高さをｈcmとする

立方体（水）の体積は、144ｈcm³

四角錐の体積は、

（1/3）×72×ｈ＝24ｈcm³

取り出したあとの水の体積は、

144ｈ－24ｈ＝120ｈcm³

体積と高さは比例の関係だから

求める水面までの高さをｘcmとして、

144ｈ：120ｈ＝12cm：ｘcm

144ｘ＝1440

ｘ＝10

よって、10cm

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