- たむかい学習教室
- 2 日前
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２次不等式 ２次方程式
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
高校数学では１学期に２次不等式と２次方程式の学習がありました。特に文字定数を含む式では、放物線や数直線による作図で具体的にイメージできるようにします。
問題
ａは正の定数とし、集合Ｐを次のように定める。
Ｐ＝｛ｘ｜ｘ²－（ａ－１）ｘ－ａ≦０、ｘは整数｝
1）ａ＝４のとき、集合Ｐの要素をすべて求めよ。
2）集合Ｐの要素の個数が５個であるようなａの値の範囲を求めよ。
1）
ｘ²－（４－１）ｘ－４≦０
ｘ²－３ｘ－４≦０
（ｘ－４）（ｘ＋１）≦０
－１≦ｘ≦４
よって、
Ｐ＝｛－１，０，１，２，３，４｝
2）
ｘ²－（ａ－１）ｘ－ａ≦０より
（ｘ－ａ）（ｘ＋１）≦０
ａは正の定数だから
－１≦ｘ≦ａ ①
ｘは整数だから
－１，０，１，２，３の場合である
これを満たす実数ａは
①に３が含まれ４が含まれないから
３≦ａ＜４
問題
方程式３ｘ²＋２ｘｙ＋３ｙ²＝８を満たす実数ｘ、ｙに対して、ｕ＝ｘ＋ｙ、ｖ＝ｘｙとおく。
1）ｕ²－４ｖ≧０を示せ。
2）ｕ、ｖの間に成り立つ等式を求めよ。
3）ｋ＝ｕ＋ｖがとる値の範囲を求めよ。
1）
ｕ²－４ｖ
＝（ｘ＋ｙ）²－４ｘｙ
＝ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²－４ｘｙ
＝ｘ²－２ｘｙ＋ｙ²
＝（ｘ－ｙ）²
ｘ、ｙは実数だから
（ｘ－ｙ）²≧０は常に成り立つ
よって、
ｕ²－４ｖ≧０
2）
３ｘ²＋２ｘｙ＋３ｙ²＝８ より
３ｘ²＋３ｙ²＋２ｘｙ＝８
３（ｘ²＋ｙ²）＋２ｘｙ＝８
３｛（ｘ＋ｙ）²－２ｘｙ｝＋２ｘｙ＝８
３（ｘ＋ｙ）²－４ｘｙ＝８
ｕ＝ｘ＋ｙ、ｖ＝ｘｙだから
３ｕ²－４ｖ＝８
3）
３ｕ²－４ｖ＝８より
４ｖ＝３ｕ²－８
ｘ、ｙは実数だから、1）よりｕ²－４ｖ≧０が成り立つ
ｕ²－４ｖ≧０に代入して
ｕ²－３ｕ²＋８≧０
－２ｕ²＋８≧０
－２（ｕ²－４）≧０
（ｕ＋２）（ｕ－２）≦０
－２≦ｕ≦２
４ｖ＝３ｕ²－８より
ｖ＝（３ｕ²－８）/４
ｋ＝ｕ＋ｖに代入
ｋ＝ｕ＋｛（３ｕ²－８）/４｝
＝（3/4）ｕ²＋ｕ－２
＝（3/4）（ｕ²＋（4/3）ｕ）－２
＝（3/4）［｛ｕ＋（2/3）｝²－（4/9）］－２
＝（3/4）｛ｕ＋（2/3）｝²－（7/3）
放物線は下に凸、
軸ｕ＝－2/3、頂点（－2/3，－7/3）
－２≦ｕ≦２だから
ｕ＝－2/3で、最小
ｕ＝２で、最大
ｕ＝－2/3のとき、ｋ＝－7/3
ｕ＝２のとき、ｋ＝３
よって、求める範囲は
－7/3≦ｋ≦３
問題
1）不等式２ｘ⁴－５ｘ²＋２＞０を解け。
2）不等式（ｘ²－４ｘ＋１）²－３（ｘ²－４ｘ＋１）＋２≦０を解け。
1）
ｘ²＝Ａとおく（Ａ≧０）
２Ａ²－５Ａ＋２＞０
２ －１ －１
×
１ －２ －４
－５
（２Ａ－１）（Ａ－２）＞０
（２ｘ²－１）（ｘ²－２）＞０
ｘ²＜1/2、ｘ²＞２
ｘ²＜1/2より
－√2/2＜ｘ＜√2/2
ｘ²＞２より
ｘ＜－√２、ｘ＞√２
よって、求める解は
ｘ＜－√２、－√2/2＜ｘ＜√2/2、ｘ＞√２
2）
ｘ²－４ｘ＋１＝Ａとおく
Ａ²－３Ａ＋２≦０
（Ａ－１）（Ａ－２）≦０
１≦Ａ≦２
１≦ｘ²－４ｘ＋１≦２
ｘ²－４ｘ＋１≧１ より
ｘ²－４ｘ≧０
ｘ（ｘ－４）≧０
ｘ≦０、ｘ≧４ ①
ｘ²－４ｘ＋１≦２ より
ｘ²－４ｘ－１≦０
ｘ²－４ｘ－１＝０とすると
ｘ＝２±√５
よって、
２－√５≦ｘ≦２＋√５ ②
したがって、①、②より
２－√５≦ｘ≦０
４≦ｘ≦２＋√５
問題
ｆ（ｘ）＝｜ｘ²－１｜－ｘの－１≦ｘ≦２における最大値と最小値を求めよ。
ｘ²－１≧０
すなわち ｘ≦－１、ｘ≧１
－１≦ｘ≦２より
ｘ＝－１または１≦ｘ≦２のとき
ｆ（ｘ）＝ｘ²－１－ｘ
＝ｘ²－ｘ－１
＝｛ｘ－（1/2）｝²－5/4
下に凸、軸ｘ＝1/2
１≦ｘ≦２の左側に軸があるから
ｆ（１）＝－１のとき、最小
ｆ（２）＝１のとき、最大
ｘ²－１＜０
すなわち －１＜ｘ＜１
－１≦ｘ≦２より
－１＜ｘ＜１のとき
ｆ（ｘ）＝－（ｘ²－１）－ｘ
＝－ｘ²＋１－ｘ
＝－ｘ²－ｘ＋１
＝－（ｘ²＋ｘ）＋１
＝－［｛ｘ＋（1/2）｝²－（1/4）］＋１
＝－｛ｘ＋（1/2）｝²＋5/4
上に凸、軸ｘ＝－1/2
－１＜ｘ＜１の内側に軸がある
ｆ（－1/2）＝5/4のとき、最大
端点の－１と１は含まないから、最小値なし
よって、
１≦ｘ≦２のとき
最大値１、最小値－１
－１＜ｘ＜１のとき
最大値＝5/4
したがって、
－１≦ｘ≦２においては
ｘ＝－1/2で、最大値5/4
ｘ＝１で、最小値－１
問題
関数ｙ＝－ｘ²＋ｘ＋３｜ｘ－１｜のグラフをＣとする。原点を通る直線ｙ＝ｋｘとＣとの共有点がちょうど２個となるような正の実数ｋの値の範囲を求めよ。
ｙ＝－ｘ²＋ｘ＋３｜ｘ－１｜
ｘ－１＜０
すなわち ｘ＜１のとき
ｙ＝－ｘ²＋ｘ－３ｘ＋３
＝－ｘ²－２ｘ＋３
ｙ＝ｋｘと共有点をもつから
－ｘ²－２ｘ＋３＝ｋｘ
－ｘ²－（２＋ｋ）ｘ＋３＝０
ｘ²＋（２＋ｋ）ｘ－３＝０
ｆ（ｘ）＝ｘ²＋（２＋ｋ）ｘ－３とする
ｆ（０）＝－３＜０
ｆ（１）＝１＋２＋ｋ－３＝ｋ
ｋ＞０だからｆ（１）＞０
ｆ（０）＜０かつｆ（１）＞０だから
放物線はｘ＜０と０＜ｘ＜１の範囲でそれぞれｘ軸と交わる
よって、
ｘ＜１ではｋの値に関わらず、常に２個の共有点をもつ
ｘ＜１で、ｘ軸との共有点は２個あるから
ｘ－１≧０すなわちｘ≧１のときに、共有点は０個になる。
ｙ＝－ｘ²＋ｘ＋３ｘ－３
＝－ｘ²＋４ｘ－３
ｙ＝ｋｘと共有点をもつから
－ｘ²＋４ｘ－３＝ｋｘ
－ｘ²＋（４－ｋ）ｘ－３＝０
ｘ²－（４－ｋ）ｘ＋３＝０
ｇ（ｘ）＝ｘ²－（４－ｋ）ｘ＋３とする
ｇ（１）＝１－４＋ｋ＋３＝ｋ
ｋ＞０だから
ｘ≧１のときにｇ（ｘ）＝０が解をもたないのは
・Ｄ＜０
・Ｄ≧０かつ軸が１より小さい
Ｄ＝（４－ｋ）²－12
＝16－８ｋ＋ｋ²－12
＝ｋ²－８ｋ＋４＜０
ｋ²－８ｋ＋４＝０とする
ｋ＝４±２√３
よって、
４－２√３＜ｋ＜４＋２√３ ①
ｋ²－８ｋ＋４≧０
ｋ≦４－２√３、ｋ≧４＋２√３ ②
ｇ（ｘ）＝ｘ²－（４－ｋ）ｘ＋３
＝［｛ｘ－（４－ｋ）/２｝²－｛（４－ｋ）/２｝²］＋３
（４－ｋ）/２＜１
４－ｋ＜２
ｋ＞２ ③
ｋ＞０、②、③より
ｋ≧４＋２√３ ④
①、④より
ｋ＞４－２√３
問題
ａ＜ｂ＜ｃのとき、ｘに関する次の２次方程式は２つの実数解をもつことを示せ。また、その解をα、β（α＜β）とするとき、α、βと定数ａ、ｂ、ｃの大小関係を示せ。
1）
２（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）－（ｘ－ａ）²＝０
2）
（ｘ－ａ）（ｘ－ｃ）＋（ｘ－ｂ）²＝０
1）
ｆ（ｘ）＝２（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）－（ｘ－ａ）²とする
ｘの２次の係数は２－１＝１で正
放物線は下に凸
ｆ（ａ）＝２（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）－（ａ－ａ）²
＝２（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）
ａ＜ｂより、ａ－ｂ＜０
ａ＜ｃより、ａ－ｃ＜０
よって、ｆ（ａ）＞０
ｆ（ｂ）＝２（ｂ－ｂ）（ｂ－ｃ）－（ｂ－ａ）²
＝－（ｂ－ａ）²
よって、ｆ（ｂ）＜０
ｆ（ｃ）＝２（ｃ－ｂ）（ｃ－ｃ）－（ｃ－ａ）²
＝－（ｃ－ａ）²
よって、ｆ（ｃ）＜０
ｆ（ａ）＞０かつｆ（ｂ）＜０より
放物線はａ＜ｘ＜ｂでｘ軸と１点で交わるから、ａ＜ｘ＜ｂに小さい方の解がある
ｆ（ｃ）＜０より
もう１点はｘ＞ｃでｘ軸と交わるから、ｘ＞ｃに大きい方の解がある
よって、
ａ＜α＜ｂ＜ｃ＜β
2）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｃ）＋（ｘ－ｂ）²とする
ｘの２次の係数は１＋１＝２で正
放物線は下に凸
ｆ（ａ）＝（ａ－ａ）（ａ－ｃ）＋（ａ－ｂ）²
＝（ａ－ｂ）²
よって、ｆ（ａ）＞０
ｆ（ｂ）＝（ｂ－ａ）（ｂ－ｃ）＋（ｂ－ｂ）²
＝（ｂ－ａ）（ｂ－ｃ）
ａ＜ｂより、ｂ－ａ＞０
ｂ＜ｃより、ｂ－ｃ＜０
よって、ｆ（ｂ）＜０
ｆ（ｃ）＝（ｃ－ａ）（ｃ－ｃ）＋（ｃ－ｂ）²
＝（ｃ－ｂ）²
よって、ｆ（ｃ）＞０
ｆ（ａ）＞０かつｆ（ｂ）＜０だから
1）より、ａ＜ｘ＜ｂに小さい方の解がある
ｆ（ｂ）＜０かつｆ（ｃ）＞０だから
放物線はｂ＜ｘ＜ｃでｘ軸と１点で交わるから、ｂ＜ｘ＜ｃに大さい方の解がある
よって、
ａ＜α＜ｂ＜β＜ｃ
問題
ｍは実数とする。ｘの２次方程式ｘ²－（ｍ＋２）ｘ＋２ｍ＋４＝０の－１≦ｘ≦３の範囲にある実数解がただ１つであるとき、ｍの値の範囲を求めよ。
ｆ（ｘ）＝ｘ²－（ｍ＋２）ｘ＋２ｍ＋４とする
－１＜ｘ＜３に解が１つ、その範囲外に解が１つの場合
定義域の端点のｙ座標が異符号
ｆ（－１）×ｆ（３）＜０
ｆ（－１）＝１＋ｍ＋２＋２ｍ＋４
＝３ｍ＋７
ｆ（３）＝９－３ｍ－６＋２ｍ＋４
＝－ｍ＋７
（３ｍ＋７）（－ｍ＋７）＜０
（３ｍ＋７）（ｍ－７）＞０
ｍ＜－7/3、ｍ＞７ ①
定義域の端点が解の場合
ｆ（－１）＝０のとき
３ｍ＋７＝０より、ｍ＝－7/3
方程式に代入して
ｘ²＋（1/3）ｘ－（2/3）＝０
３ｘ²＋ｘ－２＝０
３ －２ －２
×
１ １ ３
＋１
（３ｘ－２）（ｘ＋１）＝０
ｘ＝2/3、－１
２つの解が－１≦ｘ≦３にあるため不適
ｆ（３）＝０のとき
－ｍ＋７＝０より、ｍ＝７
方程式に代入して
ｘ²－９ｘ＋18＝０
（ｘ－３）（ｘ－６）＝０
ｘ＝３、６
ｘ＝３のみが－１≦ｘ≦３にあるため適する
よって、ｍ＝７ ②
重解が－１≦ｘ≦３にある場合
方程式の判別式をＤとする
ｘ²－（ｍ＋２）ｘ＋２ｍ＋４＝０
Ｄ＝ｍ²＋４ｍ＋４－８ｍ－16
＝ｍ²－４ｍ－12
Ｄ＝０より
（ｍ－６）（ｍ＋２）＝０
ｍ＝６、－２
解の公式から
方程式の重解はｘ＝（ｍ＋２）/２
ｍ＝６のとき、ｘ＝４
ｍ＝－２のとき、ｘ＝０
ｘ＝０のみが－１≦ｘ≦３にあるため適する
よって、ｍ＝－２ ③
①、②、③より
ｍ＜－7/3、ｍ＝－２、ｍ≧７
問題
不等式－ｘ²＋（ａ＋２）ｘ＋ａ－３＜ｙ＜ｘ²－（ａ－１）ｘ－２・・・（＊）を考える。ただし、ｘ、ｙ、ａは実数とする。このとき、
「どんなｘに対しても、それぞれ適当なｙをとれば不等式（＊）が成立する」ためのａの値の範囲を求めよ。また、
「適当なｙをとれば、どんなｘに対しても不等式（＊）が成立する」ためのａの範囲を求めよ。〔早稲田大〕
ｆ（ｘ）＝－ｘ²＋（ａ＋２）ｘ＋ａ－３
ｇ（ｘ）＝ｘ²－（ａ－１）ｘ－２
どんなｘに対しても、それぞれ適当なｙをとれば不等式（＊）が成立する場合
ｆ（ｘ）＜ｙ＜ｇ（ｘ）を満たすから
ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）
これより
ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）＞０
ｘ²－（ａ－１）ｘ－２－｛－ｘ²＋（ａ＋２）ｘ＋ａ－３｝＞０
ｘ²－ａｘ＋ｘ－２＋ｘ²－ａｘ－２ｘ－ａ＋３＞０
２ｘ²－２ａｘ－ｘ－ａ＋１＞０ ①
２ｘ²－（２ａ＋１）ｘ－ａ＋１＞０
２ｘ²－（２ａ＋１）ｘ－ａ＋１＝０とする
Ｄ＝４ａ²＋４ａ＋１＋８ａ－８
＝４ａ²＋12ａ－７
２ ７ 14
×
２ －１ －２
＋12
＝（２ａ＋７）（２ａ－１）
①の解がすべての実数であるためにはＤ＜０
（２ａ＋７）（２ａ－１）＜０
よって、
－7/2＜ａ＜1/2
適当なｙをとれば、どんなｘに対しても不等式（＊）が成立する場合
ｙの値がｆ（ｘ）の最大値よりも大きい、かつｙの値がｇ（ｘ）の最小値よりも小さいから
ｆ（ｘ）の最大値＜ｇ（ｘ）の最小値
ｆ（ｘ）＝－ｘ²＋（ａ＋２）ｘ＋ａ－３
＝－｛ｘ²－（ａ＋２）ｘ｝＋ａ－３
＝－［｛ｘ－（ａ＋２）/２｝²－｛（ａ＋２）²/４｝］＋ａ－３
＝－｛ｘ－（ａ＋２）/２｝²＋｛（ａ＋２）²/４｝＋ａ－３
上に凸だから
最大値は、｛（ａ＋２）²/４｝＋ａ－３
これより
（ａ²＋４ａ＋４＋４ａ－12）/４
＝（ａ²＋８ａ－８）/４
ｇ（ｘ）＝ｘ²－（ａ－１）ｘ－２
＝｛ｘ－（ａ－１）/２｝²－｛（ａ－１）²/４｝－２
下に凸だから
最小値は、－｛（ａ－１）²/４｝－２
これより
（－ａ²＋２ａ－９）/４
ｆ（ｘ）の最大値＜ｇ（ｘ）の最小値だから
（ａ²＋８ａ－８）/４＜（－ａ²＋２ａ－９）/４
ａ²＋８ａ－８＜－ａ²＋２ａ－９
２ａ²＋６ａ＋１＜０
２ａ²＋６ａ＋１＝０とする
ａ＝（－３±√７）/２
よって、
（－３－√７）/２＜ａ＜（－３＋√７）/２
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塾生の声
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この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
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分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
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勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
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苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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