- たむかい学習教室
- 1 日前
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２次方程式の解 応用問題
２次方程式の解を利用した応用問題では、解と係数の関係や判別式を用いて、方程式の中にある文字定数の値を求めます。定数の範囲を求める場合には、２次関数のグラフをもとにして考えます。
解と係数の基本
問題
ｘ²－２ｘ＋３＝０の２つの解をα、βとする。次の式の値を求めよ。
1）（α＋１）（β＋１）
2）α²＋β²
3）α³＋β³
4）
β α
━━━＋━━━
α－１ β－１
解と係数の関係より
α＋β＝２、αβ＝３
1）
（α＋１）（β＋１）
＝αβ＋（α＋β）＋１
＝３＋２＋１
＝６
2）
α²＋β²
＝（α＋β）²－２αβ
＝２²－２・３
＝－２
3）
α³＋β³
＝（α＋β）³－３αβ（α＋β）
＝２³－３・３・２
＝－10
4）
β α
━━━＋━━━
α－１ β－１
β（β－１）＋α（α－１）
＝━━━━━━━━━━━
（α－１）（β－１）
β²－β＋α²－α
＝━━━━━━━━━
αβ－（α＋β）＋１
α²＋β²－（α＋β）
＝━━━━━━━━━
αβ－（α＋β）＋１
α²＋β²－（α＋β）
＝━━━━━━━━━
αβ－（α＋β）＋１
－２－２
＝━━━━━
３－２＋１
＝－２
問題
２ｘ²＋８ｘ－３＝０の２つの解をα、βとする。次の式の値を求めよ。
1）α²β＋αβ²
2）２（３－α）（３－β）
3）α³＋β³
4）α⁴＋β⁴
5）
１ １
━＋━
α β
6）
β α
━＋━
α β
解と係数の関係より
α＋β＝－４、αβ＝－3/2
1）
α²β＋αβ²
＝αβ（α＋β）
＝（－3/2）・（－４）
＝６
2）
２（３－α）（３－β）
＝２｛９－３（α＋β）＋αβ｝
＝２｛９－３・（－４）＋（－3/2）｝
＝２｛21－（3/2）｝
＝２・（39/2）
＝39
3）
α³＋β³
＝（α＋β）³－３αβ（α＋β）
＝（－４）³－３（－3/2）（－４）
＝－64－18
＝－82
4）
α⁴＋β⁴
＝（α²）²＋（β²）²
＝（α²＋β²）²－２（αβ）²
＝｛（α＋β）²－２αβ｝²－２（αβ）²
＝｛（－４）²－２・（－3/2）｝²－２・（－3/2）²
＝（16＋３）²－（9/2）
＝361－（9/2）
＝（722－9）/2
＝713/2
5）
１ １
━＋━
α β
α＋β
＝━━━
αβ
＝－４÷（－3/2）
＝４×（2/3）
＝8/3
6）
β α
━＋━
α β
α²＋β²
＝━━━
αβ
（α＋β）²－２αβ
＝━━━━━━━━
αβ
＝｛（－４）²－２（－3/2）｝÷（－3/2）
＝（16＋３）×（－2/3）
＝－38/3
解と係数の応用
問題
２次方程式２ｘ²＋４ｘ＋３＝０の２つの解をα、βとする。次の式の値を求めよ。
1）（α－１）（β－１）
2）（α－１）⁴＋（β－１）⁴
1）
解と係数の関係より
α＋β＝－２、αβ＝3/2
（α－１）（β－１）
＝αβ－（α＋β）＋１
＝（3/2）－（－２）＋１
＝（３＋４＋２）/２
＝９/２
2）
（α－１）⁴＋（β－１）⁴
＝Ａ⁴＋Ｂ⁴
＝（Ａ²）²＋（Ｂ²）²
＝（Ａ²＋Ｂ²）²－２（ＡＢ）²
＝｛（Ａ＋Ｂ）²－２ＡＢ｝²－２（ＡＢ）²
Ａ＋Ｂ
＝（α－１）＋（β－１）
＝α＋β－２
＝－２－２
＝－４
よって、
｛（－４）²－２・（9/2）｝²－２・（9/2）²
＝（16－９）²－（81/2）
＝49－（81/2）
＝（98－81）/2
＝17/2
問題
２次方程式ｘ²－３ｘ＋７＝０の２つの解をα、βとする。次の式の値を求めよ。
1）（２－α）（２－β）
2）（α－２）³＋（β－２）³
1）
解と係数の関係より
α＋β＝３、αβ＝７
（２－α）（２－β）
＝４－２（α＋β）＋αβ
＝４－２・３＋７
＝５
2）
（α－２）³＋（β－２）³
＝Ａ³＋Ｂ³
＝（Ａ＋Ｂ）³－３ＡＢ（Ａ＋Ｂ）
（２－α）（２－β）
＝｛－（α－２）｝｛－（β－２）｝
＝（α－２）（β－２）
＝５＝ＡＢ
（α－２）＋（β－２）
＝α＋β－４
＝３－４
＝－１＝Ａ＋Ｂ
（Ａ＋Ｂ）³－３ＡＢ（Ａ＋Ｂ）
＝（－１）³－３・５・（－１）
＝－１＋15
＝14
問題
２次方程式ｘ²－６ｘ＋ｋ＝０について、次の条件を満たすように、定数ｋの値を定めよ。
1）１つの解が他の解の２倍
2）１つの解が他の解の２乗
1）
２つの解をα、２αとする
解と係数の関係より
α＋２α＝３α＝６
α＝２
よって、
ｘ²－６ｘ＋ｋ＝（ｘ－２）（ｘ－４）
ｘ²－６ｘ＋ｋ＝ｘ²－６ｘ＋８
したがって、
ｋ＝８
2）
２つの解をα、α²とする
解と係数の関係より
α・α²＝α³＝ｋ
ｘ＝αを代入
α²－６α＋α³＝０
α（α²＋α－６）＝０
α≠０だから
α²＋α－６＝０
（α＋３）（α－２）＝０
α＝－３，２
ｋ＝α³より
α＝－３のとき
ｋ＝－27
α＝２のとき
ｋ＝８
よって、
ｋ＝－27、８
２次方程式の作成
問題
次の２数を解とする２次方程式を１つ作れ。
1）３，－５
2）２＋√５，２－√５
3）３＋４ｉ，３－４ｉ
1）
ｘ＝３、－５だから
（ｘ－３）（ｘ＋５）＝０
ｘ²＋２ｘ－15＝０
2）
ｘ＝２＋√５より
ｘ－２＝√５
両辺を２乗して
ｘ²－４ｘ＋４＝５
ｘ²－４ｘ－１＝０
3）
ｘ＝３＋４ｉより
ｘ－３＝４ｉ
両辺を２乗して
ｘ²－６ｘ＋９＝16ｉ²
ｘ²－６ｘ＋25＝０
問題
和と積が次のようになる２数を求めよ。
1）和が７、積が３
2）和が－１、積が１
1）
ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０とする
和が７だから
－ａ＝７ ａ＝－７
積が３だから
ｂ＝３
よって、
ｘ²－７ｘ＋３＝０
ｘ＝（７±√37）/２
したがって、
（７＋√37）/２
（７－√37）/２
2）
ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０とする
和が－１だから
－ａ＝－１ ａ＝１
積が１だから
ｂ＝１
よって、
ｘ²＋ｘ＋１＝０
ｘ＝（－１±√３ｉ）/２
したがって、
（－１＋√３ｉ）/２
（－１－√３ｉ）/２
問題
２次方程式ｘ²－２ｘ＋３＝０の２つの解をα、βとするとき、α＋（1/β）、β＋（1/α）を解とする２次方程式を１つ作れ。
解と係数の関係より
α＋β＝２、αβ＝３
｛α＋（1/β）｝＋｛β＋（1/α）｝
＝α＋β＋｛（α＋β）/αβ｝
＝２＋（2/3）
＝8/3
｛α＋（1/β）｝｛β＋（1/α）｝
＝αβ＋１＋１＋（1/αβ）
＝３＋２＋（1/3）
＝16/3
よって、
ｘ²－（8/3）ｘ＋（16/3）＝０
３ｘ²－８ｘ＋16＝０
問題
２次方程式２ｘ²－４ｘ＋１＝０の２つの解をα、βとするとき、α－（１/α）、β－（１/β）を解とする２次方程式を１つ作れ。
解と係数の関係より
α＋β＝２、αβ＝1/2
｛α－（１/α）｝＋｛β－（１/β）｝
＝α＋β－｛（α＋β）/αβ｝
＝２－｛２÷（1/2）｝
＝２－４
＝－２
｛α－（１/α）｝｛β－（１/β）｝
＝αβ－（α/β）－（β/α）＋（1/αβ）
＝αβ－｛（α²＋β²）/αβ｝＋（1/αβ）
α²＋β²
＝（α＋β）²－２αβ
＝２²－２・（1/2）
＝３
αβ－｛（α²＋β²）/αβ｝＋（1/αβ）
＝（1/2）－｛３÷（1/2）｝＋１÷（1/2）
＝（1/2）－６＋２
＝（－11/2）＋（4/2）
＝－7/2
よって、
ｘ²＋２ｘ－（7/2）＝０
２ｘ²＋４ｘ－７＝０
実数解の符号
問題
２次方程式ｘ²－（ａ－10）ｘ＋ａ＋14＝０が次のような解をもつように、定数ａの値の範囲を定めよ。
1）異なる２つの正の解
2）異符号の解
1）
判別式をＤとする
Ｄ＝（ａ－10）²－４ａ－56
＝ａ²－20ａ＋100－４ａ－56
＝ａ²－24ａ＋44
異なる２つの実数解をもつからＤ＞０
ａ²－24ａ＋44＞０
（ａ－２）（ａ－22）＞０
ａ＜２、ａ＞22 ①
２つの解をα、βとする
解と係数の関係より
α＋β＝ａ－10
α＋β＞０だから
ａ－10＞０
ａ＞10 ②
αβ＝ａ＋14
αβ＞０だから
ａ＋14＞０
ａ＞－14 ③
①、②、③より
ａ＞22
2）
αβ＜０だから
ａ＋14＜０
ａ＜－14
👉ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の積は、ｃ/ａ
ｃ/ａ＝αβ＜０で、解の公式の√（ｂ²－４ａｃ）は正になる。
必ずＤ＞０になるから、判別式の検証は不要。
解が異符号👉ともに必ず実数解
※放物線のｘ軸との共有点が必ず１つずつある
問題
２次方程式ｘ²－２（ｋ＋１）ｘ＋２（ｋ²＋３ｋ－10）＝０の解が次の条件を満たすような定数ｋの値の範囲を求めよ。
1）異符号の解をもつ
2）正でない実数解のみをもつ
1）
解の積は０より小さく、実数解となるから
解と係数の関係より
２（ｋ²＋３ｋ－10）＜０
（ｋ＋５）（ｋ－２）＜０
－５＜ｋ＜２
2）
０または負の解
かつ
重解を含む実数解をもつ
👉共通範囲を求める
０または負の解をもつとき
解の和は０以下だから
解と係数の関係より
２（ｋ＋１）≦０
ｋ≦－１ ①
解の積は０以上だから
２（ｋ²＋３ｋ－10）≧０
（ｋ＋５）（ｋ－２）≧０
ｋ≦－５、ｋ≧２ ②
重解を含む実数解をもつとき
判別式をＤとする
Ｄ/４＝（ｋ＋１）²－２（ｋ²＋３ｋ－10）
＝ｋ²＋２ｋ＋１－２ｋ²－６ｋ＋20
＝－ｋ²－４ｋ＋21
Ｄ≧０より
－ｋ²－４ｋ＋21≧０
ｋ²＋４ｋ－21≦０
（ｋ＋７）（ｋ－３）≦０
－７≦ｋ≦３ ③
①、②、③より
－７≦ｋ≦－５
解の範囲
問題
２次方程式ｘ²－２ｐｘ＋ｐ＋２＝０が次の条件を満たす解をもつように、定数ｐの値の範囲を定めよ。
1）２つの解がともに１より大きい。
2）１つの解は３より大きく、他の解は３より小さい。
1）
ｘ²－２ｐｘ＋ｐ＋２＝０
判別式をＤとする
Ｄ/４＝ｐ²－ｐ－２
重解を含む実数解をもつから
Ｄ≧０より
ｐ²－ｐ－２≧０
（ｐ－２）（ｐ＋１）≧０
ｐ≦－１、ｐ≧２ ①
ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ｐｘ＋ｐ＋２とする
ｆ（ｘ）
＝（ｘ－ｐ）²－ｐ²＋ｐ＋２
下に凸、軸ｘ＝ｐ
軸が１より大きいときだから
ｐ＞１ ②
ｘ＝１のとき、ｙ座標は正だから
ｆ（１）＞０
１－２ｐ＋ｐ＋２＞０
－ｐ＞－３
ｐ＜３ ③
①、②、③より
２≦ｐ＜３
2）
ｆ（ｘ）は下に凸
ｘ＝３のとき、ｙ座標は負だから
ｆ（３）＜０
９－６ｐ＋ｐ＋２＜０
－５ｐ＜－11
ｐ＞11/5
問題
２次方程式ｘ²－２（ａ－４）ｘ＋２ａ＝０が次の条件を満たす解をもつように、定数ａの値の範囲を定めよ。
1）２つの解がともに２より大きい。
2）２つの解がともに２より小さい。
3）１つの解が４より大きく、他の解は４より小さい。
1）
ｘ²－２（ａ－４）ｘ＋２ａ＝０
判別式をＤとする
Ｄ/４＝（ａ－４）²－２ａ
＝ａ²－８ａ＋16－２ａ
＝ａ²－10ａ＋16
重解を含む実数解をもつから
Ｄ≧０より
ａ²－10ａ＋16≧０
（ａ－２）（ａ－８）≧０
ａ≦２、ａ≧８ ①
ｆ（ｘ）＝ｘ²－２（ａ－４）ｘ＋２ａとする
ｆ（ｘ）
＝｛ｘ－（ａ－４）｝²－（ａ－４）²＋２ａ
下に凸、軸ｘ＝ａ－４
軸が２より大きいときだから
ａ－４＞２
ａ＞６ ②
ｘ＝２のとき、ｙ座標は正だから
ｆ（２）＞０
ｆ（２）
＝４－４ａ＋16＋２ａ
＝－２ａ＋20＞０
ａ＜10 ③
①、②、③より
８≦ａ＜10
2）
重解を含む実数解をもつから
ａ≦２、ａ≧８ ①
軸が２より小さいときだから
ａ－４＜２
ａ＜６ ④
ｘ＝２のとき、ｙ座標は正だから
ａ＜10 ③
①、③、④より
ａ≦２
3）
ｆ（ｘ）は下に凸
ｘ＝４のとき、ｙ座標は負だから
ｆ（４）＜０
ｆ（４）
＝16－８ａ＋32＋２ａ
＝－６ａ＋48＜０
ａ＞８
整数解をすべて求める
問題
２次方程式ｘ²－ｍｘ＋３ｍ＝０が整数解のみをもつような定数ｍの値とそのときの整数の解をすべて求めよ。
２つの整数解をα、β（α≦β）とする
解と係数の関係より
α＋β＝ｍ、αβ＝３ｍ
αβは（α＋β）の３倍だから
αβ＝３（α＋β）
よって、
αβ＝３α＋３β
αβ－３α－３β＝０
α（β－３）－３（β－３）－９＝０
（α－３）（β－３）＝９
α－３、β－３は整数
α≦βより、α－３≦β－３だから
α－３＝－９、β－３＝－１
α＝－６、β＝２ ①
α－３＝－３、β－３＝－３
α＝０、β＝０ ②
α－３＝３、β－３＝３
α＝６、β＝６ ③
α－３＝１、β－３＝９
α＝４、β＝12 ④
α＋β＝ｍより
①のとき
－６＋２＝ｍ ｍ＝－４
②のとき
０＋０＝ｍ ｍ＝０
③のとき
６＋６＝ｍ ｍ＝12
④のとき
４＋12＝ｍ ｍ＝16
したがって、
ｍ＝－４のとき、ｘ＝－６，２
ｍ＝０のとき、ｘ＝０
ｍ＝12のとき、ｘ＝６
ｍ＝16のとき、ｘ＝４，12
問題
２次方程式ｘ²－（ｋ＋６）ｘ＋６＝０の解がすべて整数となるような定数ｋの値とそのときの整数解をすべて求めよ。
２つの整数解をα、β（α≦β）とする
解と係数の関係より
α＋β＝ｋ＋６、αβ＝６
解の積が６だから
α＝－６、β＝－１ ①
α＝－３、β＝－２ ②
α＝２、β＝３ ③
α＝１、β＝６ ④
①のとき
－６－１＝ｋ＋６ ｋ＝－13
②のとき
－３－２＝ｋ＋６ ｋ＝－11
③のとき
２＋３＝ｋ＋６ ｋ＝－１
④のとき
１＋６＝ｋ＋６ ｋ＝１
よって、
ｋ＝－13のとき、ｘ＝－６，－１
ｋ＝－11のとき、ｘ＝－３，－２
ｋ＝－１のとき、ｘ＝２，３
ｋ＝１のとき、ｘ＝１，６
問題
ｐを正の定数とする。ｘ²＋ｐｘ＋２ｐ＝０の２つの解α、βがともに整数となるとき、組（α、β、ｐ）をすべて求めよ。
２つの整数解をα、βとする
解と係数の関係より
α＋β＝－ｐ、αβ＝２ｐ
αβは（α＋β）の－２倍だから
αβ＝－２（α＋β）
αβ＋２α＋２β＝０
α（β＋２）＋２（β＋２）－４＝０
（α＋２）（β＋２）＝４
ｐ＞０だから
α＋β＜０、αβ＞０
よって、α＜０、β＜０だから
α＋２＜２、β＋２＜２
α＋２、β＋２ともに整数だから
（α＋２）（β＋２）＝４
－４×（－１）
－２×（－２）
－１×（－４）
α＋２＝－４、β＋２＝－１
👉α＝－６、β＝－３
α＋２＝－２、β＋２＝－２
👉α＝－４、β＝－４
α＋２＝－１、β＋２＝－４
👉α＝－３、β＝－６
ｐ＝－（α＋β）より
α＝－６、β＝－３またはα＝－３、β＝－６のとき
ｐ＝－（－９）＝９
α＝－４、β＝－４のとき
ｐ＝－（－８）＝８
よって、（α、β、ｐ）は
（－６，－３，９）
（－３，－６，９）
（－４，－４，８）
実戦テスト
問題
ａは実数とし、ｘに関する２次方程式ｘ²＋ａｘ＋（ａ－１）²＝０は異なる２つの実数解をもつ。２つの解の差が整数であるとき、ａの値を求めよ。
ｘ²＋ａｘ＋（ａ－１）²＝０
判別式をＤとする
Ｄ＝ａ²－４（ａ－１）²
＝ａ²－４ａ²＋８ａ－４
＝－３ａ²＋８ａ－４
Ｄ＞０より
－３ａ²＋８ａ－４＞０
３ａ²－８ａ＋４＜０
３ －２ －２
×
１ －２ －６
－８
（３ａ－２）（ａ－２）＜０
2/3＜ａ＜２ ①
解の差は
｛（－ａ＋√Ｄ）/２｝－｛（－ａ－√Ｄ）/２｝
＝２√Ｄ/２
＝√Ｄ
よって、Ｄが平方数になるとき
Ｄ＝－３ａ²＋８ａ－４
＝－３｛（ａ²－（8/3）ａ｝－４
＝－３［｛ａ－（4/3）｝²－（16/9）］－４
＝－３｛ａ－（4/3）｝²＋（4/3）
上に凸、頂点（4/3、4/3）
①より、最大値は4/3
０＜Ｄ≦4/3だから
満たすＤの値は、１
よって、
－３ａ²＋８ａ－４＝１
３ａ²－８ａ＋５＝０
３ －５ －５
×
１ －１ －３
－８
（３ａ－５）（ａ－１）＝０
ａ＝5/3、１
※検算
ａ＝5/3のとき
ｘ²＋ａｘ＋（ａ－１）²＝０
ｘ²＋（5/3）ｘ＋（4/9）＝０
９ｘ²＋15ｘ＋４＝０
（３ｘ＋４）（３ｘ＋１）＝０
ｘ＝4/3、1/3
解の差は
（4/3）－（1/3）＝１
（1/3）－（4/3）＝－１
ａ＝１のとき
ｘ²＋ｘ＝０
ｘ（ｘ＋１）＝０
ｘ＝０、１
解の差は
０－１＝－１
１－０＝１
問題
実数の定数ｐに対し、２次方程式ｘ²＋ｐｘ＋ｐ²＋ｐ－１＝０が異なる２つの実数解α、βをもつとき、ｔ＝（α＋１）（β＋１）のとりうる値の範囲を求めよ。
ｘ²＋ｐｘ＋ｐ²＋ｐ－１＝０
判別式をＤとする
Ｄ＝ｐ²－４ｐ²－４ｐ＋４
＝－３ｐ²－４ｐ＋４
Ｄ＞０より
－３ｐ²－４ｐ＋４＞０
３ｐ²＋４ｐ－４＜０
３ －２ －２
×
１ ２ ６
＋４
（３ｐ－２）（ｐ＋２）＜０
－２＜ｐ＜2/3 ①
解と係数の関係より
α＋β＝－ｐ
αβ＝ｐ²＋ｐ－１
（α＋１）（β＋１）
＝αβ＋（α＋β）＋１
＝－ｐ＋ｐ²＋ｐ－１＋１
＝ｐ²＝ｔ
ｔ＝ｐ²
放物線は下に凸、頂点（０，０）
①より
ｔの最小値は０
ｔの最大値はｐ＝－２のとき（－２は含まない）
ｐ＝－２のとき
ｔ＝（－２）²＝４
よって、
０≦ｔ＜４
問題
ｘについての２次方程式ｘ²－２（cosθ）ｘ－sin²θ＝０の２つの解のうち、一方の解が他方の解の－３倍であるθの値をすべて求めよ。ただし、０°≦θ≦180°とする。
２つの解をα、－３αとする
解と係数の関係より
α－３α
＝－２α＝２cosθ
α＝－cosθ
両辺を２乗して
α²＝cos²θ
α・（－３α）
＝－３α²＝－sin²θ
３α²＝sin²θ
sin²θ＋cos²θ＝１より
３α²＋α²＝１
α²＝1/4
α＝±1/2
α＝－cosθより
－cosθ＝±1/2
よって、
cosθ＝±1/2
０°≦θ≦180°だから
θ＝60°、120°
問題
ａ、ｂを実数とする。２次関数ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ａｘ＋ｂについて、次の問いに答えよ。
1）実数α、βがｆ（α）＝β、ｆ（β）＝α、α≠βを満たすとき、α＋βとαβをａ、ｂを用いて表せ。
2）ｆ（α）＝β、ｆ（β）＝α、α≠βを満たす実数α、βが存在するための、ａ、ｂについての条件を求めよ。
1）
ｆ（α）
＝α²＋ａα＋ｂ＝β
ｆ（β）
＝β²＋ａβ＋ｂ＝α
β－α
＝（α²＋ａα＋ｂ）－（β²＋ａβ＋ｂ）
＝α²－β²＋ａ（α－β）
＝（α＋β）（α－β）＋ａ（α－β）
＝（α＋β＋ａ）（α－β）
よって、
（α＋β＋ａ）（α－β）＝－（α－β）
α≠βより、両辺を（α－β）で割ると
α＋β＋ａ＝－１
α＋β＝－ａ－１
β＋α
＝（α²＋ａα＋ｂ）＋（β²＋ａβ＋ｂ）
＝α²＋β²＋ａ（α＋β）＋２ｂ
＝（α＋β）²－２αβ＋ａ（α＋β）＋２ｂ
よって、
（α＋β）²－２αβ＋ａ（α＋β）＋２ｂ＝α＋β
α＋β
＝－ａ－１
＝－（ａ＋１）を代入
（ａ＋１）²－２αβ－ａ（ａ＋１）＋２ｂ＝－（ａ＋１）
２αβ＝（ａ＋１）²－ａ（ａ＋１）＋（ａ＋１）＋２ｂ
２αβ＝ａ²＋２ａ＋１－ａ²－ａ＋ａ＋１＋２ｂ
２αβ＝２ａ＋２ｂ＋２
αβ＝ａ＋ｂ＋１
2）
αとβは異なる実数だから
（ｘ－α）（ｘ－β）＝０とする
ｘ²－（α＋β）ｘ＋αβ＝０
α＋β＝－（ａ＋１）
αβ＝ａ＋ｂ＋１ だから
ｘ²＋（ａ＋１）ｘ＋ａ＋ｂ＋１＝０
判別式をＤとする
Ｄ＝（ａ＋１）²－４（ａ＋ｂ＋１）
＝ａ²＋２ａ＋１－４ａ－４ｂ－４
＝ａ²－２ａ－４ｂ－３
異なる２つの実数解をもつから
Ｄ＞０より
ａ²－２ａ－４ｂ－３＞０
問題
２次方程式ｘ²＋ａｘ＋ａ＝０が次の条件を満たす解をもつように、定数ａの値の範囲を定めよ。
1）２つの解がともに２以下である。
2）１つの解がａより大きく、他の解はａより小さい。
1）
ｘ²＋ａｘ＋ａ＝０
判別式をＤとする
Ｄ＝ａ²－４ａ
重解を含む実数解をもつから
Ｄ≧０より
ａ²－４ａ≧０
ａ（ａ－４）≧０
ａ≦０、ａ≧４ ①
ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ａｘ＋ａとする
ｆ（ｘ）
＝｛ｘ＋（1/2）ａ｝²－（1/4）ａ²＋ａ
下に凸、軸ｘ＝（－1/2）ａ
軸が２以下だから
（－1/2）ａ≦２
ａ≧－４ ②
ｘ＝２のとき、ｙ座標は０または正だから
ｆ（２）≧０
ｆ（２）
＝４＋２ａ＋ａ
＝４＋３ａ≧０
ａ≧－4/3 ③
①、②、③より
－4/3≦ａ≦０、ａ≧４
2）
２つの解の間にａがあるから
ｘ＝ａのとき、ｆ（ｘ）＜０
ｆ（ａ）＝ａ²＋ａ²＋ａ
＝２ａ²＋ａ
＝ａ（２ａ＋１）＜０
よって、
－1/2＜ａ＜０
問題
ａ、ｂが素数であって、ｘの２次方程式３ｘ²－12ａｘ＋ａｂ＝０が２つの整数解をもつとき、ａ、ｂの値とその整数解を求めよ。
２つの整数解をα、β（α≦β）とする
解と係数の関係より
α＋β＝－（－12ａ/3）＝４ａ
αβ＝ａｂ/３
αとβは整数だから、ａｂ/３のａｂは３の倍数
よって、
ａ、ｂは素数だから、一方が３になる
ａ＝３のとき、
α＋β＝４ａ＝12
０＋12
１＋11
２＋10
３＋９
４＋８
５＋７
６＋６
αβ＝３ｂ/３＝ｂ
０×12＝０
１×11＝11
２×10＝20
３×９＝27
４×８＝32
５×７＝35
６×６＝36
このうち、ｂが素数になるのは積が11のとき
よって、
ａ＝３、ｂ＝11
方程式に代入して
３ｘ²－36ｘ＋33＝０
ｘ²－12ｘ＋11＝０
（ｘ－１）（ｘ－11）＝０
ｘ＝１，11
ｂ＝３のとき
αβ＝３ａ/３＝ａ
積が素数ａになる組み合わせは
（α、β）＝（１，ａ）
α＋β＝４ａだから
１＋ａ＝４ａ
ａ＝1/3で不適
したがって、
ａ＝３、ｂ＝11
ｘ＝１，11
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合格実績
八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第一高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績 塾生33名（2026年5月）
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 小中野中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 八戸工大二高附属中 階上町立階上中 南部町立福地中 岩手県洋野町立大野中 久慈市立久慈中
八戸東高 八戸北高 八戸西高 八戸聖ウルスラ学院高 仙台育英学園高ＩＬＣ
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小 角の浜小
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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。
ご入塾までの流れ
体験学習（60分）
入塾をご希望の場合、
保護者面談の日程調整
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保護者面談（40分程度）
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
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分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
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勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
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これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
この塾で本当に良かった！
通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
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中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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2026.6.29 ２次方程式の解 応用問題