- たむかい学習教室
- 4 日前
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２次関数のグラフと等積変形
数学では、グラフ上にできる三角形を利用した関数と図形の融合問題があります。特に、中学数学では三角形の等積変形を利用する出題が高校入試でよくあり、グラフの見方や図形の性質をおさえることが重要になります。
問題
下の図のように、放物線ｙ＝ａｘ²（ａは定数）があり、この放物線上に点Ａ（－1，1/2）、およびｘ座標が４である点Ｂがある。また、Ｏを原点とする。
1）ａの値を求めなさい。
2）直線ＡＢの式を求めなさい。
3）ｙ軸上に、ｙ座標が正である点Ｃをとり、△ＯＡＢと△ＯＡＣの面積が等しくなるようにするとき、点Ｃのｙ座標を求めなさい。
4）ｘ軸上に、ｘ座標が正である点Ｄをとり、△ＡＢＤの面積が△ＯＡＢの面積の３倍になるようにするとき、点Ｄのｘ座標を求めなさい。
解説
1）
点Ａは、ｘ＝－1、ｙ＝1/2
ｙ＝ａｘ²上にあるから
1/2＝ａ×（－1）²
ａ＝1/2
2）
点Ｂは、ｘ＝４
ｙ＝（1/2）ｘ² 上にあるから
ｙ＝（1/2）×４²＝８
Ａ（－1，1/2）、Ｂ（４，８）を通る直線
ｘの増加量 ４－（－１）＝５
ｙの増加量 ８－（1/2）＝15/2
傾き （15/2）÷５＝3/2
求める直線の切片をｂとする
ｙ＝（3/2）ｘ＋ｂ
ｘ＝４、ｙ＝８を通るから
８＝（3/2）×４＋ｂ
ｂ＝２
よって、ｙ＝（3/2）ｘ＋２
3）
△ＯＡＢ＝△ＯＡＣより
２つの三角形の底辺をＯＡとして、
ＯＡ//ＢＣとなる点Ｃをｙ軸にとる。
👉高さが等しくなる
ＯＡ//ＢＣだから
直線ＯＡとＢＣの傾きは同じ
ＯＡの傾き
原点と（－1，1/2）を通るから
（1/2）÷（－1）＝－1/2
直線ＢＣの切片をｃとする
ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｃ
Ｂ（４，８）を通るから
８＝（－1/2）×４＋ｃ
ｃ＝10
よって、10
4）ｘ軸上に、ｘ座標が正である点Ｄをとり、△ＡＢＤの面積が△ＯＡＢの面積の３倍になるようにするとき、点Ｄのｘ座標を求めなさい。
△ＡＢＤ＝３△ＯＡＢより
２つの三角形の底辺をＡＢとして、
直線ＯＡ上にｘ座標が正である点Ｇを
ＯＧ＝２ＯＡとなるようにとる。
ＡＢ//ＧＤとなる点Ｄをｘ軸にとる。
ＯＡ間のｘの増加量は１、ｙの増加量は－1/2だから
ＡＧ間のｘの増加量は３、ｙの増加量は－3/2
Ａ（－1，1/2）だから
点Ｇのｘ座標は、－１＋３＝２
ｙ座標は、（1/2）－（3/2）＝－１
よって、Ｇ（２，－１）
ＡＢに平行で点Ｇを通る直線は
ｙ－（－１）＝（3/2）（ｘ－２） ※
ｙ＋１＝（3/2）ｘ－３
ｙ＝（3/2）ｘ－４
点Ｄはこの直線上にあり、ｙ＝０だから
０＝（3/2）ｘ－４
ｘ＝8/3
よって、8/3
※傾きａ、点（ｐ，ｑ）を通る直線の式
ｙ－ｑ＝ａ（ｘ－ｐ）
👉切片をｂとせずに求める方法
等積変形の利用（高校入試・過去問）
2024年 青森県立高校入試 ※解説は後段
1）
点Ａは、ｘ＝－１
ｙ＝２ｘ²上 にあるから
ｙ＝２×（－１）²＝２
よって、（－１，２）
2）
点Ｂは、ｘ＝２
ｙ＝２ｘ² 上にあるから
ｙ＝２×２²＝８
よって、Ｂ（２，８）
∠ＡＰＢ＝90°となる点Ｐ（ｘ＞０）をとり、直角三角形ＡＢＰをつくる。
点Ｐのｘ座標はＢと同じ２、
点Ｐのｙ座標はＡと同じ２
Ｐ（２，２）だから
ＡＰ＝２－（－１）＝３cm
ＢＰ＝８－２＝６cm
△ＡＢＰで三平方の定理より
ＡＢ²＝ＡＰ²＋ＢＰ²
＝３²＋６²＝45
ＡＢ＞０より
ＡＢ＝３√５cm
3）
△ＡＯＢと△ＡＯＣの底辺をＯＡとする
高さが等しいから、ＯＡ//ＢＣ
直線ＯＡの傾きは
原点と（－１，２）を通るから
２／（－１）＝－２
よって、直線ＢＣの傾きも－２
ＢＣの式を、ｙ＝－２ｘ＋ｂとする
Ｂ（２，８）を通るから
８＝－２×２＋ｂ
ｂ＝12
よって、（０，12）
4）
点Ａから直線ＢＣへの垂線をＡＨとする
△ＯＣＡの面積を求める
底辺ＯＣ＝12－０＝12cm
高さは点Ａとｙ軸との距離だから
０－（－１）＝１cm
よって、
（1/2）×12×１＝６cm²
ＯＡの長さを求める
ｘ軸上に∠ＯＧＡ＝90°となる点Ｇをとる
△ＯＡＧで三平方の定理より
ＯＡ²＝ＡＧ²＋ＯＧ²
ＡＧ＝２－０＝２cm
ＯＧ＝０－（－１）＝１cmだから
ＯＡ²＝２²＋１²＝５
ＯＡ＝√５cm（ＯＡ＞０）
ＯＡ//ＢＣより
∠ＯＡＨ＝∠ＢＨＡ＝90°だから
△ＯＨＡ＝（1/2）×√５×ＡＨ
△ＯＨＡ＝△ＯＣＡ＝６cm²だから
（1/2）×√５×ＡＨ＝６
√５ＡＨ＝12
ＡＨ＝12√5/5
よって、12√5/5 cm
2023年 青森県立高校入試
1）
点Ａは、ｘ＝２
ｙ＝（1/2）ｘ² 上にあるから
ｙ＝（1/2）×２²＝２
よって、２
2）
２点のｙの値の差は６だから
点Ａのｙ座標は６
ｙ＝ａｘ²は（２，６）を通るから
６＝ａ×２²
ａ＝3/2
3）
四角形ＡＢＣＤは正方形
ＢＤ＝ＣＤだから
直線の傾きは、ＢＣ／ＣＤ＝１
切片の値をｂとする
ｙ＝ｘ＋ｂ
Ｂ（２，０）を通るから
０＝２＋ｂ
ｂ＝－２
よって、求める式は
ｙ＝ｘ－２
4）
点Ｅを通りＢＤに平行な直線をひく
直線とｘ軸との交点をＦとする
👉△ＤＢＦ＝80cm²としてａを求める
直線ＥＦの傾きは、ＢＤと同じ１
点Ｅは、
ｙ＝ａｘ²上にありｘ＝－１だから
ｙ＝ａ×（－１）²＝ａ
直線ＥＦの切片をｃとする
ｙ＝ｘ＋ｃ
Ｅ（－１，ａ）を通るから
ａ＝－１＋ｃ
ｃ＝ａ＋１
よって、ＥＦの式は
ｙ＝ｘ＋（ａ＋１）
点Ｆは、ｙ＝０だから
０＝ｘ＋（ａ＋１）
ｘ＝－（ａ＋１）
よって、
ＢＦ＝２－｛－（ａ＋１）｝
＝ａ＋３
点Ａは、
ｙ＝ａｘ²上にありｘ＝２だから
ｙ＝ａ×２²＝４ａ
よって、
ＡＢ＝４ａ－０＝４ａ
△ＤＢＦの底辺をＢＦとすると
高さはＡＢの長さになるから
（1/2）×（ａ＋３）×４ａ＝80
２ａ（ａ＋３）＝80
ａ（ａ＋３）＝40
ａ²＋３ａ－40＝０
（ａ＋８）（ａ－５）＝０
ａ＞０より
ａ＝５
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2026.5.4 ２次関数のグラフと等積変形