- たむかい学習教室
- 21 時間前
- 読了時間: 11分
２次関数の最大値と最小値
２次関数の最大値と最小値を求めるとき、放物線の軸（対称軸）をもとに考えます。放物線は左右対称なので、軸から最も遠い位置にある点が最大または最小になります。
問題
次の２次関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。
1）ｙ＝３ｘ²＋２
2）ｙ＝－（ｘ－１）²＋５
3）ｙ＝ｘ²－４ｘ－４
4）ｙ＝－ｘ²＋６ｘ＋１
5）ｙ＝ｘ²＋５ｘ＋４
6）ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１
1）
ｙ＝３ｘ²＋２
下に凸、頂点（０，２）
ｘ＝０のとき、
ｙ＝３・０²＋２＝２
よって、
ｘ＝０のとき、最小値２
2）
ｙ＝－（ｘ－１）²＋５
上に凸、頂点（１，５）
ｘ＝１のとき
ｙ＝－（１－１）²＋５＝５
よって、
ｘ＝１のとき、最大値５
3）
ｙ＝ｘ²－４ｘ－４
＝（ｘ－２）²－８
下に凸、頂点（２，－８）
ｘ＝２のとき、
ｙ＝（２－２）²－８＝－８
よって、
ｘ＝２のとき、最小値－８
4）
ｙ＝－ｘ²＋６ｘ＋１
＝－（ｘ²－６ｘ）＋１
＝－｛（ｘ－３）²－９｝＋１
＝－（ｘ－３）²＋10
上に凸、頂点（３，10）
ｘ＝３のとき、
ｙ＝－（３－３）²＋10＝10
よって、
ｘ＝３のとき、最大値10
5）
ｙ＝ｘ²＋５ｘ＋４
＝｛ｘ＋（5/2）｝²－（25/4）＋４
＝｛ｘ＋（5/2）｝²－（9/4）
下に凸、頂点（－5/2，－9/4）
ｘ＝－5/2のとき
ｙ＝｛（－5/2）＋（5/2）｝²－（9/4）
＝－9/4
よって、
ｘ＝－5/2のとき、最小値－9/4
6）
ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１
＝－２｛ｘ²－（3/2）ｘ｝－１
＝－２［｛（ｘ－（3/4）｝²－（9/16）］－１
＝－２｛（ｘ－（3/4）｝²＋（9/8）－１
＝－２｛（ｘ－（3/4）｝²＋（1/8）
上に凸、頂点（3/4，1/8）
ｘ＝3/4のとき
＝－２｛（3/4）－（3/4）｝²＋（1/8）
＝1/8
よって、
ｘ＝3/4のとき、最大値1/8
問題
次の関数の最大値、最小値を求めよ。
1）
ｙ＝３ｘ²
（２≦ｘ≦３）
2）
ｙ＝（－1/2）ｘ²
（－４≦ｘ≦－２）
3）
ｙ＝ｘ²－２ｘ－３
（－２≦ｘ≦５）
4）
ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１
（－２≦ｘ≦１）
5）
ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４
（－１≦ｘ≦２）
6）
ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ
（－２≦ｘ≦０）
1）
ｙ＝３ｘ²
（２≦ｘ≦３）
下に凸
ｘ＝２のとき、
ｙ＝３×２²＝12
ｘ＝３のとき、
ｙ＝３・３²＝27
よって、
ｘ＝３のとき、最大値27
ｘ＝２のとき、最小値12
2）
ｙ＝（－1/2）ｘ²
（－４≦ｘ≦－２）
上に凸
ｘ＝－４のとき、
ｙ＝（－1/2）・（－４）²＝－８
ｘ＝－２のとき、
ｙ＝（－1/2）・（－２）²
＝－２
よって、
ｘ＝－２のとき、最大値－２
ｘ＝－４のとき、最小値－８
3）
ｙ＝ｘ²－２ｘ－３
（－２≦ｘ≦５）
ｙ＝ｘ²－２ｘ－３
＝（ｘ－１）²－４
下に凸、頂点（１，－４）
ｘ＝１のとき、
ｙ＝（１－１）²－４＝－４
ｘ＝５のとき、
ｙ＝（５－１）²－４＝12
ｘ＝５のとき、最大値12
ｘ＝１のとき、最小値－４
4）
ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１
（－２≦ｘ≦１）
ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１
＝－２（ｘ²＋２ｘ）＋１
＝－２｛（ｘ＋１）²－１｝＋１
＝－２（ｘ＋１）²＋３
上に凸、頂点（－１，３）
ｘ＝－１のとき、
ｙ＝－２・０²＋３＝３
ｘ＝１のとき、
ｙ＝－２・２²＋３＝－５
ｘ＝－１のとき、最大値３
ｘ＝１のとき、最小値－５
5）
ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４
（－１≦ｘ≦２）
ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４
＝２｛ｘ²－（3/2）ｘ｝＋４
＝２［｛ｘ－（3/4）｝²－（9/16）］＋４
＝２｛ｘ－（3/4）｝²＋（23/8）
下に凸、頂点（3/4，23/8）
軸 ｘ＝3/4
定義域の両端との距離
（3/4）－（－１）＝7/4
２－（3/4）＝5/4
よって、
ｘ＝－１のとき、最大値をとる
ｘ＝3/4のとき、
ｙ＝２・０²＋（23/8）＝23/8
ｘ＝－１のとき、
ｙ＝２・（－１）²－３・（－１）＋４
＝９
ｘ＝－１のとき、最大値９
ｘ＝3/4のとき、最小値23/8
6）
ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ
（－２≦ｘ≦０）
ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ
＝（－1/2）（ｘ²－４ｘ）
＝（－1/2）｛（ｘ－２）²－４｝
＝（－1/2）（ｘ－２）²＋２
上に凸、頂点（２，２）
軸 ｘ＝２
定義域の両端との距離
２－（－２）＝４
２－０＝２
よって、
ｘ＝－２のとき、最小値をとる
ｘ＝０のとき、
ｙ＝（－1/2）・０²＋２・０＝０
ｘ＝－２のとき、
ｙ＝（－1/2）・（－４）²＋２
＝－８＋２
＝－６
ｘ＝０のとき、最大値０
ｘ＝－２のとき、最小値－６
問題
次の関数の値域を求めよ。
1）
ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16
（０≦ｘ≦２）
2）
ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２
（－１≦ｘ≦０）
1）
ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16
（０≦ｘ≦２）
ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16
＝３（ｘ²－６ｘ）＋16
＝３｛（ｘ－３）²－９｝＋16
＝３（ｘ－３）²－11
下に凸、頂点（３，－11）
軸 ｘ＝３
定義域は軸の左側にある
ｘ＝０のとき
ｙ＝３・０²－18・０＋16＝16
ｘ＝２のとき
ｙ＝３（２－３）²－11＝－８
よって、
－８≦ｙ≦16
2）
ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２
（－１≦ｘ≦０）
ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２
＝－３｛（ｘ²＋（4/3）ｘ｝＋２
＝－３［｛ｘ＋（2/3）｝²－（4/9）］＋２
＝－３｛ｘ＋（2/3）｝²＋（10/3）
上に凸、頂点（－2/3，10/3）
軸 ｘ＝－2/3
－１≦－2/3≦０より
軸は定義域の中にある
定義域の両端との距離
（－2/3）－（－１）＝1/3
０－（－2/3）＝2/3
よって、
ｘ＝０のとき、最小値をとる
ｘ＝０のとき、
ｙ＝－３・０²－４・０＋２＝２
ｘ＝－2/3のとき、
ｙ＝－３・０²＋（10/3）＝10/3
したがって、
２≦ｙ≦10/3
問題
次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。
1）
ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５
（－１＜ｘ＜３）
2）
ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ
（０＜ｘ＜７）
3）
ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３
（０＜ｘ≦１）
4）
ｙ＝３ｘ²－６ｘ
（０＜ｘ＜３）
1）
ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５
（－１＜ｘ＜３）
ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５
＝－（ｘ²－４ｘ）＋５
＝－｛（ｘ－２）²－４｝＋５
＝－（ｘ－２）²＋９
上に凸、頂点（２，９）
軸 ｘ＝２
－１＜ｘ＜３より、最小値なし
ｘ＝２のとき、最大値をとる
ｙ＝－（２－２）²＋９＝９
よって、
ｘ＝２のとき、最大値９
2）
ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ
（０＜ｘ＜７）
ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ
＝－２（ｘ²－７ｘ）
＝－２［｛ｘ－（7/2）｝²－（49/4）］
＝－２｛ｘ－（7/2）｝²＋（49/2）
上に凸、頂点（7/2，49/2）
軸 ｘ＝7/2
０＜ｘ＜７より、最小値なし
ｘ＝7/2のとき、最大値をとる
ｙ＝｛（7/2）－（7/2）｝²＋（49/2）
＝49/2
よって、
ｘ＝7/2のとき、最大値49/2
3）
ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３
（０＜ｘ≦１）
ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３
＝２（ｘ²＋２ｘ）＋３
＝２｛（ｘ＋１）²－１｝＋３
＝２（ｘ＋１）²＋１
下に凸、頂点（－１，１）
軸 ｘ＝－１
軸は定義域の左側にある
０＜ｘ≦１より
軸からの距離が最も遠いｘ＝１のときが最大
最小値はない
ｘ＝１のとき、
ｙ＝２・２²＋１＝９
よって、
ｘ＝１のとき、最大値９
4）
ｙ＝３ｘ²－６ｘ
（０＜ｘ＜３）
ｙ＝３ｘ²－６ｘ
＝３（ｘ²－２ｘ）
＝３｛（ｘ－１）²－１｝
＝３（ｘ－１）²－３
下に凸、頂点（１，－３）
軸 ｘ＝１
０＜ｘ＜３より
軸は定義域の中にある
ｘ＝１のとき、最小値をとる
最大値はない
ｘ＝１のとき、
ｙ＝３・０²－３＝－３
よって、
ｘ＝１のとき、最小値－３
問題
次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。
1）
ｙ＝２（ｘ＋１）（ｘ－４）
（－１≦ｘ≦４）
2）
ｙ＝－２ｘ²＋ｘ
（ｘ≧－１）
1）
ｙ＝２（ｘ＋１）（ｘ－４）
（－１≦ｘ≦４）
下に凸
ｙ＝０のとき、
２（ｘ＋１）（ｘ－４）＝０
ｘ＝－１，４より
放物線とｘ軸と共有点は
（－１，０）と（４，０）
軸は２点の中点だから
（－１＋４）÷２＝3/2
軸は、ｘ＝3/2
－１≦3/2≦４だから
ｘ＝－１，４のとき、最大値をとる
また、
ｘ＝3/2のとき、最小値をとる
ｘ＝－１，４のとき、
ｙ＝０
ｘ＝3/2のとき、
ｙ＝２・（5/2）・（－5/2）
＝－25/2
よって、
ｘ＝－１，４のとき、最大値０
ｘ＝3/2のとき、最小値－25/2
2）
ｙ＝－２ｘ²＋ｘ
（ｘ≧－１）
上に凸
ｙ＝－２ｘ²＋ｘ
＝－ｘ（２ｘ－１）
ｙ＝０のとき
－ｘ（２ｘ－１）＝０
ｘ＝０，1/2
軸は２点の中点だから
｛０＋（1/2）｝÷２＝1/4
軸は、ｘ＝1/4
ｘ＝－１は、ｘ＝０，1/2よりも軸から最も遠い位置にあるから
ｘ＝－１のとき、最小値をとる
また、
ｘ＝1/4のとき、最大値をとる
ｘ＝－１のとき
ｙ＝－２（－１）²＋（－１）
＝－３
ｘ＝1/4のとき
ｙ＝－２（1/4）²＋（1/4）
＝1/8
ｘ＝1/4のとき、最大値1/8
ｘ＝－１のとき、最小値－３
問題
次の条件を満たすように、定数ｃの値を定めよ。
1）関数ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋ｃ（２≦ｘ≦４）の最大値が９である。
2）関数ｙ＝－ｘ²－４ｘ＋ｃ（－３≦ｘ≦１）の最小値が－３である。
1）
ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋ｃ
＝２（ｘ²－２ｘ）＋ｃ
＝２｛（ｘ－１）²－１｝＋ｃ
＝２（ｘ－１）²－２＋ｃ
下に凸、軸ｘ＝１
２≦ｘ≦４だから
軸から最も遠いｘ＝４のとき、最大値ｙ＝９
式にｘ＝４、ｙ＝９を代入
９＝２（４－１）²－２＋ｃ
９＝18－２＋ｃ
ｃ＝－７
2）
ｙ＝－ｘ²－４ｘ＋ｃ
＝－（ｘ²＋４ｘ）＋ｃ
＝－｛（ｘ＋２）²－４｝＋ｃ
＝－（ｘ＋２）²＋４＋ｃ
上に凸、軸ｘ＝－２
－３≦ｘ≦１だから
軸から最も遠いｘ＝１のとき、最小値ｙ＝－３
式にｘ＝１、ｙ＝－３を代入
－３＝－（１＋２）²＋４＋ｃ
－３＝－９＋４＋ｃ
ｃ＝２
問題
次の条件を満たすように、定数ｃの値を求めよ。
1）
ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ
（－２≦ｘ≦１）の最大値が７
2）
ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ
（０≦ｘ≦３）の最小値が－５
1）
ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ
（－２≦ｘ≦１）の最大値が７
ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ
＝２（ｘ²＋２ｘ）＋ｃ
＝２｛（ｘ＋１）²－１｝＋ｃ
＝２（ｘ＋１）²－２＋ｃ
下に凸、軸ｘ＝－１
－２≦ｘ≦１より
軸は定義域の中にある
ｘ＝１のほうが軸から遠い位置にあるから
ｘ＝１のとき、最大値ｙ＝７をとる
よって
７＝２・１²＋４・１＋ｃ
７＝６＋ｃ
ｃ＝１
2）
ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ
（０≦ｘ≦３）の最小値が－５
ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ
＝－（ｘ²－２ｘ）＋ｃ
＝－｛（ｘ－１）²－１｝＋ｃ
＝－（ｘ－１）²＋１＋ｃ
上に凸、軸ｘ＝１
０≦ｘ≦３より
軸は定義域の中にある
ｘ＝３のほうが軸から遠い位置にあるから
ｘ＝３のとき、最小値ｙ＝－５をとる
よって
－５＝－３²＋２・３＋ｃ
－５＝－３＋ｃ
ｃ＝－２
問題
ａ＞０とする。関数ｙ＝ａｘ²－４ａｘ＋ｂ（０≦ｘ≦５）の最大値が15で、最小値が－３であるとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。
ｙ＝ａｘ²－４ａｘ＋ｂ
＝ａ（ｘ²－４ｘ）＋ｂ
＝ａ｛（ｘ－２）²－４｝＋ｂ
＝ａ（ｘ－２）²－４ａ＋ｂ
ａ＞０より、下に凸
軸は、ｘ＝２
０≦ｘ≦５より
軸は定義域の中にある
ｘ＝５のほうが軸から遠い位置にあるから
ｘ＝５のとき、最大値ｙ＝15をとる ①
また、
ｘ＝２のとき、最小値ｙ＝－３をとる ②
①より
15＝ａ・３²－４ａ＋ｂ
５ａ＋ｂ＝15 ③
②より
－３＝ａ・０²－４ａ＋ｂ
－４ａ＋ｂ＝－３ ④
③－④より
９ａ＝18 ａ＝２
③に代入
10＋ｂ＝15 ｂ＝５
よって、
ａ＝２、ｂ＝５
問題
ｘの２次関数ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３ｍの最小値をｋとする。
1）ｋをｍの式で表せ。
2）ｋが－４であるとき、ｍの値を求めよ。
3）ｋの値を最大にするｍの値と、ｋの最大値を求めよ。
1）
ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３ｍ
＝（ｘ＋ｍ）²－ｍ²＋３ｍ
下に凸、軸ｘ＝－ｍ
ｘ＝－ｍのとき、最小値ｋをとる
よって、
ｋ＝（－ｍ＋ｍ）²－ｍ²＋３ｍ
ｋ＝－ｍ²＋３ｍ
2）
ｋ＝－４より
－４＝－ｍ²＋３ｍ
ｍ²－３ｍ－４＝０
（ｍ－４）（ｍ＋１）＝０
ｍ＝４，－１
3）
ｋ＝－ｍ²＋３ｍより
ｋはｍの２次関数である
ｋ＝－（ｍ²－３ｍ）
＝－［｛ｍ－（3/2）｝²－（9/4）｝
＝－｛ｍ－（3/2）｝²＋（9/4）
上に凸、頂点（3/2，9/4）
よって、
ｍ＝3/2のとき、最大値9/4
放物線は左右対称
👉軸から最も遠い位置にある点が最大・最小
ｙ＝ｘ²（－３≦ｘ≦１）
下に凸（比例定数ａ＞０）
軸から最も遠い点👉最大
軸 ｘ＝０
定義域 －３≦ｘ≦１
軸の０から最も遠いのはｘ＝－３
ｘ＝－３のとき、ｙが最大
ｙ＝（－３）²＝９
グラフの高低で見る
いちばん高い（最大）
ｘ＝－３のとき、ｙ＝９
いちばん低い（最小）
ｘ＝０のとき、ｙ＝０
👉値域 ０≦ｙ≦９
ｙ＝－ｘ²（－２≦ｘ≦０）
上に凸（比例定数ａ＜０）
軸から最も遠い点👉最小
軸 ｘ＝０
定義域 －２≦ｘ≦０
軸の０から最も遠いのはｘ＝－２
ｘ＝－２のとき、ｙが最小
ｙ＝－（－２）²＝－４
グラフの高低で見る
いちばん高い（最大）
ｘ＝０のとき、ｙ＝０
いちばん低い（最小）
ｘ＝－２のとき、ｙ＝－４
👉値域 －４≦ｙ≦０
原点以外の頂点（平方完成したとき）
ｙ＝２ｘ²＋６ｘ＋３
（－３≦ｘ≦０）
ｙ＝２（ｘ²＋３ｘ）＋３
＝２｛ｘ＋（3/2）｝²－（3/2）
下に凸（比例定数ａ＞０）
軸から最も遠い点👉最大
軸 ｘ＝－3/2
定義域 －３≦ｘ≦０
軸の－3/2から最も遠いのは
ｘ＝－３とｘ＝０ ※－3/2は中間にある
ｘ＝－３、ｘ＝０のとき、ｙが最大
ｘ＝－３のとき
ｙ＝２・（－３）²＋６・（－３）＋３
＝18－18＋３＝３
ｘ＝０のとき
ｙ＝２・０²＋６・０＋３＝３
グラフの高低で見る
いちばん高い（最大）
ｘ＝－３、０のとき、ｙ＝３
いちばん低い（最小）
ｘ＝－3/2のとき、ｙ＝－3/2
👉値域 －3/2≦ｙ≦３
ｙ＝－３ｘ²＋３ｘ＋１
（１≦ｘ≦２）
ｙ＝－３ｘ²＋３ｘ＋１
＝－３｛ｘ－（1/2）｝²＋（7/4）
上に凸（比例定数ａ＜０）
軸から最も遠い点👉最小
軸 ｘ＝1/2
定義域 １≦ｘ≦２
軸の1/2から最も遠いのはｘ＝２
ｘ＝２のとき、ｙが最小
ｘ＝２のとき
ｙ＝－３・２²＋３・２＋１＝－５
グラフの高低で見る
いちばん高い（最大）
ｘ＝１のとき、ｙ＝１
いちばん低い（最小）
ｘ＝２のとき、ｙ＝－５
👉値域 －５≦ｙ≦１
※ｙの値を求めるとき、平方完成した式に代入すると計算手順が簡単になる場合もある。
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
この塾で本当に良かった！
通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
自分から進んで勉強しています！
入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
目標の中学受験
苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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