グラフ上の図形問題の解き方

たむかい学習教室
7月21日
読了時間: 7分

グラフ上の図形問題の解き方

中３受験生　要チェック問題

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中学３年生は、１回目の入試対策模試（実力テスト）が終わり、塾生にはテスト解説を行っています。数学の入試問題の傾向として、関数のグラフをもとにした「図形の面積」を求める問題が、本県の高校入試に毎年出題されています。２年生までに学習した比例・反比例や一次関数のグラフと、これから学習する二次関数のグラフを組み合わせた形の出題が多く、特に受験生の皆さんは、式の意味や座標軸の見方を今一度確認しておく必要があります。

問題

下の図で、①は関数ｙ＝ａ／ｘのグラフ、②は関数ｙ＝ｘのグラフである。２点Ａ、Ｂは①上の点で、点Ａの座標は（－１，８）で、点Ｂのｘ座標が４である。また、点Ｃは②上の点で線分ＣＢはｘ軸と平行である。点Ｄは直線ＡＢと②の交点であり、点Ｅは直線ＡＢとｙ軸との交点である。あとの各問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線ＡＢの式を求めなさい。

3）点Ｄの座標を求めなさい。

4）△ＤＥＯの面積は、△ＢＣＤの面積の何倍か、求めなさい。

★問題のつくり・構成

小問それぞれが関係している問題のつくりになっています。

この問題では、小問(1)の「ａの値」を使うと、(2)の「ＡＢの式」を求めることができます。(2)と(3)、(3)と(4)にも同じことが言えます。

★問題を解く前に

解き始める前には、初めの問題文に出てくる「式」や「座標の値」などの情報を、グラフ上に書き込みます。これが、問題を解くために必要な手がかりとなります。

また、「～と平行・垂直」「～との交点」など、問題文の中には数字や文字以外にも必要な情報が入っていることが多く、それらの文言にアンダーラインを引いたりしながら、ていねいに読み進めることを心がけます。

問題の解説

1）

点Ａは①上の点だから

ｙ＝ａｘに、（－１，８）を代入

－ａ＝８

ａ＝－８

2）

点Ｂは①上の点だから

ｙ＝－８／ｘに、ｘ＝４を代入

ｙ＝－８／４

　＝－２

Ａ（－１，８）　Ｂ（４，－２）

ｘの増加量　４－（－１）＝５

ｙの増加量　－２－８＝－10

変化の割合　－10／５＝－２

切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂに、（４，－２）を代入

－８＋ｂ＝－２

ｂ＝６

よって、ｙ＝－２ｘ＋６

3）

②の式　ｙ＝ｘ

ＡＢの式　ｙ＝－２ｘ＋６

２つの式から

ｘ＝－２ｘ＋６

３ｘ＝６

ｘ＝２　ｙ＝２

よって、（２，２）

4）

△ＤＥＯの底辺をＥＯ、高さをＤからＥＯへの垂線とする。

Ｅのｙ座標は６だから

底辺ＥＯは、６－０＝６

Ｄのｘ座標は２だから

高さは、２－０＝２

△ＤＥＯ

＝６×２×1/2

＝６

△ＢＣＤの底辺をＣＢ、高さをＤからＣＢへの垂線とする。

点Ｃのｙ座標はＢと同じ－２

Ｃは②上の点だからｘ＝－２

底辺ＣＢは、４－（－２）＝６

点Ｄのｙ座標が２、ＢとＣのｙ座標が－２だから

高さは、２－（－２）＝４

△ＢＣＤ

＝６×４×1/2

＝12

△ＤＥＯ÷△ＢＣＤ

＝６÷12

＝1/2

よって、1/2倍

三角形の面積を求める問題

★底辺を決める

○ ｘ軸・ｙ軸に平行

○ 直線の式に平行

○ 軸や直線が三角形の１辺

※直線の式

　ｘ＝ａ、ｙ＝ａ

　ｙ＝ａｘ、ｙ＝ａｘ＋ｂ

★高さを決める

○ ｘ軸・ｙ軸に垂直

○ ｘ＝ａ、ｙ＝ａに垂直

★辺の長さは、座標の値から、

「大きい値－小さい値」で求める

※文字を使った座標も同じ表し方

①　ｙ＝－８／ｘ

②　ｙ＝ｘ

直線ＡＢ　ｙ＝－２ｘ＋６

Ａ（－１，８）　Ｂ（４，－２）　Ｃ（－２，－２）　Ｄ（２，２）

例

△ＡＢＣの面積を求める場合

底辺　ＢＣ👈ｘ軸に平行

高さ　ＡからＢＣヘの垂線👈ｙ＝－２に垂直

底辺ＢＣの長さ

Ｂのｘ座標４、Ｃのｘ座標－２

ＢＣ

＝４－（－２）＝６　①

高さ

点Ａと線分ＢＣとの距離

Ａのｙ座標８、Ｂのｙ座標－２

高さ

＝８－（－２）＝10　②

①、②から

1/2×６×10

＝30

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