一次関数のグラフと図形の面積
(中学数学 1/14授業解説)

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日(1/14)から、小学生・中高生ともに3学期がスタートしました。冬休みの講習で、塾生から特に多かった質問が、数学の「グラフ上の図形」に関する内容でした。本県の公立高入試では、例年この問題が出題されています。文字を使った座標で辺の長さを表したり、補助線を引いて面積を求める問題などです。ふだんからいろいろなタイプの問題を解いていくことで、着目すべきポイントが見えていきます。
★連立方程式と交点
問題
下の図の2直線ℓ、mの交点をPとする。あとの各問いに答えなさい。

1)直線ℓ、mの式を求めなさい。
2)交点Pの座標を求めなさい。
3)直線ℓ、mとx軸との交点をそれぞれA、Bとして、△PABの面積を求めなさい。
1)
解き方①
ℓの式
x増加量:0-(-5)=5
y増加量:5-0=5
傾き:5/5=1
切片は5だから、
y=x+5
mの式
x増加量:4-0=4
y増加量0-2=ー2
傾き:ー2/4=ー1/2
切片は2だから、
y=ー1x/2+2
解き方②
ℓの式
傾きをaとする。切片は5だから、
y=ax+5
(ー5,0)を通るから、x=ー5、y=0を代入
a=1
よって、y=x+5
mの式
傾きをcとする。切片は2だから、
y=cx+2
(4,0)を通るから、x=4、y=0を代入
c=ー1/2
よって、y=ー1x/2+2
2)
1)の2式より、
x+5=ー1x/2+2
2x+10=ーx+4
3x=ー6
x=ー2
y=x+5に、x=ー2を代入
y=ー2+5=3
よって、(ー2,3)
3)
底辺をAB、高さを点Pからx軸までの距離(垂線)とする。
辺AB
4-(-5)=9 ←x座標間
高さ
3-0=3 ←y座標間
よって、△PABの面積は、
1/2×9×3=27/2


★面積が等しい三角形
問題
下の図1のように、4点A(4,10)、B(4,4)、C(19,4)、D(19,10)を頂点とする長方形ABCDと、直線ℓのy=ax+22がある。直線ℓは、長方形ABCDの辺BCと交わり、その交点をEとする。あとの各問いに答えなさい。

1)下の図2のように、直線ℓが頂点Aを通るとき、次の①、②に答えなさい。
① aの値を求めなさい。
② 点Eの座標を求めなさい。

①
直線ℓは点Aを通るから、y=ax+22に(4,10)を代入する。
10=4a+22
a=ー3
②
点Eのy座標は点Bと同じ4
①より、y=ー3x+22にy=4を代入
4=ー3x+22
x=6
よって、(6,4)
2)下の図3のように、辺DCの中点をMとして、点Eと2点A、Mをそれぞれ結び、△ABEと△MECをかいたところ、2つの三角形が等しくなった。これについて、次の①、②に答えなさい。
① 点Eの座標を求めなさい。
② 直線ℓは辺ADと交わる。図3のように、その交点をFとするとき、点Fの座標を求めなさい。

①
点Eのx座標をtとする
△ABEの面積
底辺BE=t-4(x座標間)
高さAB=10ー4=6(y座標間)
1/2×(t-4)×6
=3(t-4)
△MECの面積
底辺CE=19ーt(x座標間)
高さMC=1/2×AB=3
1/2×(19ーt)×3
3/2(19ーt)
△ABE=△MECより、
3(t-4)=3/2(19ーt)
6(t-4)=3(19ーt)
6tー24=57ー3t
9t=81
t=9(点Eのx座標)
また、点Eのy座標は点Bと同じ4
よって、(9,4)
②
y=ax+22に(9,4)を代入
4=9a+22
a=ー2
ℓの式は、y=ー2x+22
点Fのy座標は点Aと同じ10だから、
y=ー2x+22にy=10を代入
10=ー2x+22
x=6
よって、(6,10)
★面積が等しい三角形と四角形
問題
下の図で、点A、B、C、Dの座標はそれぞれ(0,-1)、(4,5)、(0,3)、(0,6)であり、直線ℓは点Bを通り、傾きがー1の直線である。この直線ℓ上に点Pをとったところ、△APDの面積と四角形APBCの面積が等しくなった。このとき、点Pの座標を求めなさい。ただし、点Pのx座標は4より大きいものとする。

直線ℓの式を求める
切片をbとして、y=ーx+bに(4,5)を代入
b=9
直線ℓの式は、y=ーx+9
直線ℓとy軸との交点をEとする
四角形APBC=△PAEー△BCE ①
求める点Pのx座標をtとする
△PAEの面積
底辺AE 9-(-1)=10
高さ t-0=t ←点Pからy軸までの距離(垂線)
1/2×10×t=5t ②
△BCEの面積
底辺CE 9-3=6
高さ 4-0=5 ←点Bからy軸までの距離
1/2×6×4=12 ③
①、②、③より、
四角形APBCの面積
=5t-12 ④
また、△APDの面積は、
底辺AD 6-(-1)=7
高さ t-0=t
1/2×7×t=7t/2 ⑤
④=⑤より、
5t-12=7t/2
10tー24=7t
3t=24
t=8(Pのx座標)
ℓの式y=ーx+9に、x=8を代入
y=1
よって、(8,1)


「一次関数の図形」練習問題
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2025.1.15 一次関数のグラフと図形の面積(中学数学 1/14授業解説)