三角形の合同
11/18 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（11/18）は、中学２・３年生に定期考査の解説を行いました。当地区の中学校では、学校運営の見直しなどもあり、ここ数年で定期考査の回数を減らす動きが出てきています。テスト１回ごとの出題範囲が広くなり、中学生は、ふだんから計画的に復習を進めることが必要とされてきています。
★三角形の合同（中２数学）
問題
下の図のように、正方形ＡＢＣＤ、ＥＣＦＧがあり、点Ｅは辺ＡＢ上にあって、辺ＡＤと辺ＥＧとの交点をＨとする。また、点Ｄと点Ｆを線分で結ぶ。あとの各問いに答えなさい。
（１）△ＥＢＣと△ＦＤＣが合同になることを証明しなさい。
△ＥＢＣと△ＦＤＣにおいて、
四角形ＡＢＣＤとＥＣＦＧは、ともに正方形だから
ＢＣ＝ＤＣ ①
ＥＢ＝ＦＤ ②
∠ＥＣＢ＝90°ー∠ＤＣＥ ③
∠ＦＣＤ＝90°ー∠ＤＣＥ ④
③、④より、
∠ＥＣＢ＝∠ＦＣＤ ⑤
①、②、⑤から
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＥＢＣ≡△ＦＤＣ
（２）ＥＢ＝６cm、ＢＣ＝８cm、ＥＣ＝１０cmのとき、線分ＨＤの長さを求めなさい。
ＨＥ//ＦＣより、
△ＥＦＣ＝△ＨＦＣ
※点ＨとＣを結ぶ補助線を引くと、共通の底辺ＦＣをもち、それぞれ高さが等しい２つの三角形ができる（等積変形）。
△ＥＦＣ
＝１／２×１０×１０＝５０
求めるＨＤをｘとすると、
△ＨＦＣ
＝１／２×（ｘ＋６）×８
以上から、
ｘ＝１３／２ ＨＤ＝１３／２(cm)
★三角形の相似（中３数学）
問題
ＡＤ//ＢＣの台形ＡＢＣＤで、対角線の交点Ｐを通り、ＢＣに平行な直線を引き、ＡＢ、ＤＣとの交点をそれぞれＱ、Ｒとする。あとの各問いに答えなさい。
（１）△ＰＤＡと△ＰＢＣの面積比を求めなさい。
△ＰＤＡと△ＰＢＣ
ＡＤ//ＢＣより、∠ＰＤＡ＝∠ＰＢＣ（錯角）
また、∠ＤＰＡ＝∠ＢＰＣ（対頂角）
よって、△ＰＤＡ∽△ＰＢＣ
ＡＤ＝２cm、ＢＣ＝３cmだから、
△ＰＤＡと△ＰＢＣの相似比は２：３
これより、面積比は４：９
◎相似比：長さの比
◎面積比：相似比の２乗
（２）△ＡＢＰと△ＰＢＣの面積比を求めなさい。
ＡＰとＰＣを底辺とする
△ＡＢＰと△ＰＢＣは高さが同じ
↓
ＡＰとＰＣの底辺比が面積比になる
ＡＰ：ＰＣ＝２：３だから
△ＡＢＰ：△ＰＢＣ＝２：３
◎２つの三角形の高さが同じ
⇒ 底辺比＝面積比
（３）台形ＡＢＣＤの面積は、△ＰＢＣの面積の何倍ですか。
（１）から、
△ＰＤＡ＝４
△ＰＤＡ：△ＰＢＡ＝２：３
４：△ＰＢＡ＝２：３
△ＰＢＡ＝６
また、
△ＰＤＡ：△ＰＤＣ＝２：３
４：△ＰＤＣ＝２：３
△ＰＤＣ＝６
（１）から、
△ＰＢＣ＝９
よって、台形ＡＢＣＤ＝２５
台形ＡＢＣＤ÷△ＰＢＣ＝２５／９倍
三角形の合同条件
◎３組の辺がそれぞれ等しい
◎２組の辺とその間の角 〃
◎１組の辺とその両端の角 〃
直角三角形の合同条件
◎斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
◎斜辺と１つの鋭角 〃
三角形の相似条件
◎３組の辺の比がそれぞれ等しい
◎２組の辺の比とその間の角 〃
◎２組の角 〃
★関数の動点問題（中２数学）
問題
下の図のように、長方形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝３cm、ＢＣ＝４cmである。点Ｐは、Ａを出発して、辺上を毎秒１cmの速さで動き、ＢからＣを通ってＤで停止する。また、点ＰがＡを出発してからｘ秒後の△ＡＰＤの面積をｙcm²とする。あとの各問いに答えなさい。
（１）点Ｐが辺ＡＢ上を動くとき、ｘとｙの関係を式に表しなさい。
辺ＡＤを底辺とすると、
底辺ＡＤ＝４
高さＡＰ＝ｘ
ｙ＝１／２×４×ｘ
ｙ＝２ｘ
（２）点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき、ｘとｙの関係を式に表しなさい。
ＢＣ上では、点Ｐがどこを動いても△ＡＰＤの高さは変わらない
底辺ＡＤ＝４
高さ＝３
ｙ＝１／２×４×３
ｙ＝６
（３）点Ｐが辺ＣＤ上を動くとき、ｘとｙの関係を式に表しなさい。
点ＰはＣＤ上までｘcm動いたから、残りのＤＰは、ＡからＤまでの合計１０cmからｘcmを引いた長さ
よって、ＤＰ＝１０－ｘ
辺ＡＤを底辺とすると、
底辺ＡＤ＝４
高さＤＰ＝１０－ｘ
ｙ＝１／２×４×（１０－ｘ）
ｙ＝ー２ｘ＋２０
（４）△ＡＰＤが４cm²になるのは、点ＰがＡを出発してから何秒後か。すべて求めなさい。
面積はｙの値
（１）の式に代入
４＝２ｘ ｘ＝２
（３）の式に代入
４＝ー２ｘ＋２０ ｘ＝８
よって、２秒後と８秒後
◎動点問題のポイント
時間と距離を分ける
毎秒１cm：ｘ秒間にｘcm動く
毎秒２cm：ｘ秒間に２ｘcm動く
毎秒３cm：ｘ秒間に３ｘcm動く
三角形の面積は、「底辺」と「高さ」
ｙ＝１／２×底辺×高さ
それぞれの三角形を書いてみる
左右逆向き、上下逆向きの三角形ができるとき
ゴールまでの長さから、進んだ分の〇ｘ(cm)を引く
⇒底辺または高さになる
※同じ辺を往復する問題も同じ計算
問題文の読み方とポイント
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八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 工大二高附属中 階上中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生31名（2024年11月現在）
塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
（中学３年）
数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
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今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
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2024.11.19 三角形の合同 (11/18 授業解説）