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位の数を入れかえる

(中学数学 1/20授業解説)

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

昨日(1/20)は、小学生に国語の授業、中高生に数学と英語の授業を行いました。中学数学では、文章題から数式を組み立てる学習があります。文字数の多い長文から、必要となる情報を抜き出して整理することがポイントになります。


位の数を入れかえるとは?

2けたの整数には、「十の位の数」と「一の位の数」があります。例えば「23」なら、十の位の数は「2」、一の位の数は「3」です。

また、23という数は十の位が「2」、一の位が「3」なので、「10×2+1×3」という式からできている数字です。


この式を文字で表す場合、十の位を「x」、一の位を「y」とすると、

10×x+1×y=10x+y

「10x+y」と表すことができます。

 ↓

位の数を入れかえた場合は、十の位が「y」、一の位が「x」になるので、

10×+1×10

「10y+x」と表すことができます。


問題

2けたの正の整数がある。

この整数の十の位の数と一の位の数を入れかえた整数をつくる。

もとの整数を5倍した数と、もとの整数の十の位の数と一の位の数を入れかえてできる整数を4倍した数との和をNとする。

このとき、Nは9の倍数であることを、文字式を使って説明しなさい。

ポイント

2けたの正の整数

十の位を「x」、一の位を「y」

10x+y

位の数を入れかえた整数

十の位が「y」、一の位が「x」

10y+x

もとの整数(①)を5倍した数と、位の数を入れかえた整数(②)を4倍した数との和

→ ①×5+②×4

(10x+y)×5+(10y+x)×4


<説明>

2けたの整数の十の位の数をx、一の位の数をyとすると、

10x+y ①

もとの整数の位の数を入れかえてできる整数は、

10y+x ②

①、②より、

N=5(10x+y)+4(10y+x)

 =54x+45y

 =9(6x+5y)

6x+5yは正の整数だから、Nは9の倍数である。

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連立方程式を立てる問題

問題

2けたの自然数がある。この自然数の十の位の数の3倍は、一の位の数より2大きい。また、この自然数の2倍は、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数より1大きくなる。もとの自然数はいくらか。もとの自然数の十の位の数をx、一の位の数をyとして求めなさい。

自然数=正の整数

十の位の数の3倍は、一の位の数より2大きい

3x=y+2 ①

この自然数の2倍は、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数より1大きくなる

2(10x+y)=(10y+x)+1 ②

①より、y=3x-2

②より、19x-8y=1

代入法より、

19xー8(3x-2)=1

ー5x+16=1

ー5x=ー15

x=3

y=3×3ー2=7

よって、もとの自然数は37

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受験生の入試対策(私立高入試過去問)

円周角

問題

下の図のように、△ABCの各頂点および、点D、Eは、辺ABを直径とする円Oの周上にあり、∠CAB=30°、A⌒E=B⌒E、DE//CBである。弦ACと弦DEとの交点をFとする。AB=6cmとして、あとの各問いに答えなさい。

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1)点Bを含むC⌒Eの長さを求めなさい。ただし、円周率はπとする。

△OACで、OA=OC(半径)より、

∠OCA=∠OAC=30°

内角と外角の関係より、

∠COB=∠OCA+∠OAC=60° ①

直径ABとA⌒E=B⌒Eより、

∠BOE=90° ②

∠COE=①+②=150°

よって、C⌒Eの長さは、

2π×3×150°/360°

5π/2 cm


2)△CFD≡△EFAであることを次のように証明した。ア~オにあてはまる最も適する言葉や数を答えなさい。

△CFDと△EFAにおいて

( ア )は等しいので、

∠CFD=∠EFA ①

A⌒Dに対する( イ )は等しいので、

∠DCF=∠AEF ②

∠CFE=( ウ )°、∠ACE=( エ )°より、

△CFEは( オ )三角形なので、

CF=EF ③

①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

△CFD≡△EFA

ア:対頂角

イ:円周角

ウ:90°

△ABCで、∠ACB=90°(直径の円周角)より、

∠CBA=180°ー30°ー90°=60°

直径ABと弦DEとの交点をGとする

DE//CBより、

∠CBA=∠BGE=60°

△AFGの内角と外角の関係より、

∠CFE=30°+60°=90°

エ:45°

1)より、∠AOE=90°

∠ACE

=∠AOE×1/2

=90°×1/2=45°

オ:直角二等辺

∠CEF=45°より、FC=FE

★証明の問題では、「対頂角」「錯角」「同位角」「円周角」「共通な角」など、それぞれの角の意味を押さえておくことが必要になります。

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3)△CFDの周の長さを求めなさい。

∠ACE=∠CED=45°より、

A⌒E=C⌒D、弦AE=弦CD

△AOEで、直角三角形の辺の比より、

OA:AE=1:√2

3:AE=1:√2

AE=3√2cm

よって、CD=3√2cm ①

△ABCで、直角三角形の辺の比より

AB:AC=2:√3

6:AC=2:√3

AC=3√3cm ②

A⌒E=C⌒Dより、∠ADE=∠CAD

△FADはFA=FDの二等辺三角形

AC=CF+FDとなるから、△CFDの周の長さは、CD+AC

①+②より、

3√2+3√3 cm

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「文章題・式の組み立て」練習問題




「円周角」練習問題





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合格実績(開塾2年 2023-24)

八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学


指導実績

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八戸東高 八戸北高

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今年度塾生32名(2025年1月現在)

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塾生の声

「苦手意識が ”自信” に変わりました」

(中学3年)

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数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。


「体験学習から受験合格へ」

(小学6年)

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今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。


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2025.1.21 位の数を入れかえる(中学数学 1/20授業解説)

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