面積と体積 中学数学
（1/6 授業解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（1/6）は、小学生、中学生、高校生に授業を行いました。冬休みということもあり、塾生の多くが２学期の復習や受験対策を行っています。
★円すいの表面積（中１）
問題
１）下の円すいで、側面を展開してできるおうぎ形の中心角を求めなさい。
２）表面積を求めなさい。
１）
おうぎ形の弧は、底面の円周に等しいから、
２π×８＝16π cm
おうぎ形の弧は、半径15cmの円周の一部分になる。
２π×15＝30π cm
おうぎ形の角度と面積は、半径15cm円の16／30の大きさになる。
よって、
360°×16／30＝192°
別解①
360°：30＝ｘ°：16
ｘ＝192°
別解②
中心角＝360°×底面積の半径／母線の長さ
360°×8／15＝192°
２）
表面積＝側面積＋底面積
側面積（おうぎ形の面積）
π×15²×16／30＝120π cm²
底面積
π×８²＝64π cm²
120π＋64π＝184π cm²
別解
おうぎ形の面積＝1／2×弧の長さ×母線の長さ
1／2×16π×15＝120π cm²
底面積
π×８²＝64π cm²
120π＋64π＝184π cm²
★面積・２次方程式（中３）
問題
下の図は、∠Ｃ＝90°の直角三角形ＡＢＣで、ＡＤ＝ＥＣである。△ＤＥＣの面積が△ＡＢＣの面積の１／４であるとき、ＡＤの長さをすべて求めなさい。
△ＡＢＣの面積
１／２×６×８＝24cm²
△ＤＥＣの面積
24×１／４＝６cm² ①
ＡＤ＝ＥＣ＝ｘcmとする
△ＤＥＣの底辺をＥＣ、高さをＤＣとする
ＥＣ＝ｘcm
ＤＣ＝（８－ｘ）cm
△ＤＥＣ＝６cm²から、
１／２×ｘ×（８－ｘ）＝６
ｘ²ー８ｘ＋１２＝０
（ｘ－２）（ｘ－６）＝０
ｘ＝２，６
０＜ｘ≦６より、２cmと６cm
問題
下の図のように、線分ＯＡを１辺とする正方形がある。辺ＯＡ上にＡＢ＝１cm、ＡＣ＝２cmとなるように２点Ｂ、Ｃをとり、ＯＡを１辺とする正方形と同じ側に、２つの線分ＯＢ、ＯＣを１辺とする正方形をそれぞれつくる。色付き部分の面積がそれぞれ等しくなるとき、ＯＣの長さを求めなさい。
ＯＣ＝ｘcmとする
ＯＣを１辺とする正方形
ｘ×ｘ＝ｘ² ①
ＯＢを１辺とする正方形
（ｘ＋１）×（ｘ＋１）
＝ｘ²＋２ｘ＋１ ②
ＯＡを１辺とする正方形
（ｘ＋２）×（ｘ＋２）
＝ｘ²＋４ｘ＋４ ③
①＝③ー②だから、
ｘ²＝（ｘ²＋４ｘ＋４）ー（ｘ²＋２ｘ＋１）
ｘ²＝２ｘ＋３
ｘ²ー２ｘー３＝０
（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０
ｘ＝３，－１
ｘ＞０より、ｘ＝３
よって、ＯＣ＝３cm
別解
★異なる立体の体積（中１）
問題
下の図のように、円柱の形をした容器に鉄の球を入れた。容器の底面の半径は４cm、高さは８cmであり、球の半径は３cmである。この状態の容器を水平面に置き、容器の底面からはかった水面の高さが６cmになるように水を入れた。あとの各問いに答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。
１）容器の容積を求めなさい
２）球の体積を求めなさい。
３）容器に入っている水をこぼさないようにして、容器から球を取り出したとき、取り出したあとの容器の底面からはかった水面の高さを求めなさい。
１）
円柱の体積＝底面積×高さ
π×４²×８＝１２８π cm³
２）
球の体積＝４／３πｒ³（ｒ＝半径）
４／３π×３³＝３６π cm³
３）
水の体積から球の体積を引く
水の体積
π×４²×６＝９６π cm³
９６πー３６π＝６０π cm³
円柱の体積１２８πのうちの６０π分になるから、
高さ８cm × 60／128
＝15／４ cm
別解①
求める高さをｘcmとする
ｘ：８＝60：128
128ｘ＝480
ｘ＝15／４ cm
別解②
求める高さをｘcmとする
底面積×高さ＝６０πとなればよいから、
π×４²×ｘ＝６０π
１６πｘ＝６０π
ｘ＝15／４cm
問題
下の図１のように、底面が縦１２cm、横２０cmの長方形で、深さが９cmの直方体ABCD-EFGHの容器に水が満たしてある。図２のように、この容器を傾けて、水面が頂点H、A、Fを通る平面になるように水をこぼした。そして、図３のように、この容器を面EFGHが底面となるように水平な机の上に置いた。このとき、容器に残った水の深さを求めなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。
図２の三角すいの体積が、残った水の体積になる。
１／３×底面積×高さ
１／３×（12×20×1/2）×９
＝360 cm³
図３の求める深さをｘcmとする
底面積×深さ＝残った水の体積だから、
（12×20）×ｘ＝360
240ｘ＝360
ｘ＝３／２ cm
★角度の求め方（中２）
問題
下の図の△ABCで、AD＝BD＝CDである。∠ABC＝２９°のとき、∠ACDの大きさを求めなさい。
AD＝BDから、△DABは二等辺三角形
∠DBA＝∠DAB＝29°
△DABで、
∠ADC＝∠DBA＋∠DAB（外角）
∠ADC＝29°＋29°＝58°
AD=CDから、△ADCは二等辺三角形
∠ACD
＝（180°ー58°）÷２
＝６１°
問題
下の図のように、AD//BC、AD＝CDの台形がある。∠ｘの大きさを求めなさい。
AD//BCより、
∠ADE＝∠EBC＝31°（錯角）
AD＝CDより、△DACは二等辺三角形
∠ADC＝77°＋31°＝108°
∠DAE
＝（180°ー108°）÷２
＝36°
△AEDで、
∠ｘ＝∠ＤＡＥ＋ＡＤＥ（外角）
∠ｘ＝36°＋31°＝67°
問題
下の図で、AB＝CA、BD＝AE、∠ABD＝∠CAE＝６０°である。このとき、∠CFDの大きさを求めなさい。
△ABDと△CAEで、
AB＝CA ①
BD＝AE ②
∠ABD＝∠CAE＝６０° ③
①、②、③から、
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△CAE
このことから、
∠BAD＝∠ACE
△ＡＣＦで、
∠ＣＡＦ＝６０°ー∠ＢＡＤ
∠ＡＣＦ＝∠ＢＡＤ
∠ｘ＝∠ＣＡＦ＋∠ＡＣＦ（外角）
∠ｘ＝６０°ー∠ＢＡＤ＋∠ＡＣＦ
∠ｘ＝６０°
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2025.1.7 面積と体積 中学数学（1/6 授業解説）