2025年 高専入試数学 解説

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
当市には国立高専があり、今年も中3塾生が高専入試に挑戦しました。今月(2月)行われた学力試験では、当塾の塾生が合格を果たしました!
ここでは、数学の本試験問題について解説します。
2025年高専入試・本試験

1)
11/16ー(ー3/8)²÷1/4
=11/16ー9×4/64
=11/16ー9/16
=1/8
2)
2xーy=2 ①
x+2y=6 ②
①ー②×2
2x-y=2
ー)2x+4y=12
ー5y=ー10
y=2
①に、y=2を代入
2x-2=2
x=2
x=2、y=2を、ax+y=4とx+by=8にそれぞれ代入
2a+2=4
a=1
2+2b=8
b=3
3)
x=2のとき、y=5
x=5のとき、y=2
xの増加量 5-2=3
yの増加量 2-5=ー3
変化の割合は、
ー3/3=ー1

4)
x=ー1のとき、y=ー3(最小)
x=1のとき、y=ー1
x=0のとき、y=1(最大)
以上から、ー3≦y≦1
よって、ⓑ
5)
√abが整数となる確率
abの値が自然数の2乗になるとき
ab=1²=1
ab=2²=4
ab=3²=9
ab=4²=16
ab=5²=25
ab=6²=36
以上から、
(a,b)=
(1,1)(2,2)(1,4)(4,1)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)
よって、
8/36=2/9
(a+b)/2=√abになる確率
a+bの値が偶数、√abが自然数になるとき
(a,b)=
(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)
よって、
6/36=1/6
6)
3点 5人
5点 1人
7点 3人
10点 1人
以上から、最頻値は3点
出場者10人を得点順に並べると、
3,3,3,3,3,5,7,7,7,10
中央値は、(3+5)÷2=4
平均値は、
(3×5+5×1+7×3+10×1)÷10
=51÷10
=5.1
よって、ⓐ

7)
BQ:QP=2:1より、
△BQR:△PQR=2:1
よって、
△BRP=3△PQR ①
AP:PR=1:1より、
△BAP:△BRP=1:1
よって、
△ABR=2△BRP ②
①、②より、
△ABR=6△PQR ③
CR:RQ=3:1より、
△PCR:△PQR=3:1
よって、
△PCR=3△PQR ④
△PCR:△ACP=1:1より、
△ACP=3△PQR ⑤
CR:RQ=3:1より、
△BCR:△BQR=3:1
よって、
△BCR=3△BQR ⑥
△BQR:△PQR=2:1より、
△BQR=2△PQR ⑦
⑥、⑦より、
△BCR=6△PQR ⑧
△ABC=③+④+⑤+⑧より、
△ABC=(6+3+3+6)×△PQR
△ABC=18△PQR
よって、18倍


8)
AD=ABより、
三角錐の底面をCEFとしたとき、高さはABまたはADになる。
また、BE=CE=DF=CFになる。
BE=xcmとする
AB=BC=2xcmだから、△AEBで三平方の定理より、
AE²=AB²+BE²
AE²=4x²+x²
AE²=5x²
AE=√5xcm(AE>0)
△CEFは直角二等辺三角形だから、
CE:EF=1:√2
xcm:EF=1:√2
EF=√2xcm
CE=CF、∠ECG=∠FCGより、
AG⊥EF、EG=FG
EG=EF×1/2=√2x/2cm
△AEGで、三平方の定理より、
AE²ーEG²=AG²
(√5x)²ー(√2x/2)²=(9√2/2)²
5x²ー1x²/2=81/2
10x²ーx²=81
9x²=81
x²=9
x=3cm(X>0)
CE=CF=3cmだから、
△CEF
=3×3×1/2
=9/2cm²
高さAB=6cmだから、三角錐の体積は、
9/2×6×1/3
=9cm²


1)
点Aのy座標を求める
y=1x²/12に、x=6を代入
y=1×6²/12=3
y=a/xに、x=6、y=3を代入
a/6=3
a=18
2)
点Bのx座標は1桁の整数で、6より大きい。
y=18/x上の点だから、
x=9、y=2
3)
A(6,3) B(9,2)
xの増加量 9-6=3
yの増加量 2-3=ー1
傾き ー1/3
切片の値をbとする
y=ー1x/3+bに、(6,3)を代入
ー2+b=3
b=5
よって、y=ー1x/3+5

OC//ABより、△ABC=△AOB ※共通の底辺を持ち、高さが等しい(等積変形)
直線ABとy軸との交点をDとする
△AOB=△BODー△AOD
△BODの底辺をOD、高さを点Bとy軸との距離とする。
△BOD
=5×9×1/2
=45/2
△AODの底辺をOD、高さを点Aとy軸との距離とする。
△AOD
=5×6×1/2
=30/2
△AOB
=45/2ー30/2
=15/2
△ABC=△AOBだから、
△ABC=15/2


1)
線分PQが直径になるから、
A⌒Q:Q⌒B=1:2
∠QOAは半円の1/3の大きさとなるから、
∠QOA=180°×1/3=60°
A⌒Qに対する中心角と円周角より、
∠QBA=∠QOA×1/2
=60°×1/2
=30°
2)
△ABPで、三平方の定理より、
BP²=AB²ーAP²
BP²=(4√5)²ー4²
BP²=64
BP=8(BP>0)
△ABPと△RBOで、
∠APB=∠ROB=90°
∠ABP=∠RBO(共通)
よって、△ABP∽△RBO
対応する辺の比は等しいから、
AP:RO=PB:OB
4:RO=8:2√5
8RO=8√5
RO=OR=√5
△RBOで、三平方の定理より、
RB²=RO²+OB²
RB²=√5²+(2√5)²
RB²=25
RB=5(RB>0)
PR=BP-RBより、
PR=8-5
PR=3

3)
△ARSの面積
四角形APBQで、
線分ABとPQは直径だから、
AO=OB、PO=OQ ①
直径PQの円周角だから、
∠QBP=∠PAQ=90° ②
直径ABの円周角だから、
∠APB=∠BQA=90° ③
①、②、③より、
四角形APBQは長方形になる。
△APB≡△BQAだから、
BQ=AP=4
BP=AQ=8
△ARSの面積を、
長方形APBQー(△ARP+△SRB+△SAQ)として求める。
長方形APBQ
=AP×AQ
=4×8=32 ④
△ARP
=PR×AP÷2
=3×4÷2=6 ⑤
△SRBで、
SB
=QB÷2=4÷2=2
△SRB
=RB×SB÷2
=5×2÷2=5 ⑥
△SAQで、
SQ=SB=2
△SAQ
=AQ×SQ÷2
=8×2÷2=8 ⑦
④ー(⑤+⑥+⑦)より、
△ARS
=32ー(6+5+8)
=13
Sと直線ARとの距離
△ARPで、三平方の定理より、
AR²=AP²+PR²
AR²=4²+3²
AR²=25
AR=5(AR>0)
Sからの垂線とARとの交点をHとし、△ARSの底辺をAR、高さをSH(求める距離)とする。
△ARS=13より
AR×SH×1/2=13
5×SH×1/2=13
SH=26/5

4)
OB=OQより、△OBQは二等辺三角形になる。
BS=QSより、OS⊥BQ
△OBSで、三平方の定理より、
OS²=OB²ーBS²
OS²=(2√5)²ー2²
OS²=16
OS=4(OS>0)
△OBQの中心をO’、求める半径をrとする。
OS=4より、O’S=4-r
△O’BSで、三平方の定理より、
O’S²+BS²=O’B²
(4-r)²+2²=r²
16ー8r+r²+4=r²
8r=20
r=5/2


1)
P〔x,n〕は、xをn乗するから、
P〔ー3,2〕
=(-3)²=9
A〔x,n〕は、xにnを加えるから、
A〔1,3〕
=1+3=4
T〔x,n〕は、xをn倍するから、
T〔4,10〕
=4×10=40
2)
(2x+3)⁴は、xを2倍して3を加えた数を4乗する。
xを2倍する→T〔x,2〕
Tに3を加える→A〔T〔x,2〕,3〕
Aを4乗する→P〔A〔T〔x,2〕,3〕,4〕
よって、i
3)
P〔T〔x,2〕,2〕
=(2x)²
=4x² ①
P〔A〔x,2〕,2〕
=(x+2)² ②
①=②より、
4x²=(x+2)²
4x²=x²+4x+4
3x²ー4xー4=0
(xー2)(3x+2)=0 ※
x=2,ー2/3
※解答欄から「たすきがけ」を使う
解の公式
3x²ー4xー4=0
x=(4±√16+48)×1/6
=(4±8)×1/6
=2,ー2/3
解の公式(bが偶数)
3x²ー4xー4=0
x=(2±√4+12)×1/3
=(2±4)×1/3
=2,ー2/3

1)
1番目
A〔0,3〕
=0+3=3
2番目
A〔A〔0,3〕,3〕
=(0+3)+3=6
3番目
A〔A〔A〔0,3〕,3〕,3〕
={(0+3)+3}+3=9
以上から、m番目の数は、3m
よって、3×50=150
2)
1番目
T〔1,3〕
=1×3=3
2番目
T〔T〔1,3〕,3〕
=(1×3)×3=3²
3番目
T〔T〔T〔1,3〕,3〕,3〕
={(1×3)×3}×3=3³
以上から、m番目の数は、3のm乗
3⁴=81
3⁵=243
3⁶=729
3⁷=2187(初めて4桁になる)
1)より、
3m=2187
m=729
2025年度・塾生募集
【たむかい学習教室】
完全1対1 個別指導

受講開始のご予約は今がチャンス!
完全マンツーマン指導の当塾では、新学期からの受講枠に限りが出てまいります。受講開始のご予約、入塾に関するご相談は、ぜひこの機会に当塾までお問い合わせください。
対象:中学生・高校生、小学4~6年生
★「充実度No.1」★
完全1対1の個別指導
『1対1で分かるまで教えてほしい!!』
『成績アップと志望校合格をめざしたい!!』
多くの生徒さんや親御さんのご期待に、本当の意味でお応えできるよう、当塾では「生徒一人に教師一人」の授業で、塾生の学習を本格的にサポートしております。
塾生のホンネ
「数学や英語が苦手。何から始めたらいい?」
「長い問題文が苦手。どうしたらいい?」
「学校の授業で難しいことが増えてきた」
「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

完全1対1授業でホンネを解決!
★苦手の克服に最適★
★受験に強い個別指導★
★経験豊富な講師の一貫指導★

★苦手の克服に最適★
5教科対応で、各教科苦手にしている学習内容を、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」自信につながります。学校の授業が定着しやくすなり、テストの成績アップも期待できます。
★受験に強い個別指導★
入試の出題範囲は多岐にわたり、受験までの期間には、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全1対1授業の強みです。
★経験豊富な講師の一貫指導★
経歴20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めて受講した生徒さんからも「分かりやすい」と好評です。常に、「生徒の腑に落ちる指導」に努めております。
安心の授業料で本格サポート
★入塾費・高額教材なし★
★お支払いは授業料のみ★

★入塾費・高額教材なし★
入塾費や高額な教材費はございません。また、授業料以外にいただく追加料金も一切ございません。費用の面でも安心して頼れる教室を目指しております。
★お支払いは授業料のみ★
ご入塾後は、毎月お支払いいただく授業料のみで受講いただけます。
<1か月授業料(税込)>
90分授業:14,800円(月4回)
120分授業:17,600円(月4回)
(例)1回・90分授業の場合
教師1名・生徒3名の複数指導
→1名につき30分の個別指導
指導時間は3分の1、実質料金は割高に。
↕
教師1名・生徒1名の完全個別指導
⇒完全90分の個別指導(当塾)
生徒1名に100%の指導時間
親御さんの声
「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」
「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」
「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」
合格実績(開塾2年 2023-24)
八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中 福地中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生32名(2025年2月現在)

塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
(中学3年)

数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
(小学6年)

今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
お申し込み・お問い合わせ
ご相談はお気軽にお尋ねください

電話番号
050-3637-1500
電話受付 10:00-21:00
フォームからは24時間受付
住所
イオン田向店から車で1分
【周辺道路 車での所要時間】
八戸大野線
三陸道是川IC2分
パークホテル5分
八戸環状線
八戸道八戸IC8分
四本松交差点8分
島守八戸線
是川縄文館5分
是川支所7分
2025.2.28 2025年 高専入試数学 解説