私立高入試 数学解説
2025年度
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
先週は私立高入試があり、中３受験生が挑戦しました。週末には、入試問題を通して３月の県立高入試の対策を行いました。
★確率
2025年度・八戸工大二高
大小２個のさいころを同時に投げて、大きい方のさいころの出た目の数をａ、小さい方のさいころの出た目の数をｂとする。座標が（２，ａ）である点をＡ、（４，ｂ）である点をＢとするとき、あとの各問いに答えなさい。
ア 直線ＡＢがｘ軸と平行になる確率を求めなさい。
イ 直線ＡＢの傾きがー１になる確率を求めなさい。
ア
点ＡとＢのｙ座標が等しくなるときだから、ａ＝ｂになる確率を求める。
ａ＝１，ｂ＝１ ａ＝２，ｂ＝２ ａ＝３，ｂ＝３ ａ＝４，ｂ＝４ ａ＝５，ｂ＝５ ａ＝６，ｂ＝６ の６通りだから、
６／３６＝１／６
イ
変化の割合から、傾きがー１になる確率を求める。
ｘの増加量は、４－２＝２だから、ｙの増加量は、ｂ－ａ＝ー２となる。
ｂ－ａ＝ー２となる場合は、
ａ＝３，ｂ＝１ ａ＝４，ｂ＝２ ａ＝５，ｂ＝３ ａ＝６，ｂ＝４ の４通りだから、
４／３６＝１／９
★グラフ上の図形
2025年度・八戸工大二高
下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、点Ａの座標は（ー２，２）、点Ｂのｘ座標は４である。また、点Ｃはｙ軸上の点であり、そのｙ座標は２より大きい。あとの各問いに答えなさい。
１）ａの値を求めなさい。
２）次の㋐、㋑にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
関数ｙ＝ａｘ²について、ｘの変域がー２≦ｘ≦４のとき、ｙの変域は「㋐≦ｙ≦㋑」である。
３）２点Ａ、Ｂを通る直線の式を求めなさい。
１）
点Ａは、ｙ＝ａｘ²上にあるから、
ｙ＝ａｘ²に（ー２，２）を代入
２＝ａ×（－２）²
ａ＝１／２
２）
ｘ＝ー２のとき、
ｙ＝１×（－２）²／２＝２
ｘ＝４のとき、
ｙ＝１×４²／２＝８
ー２≦ｘ≦４のとき、ｙの最小値は０だから、
０≦ｙ≦８
よって、㋐：０ ㋑：８
３）
点Ｂは、ｙ＝１ｘ²／２上にあるから、
ｙ＝１ｘ²／２に、ｘ＝４を代入
ｙ＝１×４²／２＝８
Ａ（ー２，２）、Ｂ（４，８）より、
ｘの増加量 ４－（－２）＝６
ｙの増加量 ８－２＝６
傾き ６／６＝１
切片をｂとする
ｙ＝ｘ＋ｂに、（ー２，２）を代入
２＝ー２＋ｂ
ｂ＝４
よって、ｙ＝ｘ＋４
４）関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上に、四角形ＡＢＤＣが平行四辺形となるようにＤをとる。このとき、ア、イに答えなさい。
ア 点Ｄの座標を求めなさい。
イ 直線ｙ＝３ｘ＋６上に点Ｅをとる。△ＡＢＥの面積が平行四辺形ＡＢＤＣの面積と等しくなるとき、点Ｅの座標を求めなさい。ただし、点Ｅのｘ座標は正の数とする。
ア
直線ＡＣとＢＤの傾きが等しいことから、点Ａから右に２平行移動したｘ座標がＣと同じになり、点Ｂから右に２平行移動したｘ座標がＤと同じになる。
よって、点Ｄのｘ座標は、４＋２＝６
点Ｄは、ｙ＝１ｘ²／２上にあるから、ｘ＝６を代入
ｙ＝３６／２＝１８
以上から、点Ｄ（６，１８）
イ
△ＡＢＣの面積を求める
直線ＡＣの式の切片（点Ｃ）をｂとする
ＡＣ//ＢＤだから、直線ＡＣの傾きはＢＤと同じ
ＢＤの傾き
ｘの増加量 ６－４＝２
ｙの増加量 18－８＝10
傾き 10／２＝５
ｙ＝５ｘ＋ｂに、Ａ（ー２，２）代入
２＝ー10＋ｂ
ｂ＝12
よって、点Ｃは（０，12）
直線ＡＢとｙ軸との交点をＦとする（０，４）
△ＡＣＦは、底辺ＣＦ＝８、高さ２だから、
１／２×８×２＝８cm² ①
△ＢＣＦは、底辺ＣＦ＝８、高さ４だから、
１／２×８×４＝16cm² ②
△ＡＢＣ＝①＋②＝24cm²
平行四辺形ＡＢＤＣの面積は、△ＡＢＣの２倍だから、
24×２＝48cm²
点Ｅを通り、ＡＢに平行な直線と軸との交点をＧとする。
※△ＡＢＥ＝△ＡＢＧ（等積変形）を利用する
点Ｇのｙ座標をｔとする
△ＡＧＦは、底辺ＧＦ＝ｔ－４、高さ２だから、
１／２×（ｔ－４）×２
＝ｔ－４ cm² ③
△ＢＧＦは、底辺ＧＦ＝ｔ－４、高さ４だから、
１／２×（ｔ－４）×４
＝２ｔ－８ cm² ④
△ＡＢＧ＝③＋④＝48より、
（ｔ－４）＋（２ｔ－８）＝48
ｔ＝20
よって、直線ＥＧの式は、ｙ＝ｘ＋20
ｙ＝３ｘ＋６とｙ＝ｘ＋20との交点が点Ｅとなるから、
３ｘ＋６＝ｘ＋20
ｘ＝７
ｙ＝３ｘ＋６に、ｘ＝７を代入し、ｙ＝27
点Ｅ（７，27）
★数の規則性
2025年度・八戸工大二高
ｘ軸を底辺とし、直線ｙ＝２ｘと二等辺三角形をつくるような線分を、ｘ軸との交点のｘ座標が小さい順に、底辺の長さが整数となるように引いていく。また、（１，２）、（５，３）のようにｘ座標とｙ座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。例えば、１本目に引いた線分によってできる二等辺三角形の周および内部にある格子点の個数は２個で、２本目に引いた線分によってできる二等辺三角形の周および内部にある格子点の個数は５個である。あとの各問いに答えなさい。
１）５本目に引いた線分によってできる二等辺三角形の周および内部にある格子点の個数を求めなさい。
２）６本目に引いた線分によってできる二等辺三角形の周および内部にある格子点の個数を求めなさい。
３）12本目に引いた線分によってできる二等辺三角形の周および内部にある格子点の個数を求めなさい。
４）二等辺三角形の周および内部にある格子点の個数が200個になるのは、何本目の線分を引いたときか求めなさい。
１）
図より、18個
２）
二等辺三角形を囲む正方形の格子点の個数は、
１本目 ４個
２本目 ９個
３本目 16個
・・・
となり、（ｎ＋１）²個になる。
また、周および内部にある格子点の個数は、
１本目 ２個
２本目 ５個
３本目 ８個
・・・
となり、本数が奇数のとき（ｎ＋１）²／２個、本数が偶数のとき（ｎ＋１）²＋１／２個になる。
よって、
（６＋１）²＋１／２＝25個
３）
２）より、
（12＋１）²＋１／２＝85個
４）
周および内部にある格子点の個数が偶数個のときは、（ｎ＋１）²／２で求められるから、
（ｎ＋１）²／２＝200
（ｎ＋１）²＝400
ｎ²＋２ｎー399＝０
（ｎ＋21）（ｎー19）＝０
ｎ＝19（ｎ＞０）
よって、19本目
★相似・高さが同じ三角形
2025年度・八戸工大二高
下の図の△ＡＢＣについて、辺ＢＣ、ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。また、線分ＡＭ、ＢＮの交点をＧとし、ＭとＮを結ぶ。あとの各問いに答えなさい。
１）△ＧＡＢと△ＧＭＮが相似になることを証明しなさい。
２）△ＧＡＢと△ＧＭＮの相似比を最も簡単な整数比で表しなさい。
３）△ＡＢＣと△ＧＭＮの面積比を最も簡単な整数比で表しなさい。
１）
△ＧＡＢと△ＧＭＮで、
中点連結定理より、ＡＢ//ＭＮ ①
①より、平行線の錯角は等しいから、
∠ＡＢＧ＝∠ＭＮＧ ②
∠ＧＡＢ＝∠ＧＭＮ ③
②、③より
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＧＡＢ∽△ＧＭＮ
２）
中点連結定理より、ＡＢ：ＭＮ＝２：１
相似な図形の対応する辺の比は等しいから、
△ＧＡＢと△ＧＭＮの相似比は、２：１
３）
２）より、
△ＧＡＢ＝４ △ＧＭＮ＝１ ①
ＢＧ：ＧＮ＝２：１より、
△ＧＡＢ：△ＧＡＮ＝２：１ ②
①、②より
４：△ＧＡＮ＝２：１
△ＧＡＮ＝２
△ＢＡＮ
＝△ＧＡＢ＋△ＧＡＮ
＝４＋２＝６
ＡＮ：ＮＣ＝１：１より、
△ＢＣＮ＝６
△ＡＢＣ
＝△ＢＡＮ＋△ＢＣＮ
＝６＋６＝12 ③
①、③より
△ＡＢＣ：△ＧＭＮ＝12：１
★相似・三平方の定理
2025年度・八戸聖ウルスラ学院
下の図は∠ＡＣＢ＝90°の直角三角形ＡＢＣであり、ＢＣ//ＤＥ、ＢＣ//ＦＧ、ＢＣ//ＨＩである。ＡＤ＝５、ＡＨ＝２ＡＤ、ＤＥ＝３、ＢＣ＝12、ＡＦ＝７となるように、線分ＡＢ上に点Ｄ、Ｆ、Ｈ、線分ＡＣ上に点Ｅ、Ｇ、Ｉをとる。あとの各問いに答えなさい。
１）次のア～ウに答えなさい。
ア 三角形ＡＤＥの面積を求めなさい。
イ 線分ＨＢの長さを求めなさい。
ウ 三角形ＡＨＧの面積を求めなさい。
ア
ＢＣ//ＤＥより、∠ＡＥＤ＝90°
三平方の定理より、
ＡＥ²＝ＡＤ²ーＤＥ²
ＡＥ²＝５²ー３²
ＡＥ²＝16
ＡＥ＝４（ＡＥ＞０）
△ＡＤＥ
＝１／２×３×４
＝６
イ
ＢＣ//ＤＥより、△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ
対応する辺の比は等しいから、
ＡＤ：ＡＢ＝ＤＥ：ＢＣ
５：ＡＢ＝３：12
３ＡＢ＝60
ＡＢ＝20
ＡＨ＝２ＡＤより、
ＡＨ＝２×５＝10
ＨＢ
＝ＡＢ－ＡＨ
＝20ー10
＝10
ウ
△ＡＨＧ＝△ＡＨＩー△ＧＨＩ
ＤＥ//ＨＩより、△ＡＤＥ∽△ＡＨＩ
対応する辺の比は等しいから、
ＡＤ：ＡＨ＝ＤＥ：ＨＩ
５：10＝３：ＨＩ
５ＨＩ＝30
ＨＩ＝６
ＢＣ//ＨＩより、∠ＡＩＨ＝90°
△ＡＨＩで、三平方の定理より、
ＡＩ²＝ＡＨ²ーＨＩ²
ＡＩ²＝10²ー６²
ＡＩ²＝64
ＡＩ＝８（ＡＩ＞０）
△ＡＨＩ
＝１／２×ＨＩ×ＡＩ
＝１／２×６×８
＝24
ＤＥ//ＦＧより、△ＡＤＥ∽△ＡＦＧ
対応する辺の比は等しいから、
ＡＤ：ＡＦ＝ＡＥ：ＡＧ
５：７＝４：ＡＧ
５ＡＧ＝28
ＡＧ＝28／５
ＧＩ＝ＡＩ－ＡＧ
ＧＩ＝８－28／５＝12／５
△ＧＨＩ
＝１／２×ＨＩ×ＧＩ
＝１／２×６×12／５
＝36／５
△ＡＨＧ
＝△ＡＨＩー△ＧＨＩ
＝24ー36／５
＝84／５
２）下の図は、上の直角三角形ＡＢＣを底面とする三角錐ＪＡＢＣである。∠ＪＣＡ＝90°、三角形ＪＣＢが正三角形であるとき、あとのア、イに答えなさい。
ア 線分ＡＪ上に∠ＫＩＡ＝90°となるように点Ｋをとるとき、三角形ＫＩＨの面積を求めなさい。
イ 三角錐ＫＡＨＩの体積を求めなさい。
ア
∠ＫＩＡ＝90°より、ＫＩ//ＪＣ
∠ＫＩＡ＝∠ＡＣＪ＝90° ①
∠ＡＫＩ＝∠ＡＪＣ（同位角） ②
①、②より
△ＡＫＩ∽△ＡＪＣ
対応する辺の比は等しいから、
ＡＩ：ＡＣ＝ＫＩ：ＪＣ ③
△ＡＢＣで、三平方の定理より、
ＡＣ²＝ＡＢ²ーＢＣ²
ＡＣ²＝20²ー12²
ＡＣ²＝256
ＡＣ＝16（ＡＣ＞０） ④
△ＪＣＢは正三角形だから、
ＪＣ＝ＢＣ＝12 ⑤
③、④、⑤より
８：16＝ＫＩ：12
ＫＩ＝６
点Ｋからの垂線とＨＩとの交点をＬとする。
△ＫＩＬで、三平方の定理より、
ＫＬ²＝ＫＩ²ーＩＬ²
ＫＬ²＝６²ー３²
ＫＬ²＝27
ＫＬ＝３√３（ＫＬ＞０）
△ＫＩＨ
＝１／２×ＨＩ×ＫＬ
＝１／２×６×３√３
＝９√３
イ
三角錐ＫＡＨＩ
＝１／３×△ＫＩＨ×ＡＩ
＝１／３×９√３×８
＝24√３
★回転体の体積
2025年度・八戸聖ウルスラ学院
ａ＞０とする。下の図の座標平面で、①は放物線ｙ＝ａｘ²のグラフである。②は放物線ｙ＝ｂｘ²のグラフであり、①のグラフをｘ軸に関して対称移動したグラフである。点（１，０）を通り、ｘ軸に垂直な直線をℓとし、ℓと①、②のグラフの交点をそれぞれＡ、Ｂとする。原点をＯとして、あとの各問いに答えなさい。
１）ａ＝２／３のとき、ｂの値を求めなさい。
２）ｘの変域が、ー２≦ｘ≦４であるとき、①のｙの変域が０≦ｙ≦４であった。②のｙの変域を求めなさい。
３）△ＯＡＢの面積が１であるとき、ｂの値を求めなさい。
４）点Ａを通り、傾きがー２の直線とｙ軸との交点をＣとする。△ＯＢＣをｙ軸を軸として１回転してできる立体の体積が２πであるとき、ｂの値を求めなさい。ただし、円周率はπである。
１）
②のグラフは、①を対称移動したグラフだから、ｂ＝ーａである。
よって、ｂ＝ー２／３
２）
グラフ①では、
ｙの最小値 ０
ｙの最大値 ４
グラフ②は①と対称だから、
ｙの最小値 ー４
ｙの最大値 ０
よって、ー４≦ｙ≦０
３）
点Ａのｘ座標は１
ｙ＝ａｘ²に、ｘ＝１を代入
ｙ＝ａ
点Ａのｙ座標はａだから、点Ｂのｙ座標はーａとなる。
よって、
ＡＢ＝ａー（ーａ）＝２ａ
△ＯＡＢの底辺をＡＢ、高さを原点からＡＢまでの距離とする。
△ＯＡＢ＝１だから、
１／２×２ａ×１＝１
ａ＝１
ｂ＝ーａより、ｂ＝ー１
４）
点Ｃのｙ座標（切片）をｃとする
直線ｙ＝ー２ｘ＋ｃは、点Ａ（１，ａ）を通るから、
ａ＝ー２＋ｃ
ｃ＝ａ＋２
点Ｂからの垂線とｙ軸との交点をＨとする
点Ｈのｙ座標は、ーａだから、
ＣＨ
＝ａ＋２ー（－ａ）
＝２ａ＋２ ①
円Ｈの面積は、
π ×ＢＨ²＝π ②
①、②より、頂点をＣとする円錐の体積は、
１／３× π ×（２ａ＋２）
＝π（２ａ＋２）／３ ③
頂点をＯとする円錐の体積は、ＯＨ＝ａだから、
１／３× π × ａ
＝π ａ／３ ④
③ー④＝２π より、
π（２ａ＋２）／３ー π ａ／３＝２π
２ａ＋２ーａ＝６
ａ＝４
ｂ＝ーａより、ｂ＝ー４
入試対策・練習問題
👉確率①
👉確率②
👉確率③
👉相似①
👉相似②
👉相似③
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八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中 福地中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生32名（2025年2月現在）
塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
（中学３年）
数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
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今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
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是川支所７分
2025.2.10 私立高入試 数学解説