私立高入試 数学解説②
2025年度
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
先週は私立高入試があり、中３受験生が挑戦しました。今週からは、３月の県立高入試に向けた対策を始めています。
★立体図形・三平方の定理
2025年度・八戸学院光星高
下の図のような、底面が１辺６cmの正三角形で、高さが６cmである正三角柱ＡＢＣＤＥＦがある。この三角柱を３点Ａ、Ｃ、Ｅを含む平面で２つの立体に分け、点Ｂを含む立体をＰ、点Ｄを含む立体をＱとする。あとの各問いに答えなさい。
ア 立体Ｑの表面積から、立体Ｐの表面積をひいた差を求めなさい。
イ 立体Ｑの体積を求めなさい。
ア
立体ＰとＱそれぞれの表面にある合同な図形を除いた部分の面積が差になる。
△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ
△ＢＡＥ≡△ＤＡＥ
△ＢＣＥ≡△ＦＣＥ
△ＡＣＥは共通（切断面）
以上から、正方形ＡＤＦＣの面積が差になるので、
６×６＝36cm²
イ
正三角柱の体積から立体Ｐの体積を引いて求める
正三角柱の体積
△ＡＢＣ（底面）
点Ｂからの垂線と辺ＡＣとの交点をＨとする
直角三角形の辺の比より、
ＡＢ：ＢＨ＝２：√３
６：ＢＨ＝２：√３
ＢＨ＝３√３
△ＡＢＣ
＝１／２×３√３×６
＝９√３cm²
正三角柱の体積は、高さ６cmだから、
９√３×６＝54√３cm³ ①
立体Ｐ（三角錐）の体積
底面を△ＡＢＣ、高さをＢＥとする。
△ＡＢＣ＝９√３cm²、ＢＥ＝６cmだから、立体Ｐの体積は、
１／３×９√３×６＝18√３cm³ ②
①ー②より、
54√３－18√３＝36√３cm³
★平面図形・相似
2025年度・八戸学院光星高
下の図において、四角形ＡＢＣＤはＡＤ//ＢＣ、∠ＢＡＤ＝90°の台形である。辺ＡＢ上に点Ｅを∠ＤＥＣ＝90°となるようにとる。このとき、あとの各問いに答えなさい。
ア △ＡＥＤと△ＢＣＥが相似になることを証明しなさい。
イ ＡＤ＝８cm、ＢＥ＝６cmであり、線分ＡＥの長さが辺ＢＣの長さより４cm長いとき、台形ＡＢＣＤの面積を求
めなさい。
ア
△ＡＥＤと△ＢＣＥにおいて、
ＡＤ//ＢＣ、∠ＢＡＤ＝90°だから、
∠ＥＡＤ＝∠ＣＢＥ＝90° ①
∠ＥＡＤ＝90°だから、
∠ＡＤＥ＝90°ー∠ＡＥＤ ②※
∠ＣＥＤ＝90°だから、
∠ＢＥＣ＝90°ー∠ＡＥＤ ③※
②、③から
∠ＡＤＥ＝∠ＢＥＣ ④
①、④から、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＥＤ∽△ＢＣＥ
※②
∠ＡＤＥ＝90°ー∠ＡＥＤ
△ＡＥＤの内角の和から、180°ー（90°ー∠ＡＥＤ）
※③
∠ＢＥＣ＝90°ー∠ＡＥＤ
辺ＡＢ上の３つの角から、∠ＡＥＤ＋90°＋∠ＢＥＣ＝180°
イ
△ＡＥＤ∽△ＢＣＥより、対応する辺の比は等しいから、
ＡＤ：ＢＥ＝ＡＥ：ＢＣ
ＢＣ＝ｘcmとする
ＡＥ＝（ｘ＋４）cmだから、
８：６＝（ｘ＋４）：ｘ
ｘ＝12
ＡＥ＝16cmだから、
ＡＢ＝16＋６＝22cm
台形ＡＢＣＤの面積は、
（ＡＤ＋ＢＣ）×ＡＢ×１／２
＝（８＋12）×22×１／２
＝220cm²
★二次方程式
2025年度・八戸学院光星高
縦の長さが21ｍ、横の長さが24ｍの長方形の土地がある。下の図のように、縦と横に幅がｘｍのまっすぐな通路をつくる。通路を除いた土地の面積の合計が378ｍ²のとき、ｘの値を求めなさい。
長方形全体の面積
21m×24m＝504 m² ①
通路の縦の面積
21m × ｘm＝21ｘm² ②
通路の横の面積
24m × ｘm＝24ｘm² ③
②と③が重なる部分の面積
ｘm × ｘm＝ｘ²m ④
通路全体の面積は、②＋③ー④より、
21ｘ＋24ｘーｘ²
＝45ｘーｘ² ⑤
①ー⑤＝378より、
504ー（45ｘーｘ²）＝378
ｘ²ー45ｘ＋126＝０
（ｘ－３）（ｘ－42）＝０
ｘ＝３，42
よって、ｘ＝３
★一次関数・二次関数
2025年度・八戸学院光星高
図１で、①は関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点で、点Ａの座標は（ー６，18）、点Ｂのｘ座標は４である。直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする。あとの各問いに答えなさい。
１）ａの値を求めなさい。
２）直線ＡＢの式を求めなさい。
１）
点Ａは①上の点だから、ｙ＝ａｘ²に（ー６，18）を代入
ａ×（ー６）²＝18
36ａ＝18
ａ＝１／２
２）
点Ｂは①上の点だから、ｙ＝１ｘ²／２にｘ＝４を代入
ｙ＝１×４²／２＝８
Ａ（ー６，18）、Ｂ（４，８）より、直線ＡＢの傾きを求める。
ｘの増加量 ４－（－６）＝10
ｙの増加量 ８－18＝ー10
傾き ー10／10＝ー１
切片（点Ｃのｙ座標）の値をｂとする
ｙ＝ーｘ＋ｂに、（４，８）を代入
ー４＋ｂ＝８
ｂ＝12
以上から、ｙ＝ーｘ＋12
３）図２は、図１のｘ軸上に点Ａとｘ座標が等しい点Ｄをとったものである。線分ＡＤ上を動く点をＰとするとき、次のア、イに答えなさい。
ア ＡＣ＝ＰＣとなるとき、△ＡＣＰの面積を求めなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
イ 四角形ＢＣＰＤの面積が△ＡＰＣの面積の２倍になるとき、点Ｐの座標を求めなさい。
ア
ＡＣ＝ＰＣだから、△ＡＣＰは二等辺三角形になる。
点Ｃからの垂線と辺ＡＰとの交点をＱとする。
点Ａのｙ座標が18、点Ｃのｙ座標が12だから、ＡＱ＝６cm
ＡＱ＝ＱＰだから、ＡＰ＝６×２＝12cm ①
線分ＡＤ上にある点Ｑのｘ座標はー６だから、ＣＱ＝６cm ②
①、②より、
△ＡＣＰ＝１／２×12×６＝36cm²
イ
直線ＡＢとｘ軸との交点をＲとする
四角形ＢＣＰＤの面積を、
△ＡＤＲー（△ＡＰＣ＋△ＢＤＲ）によって求める。
点Ｒのｘ座標
ｙ＝ーｘ＋12に、ｙ＝０を代入
ーｘ＋12＝０
ｘ＝12
ＤＲ＝12ー（ー６）＝18cm
ＡＤ＝18ー０＝18cm
△ＡＤＲ
＝１／２×18×18
＝162cm² ①
点Ｐのｙの値をｔとする
ＡＰ＝（18ーｔ）cm
点Ｃと辺ＡＰとの距離（高さ）は６cm
△ＡＰＣ
＝１／２×（18ーｔ）×６
＝（54ー３ｔ）cm² ②
点Ｂと辺ＤＲとの距離（高さ）は８cm
△ＢＤＲ
＝１／２×18×８
＝72cm² ③
四角形ＢＣＰＤの面積は、①ー（②＋③）より、
162ー（54ー３ｔ＋72）
＝（３ｔ＋36）cm² ④
④＝２×②より、
３ｔ＋36＝２（54ー３ｔ）
ｔ＝８
よって、点Ｐ（ー６，８）
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2025.2.11 私立高入試 数学解説②