文字式による説明考査解説

たむかい学習教室
7月2日
読了時間: 8分

文字式による説明考査解説

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

７月がスタートしました。中学生は６月下旬に期末テストがあり、中２・中３数学では、文字式を使って説明する問題が各学校で出題されました。高校入試にもよく出題され、問題文にある用語の意味を押さえておくことや、式を作るために必要な情報を正しく読み取ることが大切になります。

中２数学

問題

1）３ａ－４ｂの４倍に、－２ａ+ｂの３倍を加えた和を求めなさい。

2）ｘ²－６ｘの２倍から、２ｘ²－３ｘの５倍を引いた差を求めなさい。

1）

３ａ－４ｂの４倍は、４（３ａ－４ｂ）

－２ａ＋ｂの３倍は、３（－２ａ＋ｂ）

これらの和は、

４（３ａ－４ｂ）＋３（－２ａ＋ｂ）

＝12ａ－16ｂ－６ａ＋３ｂ

＝６ａ－13ｂ

2）

ｘ²－６ｘの２倍は、２（ｘ²－６ｘ）

２ｘ²－３ｘの５倍は、５（２ｘ²－３ｘ）

これらの差は、

２（ｘ²－６ｘ）－５（２ｘ²－３ｘ）

＝２ｘ²－12ｘ－10ｘ²＋15ｘ

＝－８ｘ²＋３ｘ

問題

次の整数を、文字を用いて表しなさい。

1）奇数（ｎを使って）

2）連続する２つの偶数（ｎを使って）

3）連続しない偶数と奇数（ｍ、ｎを使って）

4）百の位がａ、十の位がｂ、一の位がｃである３桁の数

1）

偶数は、２の倍数。

自然数ｎを使って表すと、偶数は２ｎ。

奇数はそれより１小さいまたは１大きい数だから、

２ｎ－１または２ｎ＋１

2）

ある偶数を２ｎとすると、連続する偶数は２ｎより２大きい数だから、

２ｎと２ｎ＋２

※

連続する偶数を２ｎより２小さい数とすると２ｎ－２だが、ｎ＝１のとき、２×１－２＝０となりあてはまらない。

3）

偶数を２ｍとする。

連続しない奇数は、ｍと同じ数にならないから２ｎ＋１。

よって、２ｍと２ｎ＋１

※

２ｍと２ｍ＋１とすると、ｍ＝１のとき２と３、ｍ＝２のとき４と５になり、連続する数になるからあてはまらない。

4）

百の位がａである数は、

100×ａ＝100ａ

十の位がｂである数は、

10×ｂ＝10ｂ

一の位がｃである数は、

1×ｃ＝ｃ

３桁の数は、これらの和だから、

100ａ＋10ｂ＋ｃ

※

「234」であれば、100が２つ、10が３つ、1が４つでできている数だから、

100×２＋10×３＋1×４＝234

問題

一の位が０ではない２けたの自然数と、その自然数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の和は11の倍数になる。このことを、十の位の数をｘ、一の位の数をｙとして説明しなさい。

〔説明〕

もとの２けたの自然数を10ｘ＋ｙとすると、

位を入れかえた数は、10ｙ＋ｘと表される。

これらの和は、

（10ｘ＋ｙ）＋（10ｙ＋ｘ）

＝11ｘ＋11ｙ

＝11（ｘ＋ｙ）

ｘ＋ｙは整数だから、11（ｘ＋ｙ）は11の倍数である。

したがって、一の位が０ではない２けたの自然数と、その自然数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の和は11の倍数になる。

問題

下の図のように、自然数を１から順に８個ずつ各行に並べる。図のように、４つの数を凸で囲む。

凸で囲む４つの数を、次のようにａ、ｂ、ｃ、ｄとするとき、

①ａ、ｄを、それぞれｃを使って表しなさい。

②ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄは４の倍数になる。このわけを説明しなさい。

①

ａはｃより８小さい数だから

ａ＝ｃ－８

ｄはｃより１大きい数だから

ｄ＝ｃ＋１

②の解答

ｂはｃより１小さい数だから

ｂ＝ｃ－１

それぞれを代入すると、

ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ

＝（ｃ－８）＋（ｃ－１）＋ｃ＋（ｃ＋１）

＝４ｃ－８

＝４（ｃ－２）

ｃ－２は整数だから、４（ｃ－２）は４の倍数である。

中３数学

問題

１，３，５や17，19，21のように、連続する３つの奇数がある。このとき、真ん中の奇数の２乗から他の２つの奇数の積をひいた差は、必ず４になる。このことを、文字を使って説明しなさい。

〔説明〕

ｎを整数とする。

連続する３つの奇数のうち、もっとも小さい奇数を２ｎ＋１とすると、他の２つの奇数は、小さい順に、２ｎ＋３、２ｎ＋５と表される。

真ん中の奇数の２乗から他の２つの奇数の積をひいた差は、

（２ｎ＋３）²－（２ｎ＋１）（２ｎ＋５）

＝４ｎ²＋12ｎ＋９－（４ｎ²＋12ｎ＋５）

＝４ｎ²＋12ｎ＋９－４ｎ²－12ｎ－５

＝４

したがって、連続する３つの奇数で、真ん中の奇数の２乗から他の２つの奇数の積をひいた差は、必ず４になる。

問題

連続する２つの奇数の積に１を足した数は、４の倍数であることを説明しなさい。

〔説明〕

連続する２つの奇数は、整数ｎを使って

２ｎ－１、２ｎ＋１と表す。

連続する２つの奇数の積に１を足した数は、

（２ｎ－１）（２ｎ＋１）＋１

＝４ｎ²－１＋１

＝４ｎ²

ｎは整数だから、４ｎ²は４の倍数になる。

したがって、連続する２つの奇数の積に１を足した数は、４の倍数である。

入試問題（青森県立高校入試）

2025年

２）解説

□の中の左上が一番小さい自然数

これをｎとすると、

右上　ｎ＋1

左下　ｎ＋14

右下　ｎ＋15

Ｐは右上×左下

Ｐ＝（ｎ＋1）（ｎ＋14）

Ｑは左上×右下

Ｑ＝ｎ（ｎ＋15）

ＰーＱ

＝（ｎ＋1）（ｎ＋14）－ｎ（ｎ＋15）

＝（ｎ²＋15ｎ＋14）－（ｎ²＋15ｎ）

＝14

あ：ｎ＋1　い：ｎ＋14　う：ｎ＋15　え：ｎ²＋15ｎ

2024年

解説

1）ア

正五角形の対角線は５本

1）イ

１つの頂点から引くことができる対角線は、

四角形　１本

五角形　２本

六角形　３本

ｎ角形　（ｎ－３）

仮に、ｎ個の頂点から（ｎ－３）本ずつ引くと、すべての対角線を２回ずつ数えることになる（往復して数えることになる）。

2）ア

選手４人　１名につき対戦相手３人

→４×３÷２＝６試合

選手５人　対戦相手４人

→５×４÷２＝10試合

選手６人　対戦相手５人

→６×５÷２＝15試合

選手ｎ人のとき、１名あたりの対戦相手（ｎ－１）人

ｎ（ｎ－１）÷２

2）イ

ｎ（ｎ－１）／２＝66

ｎ（ｎ－１）＝132

ｎ²－ｎ－132＝０

（ｎ－12）（ｎ＋11）＝０

ｎ＝12（ｎ＞０）

1）ア：５　イ：すべての対角線を２回ずつ数える

2）ア：ｎ（ｎ－１）　イ：12人

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