入試対策 中学数学
12/14 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（12/14）は、毎週土曜日・日曜日に実施している「入試対策講習」を行いました。中学３年生は、数学を中心に対策に取り組みました。
2024年私立入試・過去問
問題
ａは正の値とする。下の図のように、ｙ＝ａｘ＋１、ｙ＝ー１ｘ²／２のグラフ上にあり、ｘ座標がー２である点をそれぞれＰ、Ｑ、ｘ座標がａである点をそれぞれＲ、Ｓとする。ＰとＱ、ＱとＳ、ＳとＲ、ＲとＰを直線で結んでできる図形について、あとの各問いに答えなさい。
（１）点Ｑの座標を求めなさい。
ｙ＝ー１ｘ²／２に、ｘ＝ー２を代入
ｙ＝ー２
点Ｑ（ー２，－２）
（２）点Ｐと重なることがある点を、Ｑ、Ｒ、Ｓの中から１つ選び、その記号を書きなさい。また、そのときのａの値を求めなさい。
ａは正の値とあるから、ｙ＝ａｘ＋１のグラフは右上がりである（切片１は固定）。
よって、ｘの値は常に負の値となる（ｘ＜０）
条件を満たすのはＱとなるので、
ｙ＝ａｘ＋１に、（ー２，－２）を代入
ー２＝ー２ａ＋１
ａ＝３／２
（２）の答え：点Ｑ、ａ＝３／２
（３）Ｐ、Ｒ、Ｓのｙ座標を、それぞれａを使って表しなさい。
点Ｐ
ｙ＝ａｘ＋１に、ｘ＝ー２代入
ｙ＝ー２ａ＋１
点Ｒ
ｙ＝ａｘ＋１に、ｘ＝ａ代入
ｙ＝ａ²＋１
点Ｓ
ｙ＝ー１ｘ²／２に、ｘ＝ａ代入
ｙ＝ー１ａ²／２
（４）できる図形が平行四辺形になるとき、ａの値を求めなさい。
ＰＱ//ＲＳだから、ＰＱ＝ＲＳとなれば、平行四辺形となる。
※１組の対辺が平行で長さが等しい
線分ＰＱ
ー２ａ＋１ー（ー２）
＝ー２ａ＋３
線分ＲＳ
ａ²＋１ー（ー１ａ²／２）
＝ａ²＋１ａ²／２＋１
＝３ａ²／２＋１
ＰＱ＝ＲＳより、
ー２ａ＋３＝３ａ²／２＋１
３ａ²＋４ａー４＝０
（ａ＋２）（３ａー２）＝０
ａ＝２／３（ａ＞０）
たすきがけ（因数分解）
１ ２ ６
×
３ ー２ ー２
＋４
解の公式
ｘ＝ーｂ±√ｂ²ー４ａｃ
２ａ
ｘ＝ー４±√16+48
６
ｘ＝ー４±８
６
ｘ＝２／３，ー２
ｂが偶数の場合、ｂを２で割る
ｘ＝ーｂ’±√ｂ’²ーａｃ
ａ
ｘ＝ー２±√４＋12
３
ｘ＝ー２±４
３
ｘ＝２／３，ー２
問題
下の図は１辺が２cmの立方体であり、点Ａは立方体の頂点で、３点Ｂ、Ｃ、Ｄはいずれも辺の中点である。この立方体を３点Ｂ、Ｃ、Ｄを含む平面で切断して、頂点Ａを含む方の体積をＸcm³、頂点Ａを含まない方の体積をＹcm³とする。このとき、Ｘ：Ｙを最も簡単な整数比で表しなさい。
頂点Ａを含む方
三角錐の底面：△ＡＢＤ
高さ：ＣＡ
△ＡＢＤ
＝１／２×１×１＝１／２
Ｘ＝１／３×１／２×１
＝１／６cm³
頂点Ａを含まない方
立方体の体積から頂点Ａを含む方の体積を引く
Ｙ＝２³ー１／６
＝４７／６cm³
よって、
Ｘ：Ｙ
＝１／６：４７／６
＝１：４７
2024年県立入試・過去問
ア
△ＡＢＰと△ＡＱＢにおいて
共通な角だから
∠ＢＡＰ＝∠ＱＡＢ ①
△ＡＢＣは二等辺三角形だから
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ ②
円周角の定理より
∠ＡＣＢ＝∠ＡＰＢ ③
※⌒ＡＢに対応
②、③から
∠ＡＰＢ＝∠ＡＢＱ ④
イ
アから、
ＡＢ：ＡＱ＝ＡＰ：ＡＢ
求めるＡＰをｘとする
ＡＱ＝２ｘとなるから
５：２ｘ＝ｘ：５
２ｘ²＝２５
ｘ＝５√２／２cm（ｘ＞０）
問題
下の図は、底面が正三角形で、側面がすべて長方形の三角柱ＡＢＣ－ＤＥＦである。辺ＢＥ上に点Ｐを、ＡＰ＋ＰＦの長さが最も短くなるようにとる。このとき、ＡＰ＋ＰＦの長さは何cmですか。
ポイント
最短距離の問題は、展開図で表してみる。
最短距離だから、２点間は直線になる。
展開図では、点Ｐを通る線分ＡＦが直線になる。
三平方の定理から
ＡＦ²＝ＡＤ²＋ＤＦ²
ＡＦ²＝４²＋（３＋３）²
ＡＦ²＝５２
ＡＦ＝２√１３cm（ＡＦ＞０）
👉解の公式
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合格実績（開塾２年 2023-24）
八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中 福地中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生31名（2024年12月現在）
塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
（中学３年）
数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
（小学６年）
今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
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2024.12.15 入試対策 中学数学（12/14 授業解説）