入試対策 中学数学
12/15 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（12/15）は、毎週土曜日・日曜日に実施している「入試対策講習」を行いました。受験生たちは、数学と英語を中心に対策に取り組みました。
★二次関数の座標（中３）
問題
下の図において、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフ上に、点Ａ、Ｂをとる。Ａのｘ座標は３であり、Ｂのｘ座標はー２である。また、Ａのｙ座標は、Ｂのｙ座標より２大きい、このとき、ａの値を求めなさい。
点Ａのｙ座標
ｙ＝ａｘ²にｘ＝３を代入
ｙ＝９ａ
点Ｂのｙ座標
ｙ＝ａｘ²にｘ＝ー２を代入
ｙ＝４ａ
問題文から
９ａー４ａ＝２
ａ＝２／５
★二次関数の変域（中３）
問題
下の図のように、関数ｙ＝１ｘ²／３のグラフ上に点Ａがあり、点Ａのｘ座標はー３である。あとの各問いに答えなさい。
（１）点Ａのｙ座標を求めなさい。
ｙ＝１ｘ²／３に、ｘ＝３を代入
ｙ＝３
（２）ｘの変域がー３≦ｘ≦ａのとき、ｙの変域が０≦ｙ≦３となるような整数ａの値をすべて求めなさい。
ａ＜０（ａが負の数）のとき
⇒ ｙの最小値は０にならない
よって、ａ≧０
ｙの最大値は３、このときのｘの値がｘの最大値となる。
ｙ＝３のとき、ｘ＝３
以上から、０≦ａ≦３となるので、
ａ＝０，１，２，３
★二次関数 グラフ上の面積
問題
下の図において、①は関数ｙ＝１ｘ²／３のグラフであり、点Ａ、Ｂ、Ｃは①上にある。点Ａ、Ｂ、Ｃのｘ座標はそれぞれ、ー３、６、９である。あとの各問いに答えなさい。
（１）①の関数ｙ＝１ｘ²／３において、ｘの変域がー３≦ｘ≦６であるとき、ｙの変域を求めなさい。
ｙの最大値は、ｘ＝６のとき
ｙ＝１ｘ²／３にｘ＝６を代入
ｙ＝１２
最小値は０だから、
０≦ｙ≦１２
（２）直線ＡＣの式を求めなさい。
点Ａのｙ座標
ｙ＝１ｘ²／３にｘ＝ー３を代入
ｙ＝３
点Ｃのｙ座標
ｙ＝１ｘ²／３にｘ＝９を代入
ｙ＝２７
Ａ（ー３，３） Ｃ（９，２７）
変化の割合（傾き）
ｘの増加量：９－（－３）＝１２
ｙの増加量：２７－３＝２４
変化の割合：２４／１２＝２
ｙ＝２ｘ＋ｂに（ー３，３）代入
ー６＋ｂ＝３
ｂ＝９（切片）
よって、ｙ＝２ｘ＋９
（３）△ＡＢＣの面積を求めなさい。
Ｂを通りｙ軸に平行な直線を引く
平行な直線とＡＣとの交点をＤとする
△ＡＤＢと△ＢＤＣに分ける
Ｄのｙ座標は１２だから、
ＡＣの式ｙ＝２ｘ＋９にｙ＝１２代入
ｘ＝３／２
△ＡＤＢ
底辺ＢＤ：６－３／２＝９／２
高さ：１２－３＝９
△ＡＤＢ
＝１／２×９／２×９
＝８１／４
△ＢＤＣ
底辺ＢＤ：９／２
高さ：２７－１２＝１５
△ＢＤＣ
＝１／２×９／２×１５
＝１３５／４
△ＡＢＣ
＝△ＡＤＢ＋△ＢＤＣ
＝８１／４＋１３５／４
＝２１６／４
＝５４
★二次関数 動点と確率
問題
下の図で、放物線ｙ＝１ｘ²／４のグラフであり、点Ｏは原点である。点Ａは放物線上の点で、そのｘ座標は４である。点Ｂはｘ軸上を動く点で、そのｘ座標は負の数である。２点Ａ、Ｂを通る直線と放物線の交点のうちＡと異なる点をＣとする。あとの各問いに答えなさい。
（１）点Ａのｙ座標を求めなさい。
ｙ＝１ｘ²／４にｘ＝４代入
ｙ＝４
（２）点Ｂのｘ座標が小さくなると、それに伴って小さくなるものを下のア～エの中からすべて選び、記号で答えなさい。
ア 直線ＡＢの傾き
イ 直線ＡＢの切片
ウ 点Ｃのｘ座標
エ △ＯＡＣの面積
Ａ（４，４）は固定されている点
ア ｘの増加量が増える
⇒ 変化の割合（傾き）が小さくなる
ウ 点Ｂが左方向へ動くので、点Ｃも同じ方向へ動く
⇒ 点Ｃのｘ座標は小さくなる
（３）点Ｃのｘ座標がー２であるとき、次の①、②の各問いに答えなさい。
① 点Ｂの座標を求めなさい。
ｙ＝１ｘ²／４にｘ＝ー２代入
ｙ＝１
点ＢはＡＣとｘ軸との交点になる
直線ＡＣの式
Ａ（４，４） Ｃ（ー２，１）
ｘの増加量：４－（－２）＝６
ｙの増加量：４－１＝３
変化の割合（傾き）：３／６＝１／２
ｙ＝１／２ｘ＋ｂに（４，４）代入
ｂ＝２
ｙ＝１／２ｘ＋２
点Ｂはｙ＝０だから
１／２ｘ＋２＝０
ｘ＝ー４
よって、点Ｂ（ー４，０）
② 大小２個のさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとするとき、座標が（ａー２，ｂ－１）である点をＰとする。点Ｐが３点Ｏ、Ａ、Ｂを頂点とする△ＯＡＢの辺上にある確率を求めなさい。
辺ＡＢ上
ｙ＝１／２ｘ＋２
ー４≦ｘ≦４で、ｘ・ｙ座標が整数になるのは、
（４，４）（２，３）（０，２）（－２，１）（ー４，０）
さいころの目だから、ａとｂが１～６までの数となる
（４，４）
ａー２＝４ ａ＝６
ｂ－１＝４ ｂ＝５
（２，３）
ａー２＝２ ａ＝４
ｂ－１＝３ ｂ＝４
（０，２）
ａー２＝０ ａ＝２
ｂ－１＝２ ｂ＝３
（ー２，１）
ａー２＝ー２ ✖ ａ＝０
ｂ－１＝１ ｂ＝２
（ー４，０）
ａー２＝ー４ ✖ ａ＝ー２
ｂ－１＝０ ｂ＝１
辺ＯＢ上
（ー４，０）（ー３，０）（ー２，０）（ー１，０）（０，０）
（ー３，０）
ａー２＝ー３ ａ＝ー１
ｂ－１＝０ ｂ＝１
（ー２，０）
ａー２＝ー２ ａ＝０
ｂ－１＝０ ｂ＝１
（ー１，０）
ａー２＝ー１ ａ＝１
ｂ－１＝０ ｂ＝１
（０，０）
ａー２＝０ ａ＝２
ｂ－１＝０ ｂ＝１
辺ＯＡ上
ｙ＝ｘ
（０，０）（１，１）（２，２）（３，３）（４，４）
（１，１）
ａー２＝１ ａ＝３
ｂ－１＝１ ｂ＝２
（２，２）
ａー２＝２ ａ＝４
ｂ－１＝２ ｂ＝３
（３，３）
ａー２＝３ ａ＝５
ｂ－１＝３ ａ＝４
以上から
（ａ，ｂ）＝（６，５）（４，４）（２，３）（１，１）（２，１）（３，２）（４，３）（５，４）の８通り
よって、確率８／３６＝２／９
👉確率
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八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中 福地中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生31名（2024年12月現在）
塾生の声
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（中学３年）
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今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
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2024.12.16 入試対策 中学数学（12/15 授業解説）