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図形の動点

(中学数学 1/18授業解説)

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

昨日(1/18)は、高校入試対策として「図形の動点」について授業を行いました。図形の辺上を動く点から、xとyを使って面積や体積を表す関数の問題です。辺の長さの表し方がポイントになります。


平面図形の動点

問題

下の正方形ABCDで、点PはAを出発し、辺AB、BC上をCまで動く。また、点Qは点PがAを出発するのと同時にBを出発し、点Pの1/2の速さで辺BCをCまで動く。点PがAからxcm動いたときの△APQの面積をycm²とする。あとの各問いに答えなさい。

1)0≦x≦6のとき、yをxの式で表しなさい。

2)6≦x≦12のとき、yをxの式で表しなさい。

1)

底辺AB=xcm

点PはBまで動く

高さQB=1x/2 cm

点QはCの中点まで動く

y=1/2×x×1x/2

y=1x²/4


2)

6≦x≦12のとき、点PとQはBC上にある。

底辺PQ

=BQ-BP

=1x/2ー(x-6)cm

=ー1X/2+6

高さAB=6 cm

y=1/2×(ー1x/2+6)×6

y=ー3x/2+18

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

立体図形の動点

問題

下の図の直方体で、点PはFを出発し、毎秒2cmの速さで辺FB上をBまで動く。また、点QはFを出発し、毎秒1cmの速さで辺FG、GH上をHまで動く。点P、QがFを同時に出発してからx秒後の三角すいPーEFQの体積をycm³とする。あとの各問いに答えなさい。

1)点Qが辺FG上にあるとき、yをxの式で表しなさい。

2)三角すいPーABDの体積が、三角すいPーEFQの体積と等しくなるのは、2点P、QがFを同時に出発してから何秒後か、求めなさい。

1)

底面を△EFQ、高さをPFとする。

△EFQ

=1/2×EF×QF

=1/2×3×x

=3x/2 cm²

高さPF=2x cm

y=1/3×3x/2×2x

y=x²


2)

三角すいPーABDの底面を△ADB、高さをBPとする。

△ADB

=1/2×3×4=6cm²

高さBP=(14ー2x)cm

三角すいP-ABD

=1/3×6×(14ー2x)

=28ー4x cm³

0≦x≦4のとき

x²=28ー4x

x²+4xー28=0

x=ー2+4√2(0≦x≦4)

4≦x≦7のとき、点QはGH上にある。

底面積は、1/2×3×4=6cm²のままだから、

三角すいPーEFQ

=1/3×6×2x

=4xcm³

4x=28ー4x

x=7/2

4≦x≦7を満たさないので、

答え:ー2+4√2秒

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

入試問題

2019年・青森県立高校入試

問題

下の図は、底面の半径が5cm、母線ABの長さが10cmの円柱である。点Pは点Aを出発し、円Oの円周上を一定の速さで動き、1周するのに30秒かかる。点Qは点Bを出発し、円Oの円周上を一定の速さで点Pと逆回りに動き、1周するのに45秒かかる。2点P、Qが同時に出発するとき、あとの各問いに答えなさい。

1)この円柱の表面積を求めなさい。

2)5秒後の∠AOPの大きさと線分PBの長さを求めなさい。

3)点Pが1周する間にOP//O’Qとなるのは出発してから何秒後か、すべて求めなさい。ただし、出発時は考えないものとする。

4)点Pが1周する間の線分PQの長さの変域を ㋐ ≦PQ≦ ㋑ で表すとき、㋐、㋑の値を求めなさい。

1)

底面積(2つ分)

π×5²×2=50π cm²

側面積(長方形)

たて 10 cm

よこ 2π×5=10π cm

※円周の長さと同じ

10×10π=100π cm²

表面積は、

50π+100π=150π cm²


2)

点Pは1周で30秒かかるから、弧APは円周の6分の1の長さになる(5/30=1/6)。中心角AOPも円Oの6分の1となるから、

∠AOP=360°×1/6=60°

∠AOP=60°、OA=OP(半径)から、

△OAPは正三角形となる(AP=5cm)。

△APB

AP=5cm、AB=10cm

三平方の定理より、

PB²=AP²+AB²

PB²=5²+10²

PB²=125

PB=5√5cm


3)

円Oと円O’を重ねた時、点PとQを結ぶ線が直線になるとき。

 ↓

∠AOP+∠BO’Q=180°、360°(180°+180°)、540°(360°+180°)のとき

※720°のときは、1周を超えて回ったとき

点PとQが同時に出発してからの時間をx秒とする。

∠AOP

=360°×x秒/30秒

=12x°

∠BO’Q

=360°×x秒/45秒

=8x°

12x°+8x°=20x°

20x°=180°、20x°=360°、20x°=540°

x=9,18、27

9秒後、18秒後、27秒後


4)

線分PQの長さが最小になるのは、PQ=母線の長さ=10cmになるとき。

※PQが底面に対して垂直

点Qを通る母線と円Oの円周との交点をRとする。

線分PQの長さが最大になるのは、PRの長さが直径になるとき。

※直角三角形PQRの斜辺が最大になるとき

△PQRで、三平方の定理より、

PQ²=PR²+QR²

PQ²=10²+10²

PQ²=200

PQ=10√2 cm(PQ>0)

㋐:10 ㋑:10√2


動点の練習問題





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八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学


指導実績

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八戸東高 八戸北高

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2025.1.19 図形の動点(中学数学 1/18授業解説)

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