模試解説② 数学
12/25 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
今週日曜日には中３対象の一斉模試があり、今週は受検した中学３年生に模試の解説を行っています。また、冬休みには各校で実力テスト（校内模試）が予定されており、その対策指導も行っています。
★高さが等しい三角形と合同
問題
下の図は、底面がＢＣ＝３cm、ＢＤ＝４cm、ＣＤ＝５cm、∠ＣＢＤ＝90°の直角三角形、高さＡＢ＝２cmの三角すいＡＢＣＤである。あとの各問いに答えなさい。
ア ＣＤ上にＣＥ＝４cmとなる点Ｅをとるとき、三角すいＡＢＣＥの体積を求めなさい。
△ＢＣＤと△ＢＣＥ
底辺が共通で、高さが等しい三角形
⇒ 面積が等しい
△ＢＣＤ
＝１／２×３×４
＝６cm²
△ＢＣＤの底辺をＣＤとする
ＣＥ：ＣＤ＝４：５より、
△ＢＣＥ＝４／５×△ＢＣＤ
△ＢＣＥ＝４／５×６cm²＝２４／５cm²
三角すいＡＢＣＥの底面を△ＢＣＥとする
高さＡＢ＝２cmだから、
体積は、
１／３×２４／５×２＝１６／５cm³
イ 辺ＣＤ上にＣＦ＝３cmとなる点Ｆをとるとき、点Ａから辺ＢＤを通って点Ｆまで糸をかける。この糸の長さが最も短くなるときの、糸の長さを求めなさい。
展開図にすると、ＡＦは直線になる。
展開図の△ＡＣＦと△ＤＣＢで、
ＣＦ＝ＣＢ＝３cm ①
ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝２＋３＝５cm
ＡＣ＝ＤＣ＝５cm ②
∠ＡＣＦ＝∠ＤＣＢ（共通） ③
①、②、③より、
２組の辺とその間の角が等しいから、
△ＡＣＦ≡△ＤＣＢ ④
△ＤＣＢは、∠Ｂ＝９０°の直角三角形
三平方の定理より、
ＤＢ²＋ＣＢ²＝ＤＣ²
ＤＢ²＋３²＝５²
ＤＢ²＝１６
ＤＢ＝４（ＤＢ＞０）
④よりＡＦ＝ＤＢだから、
ＡＦ＝４cm
★一次関数・図形の移動
問題
下の図１のように、図形ＡＢＣＤＥＦと長方形ＧＨＩＪが、直線ℓ上にある。図形ＡＢＣＤＥＦは、点Ｃと点Ｈが重なった状態から、直線ℓにそって右側に、点Ｂと点Ｉが重なるまで毎秒０．５秒の速さで進む。図形ＡＢＣＤＥＦが進み始めてからｘ秒後の、図形ＡＢＣＤＥＦと長方形ＧＨＩＪとの重なった部分の面積ｙcm²とする。図２は、図形ＡＢＣＤＥＦが進み始めてから、点Ｃと点Ｉが重なるまでのｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの各問いに答えなさい。
（１）
図形ＡＢＣＤＥＦが進み始めてから、点Ｃと点Ｉが重なるまでについて、次の空欄にあてはまる式と数を求めなさい。
① 線分ＣＨの長さをｘを使った式で表すと、（ ）cmである。
② ｘとｙの関係を式に表すと、ｙ＝（ ）である。
③ ｙ＝９となるのは、ｘ＝（ ）のときである。
①1秒間で0.5cm進むから、ｘ秒間で0.5ｘcm
②重なる部分（長方形）の面積は、
たて：１２－８＝４cm
よこ：0.5ｘcm
ｙ＝４×0.5ｘ＝２ｘ
③②の式に、ｙ＝９代入
２ｘ＝９
ｘ＝4.5
（２）
点Ｃと点Ｉが重なってから、点Ｂと点Ｈが重なるまでの、ｘとｙの関係を式に表しなさい。
点Ｃと点Ｉが重なるのは、４cm移動したときだから、
スタートから、４÷0.5＝８秒後に重なる
点Ｂと点Ｈが重なるのは、８cm移動したときだから、
スタートから、８÷0.5＝１６秒後に重なる
よって、８≦ｘ秒≦１６のときの式を表せばよい
ｙ＝２ｘに、ｘ＝８代入
ｙ＝１６
点Ｃと点Ｉが重なるとき（８，１６）
ｘ＝１６のとき、長方形ＧＨＩＪに図形ＡＢＣＤＥＦの長方形が重なるときだから、ｙ＝４８
点Ｂと点Ｈが重なるとき（１６，４８）
２点を通る式を求める
ｘの増加量：１６－８＝８
ｙの増加量：４８－１６＝３２
変化の割合：３２／８＝４
ｙ＝４ｘ＋ｂに、（８，１６）代入
１６＝３２＋ｂ
ｂ＝ー１６
よって、ｙ＝４ｘ－１６
（３）
点Ｂと点Ｉが重なるまでに、図形ＡＢＣＤＥＦと長方形ＧＨＩＪとの重なった部分の面積が３４cm²以上になるのは何秒間か、求めなさい。
点Ｂと点Ｉが重なるのは、12cm移動したときだから、
スタートから、12÷0.5＝24秒後に重なる
ｘ＝24のとき、ｙ＝０になるから、
点Ｂと点Ｉが重なるときは（２４，０）
点Ｂと点Ｈが重なったときの（１６，４８）と（２４，０）を通る式を求める。
ｘの増加量：２４－１６＝８
ｙの増加量：０－４８＝ー４８
変化の割合：ー４８／８＝ー６
ｙ＝ー６ｘ＋ｂに、（２４，０）代入
０＝ー１４４＋ｂ
ｂ＝１４４
よって、ｙ＝ー６ｘ＋１４４
ｙ＝３４となるのは、ｙ＝４ｘ－１６とｙ＝ー６ｘ＋１４４の２つのグラフ上にあるから、それぞれに代入する。
３４＝４ｘ－１６
４ｘ＝５０
ｘ＝２５／２秒
３４＝ー６ｘ＋１４４
６ｘ＝１１０
ｘ＝５５／３秒
以上から
５５／３－２５／２
＝３５／６秒間
★相似の証明と利用
問題
下の図のように、△ＡＢＰがあり、線分ＡＰを対称の軸として対称移動させてできた三角形を△ＡＣＰとする。点Ｃを通り、辺ＡＢに平行な直線と直線ＢＰとの交点をＱ、辺ＡＣと直線ＢＰとの交点をＲとする。あとの各問いに答えなさい。
（１）
△ＰＣＱ∽△ＰＲＣであることを証明しなさい。
証明
△ＰＣＱとＰＲＣにおいて、
共通な角だから、
∠ＣＰＱ＝∠ＲＰＣ ①
ＡＢ//ＱＣより、錯角が等しいから、
∠ＰＱＣ＝∠ＡＢＰ ②
△ＡＣＰは△ＡＢＰを対称移動したものだから、
∠ＰＣＲ＝∠ＡＢＰ ③
②、③から、
∠ＰＱＣ＝∠ＰＣＲ ④
①、④から、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＰＣＱ∽△ＰＲＣ
（２）
ＰＲ＝４cm、ＰＣ＝６cmのとき、次の各問いに答えなさい。
ア 線分ＲＱの長さを求めなさい。
△ＰＣＱ∽△ＰＲＣより
ＰＣ：ＰＱ＝ＰＲ：ＰＣ
６：ＰＱ＝４：６
４ＰＱ＝３６
ＰＱ＝９
ＲＱ＝ＰＱ－ＰＲ
ＲＱ＝９－４＝５cm
イ △ＡＰＲと△ＲＣＱの面積比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
△ＲＡＢと△ＲＣＱで、
ＡＢ//ＣＱより、
∠ＡＢＲ＝∠ＣＱＲ（錯角） ①
∠ＲＡＢ＝∠ＲＣＱ（錯角） ②
２組の角が等しいから、
△ＲＡＢ∽△ＲＣＱ
問題より、ＢＰ＝ＰＣ＝６cm
ＢＲ＝ＢＰ＋ＰＲ＝６＋４＝１０cm
アより、ＱＲ＝５cm
相似比は、
ＢＲ：ＱＲ＝１０：５＝２：１
よって、面積比は、
△ＲＡＢ：△ＲＣＱ＝４：１
４△ＲＣＱ＝△ＲＡＢ
△ＲＣＱ＝１／４×△ＲＡＢ ③
△ＲＡＢの底辺をＢＲとする
ＢＲ：ＰＲ＝１０：４＝５：２
△ＲＡＢと△ＡＰＲは高さが等しいから、面積比は、
△ＲＡＢ：△ＡＰＲ＝５：２
５△ＡＰＲ＝２△ＲＡＢ
△ＡＰＲ＝２／５×△ＲＡＢ ④
③、④から、
△ＡＲＰ：△ＲＣＱ
＝２／５：１／４
＝８／２０：５／２０
＝８：５
★二次関数と一次関数
問題
下の図のグラフは、関数ｙ＝ー１ｘ²／４である。点Ａは、グラフ上の点でｘ座標が負の値をとり、ｙ座標はー９である。点Ｂは、グラフ上の点でｘ座標が正の値をとり、ｙ座標はー４である。あとの各問いに答えなさい。
（１）
直線ＡＢの式を求めなさい。
点Ａ
ｙ＝ー１ｘ²／４に、ｙ＝ー９代入
ｘ＝±６
ｘ＜０より、ｘ＝ー６
点Ｂ
ｙ＝ー１ｘ²／４に、ｙ＝ー４代入
ｘ＝±４
ｘ＞０より、ｘ＝４
点Ａ（ー６，－９）
点Ｂ（４，－４）
ｘの増加量：４－（－６）＝１０
ｙの増加量：ー４－（ー９）＝５
変化の割合：５／１０＝１／２
ｙ＝１／２ｘ＋ｂに、（４，－４）代入
ー４＝２＋ｂ
ｂ＝ー６
よって、ｙ＝１／２ｘー６
（２）
点Ｂからｘ軸にひいた垂線とｘ軸との交点をＣ、直線ＡＢとｙ軸、ｘ軸との交点をそれぞれＤ、Ｅとする。このとき、次のア、イに答えなさい。
ア 線分ＣＥの長さを求めなさい。
点Ｃのｘ座標は、Ｂと同じだから４（ｘ＝４）
点Ｅはｙ＝０だから、ｙ＝１／２ｘー６に代入して、ｘ＝１２
よって、ＣＥ＝１２ー４＝８
イ △ＣＥＢの面積は、△ＥＯＤの面積の何倍か、求めなさい。
ＣＢ//ＯＤより、
△ＥＣＢ∽△ＥＯＤ
ＥＣ＝８、ＥＯ＝１２より、
相似比２：３
面積比４：９
よって、
△ＥＣＢ（ＣＥＢ）÷△ＥＯＤ
＝４÷９＝４／９倍
★二次関数・変化の割合
問題
下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフ上に、２点Ａ、Ｂがある。点Ａのｘ座標をー２、点Ｂのｘ座標を４とする。このとき、あとの各問いに答えなさい
（１）
ｘの値がー２から４まで増加するときの変化の割合を、ａの式で表しなさい。
ｘの増加量：４－（－２）＝６
ｙの増加量：１６ａー４ａ＝１２ａ
よって、変化の割合は、
１２ａ／６＝２ａ
（２）
△ＯＡＢの面積が８４となるとき、ａの値を求めなさい。
（１）より、直線ＡＢの傾きは２ａ
ｙ＝２ａｘ＋ｂに、（ー２，４ａ）代入
４ａ＝ー４ａ＋ｂ
ｂ＝８ａ（切片）
直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする
△ＯＡＣ
底辺ＯＣ：８ａ
高さ：２
１／２×８ａ×２＝８ａ
△ＯＢＣ
底辺ＯＣ：８ａ
高さ：４
１／２×８ａ×４＝１６ａ
△ＯＡＢ
＝△ＯＡＣ＋△ＯＢＣ
＝８ａ＋１６ａ＝２４ａ
よって、
２４ａ＝８４
ａ＝８４／２４＝７／２
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2024.12.26 模試解説② 数学（12/25 授業解説）