top of page
執筆者の写真: たむかい学習教室たむかい学習教室

辺の長さと比②

(中学数学 1/27授業解説)

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。


三平方の定理の応用

問題

下の図は、円錐の展開図である。側面のおうぎ形の中心角が216°、底面の円の半径が6cmのとき、円錐の体積を求めなさい。

おうぎ形の弧は底面の円周と等しい

B’B=2π×6=12π cm

おうぎ形の半径をxcmとする

2π × x × 216°/360°=12π

x=10 cm

おうぎ形の半径は円錐の母線(AB)になるから、△AOBで三平方の定理より、

AO²=AB²ーBO²

AO²=10²ー6²=64

AO=8cm(AO>0)

高さ8cmになるから、円錐の体積は、

1/3×36π×8

96π cm³


中心角は「360°×底面の半径/母線の長さ」で求められる。

母線の長さをxcmとする

360°×6/x=216°

216x=2160

x=10 cm


問題

下の図のように、半径6cmの球を平面で切ったとき、その切り口は半径5cmの円になった。球の中心と平面との距離を求めなさい。

下図の通り、求める距離をOA、切り口の半径をABとする。

△OABで三平方の定理より、

OA²=OB²ーAB²

OA²=6²ー5²=11

OA=√11 cm


問題

下の図のような正四角錐がある。線分ACとBDの交点をMとする。点Mから辺OCに垂線をひき、辺OCとの交点をPとする。線分MPの長さを求めなさい。

△BACで直角二等辺三角形の辺の比より、AC=4√2cm

MC=AC×1/2より、MC=2√2cm

△OMCで三平方の定理より、

OM²=OC²ーMC²

OM²=6²ー(2√2)²=28

OM=2√7cm(OM>0)

△OMCの面積は、

1/2×2√2×2√7=2√14 cm²

△OMCの底辺をOC、求めるMPを高さとする。

1/2×6×MP=2√14

3MP=2√14

MP=2√14/3 cm

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市
たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

相似の応用

問題

下の図のように、AB=10cm、AD=6cm、∠ABC<90°である平行四辺形ABCDにおいて、∠DABの二等分線と辺BCをCのほうへ延長した直線との交点をEとする。線分AEと対角線BD、辺CDとの交点をそれぞれF、Gとする。あとの各問いに答えなさい。

1)△ABFと相似な三角形を答えなさい。

2)線分AGと線分GEの長さの比を求めなさい。

3)GE=3cmのとき、線分FGの長さを求めなさい。

1)

AB//DGより、平行線の錯角は等しいから、

∠ABF=∠GDF

∠BAF=∠DGF

2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABF∽△GDF


2)

∠BAF=∠DGFより

∠DAG=∠DGF

△DAGは、DA=DGの二等辺三角形だから、DG=6cm

CG=CD-DGより

CG=10ー6=4cm

AD//CEより、錯角は等しいから

∠DAG=∠CEG ①

△CEGで、対頂角は等しいから

∠DGF=∠CGE ②

①、②より

∠CEG=∠CGE

△CEGは、CE=CGの二等辺三角形だから、CG=4cm

△ADGと△ECGは、2組の角がそれぞれ等しいので、

△ADG∽△ECG

対応する辺の比は等しいから、

AG:GE=DG:CG

DG=6cm、CG=4cmより、

AG:GE=3:2


3)

AG:GE=3:2より、

AG:3cm=3:2

AG=9/2 cm

△ABF∽△GDFより、

AF:GF=AB:GD

AB=10cm、GD=6cmより、

AF:GF=5:3

FG=3/8×AG

よって、

FG=3/8×9/2=27/16 cm

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

二次方程式の応用

問題

下の図のような直角三角形ABCがある。辺AB、辺BC上にそれぞれ点P、QをAP=CQとなるようにとる。△PBQの面積が5cm²であるとき、APの長さを求めなさい。

求めるAPの長さをxcmとする

PB=AB-APだから、

PB=(4-x)cm ①

AP=CQ=xcmより、

BQ=(6-x)cm ②

①、②より

1/2×(4-x)×(6-x)=5

x²ー10x+14=0

解の公式より

x=5±√11 

0<x<4より、

x=5-√11 cm

√9<√11<√16 ⇒ 3<√11<4

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

弧の長さ

問題

下の図のようなおうぎ形の、弧の長さと面積を求めなさい。

弧の長さ

2πr× 中心角/360°

2π × 10 × 72°/360°

4π cm

面積

πr² × 中心角/360°

=π × 10² × 72°/360°

20π cm²

別解

面積は「1/2×弧の長さ×半径」で求められる。

1/2×4π × 10

20π cm²


四角錐の表面積

問題

下の図の正四角錐の表面積と体積を求めなさい。

表面積=底面積+側面積

底面積(正方形1つ分)

6×6=36cm²

側面積(三角形4つ分)

1/2×6×5×4=60cm²

よって、表面積は、

36+60=96cm²

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市
たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

角度の求め方

問題

下の図で∠xの大きさを求めなさい。

向かい合う三角形の外角がそれぞれ等しいから

62°+42°=54°+x

x=50°


解き方①

下図の通り、線分EDをひく。

△ABDの内角と外角の関係より、

∠CDE=40°+64°=104°

△CDEの内角と外角の関係より、

∠x=104°+38°=142°

解き方②

下図の通り、線分ACをひく。

∠EAC+∠ECA

=180°ー(40°+64°+38°)

=36°

△EACで、

∠x=180°ー36°=142°

上の2つの解き方から、∠x=∠A+∠B+∠Cになることが分かる。


問題

下の図で∠Pの大きさを求めなさい。

∠ABC+∠ACB

=180°ー66°

=114°

∠PBC+∠PCB

=114°÷2

=57°

∠P=180°ー57°=123°


問題

下の図で、∠a+∠b+∠c+∠d+∠eの大きさを求めなさい。

下図の通り、∠a~∠eを頂点とする5つの三角形それぞれの内角は、外角との関係より5つの角の和になる。

よって、

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180°


三角形の内角と外角の関係

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市








2025年度・塾生募集

たむかい学習教室

完全1対1 個別指導

たむかい学習教室 青森県八戸市 個別指導 塾

受講開始のご予約は今がチャンス!

完全マンツーマン指導の当塾では、新学期からの受講枠に限りが出てまいります。受講開始のご予約、入塾に関するご相談は、ぜひこの機会に当塾までお問い合わせください。

対象:中学生・高校生、小学4~6年生


「充実度No.1」

完全1対1の個別指導

『1対1で分かるまで教えてほしい!!』

『成績アップと志望校合格をめざしたい!!』

多くの生徒さんや親御さんのご期待に、本当の意味でお応えできるよう、当塾では「生徒一人に教師一人」の授業で、塾生の学習を本格的にサポートしております。


塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい?」

「長い問題文が苦手。どうしたらいい?」

「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」


完全1対1授業でホンネを解決!

苦手の克服に最適

受験に強い個別指導

経験豊富な講師の一貫指導

たむかい学習教室 青森県八戸市 個別指導 塾

苦手の克服に最適

 5教科対応で、各教科苦手にしている学習内容を、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」自信につながります。学校の授業が定着しやくすなり、テストの成績アップも期待できます。


受験に強い個別指導

 入試の出題範囲は多岐にわたり、受験までの期間には、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全1対1授業の強みです。


経験豊富な講師の一貫指導

 経歴20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めて受講した生徒さんからも「分かりやすい」と好評です。常に、「生徒の腑に落ちる指導」に努めております。


安心の授業料で本格サポート

入塾費・高額教材なし

お支払いは授業料のみ

たむかい学習教室 青森県八戸市 個別指導 塾

入塾費・高額教材なし

 入塾費や高額な教材費はございません。また、授業料以外にいただく追加料金も一切ございません。費用の面でも安心して頼れる教室を目指しております。


お支払いは授業料のみ

 ご入塾後は、毎月お支払いいただく授業料のみで受講いただけます。

 <1か月授業料(税込)>

 90分授業:14,800円(月4回)

 120分授業:17,600円(月4回)


(例)1回・90分授業の場合

教師1名・生徒3名の複数指導

1名につき30分の個別指導

指導時間は3分の1、実質料金は割高に

 

教師1名・生徒1名の完全個別指導

完全90分の個別指導(当塾)

生徒1名に100%の指導時間


親御さんの声

できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」


合格実績(開塾2年 2023-24)

八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学


指導実績

八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中 福地中

八戸東高 八戸北高

吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小

今年度塾生32名(2025年1月現在)

たむかい学習教室 青森県八戸市 個別指導 塾

塾生の声

「苦手意識が ”自信” に変わりました」

(中学3年)

塾生の声

数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。


「体験学習から受験合格へ」

(小学6年)

塾生の声

今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。


お申し込み・お問い合わせ

ご相談はお気軽にお尋ねください

たむかい学習教室 青森県八戸市 個別指導 塾

電話番号

050-3637-1500

電話受付 10:00-21:00


フォームからは24時間受付


住所

イオン田向店から車で1分


【周辺道路 車での所要時間】

八戸大野線

三陸道是川IC2分

パークホテル5分

八戸環状線

八戸道八戸IC8分

四本松交差点8分

島守八戸線

是川縄文館5分

是川支所7分


2025.1.28 辺の長さと比②(中学数学 1/27授業解説)

bottom of page