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三平方の定理の応用

(中学数学 1/23授業解説)

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

入試直前の中学3年生には、高校受験のための対策講習を実施しています。入学試験の数学では、「三平方の定理」を使う出題があります。図形やグラフに応用されますが、補助線をひいて直角三角形を見出すことや計算の工夫を必要とする出題になります。


円柱と球

問題

下の図のように、直径24cm、高さ27cmの円柱形の容器に大きい球を入れた。次に、大きい球の半分の半径の小さい球を入れてふたを閉めたところ、図のように2つの球は互いに接し、ちょうどこの容器にぴったりと入った。大きい球は下の底面と側面に接し、小さい球は容器のふたと側面に接している。小さい球の半径を求めなさい。

小さい球の半径をxcm、大きい球の半径を2xcmとする。

下図のように、球の中心どうしを結んだ線を、直角三角形の斜辺とする。

斜辺

x+2x=3x cm

底辺

24-(2x+x)

=24-3x

=3(8-x)cm

高さ

27-(2x+x)

=27-3x

=3(9-x)cm

三平方の定理より、

3²×(8ーx)²+3²×(9ーx)²=3²×x²

両辺÷3²

(8ーx)²+(9ーx)²=x²

64ー16x+x²+81ー18x+x²=x²

x²ー34x+145=0

(x-5)(x+29)=0

x=5(x>0)

よって、5cm

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

角柱と球

問題

1辺が2mの立方体の容器ABCD-EFGHに半径1mの球が、下の図のようにちょうど収まっている。容器と球のすき間に、水面の高さが容器の底から1.6mになるまで水を入れた。このとき、水面と球の境界線でできる円の面積を求めなさい。ただし、容器は水平に置いてあるものとする。

求める半径をxcmとする

下図のように、求める半径を底辺、球の中心から円の中心までの距離を高さ、球の半径を斜辺とする。

球の中心から円の中心までの距離は、

1.6-1=0.6m

求める円の半径をrとして、三平方の定理より、

r²+0.6²=1²

r²=0.64

円の面積の公式(πr²)より、

π × 0.64=0.64π cm²


円錐と糸の最短距離

問題

下の図のように、底面の円の直径ABが4cm、母線の長さが4cmの円錐がある。あとの各問いに答えなさい。

1)円錐の体積と表面積をそれぞれ求めなさい。

2)点Aから円錐の側面にそって点Bまでひもをかける。ひもの長さが最も短くなるようにするとき、このひもの長さを求めなさい。

1)

底面の中心をO、錐の頂点をPとする

△PAOで、三平方の定理より、

PO²+OA²=PA²

PO²+2²=4²

PO²=12

PO=2√3cm(PO>0)

求める体積は、

1/3×4π×2√3

8√3π/3 cm³

側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周と等しいから、2π×2=4π cm

おうぎ形の面積は、

1/2×4π×4 

=8π cm²

底面の面積は、1)より4π cm²だから、

8π+4π=12cm²

おうぎ形の面積は、「1/2×弧の長さ×母線の長さ」で求められる。


2)

おうぎ形(半円)上のAとBを結ぶ直線が最短距離になる

※側面は中心角180°の半円

下図の通り、錐の頂点(半円の直径の中点)をPとする。

△APBで、∠APB=90°、AP=BP

直角二等辺三角形の比より、

AB=2√2cm

よって、

2√2×2=4√2cm


角柱の切り口

問題

下の図のように、直方体ABCD-EFGHがあり、辺CG上に∠BPD=60°となるように点Pをとる。3つの頂点B、P、Dを通る平面でこの直方体を切ったときにできる切り口の面積を求めなさい。

上面のABCDが正方形だから、PB=PD

∠BPD=60°より、△PBDは正三角形

△DCBで、直角二等辺三角形の辺の比より、

BD:BC=√2:1

BD:4=√2:1

BD=4√2

Pからの垂線とBDとの交点をQとする。

△PBQで、PB=4√2、BQ=2√2だから、三平方の定理より、

PQ²=(4√2)²ー(2√2)²

PQ²=24

PQ=2√6(PQ>0)

△PBDの面積は、

1/2×4√2×2√6

8√3cm²


相似な三角形

問題

下の図で四角形ABCDは長方形で、E、Fはそれぞれ辺AD、CD上の点である。EB=13cm、BC=14cm、FC=3cm、EF=6cmのとき、△EFDの面積を求めなさい。

EB²+EF²

=13²+6²=205

BF²

=14²+3²=205

△BEFは、∠BEF=90°の直角三角形

△ABEと△DEFで、

∠BEF=90°より、

∠AEB=∠DFE、∠A=∠D=90°

よって、△ABE∽△DEF

DE=xcmとする

BE:EF=13:6 から、

AB:DE=13:6

AB:x=13:6

AB=13x/6 cm

DE=xcm から、AE=(14ーx)cm

AE:DF=13:6

(14ーx):DF=13:6

DF=6(14ーx)/13 cm

AB=DCより、

13x/6=6(14ーx)/13+3

x=18/5

よって、DF=24/5 cm

△EFDの面積は、

1/2×18/5×24/5

216/25 cm²

たむかい学習教室 個別指導 塾 八戸市

「三平方の定理」練習問題





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2025.1.24 三平方の定理の応用(中学数学 1/23授業解説)

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