一次関数のグラフと図形

たむかい学習教室
6月22日
読了時間: 8分

一次関数のグラフと図形

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　早いもので１学期も後半を迎えていますが、中３の塾生の中には、来春の受験に向けて入試対策に取り組み始めている生徒もいます。中２数学の一次関数では、グラフを使った図形の応用問題があり、高校入試ではよく出題される問題となっています。

問題

関数ｙ＝３ｘ／２のグラフ上に、ｘ座標が正の数の点Ａをとる。Ａからｘ軸に垂線をひき、交点をＢとする。ｘ軸上に、Ｂより右側に、ＢＣ＝３cmとなる点Ｃをとり、長方形ABCDを作る。点Ａのｘ座標をａ、長方形ABCDの面積をＳcm²として、あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の１目もりを１cmとする。

1）Ｓをａの式で表しなさい。

2）長方形ABCDの面積が18cm²のときのａの値を求めなさい。

1）

点Ａのｘ座標はａ

ｙ＝3/2ｘ上の点だから

ｙ＝3/2ｘにｘ＝ａを代入

ｙ＝3/2ａ

ＡＢの長さはｙ座標の値から

3/2ａ－０＝3/2ａ cm

Ｓ＝ＡＢ×ＢＣより

　＝3/2ａ×３

　＝9/2ａ cm²

Ｓ＝9/2ａ

2）

Ｓ＝9/2ａに、Ｓ＝18を代入

9/2ａ＝18

ａ＝18×2/9

ａ＝４

問題

下の図のように、３点Ａ（３，６）、Ｂ（６，２）、Ｃ（２，３）と、線分ＡＢ上を動く点Ｐがある。あとの各問いに答えなさい。

1）関数ｙ＝ａ／ｘのグラフが点Ａを通るとき、ａの値を求めなさい。

2）直線ＣＰとｙ軸との交点のｙ座標をｂとする。点ＰがＡからＢまで動くとき、ｂの値の範囲を不等号を使って表しなさい。

1）

ｙ＝ａ／ｘより、ａ＝ｘｙ

ｘ＝３、ｙ＝６を代入

ａ＝３×６

ａ＝18

2）

点ＰがＡにあるとき

Ａ（３，６）　Ｃ（２，３）

ｘの増加量　３－２＝１

ｙの増加量　６－３＝３

変化の割合（傾き）　３／１＝３

ｙ＝３ｘ＋ｂに（２，３）を代入

６＋ｂ＝３

ｂ＝－３　①

点ＰがＢにあるとき

Ｂ（６，２）　Ｃ（２，３）

ｘの増加量　６－２＝４

ｙの増加量　２－３＝－１

変化の割合　－１／４

ｙ＝－1/4ｘ＋ｂに（２，３）を代入

－1/2＋ｂ＝３

ｂ＝7/2　②

①、②より

－３≦ｂ≦7/2

※ｂの値は－３と7/2も含むから、記号は「＝」付きの不等号で表す。

変化の割合

グラフ上の２点から傾きａを求めるときは、「変化の割合」を使うようにします。

※座標を文字で表す問題の場合、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立方程式をつくる求め方では、ａとｂ以外にも文字を使うことになるため。

問題

下の図で、原点Ｏを通る直線ℓと点Ａ（０，３）を通る直線ｍとの交点の座標は（６，６）である。あとの各問いに答えなさい。

1）直線ｍの式を求めなさい。

2）図のように、点Ｂ、Ｄを直線ℓ上にとり、点Ｃを直線ｍ上にとって、ＡＢ、ＣＤがｘ軸に、ＢＣがｙ軸にそれぞれ平行になるようにする。点Ｄの座標を求めなさい。

1）

直線ｍの切片の値は３

傾きをａとする

ｙ＝ａｘ＋３に（６，６）を代入

６ａ＋３＝６

ａ＝1/2

よって、

ｙ＝1/2ｘ＋３

2）

ℓの式は、原点を通るからｙ＝ａｘ

（６，６）を通るから、変化の割合は１

ℓの式は、ｙ＝ｘ

ＡＢはｘ軸に平行だから

ＡとＢのｙ座標は同じ３

Ｂはｙ＝ｘ上の点だから、ｘ＝３

ＢＣはｙ軸に平行だから

ＢとＣのｘ座標は同じ３

Ｃはｙ＝1/2ｘ＋３上の点だから

ｙ＝1/2×３＋３

　＝9/2

ＣＤはｘ軸に平行だから

ＣとＤのｙ座標は同じ9/2

Ｄはｙ＝ｘ上の点だから、ｘ＝9/2

よって、（9/2，9/2）

切片

一次関数のグラフが（０，ｂ）を通るときは、ｂは切片の値になります。例えば、（０，５）を通るとき、切片は＋５です。

※（０，～）は、ｙ軸上の点

問題

一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂで、ｘ＝－６のときｙ＝５であり、ｘの値が３ずつ増加するとｙの値は２ずつ減少する。ｂの値を求めなさい。

変化の割合（傾きａ）を求める

ｘの増加量　３

ｙの増加量　－２

変化の割合　－2/3

ｙ＝－2/3ｘ＋ｂに、ｘ＝－６、ｙ＝５を代入

４＋ｂ＝５

ｂ＝１

よって、

ｙ＝－2/3ｘ＋１

問題

直線ｙ＝ａｘ＋ｂは、直線ｙ＝－５ｘ＋１に平行で、直線ｙ＝３ｘ－６とｘ軸との交点を通る。ａ、ｂの値をそれぞれ求めなさい。

ｙ＝－５ｘ＋１に平行だから、ａ＝－５

ｙ＝３ｘ－６とｘ軸との交点は、ｙ＝０を代入

３ｘ－６＝０

ｘ＝２

求める式は（２，０）を通るから

ｙ＝－５ｘ＋ｂに（２，０）を代入

－10＋ｂ＝０

ｂ＝10

以上から

ａ＝－５，ｂ＝10

定点公式

傾きａ、点（ｐ，ｑ）を通る式

ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）＋ｑ

傾き－５、（２，０）を通る式は、

ｙ＝－５（ｘ－２）＋０

ｙ＝－５ｘ＋10

融合問題

問題

下の図で、①は関数ｙ＝ａ／ｘのグラフ、②は関数ｙ＝ｘのグラフである。２点Ａ、Ｂは①上の点で、点Ａの座標は（－１，８）で、点Ｂのｘ座標が４である。また、点Ｃは②上の点で線分ＣＢはｘ軸と平行である。点Ｄは直線ＡＢと②の交点であり、点Ｅは直線ＡＢとｙ軸との交点である。あとの各問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線ＡＢの式を求めなさい。

3）点Ｄの座標を求めなさい。

4）△ＤＥＯの面積は、△ＢＣＤの面積の何倍か、求めなさい。

1）

点Ａは①上の点だから

ｙ＝ａｘに、（－１，８）を代入

－ａ＝８

ａ＝－８

2）

点Ｂは①上の点だから

ｙ＝－８／ｘに、ｘ＝４を代入

ｙ＝－８／４

　＝－２

Ａ（－１，８）　Ｂ（４，－２）

ｘの増加量　４－（－１）＝５

ｙの増加量　－２－８＝－10

変化の割合　－10／５＝－２

切片の値をｂとする

ｙ＝－２ｘ＋ｂに、（４，－２）を代入

－８＋ｂ＝－２

ｂ＝６

よって、ｙ＝－２ｘ＋６

3）

②の式　ｙ＝ｘ

ＡＢの式　ｙ＝－２ｘ＋６

２つの式から

ｘ＝－２ｘ＋６

３ｘ＝６

ｘ＝２　ｙ＝２

よって、（２，２）

4）

△ＤＥＯの底辺をＥＯ、高さをＤからＥＯへの垂線とする。

Ｅのｙ座標は６だから

底辺ＥＯは、６－０＝６

Ｄのｘ座標は２だから

高さは、２－０＝２

△ＤＥＯ

＝６×２×1/2

＝６

△ＢＣＤの底辺をＣＢ、高さをＤからＣＢへの垂線とする。

点Ｃのｙ座標はＢと同じ－２

Ｃは②上の点だからｘ＝－２

底辺ＣＢは、４－（－２）＝６

点Ｄのｙ座標が２、ＢとＣのｙ座標が－２だから

高さは、２－（－２）＝４

△ＢＣＤ

＝６×４×1/2

＝12

△ＤＥＯ÷△ＢＣＤ

＝６÷12

＝1/2

よって、1/2倍

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