中３受験生 募集のお知らせ 受験生の『成績アップ』と『志望校合格』を全力応援します！！ 当塾では、『５科目対応の完全個別指導』を行っております。テスト対策と受験対策に強い完全個別指導で、多数の生徒さんを成績アップと志望校合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします！！ 募集対象 2027年度の高校受験において、以下の高校を志望する中学３年生の方を募集いたします。 八戸高校　八戸東高校　八戸北高校　国立八戸高専　 私立高校の進学系学科（学業奨学生、学業特待生） 受講時数 １回・90分　週１～２回 毎回、１対１の完全個別指導 毎週決まった時間帯での受講となります 対応科目 数学　英語　国語　社会　理科 １か月受講料 定額　14,800円（税込） １枠・月４回分 入塾費、セット教材費なし 体験学習 ご入塾をご検討の方に「体験学習」を実施しております。 お申し込みは、当塾ホームページ、お電話にて承ります。 👉体験学習のご案内 　 ※ＨＰの案内ページに移動します 当塾の特長 「完全個別」による充実の学習スタイル ★ 100%オーダーメイド 　全科目対応で、「自分が解けない問題」だけに集中して解決できます。得意な所はスキップし、苦手な所にだけ時間を割けるので、効率良く学習が進められます。 ★ 質問の待ち時間ゼロ 　集団塾でよくある「質問の順番待ち」はありません。授業時間を最大限に有効活用できるタイムパフォーマンスの良い授業スタイルです。 ★ 自分のペースで進められる 　「今までの復習をしたい」「これから先の予習をしたい」など、自分のペースで学習が進められます。「周りに合わせる場面がゼロ」のストレスフリーな学習環境です。 🌸合格実績（開塾４年間）🌸 八戸高校：４名　八戸東高校：10名　八戸北高校：11名　国立八戸高専：２名 工大二高・進学コース：３名　聖ウルスラ学院・英語科：１名 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.22 中３受験生 募集のお知らせ 👉中学生コース 👉高校生コース

平方根の基本 平方根は「２乗する前の数」のことをいいます。例えば「９」は、（＋３）²と（－３）² なので、９の平方根は ±３になります。また、２や３のように平方根が整数にならないときは、√（ルート）を使って表します。 問題 次の数の平方根をいいなさい。 1）36 2）49 　 ４ 3）━ 　 25 1） 同じ数を掛けて36になるのは （＋６）×（＋６） （－６）×（－６） よって、 36の平方根は、±６ 2） （＋７）×（＋７） （－７）×（－７） よって、 49の平方根は、±７ 3） （＋2/5）×（＋2/5） （－2/5）×（－2/5） よって、 4/25の平方根は、±2/5 問題 根号を使って、次の数の平方根を表しなさい。 1）３ 2）10 3）1.3 　 ３ 4）━ 　 ７ 1） 同じ数を掛けて３になるのは （＋√３）×（＋√３） （－√３）×（－√３） よって、 ３の平方根は、±√３ 2） （＋√10）×（＋√10） （－√10）×（－√10） よって、 10の平方根は、±√10 3） （＋√1.3）×（＋√1.3） （－√1.3）×（－√1.3） よって、 1.3の平方根は、±√1.3 4） 　　 ３　　　　 ３ （＋√ ━）×（＋√ ━） 　　 ７　　　　 ７ 　　 ３　　　　 ３ （－√ ━）×（－√ ━） 　　 ７　　　　 ７ よって、 ３　　　　　　　 ３ ━の平方根は、±√ ━ ７　　　　　　　 ７ 問題 次の数を根号を使わずに表しなさい。 1）√36 2）－√81 3）√１ 4）√（－３）² 1） √36＝√６²＝６ 2） －√81＝－√９²＝－９ 3） √１＝√１²＝１ 4） √（－３）² ＝√９＝√３²＝３ 問題 次の数を求めなさい。 1）（√７）² 2）（－√13）² 3）（√16）² 1） （√７）² ＝（√７）×（√７） ＝７ 2） （－√13）² ＝（－√13）×（－√13） ＝13 3） （√16）² ＝（√16）×（√16） ＝16 ※ （√16）² ＝（√４²）² ＝４² ＝16 問題 次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。 1）√13、√15 2）４、√17 3）－√10、－√13 4）√0.1、0.1 5）３、４、√10 6）－２、－√２ 1） √13＜√15 2） ４、√17 √16、√17 ４＜√17 3） －√10＞－√13 👉負の数は、絶対値が大きいほど小さい。 4） √0.1、0.1 √0.1、√0.01 √0.1＞0.1 5） ３、４、√10 √９、√16、√10 ３＜√10＜４ 6） －２、－√２ －√４、－√２ －２＜－√２ 有理化 問題 次の数の分母を有理化しなさい。 1） ２ ━━ √５ 2） √３ ━━ √２ 3） ５ ━━ √27 4） 10 ━━ √８ 有理化：「×１」をする 1） ２　 √５ ━━×━━ √５　 √５ 　 ２√５ ＝━━━ 　 ５ 2） √３　 √２ ━━×━━ √２　 √２ 　 √６ ＝━━ 　 ２ 3） ５ ━━ √27 　 ５　　√３ ＝━━━×━━ ３√３　 √３ 　 ５√３ ＝━━━ 　　９ 4） 10 ━━ √８ 　 10　 ＝━━━ 　 ２√２ 　 ５　 √２ ＝━━×━━ 　 √２　 √２ 　 ５√２ ＝━━━ 　 ２ 問題 次の計算をしなさい。ただし、分母は有理化すること。 1）６÷√３ 2）√20÷√12 1） ６÷√３ 　 ６　 √３ ＝━━×━━ 　 √３　 √３ 　 ６√３ ＝━━━ 　　３ ＝２√３ 2） √20÷√12 　 √20 ＝━━ 　 √12 ルート内を約分 　 √５　 √３ ＝━━×━━ 　 √３　 √３ 　 √15 ＝━━ 　 ３ 近似値 問題 √３＝1.732として、次の値を求めなさい。 1）√27 2） 12 ━━ √３ 1） √27 ＝３√３ ＝３×1.732 ＝5.196 2） 12　 √３ ━━×━━ √３　 √３ ＝４√３ ＝４×1.732 ＝6.928 問題 √５＝2.236として、次の値を求めなさい。 1）√20 2）√80 3） １ ━━ √５ 4） 　５ ━━━ ２√５ 1） √20 ＝２√５ ＝２×2.236 ＝4.472 2） √80 ＝４√５ ＝４×2.236 ＝8.944 3） １　 √５ ━━×━━ √５　 √５ 　 √５ ＝━━ 　 ５ 👉割る数を有理数にする ＝√５÷５ ＝2.236÷５ ＝0.4472 4） 　５　　√５ ━━━×━━ ２√５　 √５ 　 √５ ＝━━ 　 ２ ＝√５÷２ ＝2.236÷２ ＝1.118 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.21 平方根の基本 👉ブログ TOP

２次関数の最大値と最小値 ２次関数の最大値と最小値を求めるとき、放物線の軸（対称軸）をもとに考えます。放物線は左右対称なので、軸から最も遠い位置にある点が最大または最小になります。 問題 次の２次関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。 1）ｙ＝３ｘ²＋２ 2）ｙ＝－（ｘ－１）²＋５ 3）ｙ＝ｘ²－４ｘ－４ 4）ｙ＝－ｘ²＋６ｘ＋１ 5）ｙ＝ｘ²＋５ｘ＋４ 6）ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１ 1） ｙ＝３ｘ²＋２ 下に凸、頂点（０，２） ｘ＝０のとき、 ｙ＝３・０²＋２＝２ よって、 ｘ＝０のとき、最小値２ 2） ｙ＝－（ｘ－１）²＋５ 上に凸、頂点（１，５） ｘ＝１のとき ｙ＝－（１－１）²＋５＝５ よって、 ｘ＝１のとき、最大値５ 3） ｙ＝ｘ²－４ｘ－４ ＝（ｘ－２）²－８ 下に凸、頂点（２，－８） ｘ＝２のとき、 ｙ＝（２－２）²－８＝－８ よって、 ｘ＝２のとき、最小値－８ 4） ｙ＝－ｘ²＋６ｘ＋１ ＝－（ｘ²－６ｘ）＋１ ＝－｛（ｘ－３）²－９｝＋１ ＝－（ｘ－３）²＋10 上に凸、頂点（３，10） ｘ＝３のとき、 ｙ＝－（３－３）²＋10＝10 よって、 ｘ＝３のとき、最大値10 5） ｙ＝ｘ²＋５ｘ＋４ ＝｛ｘ＋（5/2）｝²－（25/4）＋４ ＝｛ｘ＋（5/2）｝²－（9/4） 下に凸、頂点（－5/2，－9/4） ｘ＝－5/2のとき ｙ＝｛（－5/2）＋（5/2）｝²－（9/4） 　＝－9/4 よって、 ｘ＝－5/2のとき、最小値－9/4 6） ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１ ＝－２｛ｘ²－（3/2）ｘ｝－１ ＝－２［｛（ｘ－（3/4）｝²－（9/16）］－１ ＝－２｛（ｘ－（3/4）｝²＋（9/8）－１ ＝－２｛（ｘ－（3/4）｝²＋（1/8） 上に凸、頂点（3/4，1/8） ｘ＝3/4のとき ＝－２｛（3/4）－（3/4）｝²＋（1/8） ＝1/8 よって、 ｘ＝3/4のとき、最大値1/8 問題 次の関数の最大値、最小値を求めよ。 1） ｙ＝３ｘ² （２≦ｘ≦３） 2） ｙ＝（－1/2）ｘ² （－４≦ｘ≦－２） 3） ｙ＝ｘ²－２ｘ－３ （－２≦ｘ≦５） 4） ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１ （－２≦ｘ≦１） 5） ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４ （－１≦ｘ≦２） 6） ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ （－２≦ｘ≦０） 1） ｙ＝３ｘ² （２≦ｘ≦３） 下に凸 ｘ＝２のとき、 ｙ＝３×２²＝12 ｘ＝３のとき、 ｙ＝３・３²＝27 よって、 ｘ＝３のとき、最大値27 ｘ＝２のとき、最小値12 2） ｙ＝（－1/2）ｘ² （－４≦ｘ≦－２） 上に凸 ｘ＝－４のとき、 ｙ＝（－1/2）・（－４）²＝－８ ｘ＝－２のとき、 ｙ＝（－1/2）・（－２）² 　＝－２ よって、 ｘ＝－２のとき、最大値－２ ｘ＝－４のとき、最小値－８ 3） ｙ＝ｘ²－２ｘ－３ （－２≦ｘ≦５） ｙ＝ｘ²－２ｘ－３ ＝（ｘ－１）²－４ 下に凸、頂点（１，－４） ｘ＝１のとき、 ｙ＝（１－１）²－４＝－４ ｘ＝５のとき、 ｙ＝（５－１）²－４＝12 ｘ＝５のとき、最大値12 ｘ＝１のとき、最小値－４ 4） ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１ （－２≦ｘ≦１） ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１ ＝－２（ｘ²＋２ｘ）＋１ ＝－２｛（ｘ＋１）²－１｝＋１ ＝－２（ｘ＋１）²＋３ 上に凸、頂点（－１，３） ｘ＝－１のとき、 ｙ＝－２・０²＋３＝３ ｘ＝１のとき、 ｙ＝－２・２²＋３＝－５ ｘ＝－１のとき、最大値３ ｘ＝１のとき、最小値－５ 5） ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４ （－１≦ｘ≦２） ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４ ＝２｛ｘ²－（3/2）ｘ｝＋４ ＝２［｛ｘ－（3/4）｝²－（9/16）］＋４ ＝２｛ｘ－（3/4）｝²＋（23/8） 下に凸、頂点（3/4，23/8） 軸　ｘ＝3/4 定義域の両端との距離 （3/4）－（－１）＝7/4 ２－（3/4）＝5/4 よって、 ｘ＝－１のとき、最大値をとる ｘ＝3/4のとき、 ｙ＝２・０²＋（23/8）＝23/8 ｘ＝－１のとき、 ｙ＝２・（－１）²－３・（－１）＋４ 　＝９ ｘ＝－１のとき、最大値９ ｘ＝3/4のとき、最小値23/8 6） ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ （－２≦ｘ≦０） ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ ＝（－1/2）（ｘ²－４ｘ） ＝（－1/2）｛（ｘ－２）²－４｝ ＝（－1/2）（ｘ－２）²＋２ 上に凸、頂点（２，２） 軸　ｘ＝２ 定義域の両端との距離 ２－（－２）＝４ ２－０＝２ よって、 ｘ＝－２のとき、最小値をとる ｘ＝０のとき、 ｙ＝（－1/2）・０²＋２・０＝０ ｘ＝－２のとき、 ｙ＝（－1/2）・（－４）²＋２ 　＝－８＋２ 　＝－６ ｘ＝０のとき、最大値０ ｘ＝－２のとき、最小値－６ 問題 次の関数の値域を求めよ。 1） ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16 （０≦ｘ≦２） 2） ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２ （－１≦ｘ≦０） 1） ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16 （０≦ｘ≦２） ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16 ＝３（ｘ²－６ｘ）＋16 ＝３｛（ｘ－３）²－９｝＋16 ＝３（ｘ－３）²－11 下に凸、頂点（３，－11） 軸　ｘ＝３ 定義域は軸の左側にある ｘ＝０のとき ｙ＝３・０²－18・０＋16＝16 ｘ＝２のとき ｙ＝３（２－３）²－11＝－８ よって、 －８≦ｙ≦16 2） ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２ （－１≦ｘ≦０） ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２ ＝－３｛（ｘ²＋（4/3）ｘ｝＋２ ＝－３［｛ｘ＋（2/3）｝²－（4/9）］＋２ ＝－３｛ｘ＋（2/3）｝²＋（10/3） 上に凸、頂点（－2/3，10/3） 軸　ｘ＝－2/3 －１≦－2/3≦０より 軸は定義域の中にある 定義域の両端との距離 （－2/3）－（－１）＝1/3 ０－（－2/3）＝2/3 よって、 ｘ＝０のとき、最小値をとる ｘ＝０のとき、 ｙ＝－３・０²－４・０＋２＝２ ｘ＝－2/3のとき、 ｙ＝－３・０²＋（10/3）＝10/3 したがって、 ２≦ｙ≦10/3 問題 次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。 1） ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５ （－１＜ｘ＜３） 2） ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ （０＜ｘ＜７） 3） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３ （０＜ｘ≦１） 4） ｙ＝３ｘ²－６ｘ （０＜ｘ＜３） 1） ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５ （－１＜ｘ＜３） ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５ ＝－（ｘ²－４ｘ）＋５ ＝－｛（ｘ－２）²－４｝＋５ ＝－（ｘ－２）²＋９ 上に凸、頂点（２，９） 軸　ｘ＝２ －１＜ｘ＜３より、最小値なし ｘ＝２のとき、最大値をとる ｙ＝－（２－２）²＋９＝９ よって、 ｘ＝２のとき、最大値９ 2） ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ （０＜ｘ＜７） ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ ＝－２（ｘ²－７ｘ） ＝－２［｛ｘ－（7/2）｝²－（49/4）］ ＝－２｛ｘ－（7/2）｝²＋（49/2） 上に凸、頂点（7/2，49/2） 軸　ｘ＝7/2 ０＜ｘ＜７より、最小値なし ｘ＝7/2のとき、最大値をとる ｙ＝｛（7/2）－（7/2）｝²＋（49/2） 　＝49/2 よって、 ｘ＝7/2のとき、最大値49/2 3） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３ （０＜ｘ≦１） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３ ＝２（ｘ²＋２ｘ）＋３ ＝２｛（ｘ＋１）²－１｝＋３ ＝２（ｘ＋１）²＋１ 下に凸、頂点（－１，１） 軸　ｘ＝－１ 軸は定義域の左側にある ０＜ｘ≦１より 軸からの距離が最も遠いｘ＝１のときが最大 最小値はない ｘ＝１のとき、 ｙ＝２・２²＋１＝９ よって、 ｘ＝１のとき、最大値９ 4） ｙ＝３ｘ²－６ｘ （０＜ｘ＜３） ｙ＝３ｘ²－６ｘ ＝３（ｘ²－２ｘ） ＝３｛（ｘ－１）²－１｝ ＝３（ｘ－１）²－３ 下に凸、頂点（１，－３） 軸　ｘ＝１ ０＜ｘ＜３より 軸は定義域の中にある ｘ＝１のとき、最小値をとる 最大値はない ｘ＝１のとき、 ｙ＝３・０²－３＝－３ よって、 ｘ＝１のとき、最小値－３ 問題 次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。 1） ｙ＝２（ｘ＋１）（ｘ－４） （－１≦ｘ≦４） 2） ｙ＝－２ｘ²＋ｘ （ｘ≧－１） 1） ｙ＝２（ｘ＋１）（ｘ－４） （－１≦ｘ≦４） 下に凸 ｙ＝０のとき、 ２（ｘ＋１）（ｘ－４）＝０ ｘ＝－１，４より 放物線とｘ軸と共有点は （－１，０）と（４，０） 軸は２点の中点だから （－１＋４）÷２＝3/2 軸は、ｘ＝3/2 －１≦3/2≦４だから ｘ＝－１，４のとき、最大値をとる また、 ｘ＝3/2のとき、最小値をとる ｘ＝－１，４のとき、 ｙ＝０ ｘ＝3/2のとき、 ｙ＝２・（5/2）・（－5/2） 　＝－25/2 よって、 ｘ＝－１，４のとき、最大値０ ｘ＝3/2のとき、最小値－25/2 2） ｙ＝－２ｘ²＋ｘ （ｘ≧－１） 上に凸 ｙ＝－２ｘ²＋ｘ 　＝－ｘ（２ｘ－１） ｙ＝０のとき －ｘ（２ｘ－１）＝０ ｘ＝０，1/2 軸は２点の中点だから ｛０＋（1/2）｝÷２＝1/4 軸は、ｘ＝1/4 ｘ＝－１は、ｘ＝０，1/2よりも軸から最も遠い位置にあるから ｘ＝－１のとき、最小値をとる また、 ｘ＝1/4のとき、最大値をとる ｘ＝－１のとき ｙ＝－２（－１）²＋（－１） 　＝－３ ｘ＝1/4のとき ｙ＝－２（1/4）²＋（1/4） 　＝1/8 ｘ＝1/4のとき、最大値1/8 ｘ＝－１のとき、最小値－３ 問題 次の条件を満たすように、定数ｃの値を定めよ。 1）関数ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋ｃ（２≦ｘ≦４）の最大値が９である。 2）関数ｙ＝－ｘ²－４ｘ＋ｃ（－３≦ｘ≦１）の最小値が－３である。 1） ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋ｃ ＝２（ｘ²－２ｘ）＋ｃ ＝２｛（ｘ－１）²－１｝＋ｃ ＝２（ｘ－１）²－２＋ｃ 下に凸、軸ｘ＝１ ２≦ｘ≦４だから 軸から最も遠いｘ＝４のとき、最大値ｙ＝９ 式にｘ＝４、ｙ＝９を代入 ９＝２（４－１）²－２＋ｃ ９＝18－２＋ｃ ｃ＝－７ 2） ｙ＝－ｘ²－４ｘ＋ｃ ＝－（ｘ²＋４ｘ）＋ｃ ＝－｛（ｘ＋２）²－４｝＋ｃ ＝－（ｘ＋２）²＋４＋ｃ 上に凸、軸ｘ＝－２ －３≦ｘ≦１だから 軸から最も遠いｘ＝１のとき、最小値ｙ＝－３ 式にｘ＝１、ｙ＝－３を代入 －３＝－（１＋２）²＋４＋ｃ －３＝－９＋４＋ｃ ｃ＝２ 問題 次の条件を満たすように、定数ｃの値を求めよ。 1） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ （－２≦ｘ≦１）の最大値が７ 2） ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ （０≦ｘ≦３）の最小値が－５ 1） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ （－２≦ｘ≦１）の最大値が７ ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ ＝２（ｘ²＋２ｘ）＋ｃ ＝２｛（ｘ＋１）²－１｝＋ｃ ＝２（ｘ＋１）²－２＋ｃ 下に凸、軸ｘ＝－１ －２≦ｘ≦１より 軸は定義域の中にある ｘ＝１のほうが軸から遠い位置にあるから ｘ＝１のとき、最大値ｙ＝７をとる よって ７＝２・１²＋４・１＋ｃ ７＝６＋ｃ ｃ＝１ 2） ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ （０≦ｘ≦３）の最小値が－５ ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ ＝－（ｘ²－２ｘ）＋ｃ ＝－｛（ｘ－１）²－１｝＋ｃ ＝－（ｘ－１）²＋１＋ｃ 上に凸、軸ｘ＝１ ０≦ｘ≦３より 軸は定義域の中にある ｘ＝３のほうが軸から遠い位置にあるから ｘ＝３のとき、最小値ｙ＝－５をとる よって －５＝－３²＋２・３＋ｃ －５＝－３＋ｃ ｃ＝－２ 問題 ａ＞０とする。関数ｙ＝ａｘ²－４ａｘ＋ｂ（０≦ｘ≦５）の最大値が15で、最小値が－３であるとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。 ｙ＝ａｘ²－４ａｘ＋ｂ ＝ａ（ｘ²－４ｘ）＋ｂ ＝ａ｛（ｘ－２）²－４｝＋ｂ ＝ａ（ｘ－２）²－４ａ＋ｂ ａ＞０より、下に凸 軸は、ｘ＝２ ０≦ｘ≦５より 軸は定義域の中にある ｘ＝５のほうが軸から遠い位置にあるから ｘ＝５のとき、最大値ｙ＝15をとる　① また、 ｘ＝２のとき、最小値ｙ＝－３をとる　② ①より 15＝ａ・３²－４ａ＋ｂ ５ａ＋ｂ＝15　③ ②より －３＝ａ・０²－４ａ＋ｂ －４ａ＋ｂ＝－３　④ ③－④より ９ａ＝18　ａ＝２ ③に代入 10＋ｂ＝15　ｂ＝５ よって、 ａ＝２、ｂ＝５ 問題 ｘの２次関数ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３ｍの最小値をｋとする。 1）ｋをｍの式で表せ。 2）ｋが－４であるとき、ｍの値を求めよ。 3）ｋの値を最大にするｍの値と、ｋの最大値を求めよ。 1） ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３ｍ ＝（ｘ＋ｍ）²－ｍ²＋３ｍ 下に凸、軸ｘ＝－ｍ ｘ＝－ｍのとき、最小値ｋをとる よって、 ｋ＝（－ｍ＋ｍ）²－ｍ²＋３ｍ ｋ＝－ｍ²＋３ｍ 2） ｋ＝－４より －４＝－ｍ²＋３ｍ ｍ²－３ｍ－４＝０ （ｍ－４）（ｍ＋１）＝０ ｍ＝４，－１ 3） ｋ＝－ｍ²＋３ｍより ｋはｍの２次関数である ｋ＝－（ｍ²－３ｍ） ＝－［｛ｍ－（3/2）｝²－（9/4）｝ ＝－｛ｍ－（3/2）｝²＋（9/4） 上に凸、頂点（3/2，9/4） よって、 ｍ＝3/2のとき、最大値9/4 放物線は左右対称 👉軸から最も遠い位置にある点が最大・最小 ｙ＝ｘ²（－３≦ｘ≦１） 下に凸（比例定数ａ＞０） 軸から最も遠い点👉最大 軸　ｘ＝０ 定義域　－３≦ｘ≦１ 軸の０から最も遠いのはｘ＝－３ ｘ＝－３のとき、ｙが最大 ｙ＝（－３）²＝９ グラフの高低で見る いちばん高い（最大） ｘ＝－３のとき、ｙ＝９ いちばん低い（最小） ｘ＝０のとき、ｙ＝０ 👉値域　０≦ｙ≦９ ｙ＝－ｘ²（－２≦ｘ≦０） 上に凸（比例定数ａ＜０） 軸から最も遠い点👉最小 軸　ｘ＝０ 定義域　－２≦ｘ≦０ 軸の０から最も遠いのはｘ＝－２ ｘ＝－２のとき、ｙが最小 ｙ＝－（－２）²＝－４ グラフの高低で見る いちばん高い（最大） ｘ＝０のとき、ｙ＝０ いちばん低い（最小） ｘ＝－２のとき、ｙ＝－４ 👉値域　－４≦ｙ≦０ 原点以外の頂点（平方完成したとき） ｙ＝２ｘ²＋６ｘ＋３ （－３≦ｘ≦０） ｙ＝２（ｘ²＋３ｘ）＋３ ＝２｛ｘ＋（3/2）｝²－（3/2） 下に凸（比例定数ａ＞０） 軸から最も遠い点👉最大 軸　ｘ＝－3/2 定義域　－３≦ｘ≦０ 軸の－3/2から最も遠いのは ｘ＝－３とｘ＝０　※－3/2は中間にある ｘ＝－３、ｘ＝０のとき、ｙが最大 ｘ＝－３のとき ｙ＝２・（－３）²＋６・（－３）＋３ ＝18－18＋３＝３ ｘ＝０のとき ｙ＝２・０²＋６・０＋３＝３ グラフの高低で見る いちばん高い（最大） ｘ＝－３、０のとき、ｙ＝３ いちばん低い（最小） ｘ＝－3/2のとき、ｙ＝－3/2 👉値域　－3/2≦ｙ≦３ ｙ＝－３ｘ²＋３ｘ＋１ （１≦ｘ≦２） ｙ＝－３ｘ²＋３ｘ＋１ ＝－３｛ｘ－（1/2）｝²＋（7/4） 上に凸（比例定数ａ＜０） 軸から最も遠い点👉最小 軸　ｘ＝1/2 定義域　１≦ｘ≦２ 軸の1/2から最も遠いのはｘ＝２ ｘ＝２のとき、ｙが最小 ｘ＝２のとき ｙ＝－３・２²＋３・２＋１＝－５ グラフの高低で見る いちばん高い（最大） ｘ＝１のとき、ｙ＝１ いちばん低い（最小） ｘ＝２のとき、ｙ＝－５ 👉値域　－５≦ｙ≦１ ※ｙの値を求めるとき、平方完成した式に代入すると計算手順が簡単になる場合もある。 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.21 ２次関数の最大値と最小値 👉ブログ TOP

文字式の利用 商と余り 多項式の展開の応用として、割り算のしくみを利用して式をつくる問題があります。割られる数となる式は、（割る数）×（商）＋（余り）をもとにしてつくります。 問題 ２つの続いた自然数がある。小さいほうの自然数を７でわると、商がｎで余りが３となる。このとき、次の問いに答えなさい。 1）小さいほうの自然数をｎの式で表しなさい。 2）この２つの自然数の積を７でわったときの余りを求めなさい。 1） ７でわると、商がｎで余りが３ 小さい方の数は ７×ｎ＋３ ＝７ｎ＋３ 2） 大きい方の数は （７ｎ＋３）＋１ ＝７ｎ＋４ ２つの数の積だから （７ｎ＋３）（７ｎ＋４） ＝49ｎ²＋49ｎ＋12 ＝７（７ｎ²＋７ｎ＋１）＋５ ７（７ｎ²＋７ｎ＋１）は７の倍数だから割り切れる よって、余りは５ なぜ、 ７（７ｎ²＋７ｎ）＋12 ではないのか？ 👉余りは、割る数より小さいから。 ７（７ｎ²＋７ｎ）は７の倍数なので、この部分は７で割り切ることができます。余りは12となりますが、余りは割る数より小さくなるので、７より小さくなるように変形する必要があります。 　　　３ ７）２６ 　　２１ 　　　５ 　　　２ ７）２６ 　　１４ 　　１２ ※別解 積の余りは、「余りの積」を割った余りと等しくなる。 小さい数の余り：３ 大きい数の余り：４ ふたつの余りの積：３×４＝12 最終的な余り：12÷７＝１あまり５ 高校数学・剰余の定理 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割った余りが５、ｘ＋２で割った余りが－１である。Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋２）で割った余りを求めよ。 （ｘ－１）（ｘ＋２）は２次式 ２次式で割った余りは、１次以下になる（２次より低い次数になる）。 商をＱ（ｘ）、余りをａｘ＋ｂとする Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ｘ＝１、－２のとき、余りが求められる　※ Ｐ（１）＝ａ＋ｂ Ｐ（－２）＝－２ａ＋ｂ Ｐ（１）＝５、Ｐ（－２）＝－１だから ａ＋ｂ＝５　① －２ａ＋ｂ＝－１　② ①－②より ３ａ＝６　ａ＝２ ①に代入　ｂ＝３ 余りをａｘ＋ｂとしたから ２ｘ＋３ ※剰余の定理 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ　の意味 👉割る式（ｘ－１）（ｘ＋２）が「０」になれば、余りａｘ＋ｂが求められる。 ｘ－１＝０　ｘ＝１のとき ｘ＋２＝０　ｘ＝－２のとき 整式の割り算 👉余りの次数は、割る数（除数）の次数よりも低くなる。 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－３で割った余りが１、ｘ＋１で割った余りが５である。Ｐ（ｘ）を（ｘ－３）（ｘ＋１）で割った余りを求めよ。 （ｘ－３）（ｘ＋１）は２次式だから 商をＱ（ｘ）、余りをａｘ＋ｂとする よって、 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）（ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（３）＝３ａ＋ｂ Ｐ（－１）＝－ａ＋ｂ Ｐ（３）＝１、Ｐ（－１）＝５だから ３ａ＋ｂ＝１　① －ａ＋ｂ＝５　② ①－②より ４ａ＝－４　ａ＝－１ ②に代入　ｂ＝４ 求める余りは、－ｘ＋４ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.20 文字式の利用 商と余り 👉ブログ TOP

二重根号の外し方 根号（ √ ）は、ルートの中が２乗の形になると外れます。二重根号も同じで、ルートの中身が（ａ+ｂ）² の形になると外れます。 （√ａ＋√ｂ）² ＝（√ａ）²＋２√ａ√ｂ＋（√ｂ）² ＝ａ＋ｂ＋２√ａ√ｂ 👉ルートの中がこの形になると外れる （√ａ－√ｂ）² ＝（√ａ）²－２√ａ√ｂ＋（√ｂ）² ＝ａ＋ｂ－２√ａ√ｂ ａ＞ｂのとき √｛（ａ＋ｂ）＋２√ａ√ｂ｝ ＝√ａ＋√ｂ √｛（ａ＋ｂ）－２√ａ√ｂ｝ ＝√ａ－√ｂ 問題 次の式を簡単にせよ。 1）√（４＋２√３） 2）√（９＋√56） 3）√（６－４√２） 4）√（４－√15） 1） √（４＋２√３） ＝√｛（３＋１）＋２√（３×１）｝ ＝√３＋√１ ＝√３＋１ 2） √（９＋√56） ＝√（９＋２√14） ＝√７＋√２ 👉√ の外に２を出す⇒ √ の中を４で割る 3） √（６－４√２） ＝√（６－２√８） ＝√４－√２ ＝２－√２ 👉√ の中に戻す⇒ ２で割った数を２乗してかける ６√２ ＝２√（３²×２） ＝２√18 4） √（４－√15） 　√（８－２√15） ＝━━━━━━━ 　　　 √２ 　√５－√３ ＝━━━━ 　　√２　　 　√10－√６ ＝━━━━ 　　 ２ 問題 次の式を簡単にせよ。 1）√（８－√48） 2）√（５＋√21） 3）√（５－２√６） 4）√（11－６√２） 5）√（６－３√３） 1） √（８－√48） ＝√（８－２√12） ＝√６－√２ 2） √（５＋√21） 　√（10＋２√21） ＝━━━━━━━ 　　　 √２ 　√７＋√３ ＝━━━━ 　　√２ 　√14＋√６ ＝━━━━ 　　 ２ 3） √（５－２√６） ＝√３－√２ 4） √（11－６√２） ＝√（11－２√18） ＝√９－√２ ＝３－√２ 5） √（６－３√３） 　√（12－６√３） ＝━━━━━━━ 　　　 √２ 　√（12－２√27） ＝━━━━━━━ 　　　 √２ 　√９－√３ ＝━━━━ 　　 √２ 　３√２－√６ ＝━━━━━ 　　 ２ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.20 二重根号の外し方 👉ブログ TOP

一次関数のグラフ すれちがう問題 一次関数では、進んでいるものどうしが「すれ違う」ときの時間ｘや地点ｙを求める問題があります。高校入試にもよく出る問題で、すれ違うときのｘとｙは、２直線の式の連立方程式で求めます。 問題 長さ25mのプールで、妹と姉が、同じスタートラインから別々のレーンを泳ぎ始め、一定の速さで１往復してゴールした。妹は、スタートしてから50秒後にゴールし、姉は妹より14秒遅くスタートして、４秒遅くゴールした。下の図は、妹のスタートから計測を始めてｘ秒後の妹と姉の位置を、それぞれのスタート地点からの距離ｙmで表したグラフである。ただし、妹と姉の身長や折り返しのターンにかかる時間は考えないものとする。 1）妹と姉の泳ぐ速さは、それぞれ毎秒何mか、求めなさい。 2）グラフから、妹と姉は１回すれ違っていることがわかる。妹と姉がすれ違ったのは、妹がスタートしてから何秒後か、求めなさい。 問題文のポイント 一定の速さで１往復 👉往復50mを同じ速さで進む 姉は妹より14秒遅くスタート、４秒遅くゴール 👉妹がスタートして54秒後にゴール 👉54－14＝40秒間泳いだ 妹のスタートから計測を始めてｘ秒後 👉グラフのｘは、妹の出発後の時間 1）妹と姉の泳ぐ速さは、それぞれ毎秒何mか、求めなさい。 妹 往復50m進むのに、50秒かかる。 50m÷50秒＝１ 毎秒１m 姉 往復50m進むのに、40秒かかる。 50m÷40秒＝5/4　 毎秒 5/4 m 2）グラフから、妹と姉は１回すれ違っていることがわかる。妹と姉がすれ違ったのは、妹がスタートしてから何秒後か、求めなさい。 妹と姉がすれ違う 👉妹と姉のグラフの交点 👉グラフの式の連立方程式で求める すれ違った時間　ｘ すれ違った地点　ｙ 直線の式（ｙ＝ａｘ＋ｂ）だから 妹と姉の傾きａと切片ｂを求める 妹 速さが傾きａ　※ 毎秒１m ターン後は、ｙが減少するから ａ＝－１ ｙ＝－ｘ＋ｂとする （50，０）を通るから ｘ＝50、ｙ＝０を代入 ０＝－50＋ｂ　ｂ＝50 妹の直線の式は、 ｙ＝－ｘ＋50　① 姉 毎秒 5/4 m ターン前は、ｙが増加するから ａ＝5/4 ｙ＝（5/4）ｘ＋ｂとする （14，０）を通るから ｘ＝14、ｙ＝０を代入 ０＝（5/4）×14＋ｂ ｂ＝－35/2 姉の直線の式は ｙ＝（5/4）ｘ－（35/2）　② ①、②より －ｘ＋50＝（5/4）ｘ－（35/2） 両辺×４ －４ｘ＋200＝５ｘ－70 ９ｘ＝270 ｘ＝30 よって、30秒後 ※直線の式　「傾きａは速さ」 ｙ：道のり、ａ：速さ、ｘ：時間 道のり＝速さ×時間 ｙ＝ａｘ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.19 一次関数のグラフ すれちがう問題 👉ブログ TOP

相加平均と相乗平均 不等式の証明では、「相加平均≧相乗平均」の関係を利用します。分母に文字を含む式がある場合、両辺の平方の差を使わずに、計算の手順を簡単にすることができます。 問題 ａ、ｂは正の数とする。次の不等式が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。 　　　２　　　 ８ （ａ＋━）（ｂ＋━）≧18 　　　ｂ　　　 ａ 〔証明〕 　　　２　　　 ８ （ａ＋━）（ｂ＋━） 　　　ｂ　　　 ａ 　　　　　　　　 16 ＝ａｂ＋８＋２＋━━ 　　　　　　　　ａｂ 　　　　 16 ＝ａｂ＋━━＋10 　　　　ａｂ ａｂ＞０、16/ａｂ＞０だから （相加平均）≧（相乗平均）より 　　　 16　　　　　　　 16 ａｂ＋━━≧２√（ａｂ・━━） 　　　ａｂ　　　　　　 ａｂ 　　　 16　 ａｂ＋━━≧８ 　　　ａｂ よって、 　　　２　　　 ８ （ａ＋━）（ｂ＋━） 　　　ｂ　　　 ａ 　　　　 16　 ＝ａｂ＋━━＋10≧８＋10 　　　　ａｂ 　　　 16　 ａｂ＋━━＋10≧18 　　　ａｂ 等号が成り立つのは、 ａｂ＞０ かつ ａｂ＝16/ａｂのとき （ａｂ）²＝16 ａｂ＞０だから ａｂ＝４のとき よって、 ａ＞０、ｂ＞０すなわちａｂ＞０ かつ ａｂ＝４のとき 問題 ａ＞０、ｂ＞０のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。 　　　　 １ ９ａｂ＋━━≧６ 　　　　ａｂ 〔証明〕 ａ＞０、ｂ＞０より ９ａｂ＞０、１/ａｂ＞０だから 相加平均と相乗平均の大小関係により 　　　　 １　　　　　　　　 １ ９ａｂ＋━━≧２√（９ａｂ・━━） 　　　　ａｂ　　　　　　　 ａｂ ＝２√９＝６ 等号が成り立つのは ａ＞０、ｂ＞０ かつ ９ａｂ＝１/ａｂ （ａｂ）²＝1/9 ａ＞０、ｂ＞０より ａｂ＞０だから ａｂ＝1/3のとき よって、 ａ＞０、ｂ＞０ かつ ａｂ＝1/3のとき 問題 ａ＞０、ｂ＞０のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。 　　　　　１ ａ＋ｂ＋━━━≧２ 　　　　ａ＋ｂ 〔証明〕 ａ＞０、ｂ＞０より ａ＋ｂ＞０、１/（ａ＋ｂ）＞０だから 相加平均と相乗平均の大小関係により 　　　　　１　　　　　　　　　　 １ ａ＋ｂ＋━━━≧２√｛（ａ＋ｂ）・（━━━）｝ 　　　　ａ＋ｂ　　　　　　　　 ａ＋ｂ 　　　　　１ ａ＋ｂ＋━━━≧２ 　　　　ａ＋ｂ 等号が成り立つのは ａ＞０、ｂ＞０ かつ ａ＋ｂ＝１/（ａ＋ｂ）のとき （ａ＋ｂ）²＝１ ａ＞０、ｂ＞０より ａ＋ｂ＞０だから ａ＋ｂ＝１ よって、 ａ＞０、ｂ＞０ かつ ａ＋ｂ＝１のとき 問題 1）ｘ＞０のとき、７ｘ＋（14/ｘ）の最小値と、そのときのｘの値を求めよ。 2）ｘ＞１のとき、ｘ＋｛２/（ｘ－１）｝の最小値と、そのときのｘの値を求めよ。 1） ｘ＞０のとき、 ７ｘ＞０、14/ｘ＞０だから 相加平均と相乗平均の大小関係により 　　　14　　　　　　 14 ７ｘ＋━≧２√（７ｘ・━） 　　　ｘ　　　　　　 ｘ よって、 　　　14 ７ｘ＋━≧14√２ 　　　ｘ 最小値14√２をとる 等号が成り立つのは ｘ＞０かつ７ｘ＝14/ｘのとき ７ｘ＝14/ｘ ｘ²＝２ ｘ＞０だから ｘ＝√２ したがって、 ｘ＝√２のとき、最小値14√２ 2） ｘ＞１のとき、 ｘ＞０、２/（ｘ－１）＞０だから 相加平均と相乗平均の大小関係により 　　　２ ｘ＋━━━ 　　ｘ－１ 　　　　　　２ ＝ｘ－１＋━━━＋１ 　　　　　ｘ－１　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ２ ≧２√｛（ｘ－１）・（━━━）｝＋１ 　　　　　　　　 ｘ－１ よって、 　　　　　２ ｘ－１＋━━━＋１≧２√２＋１ 　　　　ｘ－１ 最小値２√２＋１をとる 等号が成り立つのは ｘ＞１ かつ ｘ－１＝２/（ｘ－１）のとき ｘ－１＝２/（ｘ－１） （ｘ－１）²＝２ ｘ＞１ すなわち　ｘ－１＞０だから ｘ－１＝√２ ｘ＝√２＋１ したがって、 ｘ＝√２＋１のとき、最小値２√２＋１ 問題 ｘ＞０、ｙ＞０、ｘｙ＝４のとき、２ｘ＋ｙの最小値を求めよ。 ｘ＞０、ｙ＞０より ２ｘ＞０、ｙ＞０だから 相加平均と相乗平均の大小関係により ２ｘ＋ｙ≧２√（２ｘ・ｙ） ｘｙ＝４より ２ｘ＋ｙ≧２√（２・４）＝４√２ 最小値４√２をとる 等号が成り立つのは ｘ＞０、ｙ＞０ かつ ２ｘ＝ｙのとき ｘｙ＝４より ｙ＝４/ｘ ２ｘ＝ｙに代入して ２ｘ＝４/ｘ ｘ²＝２ ｘ＞０だから ｘ＝√２ ｘ＝√２のとき、 ２ｘ＝ｙより、ｙ＝２√２ したがって、 ｘ＝√２、ｙ＝２√２のとき 最小値４√２ 問題 ａ＞０、ｂ＞０のとき、次の不等式を証明せよ。 1） ３√ａ＋２√ｂ＞√（９ａ＋４ｂ） 2） ａ＋ｂ　√ａ＋√ｂ √ ━━━≧━━━━ 　　２　　　 ２ 1） 〔証明〕 ３√ａ＋２√ｂ＞√（９ａ＋４ｂ） （３√ａ＋２√ｂ）²＞｛√（９ａ＋４ｂ）｝² （３√ａ＋２√ｂ）²－｛√（９ａ＋４ｂ）｝²＞０ ９ａ＋12√ａｂ＋４ｂ－（９ａ＋４ｂ）＞０ ９ａ＋12√ａｂ＋４ｂ－９ａ－４ｂ＞０ 12√ａｂ＞０ ａ＞０、ｂ＞０より 12√ａｂ＞０だから （３√ａ＋２√ｂ）²－｛√（９ａ＋４ｂ）｝²＞０ すなわち （３√ａ＋２√ｂ）²＞｛√（９ａ＋４ｂ）｝² ３√ａ＋２√ｂ＞０、 √（９ａ＋４ｂ）＞０だから ３√ａ＋２√ｂ＞√（９ａ＋４ｂ） 2） 〔証明〕 ａ＞０、ｂ＞０より ａ＋ｂ √ ━━━＞０、 　　２ √ａ＋√ｂ ━━━━＞０ 　 ２ （左辺）²－（右辺）²より 　ａ＋ｂ　　　√ａ＋√ｂ （√ ━━━）²－（━━━━）² 　　　２　　　 　　２ 　ａ＋ｂ　ａ＋２√ａｂ＋ｂ ＝━━━－━━━━━━━━ 　　２　　　　　４ 　２ａ＋２ｂ－ａ－２√ａｂ－ｂ ＝━━━━━━━━━━━━━━ 　　　　　　　４ 　ａ－２√ａｂ＋ｂ ＝━━━━━━━━ 　　　　４ 　（√ａ－√ｂ）² ＝━━━━━━　※ 　　　 ４ 実数の２乗は０以上だから （√ａ－√ｂ）² ━━━━━━≧０ 　　 ４ よって、 　ａ＋ｂ　　　√ａ＋√ｂ （√ ━━━）²≧（━━━━）² 　　　２　　　 　　２ 両辺ともに正だから ａ＋ｂ　√ａ＋√ｂ √ ━━━≧━━━━ 　　２　　　 ２ ※ ａ－２√ａｂ＋ｂ ＝（√ａ）²－２√ａｂ＋（√ｂ）² ＝（√ａ－√ｂ）² 等号が成り立つのは、 √ａ－√ｂ＝０ すなわちａ＝ｂのとき 問題 次の不等式が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。 1） ａ≧０、ｂ≧０のとき ７√ａ＋２√ｂ≧√（49ａ＋４ｂ） 2） ａ≧ｂ≧０のとき √（ａ－ｂ）≧√ａ－√ｂ 1） 〔証明〕 （左辺）²－（右辺）²より （７√ａ＋２√ｂ）²－｛√（49ａ＋４ｂ）｝² ＝49ａ＋28√ａｂ＋４ｂ－（49ａ＋４ｂ） ＝28√ａｂ ａ≧０、ｂ≧０より 28√ａｂ≧０ よって、 （７√ａ＋２√ｂ）²－｛√（49ａ＋４ｂ）｝²≧０ すなわち （７√ａ＋２√ｂ）²≧｛√（49ａ＋４ｂ）｝² ７√ａ＋２√ｂ≧０、 √（49ａ＋４ｂ）≧０だから ７√ａ＋２√ｂ≧√（49ａ＋４ｂ） 等号が成り立つのは、 28√ａｂ＝０ すなわち ａ＝０またはｂ＝０のとき 2） 〔証明〕 （左辺）²－（右辺）²より ｛√（ａ－ｂ）｝²－（√ａ－√ｂ）² ＝ａ－ｂ－（ａ－２√ａ√ｂ＋ｂ） ＝２√ａ√ｂ－２ｂ ＝２√ａ√ｂ－２（√ｂ）² ＝２√ｂ（√ａ－√ｂ） ａ≧ｂ≧０より ２√ｂ（√ａ－√ｂ）≧０ よって、 ｛√（ａ－ｂ）｝²－（√ａ－√ｂ）²≧０ すなわち ｛√（ａ－ｂ）｝²≧（√ａ－√ｂ）² √（ａ－ｂ）≧０、 √ａ－√ｂ≧０だから √（ａ－ｂ）≧√ａ－√ｂ 等号が成り立つのは、 ２√ｂ（√ａ－√ｂ）＝０ すなわち、 ｂ＝０またはａ＝ｂ 問題 次の不等式を証明せよ。 √（ｘ²＋ｙ²）≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝ 〔証明〕 √（ｘ²＋ｙ²）≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜　① ｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝　② ①より （右辺）²－（左辺）² （｜ｘ｜＋｜ｙ｜）²－｛√（ｘ²＋ｙ²）｝² ＝（ｘ²＋２｜ｘ｜｜ｙ｜＋ｙ²）－（ｘ²＋ｙ²） ＝２｜ｘ｜｜ｙ｜ ２｜ｘ｜｜ｙ｜≧０だから （｜ｘ｜＋｜ｙ｜）²－｛√（ｘ²＋ｙ²）｝²≧０ すなわち ｛√（ｘ²＋ｙ²）｝²≦（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）² √（ｘ²＋ｙ²）≧０、｜ｘ｜＋｜ｙ｜≧０だから √（ｘ²＋ｙ²）≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜　③ ②より （右辺）²－（左辺）² ［√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝］²－（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）² ＝２（ｘ²＋ｙ²）－（ｘ²＋２｜ｘ｜｜ｙ｜＋ｙ²） ＝２ｘ²＋２ｙ²－ｘ²－２｜ｘ｜｜ｙ｜－ｙ² ＝ｘ²－２｜ｘ｜｜ｙ｜＋ｙ² ＝｜ｘ｜²－２｜ｘ｜｜ｙ｜＋｜ｙ｜² ＝（｜ｘ｜－｜ｙ｜）² （｜ｘ｜－｜ｙ｜）²≧０だから ［√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝］²－（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）²≧０ すなわち （｜ｘ｜＋｜ｙ｜）²≦［√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝］² ｜ｘ｜＋｜ｙ｜≧０、√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝≧０だから ｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝　④ ③、④より √（ｘ²＋ｙ²）≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.19 相加平均と相乗平均 👉ブログ TOP

連立方程式 加減法 練習問題 連立方程式の解き方に「加減法」があります。ｘとｙどちらかの係数をそろえて、加法（足し算）か減法（引き算）でどちらかを０にして解を求める方法です。両辺を倍するまたは割ることでそろえます。 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ３ｘ＋４ｙ＝５ ２ｘ＋ｙ＝０ 2） ２ｘ－ｙ＝－９ ４ｘ＋３ｙ＝７ 3） －３ｘ＋７ｙ＝15 ９ｘ－８ｙ＝－６ 1） ３ｘ＋４ｙ＝５　① ２ｘ＋ｙ＝０　② 解き方１（加減法） ①－②×４ 　　３ｘ＋４ｙ＝５ －）８ｘ＋４ｙ＝０ 　－５ｘ　　　＝５ 　　　　　　ｘ＝－１ ②に代入 －２＋ｙ＝０　ｙ＝２ よって、 ｘ＝－１、ｙ＝２ 解き方２（代入法） ②より ｙ＝－２ｘ　②’ ①に代入 ３ｘ－８ｘ＝５ －５ｘ＝５ ｘ＝－１ ②’に代入 ｙ＝２ 2） ２ｘ－ｙ＝－９　① ４ｘ＋３ｙ＝７　② ①×２－② 　　４ｘ－２ｙ＝－18 －）４ｘ＋３ｙ＝７ 　　　　－５ｙ＝－25 　　　　　　ｙ＝５ ①に代入 ２ｘ－５＝－９ ２ｘ＝－４　ｘ＝－２ よって、 ｘ＝－２、ｙ＝５ 3） －３ｘ＋７ｙ＝15　① ９ｘ－８ｙ＝－６　② ①×３＋② 　－９ｘ＋21ｙ＝45 ＋）９ｘ－８ｙ＝－６ 　　　　　13ｙ＝39 　　　　　　ｙ＝３ ①に代入 －３ｘ＋21＝15 －３ｘ＝－６ ｘ＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝３ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ３ｘ－２ｙ＝４ ７ｘ－３ｙ＝１ 2） ５ｘ＋４ｙ＝12 ２ｘ＋５ｙ＝－２ 3） －３ｘ＋５ｙ＝８ ２ｘ－７ｙ＝－９ 1） ３ｘ－２ｙ＝４　① ７ｘ－３ｙ＝１　② ①×３－②×２ 　　９ｘ－６ｙ＝12 －）14ｘ－６ｙ＝２ 　－５ｘ　　　＝10 　　　　　　ｘ＝－２ ①に代入 －６－２ｙ＝４ －２ｙ＝10　ｙ＝－５ よって、 ｘ＝－２、ｙ＝－５ 2） ５ｘ＋４ｙ＝12　① ２ｘ＋５ｙ＝－２　② ①×２－②×５ 　　10ｘ＋８ｙ＝24 －）10ｘ＋25ｙ＝－10 　　　　－17ｙ＝34 　　　　　　ｙ＝－２ ②に代入 ２ｘ－10＝－２ ２ｘ＝８　ｘ＝４ よって、 ｘ＝４、ｙ＝－２ 3） －３ｘ＋５ｙ＝８　① ２ｘ－７ｙ＝－９　② ①×２＋③×３ 　－６ｘ＋10ｙ＝16 ＋）６ｘ－21ｙ＝－27 　　　　－11ｙ＝－11 　　　　　　ｙ＝１ ②に代入 ２ｘ－７＝－９ ２ｘ＝－２　ｘ＝－１ よって、 ｘ＝－１、ｙ＝１ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ｘ＋２ｙ－１＝０ ５ｘ＋９ｙ－６＝０ 2） ２ｘ－４ｙ－４＝０ ３ｘ＋２ｙ＋10＝０ 3） －２ｘ＋３ｙ＋１＝０ ３ｘ＋５ｙ－11＝０ 4） ３ｘ＋４ｙ－17＝０ ３ｙ＝９－ｘ 1） ｘ＋２ｙ－１＝０　① ５ｘ＋９ｙ－６＝０　② ①×５ ５ｘ＋10ｙ－５＝０ ５ｘ＋10ｙ＝５　①’ ①’－② 　　５ｘ＋10ｙ＝５ －）５ｘ＋９ｙ＝６ 　　　　　　ｙ＝－１ ①に代入 ｘ－２－１＝０ ｘ＝３ よって、 ｘ＝３、ｙ＝－１ 2） ２ｘ－４ｙ－４＝０　① ３ｘ＋２ｙ＋10＝０　② ①÷２ ｘ－２ｙ－２＝０ ｘ－２ｙ＝２　①’ ①’＋② 　　　ｘ－２ｙ＝２ ＋）３ｘ＋２ｙ＝－10 　　４ｘ　　　＝－８ 　　　　　　ｘ＝－２ ①’に代入 －２－２ｙ＝２ －２ｙ＝４　ｙ＝－２ よって、 ｘ＝－２、ｙ＝－２ 3） －２ｘ＋３ｙ＋１＝０　① ３ｘ＋５ｙ－11＝０　② ①×３＋②×２　 　－６ｘ＋９ｙ＝－３ ＋）６ｘ＋10ｙ＝22 　　　　　19ｙ＝19 　　　　　　ｙ＝１ ①に代入 －２ｘ＋３＋１＝０ －２ｘ＝－４　ｘ＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝１ 4） ３ｘ＋４ｙ－17＝０　① ３ｙ＝９－ｘ　② ①より ３ｘ＋４ｙ＝17　①’ ②より ｘ＋３ｙ＝９　②’ ①’－②’×３ 　　３ｘ＋４ｙ＝17 －）３ｘ＋９ｙ＝27 　　　　－５ｙ＝－10 　　　　　　ｙ＝２ ②’に代入 ｘ＋６＝９　ｘ＝３ よって、 ｘ＝３、ｙ＝２ ※代入法 ３ｘ＋４ｙ－17＝０　① ３ｙ＝９－ｘ　② ②より ｘ＝９－３ｙ　②’ ①に代入 27－９ｙ＋４ｙ－17＝０ －５ｙ＝－10　ｙ＝２ ②’に代入 ｘ＝９－６＝３ よって、 ｘ＝３、ｙ＝２ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ｘ－２（ｙ－１）＝９ ３ｘ＋２ｙ＝５ 2） ４ｘ－３（ｘ－ｙ）＝５ ３ｘ＋ｙ＝７ 1） ｘ－２（ｙ－１）＝９　① ３ｘ＋２ｙ＝５　② 代入法 ①より ｘ－２ｙ＋２＝９ ２ｙ＝ｘ－７　①’ ②に代入 ３ｘ＋ｘ－７＝５ ４ｘ＝12　ｘ＝３ ①’に代入 ２ｙ＝３－７ ２ｙ＝－４　ｙ＝－２ よって、 ｘ＝３、ｙ＝－２ 加減法 ｘ－２（ｙ－１）＝９　① ３ｘ＋２ｙ＝５　② ①より ｘ－２ｙ＝７　①’ ①’＋② 　　　ｘ－２ｙ＝７ ＋）３ｘ＋２ｙ＝５ 　　４ｘ　　　＝12 　　　　　　ｘ＝３ ①’に代入 ３－２ｙ＝７ －２ｙ＝４　ｙ＝－２ よって、 ｘ＝３、ｙ＝－２ 2） ４ｘ－３（ｘ－ｙ）＝５　① ３ｘ＋ｙ＝７　② 加減法 ①より ４ｘ－３ｘ＋３ｙ＝５ ｘ＋３ｙ＝５　①’ ①’×３－② 　　３ｘ＋９ｙ＝15 －）３ｘ＋　ｙ＝７ 　　　　　８ｙ＝８ 　　　　　　ｙ＝１ ①’に代入 ｘ＋３＝５　ｘ＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝１ 代入法 ４ｘ－３（ｘ－ｙ）＝５　① ３ｘ＋ｙ＝７　② ①より ｘ＋３ｙ＝５ ｘ＝５－３ｙ　①’ ②に代入 15－９ｙ＋ｙ＝７ －８ｙ＝－８　ｙ＝１ ①’に代入 ｘ＝５－３＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝１ 問題 下の図で、となりどうしのますの和を上のますに書いていく。上から１段目の数が、左から６、13となるとき、ｘとｙの値を求めなさい。 （３ｘ＋ｙ）＋（ｙ＋２ｙ）＝６　① （ｙ＋２ｙ）＋（２ｙ＋ｘ）＝13　② ①より ３ｘ＋４ｙ＝６　①’ ②より ｘ＋５ｙ＝13　②’ ①’－②’×３ 　　３ｘ＋４ｙ＝６ －）３ｘ＋15ｙ＝39 　　　　－11ｙ＝－33 　　　　　　ｙ＝３ ②’に代入 ｘ＋15＝13　ｘ＝－２ よって、 ｘ＝－２、ｙ＝３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.18 連立方程式 加減法 練習問題 👉ブログ TOP

不等式の証明 高校数学 不等式の証明では、両辺の差、両辺の平方の差、相加平均≧相乗平均を利用します。問題文にある条件と整合がとれるように書き進めることも必要になります。 問題 1）ａ、ｂ、ｃ、ｄが正の数でａ＞ｂ、ｃ＞ｄのとき、ａｃ＞ｂｄであることを証明せよ。 2）ｘ＞ｙのとき、（ｘ＋２ｙ）/３＞（ｘ＋３ｙ）/４であることを証明せよ。 3）ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄのとき、ａｂ＋ｃｄ＞ａｃ＋ｂｄを証明せよ。 1） 〔証明〕 ａ＞ｂ、ｃ＞０だから ａｃ＞ｂｃ　① ｃ＞ｄ、ｂ＞０だから ｂｃ＞ｂｄ　② ①、②より ａｃ＞ｂｃ＞ｂｄだから ａｃ＞ｂｄ ※ ａ＞ｂ　ｃは正の数 ａとｂに同じｃをかけても大小は同じ 2） 〔証明〕 ｘ＋２ｙ　ｘ＋３ｙ ━━━━－━━━━ 　 ３　　　　４ 　４(ｘ＋２ｙ)－３(ｘ＋３ｙ) ＝━━━━━━━━━━━━ 　　　　　　 12 　ｘ－ｙ ＝━━━ 　　12 ｘ＞ｙのとき、ｘ－ｙ＞０だから ｘ－ｙ ━━━＞０　より 　12 ｘ＋２ｙ　ｘ＋３ｙ ━━━━－━━━━＞０ 　 ３　　　　４ したがって、 ｘ＋２ｙ　ｘ＋３ｙ ━━━━＞━━━━ 　 ３　　　　４ 3） 〔証明〕 （ａｂ＋ｃｄ）－（ａｃ＋ｂｄ） ＝ａｂ＋ｃｄ－ａｃ－ｂｄ ＝（ａ－ｄ）ｂ－（ａ－ｄ）ｃ ＝（ａ－ｄ）（ｂ－ｃ） ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ　より ａ＞ｄ、ｂ＞ｃ よって、 ａ－ｄ＞０、ｂ－ｃ＞０だから （ａ－ｄ）（ｂ－ｃ）＞０ したがって、 ａｂ＋ｃｄ＞ａｃ＋ｂｄ 問題 次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。 1）ａ²＋ａｂ＋ｂ²≧３ａｂ 2）ｘ²＋２ｘｙ≧－２ｙ² 3）２（ｘ²＋３ｙ²）≧５ｘｙ 1） 〔証明〕 左辺－右辺より ａ²＋ａｂ＋ｂ²－３ａｂ ＝ａ²－２ａｂ＋ｂ² ＝（ａ－ｂ）²≧０ よって、 ａ²＋ａｂ＋ｂ²≧３ａｂ 等号が成り立つのはａ＝ｂのとき 2） 〔証明〕 左辺－右辺より ｘ²＋２ｘｙ＋２ｙ² ＝（ｘ＋ｙ）²＋ｙ²－２ｘｙ＋２ｘｙ ＝（ｘ＋ｙ）²＋ｙ² （ｘ＋ｙ）²≧０、ｙ²≧０だから （ｘ＋ｙ）²＋ｙ²≧０ よって、 ｘ²＋２ｘｙ≧－２ｙ² 等号が成り立つのは、 ｘ＋ｙ＝０かつｙ＝０のとき 3） 〔証明〕 左辺－右辺より ２（ｘ²＋３ｙ²）－５ｘｙ ＝２ｘ²－５ｘｙ＋６ｙ² 　　　　　 ５ ＝２（ｘ²－━ｘｙ）＋６ｙ² 　　　　　 ２ 　　　　 ５ 　　 25 ＝２｛（ｘ－━ｙ）²－━ｙ²｝＋６ｙ² 　　　　　 ４　　　 16 　　　 ５ 　　 23 ＝２（ｘ－━ｙ）²＋━ｙ² 　　　　 ４ 　　 ８ 　 ５ 　　 （ｘ－━ｙ）²≧０ 　　 ４ 　　 ｙ²≧０　だから 　　 ５ 　　 23 ２（ｘ－━ｙ）²＋━ｙ²≧０ 　　　 ４ 　　 ８ よって、 ２（ｘ²＋３ｙ²）≧５ｘｙ 等号が成り立つのは 　　５ ｘ－━ｙ＝０かつｙ＝０ 　　４ すなわち、ｘ＝ｙ＝０のとき 👉因数分解で証明できない場合は、平方完成する。 平方完成　△²＋□² 因数分解　（△＋□）²　（△－□）² 問題 ａ＞０、ｂ＞０のとき、次の不等式を証明せよ。 1） ３√ａ＋２√ｂ＞√（９ａ＋４ｂ） 2） √｛（ａ＋ｂ）/２｝≧（√ａ＋√ｂ）/２ 1） 〔証明〕 両辺の平方の差より （３√ａ＋２√ｂ）²－｛√（９ａ＋４ｂ）｝² ＝９ａ＋４ｂ＋12√ａｂ－（９ａ＋４ｂ） ＝12√ａｂ＞０ よって、 （３√ａ＋２√ｂ）²＞｛√（９ａ＋４ｂ）｝² ３√ａ＋２√ｂ＞０、 √（９ａ＋４ｂ）＞０だから ３√ａ＋２√ｂ＞√（９ａ＋４ｂ） 2） 〔証明〕 両辺の平方の差より 　√（ａ＋ｂ）　　　 √ａ＋√ｂ ｛━━━━━｝²－｛━━━━｝² 　　 √２　　　　　　 ２ 　ａ＋ｂ　ａ＋ｂ＋２√ａｂ ＝━━━－━━━━━━━ 　　２　　　　　４ 　ａ＋ｂ－２√ａｂ ＝━━━━━━━ 　　　　４ 　（√ａ－√ｂ）² ＝━━━━━━≧０ 　　 　４ よって、 　√（ａ＋ｂ）　　　 √ａ＋√ｂ ｛━━━━━｝²≧｛━━━━｝² 　　 √２　　　　　　 ２ √（ａ＋ｂ） ━━━━━＞０、 　 √２ √ａ＋√ｂ ━━━━＞０　だから 　 ２ √（ａ＋ｂ）　√ａ＋√ｂ ━━━━━≧━━━━ 　 √２　　　 ２ 問題 ａ＞０、ｂ＞０のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。 1） ９ａｂ＋（１/ａｂ）≧６ 2） ａ＋ｂ＋｛１/（ａ＋ｂ）｝≧２ 1） 〔証明〕 ａ＞０、ｂ＞０より ９ａｂ＞０、１/ａｂ＞０だから （相加平均）≧（相乗平均）により 　　　　 １　　　　　　　　 １ ９ａｂ＋━━≧２√（９ａｂ・━━） 　　　　ａｂ　　　　　　　 ａｂ ＝６ よって、 　　　　 １ ９ａｂ＋━━≧６ 　　　　ａｂ 等号が成り立つのは、 ａ＞０、ｂ＞０ かつ ９ａｂ＝１/ａｂ すなわち ９（ａｂ）²＝１ ａｂ＝1/3のとき 2）ａ＋ｂ＋｛１/（ａ＋ｂ）｝≧２ 〔証明〕 ａ＞０、ｂ＞０より ａ＋ｂ＞０、１/（ａ＋ｂ）＞０だから （相加平均）≧（相乗平均）により 　　　　　１　　　　　　　　　　 １　 ａ＋ｂ＋━━━≧２√｛（ａ＋ｂ）・━━━━｝ 　　　　ａ＋ｂ　　　　　　　　 （ａ＋ｂ） ＝２ よって、 　　　　　１　 ａ＋ｂ＋━━━≧２ 　　　　ａ＋ｂ 等号が成り立つのは、 ａ＞０、ｂ＞０ かつ 　　　　　１　 ａ＋ｂ＝━━━ 　　　　ａ＋ｂ すなわち （ａ＋ｂ）²＝１ ａ＋ｂ＝１のとき 問題 問題 1）ｘ＞０のとき、７ｘ＋（14/ｘ）の最小値と、そのときのｘの値を求めよ。 2）ｘ＞１のとき、ｘ＋｛２/（ｘ－１）｝の最小値と、そのときのｘの値を求めよ。 1） ｘ＞０のとき、 ７ｘ＞０、14/ｘ＞０だから 相加平均と相乗平均の大小関係により 　　　14　　　　　　 14 ７ｘ＋━≧２√（７ｘ・━） 　　　ｘ　　　　　　 ｘ よって、 　　　14 ７ｘ＋━≧14√２ 　　　ｘ 最小値14√２をとる 等号が成り立つのは ｘ＞０かつ７ｘ＝14/ｘのとき ７ｘ＝14/ｘ ｘ²＝２ ｘ＞０だから ｘ＝√２ したがって、 ｘ＝√２のとき、最小値14√２ 2） ｘ＞１のとき、 ｘ＞０、２/（ｘ－１）＞０だから 相加平均と相乗平均の大小関係により 　　　２ ｘ＋━━━ 　　ｘ－１ 　　　　　　２ ＝ｘ－１＋━━━＋１ 　　　　　ｘ－１　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ２ ≧２√｛（ｘ－１）・（━━━）｝＋１ 　　　　　　　　 ｘ－１ よって、 　　　　　２ ｘ－１＋━━━＋１≧２√２＋１ 　　　　ｘ－１ 最小値２√２＋１をとる 等号が成り立つのは ｘ＞１ かつ ｘ－１＝２/（ｘ－１）のとき ｘ－１＝２/（ｘ－１） （ｘ－１）²＝２ ｘ＞１ すなわち　ｘ－１＞０だから ｘ－１＝√２ ｘ＝√２＋１ したがって、 ｘ＝√２＋１のとき、最小値２√２＋１ 問題 ｘ＞０、ｙ＞０、ｘｙ＝４のとき、２ｘ＋ｙの最小値を求めよ。 ｘ＞０、ｙ＞０より ２ｘ＞０、ｙ＞０だから 相加平均と相乗平均の大小関係により ２ｘ＋ｙ≧２√（２ｘ・ｙ） ｘｙ＝４より ２ｘ＋ｙ≧２√（２・４）＝４√２ 最小値４√２をとる 等号が成り立つのは ｘ＞０、ｙ＞０ かつ ２ｘ＝ｙのとき ｘｙ＝４より ｙ＝４/ｘ ２ｘ＝ｙに代入して ２ｘ＝４/ｘ ｘ²＝２ ｘ＞０だから ｘ＝√２ ｘ＝√２のとき、 ２ｘ＝ｙより、ｙ＝２√２ したがって、 ｘ＝√２、ｙ＝２√２のとき 最小値４√２ 問題 次の不等式を証明せよ。 √（ｘ²＋ｙ²）≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝ 〔証明〕 √（ｘ²＋ｙ²）≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜　① ｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝　② ①より （右辺）²－（左辺）² （｜ｘ｜＋｜ｙ｜）²－｛√（ｘ²＋ｙ²）｝² ＝（ｘ²＋２｜ｘ｜｜ｙ｜＋ｙ²）－（ｘ²＋ｙ²） ＝２｜ｘ｜｜ｙ｜ ２｜ｘ｜｜ｙ｜≧０だから （｜ｘ｜＋｜ｙ｜）²－｛√（ｘ²＋ｙ²）｝²≧０ すなわち ｛√（ｘ²＋ｙ²）｝²≦（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）² √（ｘ²＋ｙ²）≧０、｜ｘ｜＋｜ｙ｜≧０だから √（ｘ²＋ｙ²）≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜　③ ②より （右辺）²－（左辺）² ［√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝］²－（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）² ＝２（ｘ²＋ｙ²）－（ｘ²＋２｜ｘ｜｜ｙ｜＋ｙ²） ＝２ｘ²＋２ｙ²－ｘ²－２｜ｘ｜｜ｙ｜－ｙ² ＝ｘ²－２｜ｘ｜｜ｙ｜＋ｙ² ＝｜ｘ｜²－２｜ｘ｜｜ｙ｜＋｜ｙ｜² ＝（｜ｘ｜－｜ｙ｜）² （｜ｘ｜－｜ｙ｜）²≧０だから ［√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝］²－（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）²≧０ すなわち （｜ｘ｜＋｜ｙ｜）²≦［√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝］² ｜ｘ｜＋｜ｙ｜≧０、√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝≧０だから ｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝　④ ③、④より √（ｘ²＋ｙ²）≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦√｛２（ｘ²＋ｙ²）｝ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.18 不等式の証明 高校数学 👉ブログ TOP

式による説明と証明 中２数学の「式による説明」と中３数学の「式による証明」では、文字を使って式を組み立てて、理由と結論を問題文の中身に合わせて示すことが必要になります。式の立て方は、方程式や関数の文章題にも役立っていきます。 中２数学・式による説明 問題 カレンダーで下の図のように囲まれた５つの数の和は、真ん中の数の５倍になる。このことを、文字を使って説明しなさい。 〔説明〕 真ん中の数をｎとすると、 ５つの数はそれぞれ ｎ－８、ｎ－６、ｎ、ｎ＋６、ｎ＋８と表される。 よって、それらの和は、 (ｎ－８)+(ｎ－６)+ｎ+(ｎ＋６)+(ｎ＋８) ＝５ｎ したがって、囲まれた５つの数の和は、真ん中の数の５倍になる。 問題 ３つの続いた奇数の和は３の倍数になることを、文字を使って説明しなさい。 〔説明〕 最も小さい数を整数ｎを使って２ｎ＋１とすると、３つの続いた奇数は、 ２ｎ＋１、２ｎ＋３、２ｎ＋５ と表される。よって、それらの和は (２ｎ＋１)+(２ｎ＋３)+(２ｎ＋５) ＝６ｎ＋９ ＝３（２ｎ＋３） ２ｎ＋３は整数だから、３（２ｎ＋３）は３の倍数である。 したがって、３つの続いた奇数の和は、３の倍数になる。 中３数学・式による証明 問題 下のカレンダーの数で、縦２つ、横２つを四角形で囲んだとき、４つの数を左上ａ、右上ｂ、左下ｃ、右下ｄとすると、ｂｃ－ａｄの値はいつでも７になることを証明しなさい。 〔証明〕 ｂ＝ａ＋１、ｃ＝ａ＋７、ｄ＝ａ＋８と表されるから ｂｃ－ａｄ ＝（ａ＋１）（ａ＋７）－ａ（ａ＋８） ＝ａ²＋８ａ＋７－ａ²－８ａ ＝７ したがって、 ｂｃ－ａｄの値はいつでも７になる 応用問題 問題 16個のマス目に、縦、横、斜めいずれも並んだ４マスに書かれた４個の数の和が等しくなるように、－５以上10以下の連続する16個の整数を１個ずつ書き入れる。下の図は、16個の整数のうちの一部を書き入れたものである。ただし、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅは、それぞれ－５以上10以下の整数のいずれかである。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）－５以上10以下の連続する16個の整数の和を求めなさい。 2）縦１列に並ぶ４個の数の和をｘとするとき、ｘの値を求めなさい。 3）ｅの値を求めなさい。 4）ａをふくむ横の行について、ｃをａを用いて表しなさい。 5）ｂをふくむ縦の列について、ｂをａを用いて表しなさい。 6）ａの値を求めなさい。 7）ｄの値を求めなさい。 1） －５以上５以下の和は０ よって、 ６＋７＋８＋９＋10＝40 2） 縦１列の和がｘ、縦列が４つあるから ｘ×４＝４ｘ よって、 ４ｘ＝40 ｘ＝10 3） 2）より、１列の和は10だから ｅをふくむ斜めの列より ７＋５＋（－５）＋ｅ＝10 ｅ＝３ 4） ｅ＝３だから ２＋ａ＋ｃ＋３＝10 ｃ＝５－ａ 5） ｃ＝５－ａだから ６＋ｂ＋（－５）＋（５－ａ）＝10 ６＋ｂ－５＋５－ａ＝10 ｂ＝４＋ａ 6） ｃ＝５－ａ ｂ＝４＋ａ　だから ６をふくむ縦列で見ると ６　４＋ａ　－５　５－ａ これらの和は10になり、ａは同じ値だから 絶対値が等しい数のどちらかである。 残っている数は、 －４、－３、－２、－１、０、４、８、９、10 よって、 －４または４のどちらか ａ＝－４のとき、 １を含む横列で見ると □　５　４＋ａ　１ □　５　　０　　１ となり、□＝４ ７をふくむ縦列で見ると ７　４　■　２ となり、■＝－３ ａ＝４のとき、 １を含む横列で見ると □　５　４＋ａ　１ □　５　　８　　１ となり、□＝－４ ７をふくむ縦列で見ると ７　－４　■　２ となり、■＝５ ５はすでに書かれているから合わない よって、ａ＝－４ 7） －５をふくむ横列で見ると ■＝－３だから －３　◇　－５　◆ よって、２つの空いたマスには、８か10が入る。 ◇＝８のとき、 縦列で見ると △　５　８　－４ となり、△＝１ １はすでに書かれているから合わない ◇＝10のとき、 縦列で見ると △　５　10　－４ となり、△＝－１ よって、◇＝10 10をふくむ斜めの列で見ると ｄ　ｂ　10　２ ｂ＝０だから ｄ＋０＋10＋２＝10 ｄ＝－２ 2026年 青森県立高校入試 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.17 式による説明と証明 👉ブログ TOP

２次関数 定義域ａの場合分け ２次関数のグラフでは、ｘの定義域を数値ではなく文字（ａなど）で表すことがあります。ｙの最大値や最小値を考えるとき、軸を基準にした「場合分け」が必要になります。また、定義域の両端が文字どうしの場合は、定義域の中央と軸の関係から考えます。 問題 関数ｆ（ｘ）＝（ｘ－２）²（０≦ｘ≦ａ）の最大値および最小値を、次の各場合について求めよ。ただし、ａは正の定数とする。 1）０＜ａ＜２ 2）２≦ａ＜４ 1） ｆ（ｘ）＝（ｘ－２）²　より 軸ｘ＝２　頂点（２，０）　下に凸 ０＜ａ＜２だから 定義域０≦ｘ≦ａは ０≦ｘ＜２のとき 👉定義域がｘ＝２を含まず、この範囲が軸の左側にあるとき。 軸から遠いｘ＝０のとき最大 軸から近いｘ＝ａのとき最小 ｘ＝０のとき ｆ（０）＝（０－２）²＝４ ｘ＝ａのとき ｆ（ａ）＝（ａ－２）² よって、 ｘ＝０で、最大値４ ｘ＝ａで、最小値（ａ－２）² 2） ２≦ａ＜４だから ０≦ｘ≦ａは ０≦ｘ≦２ または ０≦ｘ＜４のとき 👉定義域がｘ＝２を含む左側にある、または軸をまたぐ （ただし、ｘ＝４は含まない） 軸から遠いｘ＝０のとき最大 軸上のｘ＝２のとき最小 👉ｘ＝3.99...までは、ｘ＝０のときが最大であり続ける ｘ＝０のとき ｆ（０）＝（０－２）²＝４ ｘ＝２のとき ｆ（２）＝（２－２）²＝０ よって、 ｘ＝０で、最大値４ ｘ＝２で、最小値０ 3）ａ＝４ 4）４＜ａ 3） ａ＝４だから 定義域は０≦ｘ≦４ 端点と軸との距離が等しいから ｘ＝０，４のとき最大 ｘ＝２のとき最小 ｘ＝０，４のとき ｆ（０）＝（０－２）²＝４ ｆ（４）＝（４－２）²＝４ ｆ（２）＝（２－２）²＝０ よって、 ｘ＝０，４で最大値４ ｘ＝２で最小値０ 4） ｘ＞４の範囲では ａの値が４より大きくなる。 ｘ＝０のとき、ｙ＝４だが、 ａが４より大きいときは、ｙの値は４より大きくなる。 ｘ＝ａ＞４のとき、ｙ＞４ 軸から遠いｘ＝ａのとき最大 軸上のｘ＝２のとき最小 ｘ＝ａのとき ｆ（ａ）＝（ａ－２）² ｆ（２）＝（２－２）²＝０ よって、 ｘ＝ａで最大値（ａ－２）² ｘ＝２で最小値０ 問題 関数ｆ（ｘ）＝－ｘ²＋２ｘ（ａ≦ｘ≦ａ＋２）について、次の問いに答えよ。ただし、ａは定数とする。 1）最大値を求めよ。 2）最小値を求めよ。 1）最大値 ｆ（ｘ）＝－ｘ²＋２ｘ ＝－（ｘ²－２ｘ） ＝－｛（ｘ－１）²－１｝ ＝－（ｘ－１）²＋１ 上に凸 軸ｘ＝１、頂点（１，１） ａ＋２＜１ すなわち　ａ＜－１のとき ｘ＝ａ＋２で最大 👉定義域の端点ａ＋２が軸ｘ＝１の左側 ｆ（ａ＋２） ＝－（ａ＋２－１）²＋１ ＝－（ａ²＋２ａ＋１）＋１ ＝－ａ²－２ａ－１＋１ ＝－ａ²－２ａ よって、 ｘ＝ａ＋２で最大値－ａ²－２ａ ａ≦１かつａ＋２≧１ すなわち －１≦ａ≦１のとき ｘ＝１で最大 👉軸ｘ＝１が放物線の対称軸になる ｆ（１） ＝－（１－１）²＋１ ＝１ よって、 ｘ＝１で最大値１ ａ＞１のとき ｘ＝ａで最大 👉定義域の端点ａが軸ｘ＝１の右側 ｆ（ａ） ＝－（ａ－１）²＋１ ＝－（ａ²－２ａ＋１）＋１ ＝－ａ²＋２ａ－１＋１ ＝－ａ²＋２ａ よって、 ｘ＝ａで最大値－ａ²＋２ａ したがって、 ａ＜－１のとき ｘ＝ａ＋２で最大値－ａ²－２ａ －１≦ａ≦１のとき ｘ＝１で最大値１ ａ＞１のとき ｘ＝ａで最大値－ａ²＋２ａ 2）最小値 ｆ（ｘ）＝－ｘ²＋２ｘ ＝－（ｘ－１）²＋１ 上に凸 軸ｘ＝１、頂点（１，１） 上に凸のグラフ 最小値の場合 定義域ａ≦ｘ≦ａ＋２の中央（ａ＋１）を基準にする ａ＋１＜１ すなわち　ａ＜０のとき ｘ＝ａで最小 ｆ（ａ）＝－ａ²＋２ａ よって、 ｘ＝ａで最小値－ａ²＋２ａ ａ＋１＝１ すなわち　ａ＝０のとき ｘ＝０，２で最小 ｆ（０） ＝－（０－１）²＋１ ＝０ ｆ（２） ＝－（２－１）²＋１ ＝０ よって、 ｘ＝０，２で最小値０ ａ＋１＞１ すなわち　ａ＞０のとき ｘ＝ａ＋２で最小 ｆ（ａ＋２）＝－ａ²－２ａ よって、 ｘ＝ａ＋２で最小値－ａ²－２ａ したがって、 ａ＜０のとき ｘ＝ａで最小値－ａ²＋２ａ ａ＝０のとき ｘ＝０，２で最小値０ ａ＞０のとき ｘ＝ａ＋２で最小値－ａ²－２ａ 塾生からの疑問 ① なぜ、最小値を考えるときに「ａ＋２＜軸」ではダメなのか？ 👉定義域の右端（ａ＋２）が軸をまたいで軸の右側にある場合でも、ｘ＝ａで最小になるから。 端点の移動を考えると ｘ＝ａ＋２が軸の右側にずれて、定義域の中央（ｘ＝ａ＋１）が軸に重なる直前までが、ｘ＝ａで最小。 ※ａ＋１が軸に重なると、ａとａ＋２の両方で最小になる。 したがって、「ａ＋１＜軸」のときに、定義域の左端（ｘ＝ａ）が必ず最小になる。 ② なぜ、最大値を考えるときは「ａ≦軸、ａ＋２≧軸」で、最小値を考えるときは「ｘ＝１」なのか？ 定義域の移動の流れ 中央のａ＋１が軸の左側にあって軸と重なる直前までが、左端のｘ＝ａのとき最小。 ↓ 中央のａ＋１が軸と重なると、両端のｘ＝ａ、ｘ＝ａ＋２のとき最小。 ↓ 中央のａ＋１が軸の右側にあり続けるとき、右端のｘ＝ａ＋２のときが最小。 👉上に凸のグラフでは、定義域の中央が軸と重なるとき、必ず最小値が２つ存在するため、このケースを考える必要が出てくる。 ※下に凸では、最大値が２つ。 ★最大値のとき： 軸を「またいでいる期間」はずっと頂点が最大値のままキープされる（だから範囲になる）。 ★最小値のとき： 軸から「どっちの端が遠いか」の勝負。左が遠い状態から、右が遠い状態へ主役が切り替わる一瞬（左右対称になる瞬間）がｘ＝ａ。 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.17 ２次関数 定義域ａの場合分け 👉ブログ TOP

展開と因数分解 テスト対策 ６月も後半、中学・高校の塾生たちは期末考査の対策を進めています。 １学期の数学は、各学年、計算の基本からスタートします。計算の方法や公式を押さえることが対策の第一歩で、定期テストの先にある「受験」を見通した応用問題への取り組みも大切になります。 問題 次の計算をしなさい。 1） （ｘ＋２）（ｘ＋４）＋（ｘ＋１）（ｘ－７） 2） （ａ＋２ｂ）（ａ－２ｂ）－（ａ－ｂ）² 1） （ｘ＋２）（ｘ＋４）＋（ｘ＋１）（ｘ－７） ＝ｘ²＋６ｘ＋８＋（ｘ²－６ｘ－７） ＝２ｘ²＋１ 2） （ａ＋２ｂ）（ａ－２ｂ）－（ａ－ｂ）² ＝ａ²－４ｂ²－（ａ²－２ａｂ＋ｂ²） ＝ａ²－４ｂ²－ａ²＋２ａｂ－ｂ² ＝－５ｂ²＋２ａｂ 問題 次の式を因数分解しなさい。 1） ａｂ²－２ａｂ－２ｂ＋４ 2） ａｂ－ａｃ＋２ｂ－２ｃ 3） （ｘ²－１）²－（ｘ²－１）－６ 1） ａｂ²－２ａｂ－２ｂ＋４ ＝ａｂ（ｂ－２）－２（ｂ－２） ＝ａｂＭ－２Ｍ ＝（ａｂ－２）Ｍ ＝（ａｂ－２）（ｂ－２） ※別解 ａｂ²－２ａｂ－２ｂ＋４ ＝ａｂ²－２ｂ－２ａｂ＋４ ＝ｂ（ａｂ－２）－２（ａｂ－２） ＝ｂＭ－２Ｍ ＝Ｍ（ｂ－２） ＝（ａｂ－２）（ｂ－２） 2） ａｂ－ａｃ＋２ｂ－２ｃ ＝ａ（ｂ－ｃ）＋２（ｂ－ｃ） ＝ａＭ＋２Ｍ ＝（ａ＋２）Ｍ ＝（ａ＋２）（ｂ－ｃ） ※別解 ａｂ－ａｃ＋２ｂ－２ｃ ＝ａｂ＋２ｂ－ａｃ－２ｃ ＝（ａ＋２）ｂ－（ａ＋２）ｃ ＝Ｍｂ－Ｍｃ ＝Ｍ（ｂ－ｃ） ＝（ａ＋２）（ｂ－ｃ） 3） （ｘ²－１）²－（ｘ²－１）－６ ＝Ａ²－Ａ－６ ＝（Ａ－３）（Ａ＋２） ＝（ｘ²－１－３）（ｘ²－１＋２） ＝（ｘ²－４）（ｘ²＋１） ＝（ｘ＋２）（ｘ－２）（ｘ²＋１） 問題 ｘ＝1.8、ｙ＝0.2のとき、ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²の値を求めよ。 ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ² ＝（ｘ＋ｙ）² ＝（1.8＋0.2）² ＝２² ＝４ 問題 ｍ、ｎは１けたの自然数である。（ｍ－２）（ｎ＋３）の値が素数になるｍ、ｎの値の組は何組あるか求めよ。 素数は「1 × 素数」の形にしか分解できない 👉ｍ－２＝１ または ｎ＋３＝１ のどちらかが成り立つ ｍ－２＝１とすると （ｎ＋３）は素数であればよい 👉１×素数＝素数 ｍ－２＝１より　ｍ＝３ ｎ＋３＝２　ｎ＝－１（不適） ｎ＋３＝３　ｎ＝０（不適） ｎ＋３＝５　ｎ＝２ ｎ＋３＝７　ｎ＝４ ｎ＋３＝11　ｎ＝８ ｎ＋３＝13　ｎ＝10（不適） 13以上の素数は全て不適となるから （ｍ，ｎ）の値の組は （３，２）（３，４）（３，８） よって、 ３組 補足 ｎ＋３＝１より　ｎ＝－２ ｎは自然数とあるから不適 ★ 問題によっては、 （－１）×（－素数）＝素数 の場合も考える必要がある。 ※素数は自然数なので正の数のみだが、負の数どうしを掛けると、結果正の数（素数）になる場合も考える。 ｍ－２＝－１とすると マイナスの素数は、－（ｎ＋３） ｍ－２＝－１より　ｍ＝１ －（ｎ＋３）＝２ －（ｎ＋３）＝３ －（ｎ＋３）＝５ ・・・・ この場合では、ｎがすべて負の数となり、問題にある「ｎは１けたの自然数」に合わないから、ｍ＝１のときの、ｎの値はないことになる。 ★この問題を解くときのポイント 式が（カッコ）（カッコ）の積 👉片側のカッコを「１または－１」の場合で分けて求める 問題 ｎ²－20ｎ＋91の値が素数になる自然数ｎをすべて求めなさい。 素数：１とその数だけで割れる ｎ²－20ｎ＋91 ＝（ｎ－７）（ｎ－13） （ｎ－７）が１で（ｎ－13）が素数になるとき 👉（ｎ－13）÷１＝素数 （ｎ－７）が－１で｛－（ｎ－13）｝が素数になるとき 👉｛－（ｎ－13）｝÷（－１）＝素数 ※素数だから（ｎ－７）（ｎ－13）は正の数 ｎ－７＝１　ｎ＝８ このとき、 ｎ－13 ＝８－13 ＝－５ 素数ではないから不適 ｎ－７＝－１　ｎ＝６ このとき、 －（ｎ－13） ＝－（６－13） ＝７ 素数だから適する （ｎ－13）が１で（ｎ－７）が素数になるとき 👉（ｎ－７）÷１＝素数 （ｎ－13）が－１で｛－（ｎ－７）｝が素数になるとき 👉｛－（ｎ－７）｝÷（－１）＝素数 ｎ－13＝１　ｎ＝14 このとき、 ｎ－７ ＝14－７ ＝７ 素数だから適する ｎ－13＝－１　ｎ＝12 このとき、 －（ｎ－７） ＝－（12－７） ＝－５ 素数ではないから不適 よって、 ｎ＝６，14 問題 下の図のように、線分ＡＢ上に点Ｃをとり、ＡＢ、ＡＣ、ＣＢをそれぞれ直径とする円をかく。ＡＣ＝２ａcm、ＣＢ＝２ｂcmのとき、色をつけた部分の面積を求めなさい。 直径ＡＢの円の面積から 直径ＡＣとＣＢの円の面積をひく ＡＢの半径 （２ａ＋２ｂ）×（1/2） ＝ａ＋ｂ（cm） 直径ＡＢの円の面積は π（ａ＋ｂ）² ＝π（ａ²＋２ａｂ＋ｂ²） ＝πａ²＋２πａｂ＋πｂ²（cm²）　① ＡＣの半径 ２ａ×（1/2）＝ａ（cm） 直径ＡＣの円の面積は π×ａ² ＝πａ²（cm²）　② ＣＢの半径 ２ｂ×（1/2）＝ｂ（cm） 直径ＣＢの円の面積は π×ｂ² ＝πｂ²（cm²）　③ 求める面積は ①、②、③より πａ²＋２πａｂ＋πｂ²－πａ²－πｂ² ＝２πａｂ（cm²） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 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