円と直線 高校数学 高校数学の円と直線の問題では、円と直線の共有点の座標を求めるときには、２式の連立方程式で求めます。関連問題では、接線の方程式や点と直線の距離公式、判別式Ｄを利用することもあります。 問題 次の円と直線の共有点の座標を求めよ。 1） 円　　ｘ²＋ｙ²＝１ 直線　ｙ＝ｘ－１ 2） 円　　ｘ²＋ｙ²＝５ 直線　ｙ＝－ｘ＋１ 1） ｘ²＋ｙ²＝１　① ｙ＝ｘ－１　② ②を①に代入 ｘ²＋（ｘ－１）²＝１ ｘ²＋ｘ²－２ｘ＋１＝１ ２ｘ²－２ｘ＝０ ｘ（ｘ－１）＝０ ｘ＝０，１ ｘ＝０を②に代入　ｙ＝－１ ｘ＝１を②に代入　ｙ＝０ よって、 （０，－１）　（１，０） 2） ｘ²＋ｙ²＝５　① ｙ＝－ｘ＋１　② ②を①に代入 ｘ²＋（－ｘ＋１）²＝５ ｘ²＋ｘ²－２ｘ＋１＝５ ２ｘ²－２ｘ－４＝０ ｘ²－ｘ－２＝０ （ｘ－２）（ｘ＋１）＝０ ｘ＝２，－１ ｘ＝２を②に代入　ｙ＝－１ ｘ＝－１を②に代入　ｙ＝２ よって、 （２，－１）　（－１，２） 問題 次の円と直線の共有点の個数を求めよ。 1） ｘ²＋ｙ²＝10、３ｘ＋ｙ＝５ 2） ｘ²＋ｙ²＝８、ｘ－ｙ＝－６ 3） ｘ²＋ｙ²＋２ｘ－４ｙ＋３＝０ ７ｘ＋ｙ－５＝０ 1） ｘ²＋ｙ²＝10　① ３ｘ＋ｙ＝５　② ②より ｙ＝－３ｘ＋５ ①に代入 ｘ²＋（－３ｘ＋５）²＝10 ｘ²＋９ｘ²－30ｘ＋25－10＝０ 10ｘ²－30ｘ＋15＝０ ２ｘ²－６ｘ＋３＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝９－６＝３ Ｄ＞０より、異なる２つの実数解をもつ よって、２個 2） ｘ²＋ｙ²＝８　① ｘ－ｙ＝－６　② ②より ｘ＝ｙ－６ ①に代入 （ｙ－６）²＋ｙ²＝８ ｙ²－12ｙ＋36＋ｙ²－８＝０ ２ｙ²－12ｙ＋28＝０ ｙ²－６ｙ＋14＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝９－14＝－５ Ｄ＜０より、実数解をもたない よって、０個 3） ｘ²＋ｙ²＋２ｘ－４ｙ＋３＝０　① ７ｘ＋ｙ－５＝０　② ②より ｙ＝－７ｘ＋５ ｘ²＋（－７ｘ＋５）²＋２ｘ－４（－７ｘ＋５）＋３＝０ ｘ²＋49ｘ²－70ｘ＋25＋２ｘ＋28ｘ－20＋３＝０ 50ｘ²－40ｘ＋８＝０ 25ｘ²－20ｘ＋４＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝100－100＝０ Ｄ＝０より、実数の重解をもつ よって、１個 ※別解 円の中心と直線の距離　ｄ 円の半径　ｒ ｄ＜ｒ　２個 ｄ＝ｒ　１個 ｄ＞ｒ　０個 問題 次の問いに答えよ。 1）円ｘ²＋ｙ²＝１と直線ｙ＝２ｘ＋ｍが共有点をもつとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 2）円ｘ²＋ｙ²＝10と直線ｘ－３ｙ＋ｍ＝０が接するとき、定数ｍの値と接点の座標を求めよ。 3）円（ｘ－１）²＋ｙ²＝８と直線ｙ＝ｘ＋ｍが共有点をもたないとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 1） ｘ²＋ｙ²＝１　① ｙ＝２ｘ＋ｍ　② ②を①に代入 ｘ²＋（２ｘ＋ｍ）²＝１ ｘ²＋４ｘ²＋４ｍｘ＋ｍ²－１＝０ ５ｘ²＋４ｍｘ＋ｍ²－１＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝４ｍ²－５（ｍ²－１） ＝－ｍ²＋５ Ｄ≧０だから －ｍ²＋５≧０ （ｍ＋√５）（ｍ－√５）≦０ －√５≦ｍ≦√５ 2） ｘ²＋ｙ²＝10　① ｘ－３ｙ＋ｍ＝０　② ②より ｘ＝３ｙ－ｍ ①に代入 （３ｙ－ｍ）²＋ｙ²＝10 ９ｙ²－６ｍｙ＋ｍ²＋ｙ²－10＝０ 10ｙ²－６ｍｙ＋ｍ²－10＝０　③ 判別式をＤとする Ｄ/４＝９ｍ²－10（ｍ²－10） ＝－ｍ²＋100 Ｄ＝０だから －ｍ²＋100＝０ ｍ＝±10 ｍ＝10のとき、③より 10ｙ²－60ｙ＋90＝０ ｙ²－６ｙ＋９＝０ （ｙ－３）²＝０ ｙ＝３ ｘ＝３ｙ－ｍより ｘ＝９－10＝－１ よって、 ｍ＝10のとき、（－１，３） ｍ＝－10のとき、③より 10ｙ²＋60ｙ＋90＝０ ｙ²＋６ｙ＋９＝０ （ｙ＋３）²＝０ ｙ＝－３ ｘ＝３ｙ－ｍより ｘ＝－９＋10＝１ よって、 ｍ＝－10のとき、（１，－３） 3） （ｘ－１）²＋ｙ²＝８　① ｙ＝ｘ＋ｍ　② ②を①に代入 （ｘ－１）²＋（ｘ＋ｍ）²＝８ ｘ²－２ｘ＋１＋ｘ²＋２ｍｘ＋ｍ²－８＝０ ２ｘ²＋２（ｍ－１）ｘ＋ｍ²－７＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝（ｍ－１）²－２（ｍ²－７） ＝ｍ²－２ｍ＋１－２ｍ²＋14 ＝－ｍ²－２ｍ＋15 Ｄ＜０だから －ｍ²－２ｍ＋15＜０ ｍ²＋２ｍ－15＞０ （ｍ＋５）（ｍ－３）＞０ ｍ＜－５、ｍ＞３ 問題 半径ｒの円ｘ²＋ｙ²＝ｒ²と直線ｘ＋ｙ－６＝０が接するとき、ｒの値を求めよ。 円の方程式より 中心の座標は（０，０） 中心と直線との距離 ｜－６｜　　６　　 ━━━━━＝━━ √（１＋１）　 √２ 円と直線が接するから ｒ＝６/√２ 　＝３√２ ※別解 ｘ²＋（－ｘ＋６）²＝ｒ² ｘ²＋ｘ²－12ｘ＋36－ｒ²＝０ ２ｘ²－12ｘ＋36－ｒ²＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝36－２（36－ｒ²） ＝－36＋２ｒ² Ｄ＝０だから －36＋２ｒ²＝０ ｒ²＝18 ｒ＝３√２（ｒ＞０） 問題 次の円上の点Ｐにおける接線の方程式を求めよ。 1） ｘ²＋ｙ²＝25、Ｐ（－３，４） 2） ｘ²＋ｙ²＝４、Ｐ（１，√３） ｘ²＋ｙ²＝ｒ²上の（ｘ₁，ｙ₁）における接線 ｘ₁ｘ＋ｙ₁ｙ＝ｒ² 1） ｘ²＋ｙ²＝25、Ｐ（－３，４） －３ｘ＋４ｙ＝25 ３ｘ－４ｙ＋25＝０ 2） ｘ²＋ｙ²＝４、Ｐ（１，√３） ｘ＋√３ｙ＝４ ｘ＋√３ｙ－４＝０ 問題 円（ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝25上の点Ｐ（５，７）における接線の方程式を求めよ。 （ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ²上の（ｘ₁，ｙ₁）における接線 （ｘ₁－ａ）（ｘ－ａ）＋（ｙ₁－ｂ）（ｙ－ｂ）＝ｒ² （５－２）（ｘ－２）＋（７－３）（ｙ－３）＝25 ３ｘ－６＋４ｙ－12－25＝０ ３ｘ＋４ｙ－43＝０ ※別解 中心（２，３）と（５，７）を通る直線の傾き （７－３）/（５－２） ＝４/３ この直線と垂直だから 接線の傾きは、－３/４ よって、 ｙ－７＝（－3/4）（ｘ－５） ４ｙ－28＝－３ｘ＋15 ３ｘ＋４ｙ－43＝０ 問題 点Ａ（５，－５）から円ｘ²＋ｙ²＝10に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。 接点を（ａ，ｂ）とする 円の方程式より ａ²＋ｂ²＝10　① ｘ²＋ｙ²＝10上の（ａ，ｂ）における接線だから ａｘ＋ｂｙ＝10　② （５，－５）を通るから ５ａ－５ｂ＝10 ａ－ｂ＝２ ａ＝ｂ＋２　③ ①に代入 （ｂ＋２）²＋ｂ²＝10 ｂ²＋４ｂ＋４＋ｂ²－10＝０ ２ｂ²＋４ｂ－６＝０ ｂ²＋２ｂ－３＝０ （ｂ＋３）（ｂ－１）＝０ ｂ＝－３，１ ｂ＝－３のとき、③より ａ＝－１ 接線は、②より －ｘ－３ｙ＝10 ｘ＋３ｙ＋10＝０ ｂ＝１のとき、③より ａ＝３ 接線は、②より ３ｘ＋ｙ＝10 ３ｘ＋ｙ－10＝０ よって、 接線　ｘ＋３ｙ＋10＝０ 接点　（－１，－３） または 接線　３ｘ＋ｙ－10＝０ 接点　（３，１） 問題 点（－１，７）から円ｘ²＋ｙ²＝25に引いた２本の接線の接点をＡ、Ｂとするとき、直線ＡＢの方程式を求めよ。 ｘ²＋ｙ²＝ｒ²の外の点（ｘ₁，ｙ₁）から引いた２つの接点を通る直線 ｘ₁ｘ＋ｙ₁ｙ＝ｒ² －ｘ＋７ｙ＝25 ｘ－７ｙ＋25＝０ ※別解 接点を（ａ，ｂ）とする 円の方程式より ａ²＋ｂ²＝25　① ｘ²＋ｙ²＝25上の（ａ，ｂ）における接線だから ａｘ＋ｂｙ＝25 （－１，７）を通るから －ａ＋７ｂ＝25　 ａ＝７ｂ－25　② ①に代入 （７ｂ－25）²＋ｂ²＝25 49ｂ²－350ｂ＋625＋ｂ²－25＝０ 50ｂ²－350ｂ＋600＝０ ｂ²－７ｂ＋12＝０ （ｂ－３）（ｂ－４）＝０ ｂ＝３，４ ｂ＝３のとき、②より ａ＝－４ ｂ＝４のとき、②より ａ＝３ （－４，３）（３，４）を通る直線である 傾き （４－３）/（３＋４）＝1/7 よって、 ｙ－４＝（1/7）（ｘ－３） ７ｙ－28＝ｘ－３ ｘ－７ｙ＋25＝０ 問題 円ｘ²＋ｙ²＝50の接線が、次の条件を満たすとき、その接線の方程式と接点の座標を求めよ。 1）直線ｘ＋ｙ＝１に平行 2）直線７ｘ＋ｙ＝－２に垂直 1） 接点を（ａ，ｂ）とする 円の方程式より ａ²＋ｂ²＝50　① ｘ²＋ｙ²＝50上の（ａ，ｂ）における接線だから ａｘ＋ｂｙ＝50　② この直線の傾きは、－ａ/ｂ ｘ＋ｙ＝１の傾きは－１ よって、 －ａ/ｂ＝－１ ａ＝ｂだから ①より ａ²＋ａ²＝50 ａ²＝25 ａ＝±５ ａ＝５のとき、ｂ＝５ ②より ５ｘ＋５ｙ＝50 ｘ＋ｙ－10＝０ ａ＝－５のとき、ｂ＝－５ ②より －５ｘ－５ｙ＝50 ｘ＋ｙ＋10＝０ よって、 接線　ｘ＋ｙ－10＝０ 接点　（５，５） または 接線　ｘ＋ｙ＋10＝０ 接点　（－５，－５） 2） ７ｘ＋ｙ＝－２より 傾きは－７だから 垂線の傾きは、1/7 ａｘ＋ｂｙ＝50より この直線の傾きは、－ａ/ｂ よって、 －ａ/ｂ＝1/7 ｂ＝－７ａ ａ²＋ｂ²＝50より ａ²＋49ａ²＝50 ａ²＝１ ａ＝±１ ａ＝１のとき、ｂ＝－７ ａｘ＋ｂｙ＝50より ｘ－７ｙ－50＝０ ａ＝－１のとき、ｂ＝７ －ｘ＋７ｙ－50＝０ ｘ－７ｙ＋50＝０ よって、 接線　ｘ－７ｙ－50＝０ 接点　（１，－７） または 接線　ｘ－７ｙ＋50＝０ 接点　（－１，７） ※ ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ ａ’ｘ＋ｂ’ｙ＋ｃ＝０ ２直線が平行 ａｂ’－ｂａ’＝０ ２直線が垂直 ａａ’＋ｂｂ’＝０ 1） ａｘ＋ｂｙ＝50 ｘ＋ｙ＝１ 平行だから ａ－ｂ＝０　ａ＝ｂ 2） ａｘ＋ｂｙ＝50 ７ｘ＋ｙ＝－２ 垂直だから ７ａ＋ｂ＝０　ｂ＝－７ａ ※ 点（ｘ₁，ｙ₁）を通り、 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に平行 ａ（ｘ－ｘ₁）＋ｂ（ｙ－ｙ₁）＝０ ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に垂直 ｂ（ｘ－ｘ₁）－ａ（ｙ－ｙ₁）＝０ 問題 円（ｘ－１）²＋（ｙ－２）²＝10上の点Ｐ（４，３）における接線の方程式を求めよ。 （ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ²上の（ｘ₁，ｙ₁）における接線 （ｘ₁－ａ）（ｘ－ａ）＋（ｙ₁－ｂ）（ｙ－ｂ）＝ｒ² （４－１）（ｘ－１）＋（３－２）（ｙ－２）＝10 ３ｘ－３＋ｙ－２－10＝０ ３ｘ＋ｙ－15＝０ ※別解 中心（１，２）と（４，３）を通る直線の傾き （３－２）/（４－１） ＝１/３ この直線と垂直だから 接線の傾きは、－３ （４，３）を通るから ｙ－３＝－３（ｘ－４） ｙ－３＝－３ｘ＋12 ３ｘ＋ｙ－15＝０ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 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　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.25 円と直線 高校数学 👉ブログ TOP

分母に文字を含む方程式 当塾では、６月から「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 分母に文字を含む方程式の解き方は、最初に「分母をすべてはらう」ことが基本になります。また、両辺をななめにかけることで、はらうこともできます（比例式と同じしくみ）。分母≠０という分数の基本も押さえておく必要があります。 問題 次の問いに答えなさい。 1）３倍しても３を加えても等しくなるような数を求めなさい。 2）４倍しても４を加えても等しくなる数と、５倍しても５を加えても等しくなるような数を求めなさい。 3）ｎを２以上の自然数とするとき、ｎ倍してもｎを加えても等しくなるような数をｎの式で表しなさい。 1） 求める数をｘとする ３ｘ＝ｘ＋３ ２ｘ＝３ ｘ＝3/2 よって、3/2 2） ４ｘ＝ｘ＋４ ３ｘ＝４ ｘ＝4/3 よって、4/3 ５ｘ＝ｘ＋５ ４ｘ＝５ ｘ＝5/4 よって、5/4 3） 求める数をｘとする ｎｘ＝ｘ＋ｎ ｎｘ－ｘ＝ｎ （ｎ－１）ｘ＝ｎ 　　　ｎ ｘ＝━━━ 　　ｎ－１ よって、 　ｎ ━━━ ｎ－１ 👉ｎが大きくなるにつれて、求める数は１に近づいていく。 問題 次の連立方程式を解きなさい。 １　１ ━＋━＝３　① ｘ　ｙ ２　１ ━－━＝１　② ｘ　ｙ 解き方１ ①＋② ３ ━＝４ ｘ ４ｘ＝３ ｘ＝3/4 ①に代入 １÷（3/4）＋（1/ｙ）＝３ （4/3）＋（1/ｙ）＝３ 両辺×３ｙ ４ｙ＋３＝９ｙ ５ｙ＝３ ｙ＝3/5 よって、 ｘ＝3/4、ｙ＝3/5 解き方２ １　　　１ ━＝Ａ、━＝Ｂとする ｘ　　　ｙ Ａ＋Ｂ＝３　①’ ２Ａ－Ｂ＝１　②’ ①’＋②’ ３Ａ＝４ Ａ＝4/3 （1/ｘ）＝（4/3） ｘ＝3/4 ②に代入して、ｙ＝3/5 よって、 ｘ＝3/4、ｙ＝3/5 解き方３ ①×ｘｙ ｙ＋ｘ＝３ｘｙ　①’ ②×ｘｙ ２ｙ－ｘ＝ｘｙ　②’ ①’＋②’ ３ｙ＝４ｘｙ ３ｙ－４ｘｙ＝０ ｙ（３－４ｘ）＝０ ｙ≠０より ｘ＝3/4 ①に代入 １÷（3/4）＋（1/ｙ）＝３ （4/3）＋（1/ｙ）＝３ 両辺×３ｙ ４ｙ＋３＝９ｙ ５ｙ＝３ ｙ＝3/5 よって、 ｘ＝3/4、ｙ＝3/5 問題 次の式をｂについて解きなさい。 １　１　１ ━－━＝━ ａ　ｂ　ｃ 解き方１ 両辺×ａｂｃ ｂｃ－ａｃ＝ａｂ ｂｃ－ａｂ＝ａｃ （ｃ－ａ）ｂ＝ａｃ 　　 ａｃ ｂ＝━━━ 　　ｃ－ａ （ｃ≠ａ） 解き方２ １　１　１ ━＝━－━ ｂ　ａ　ｃ １　ｃ－ａ ━＝━━━ ｂ　 ａｃ 両辺は逆数をとればよいから 　　 ａｃ ｂ＝━━━ 　　ｃ－ａ （ｃ≠ａ） 問題 ２　　　　　　　　１ ━ｘ＋２ｙ＝４ｘ－━ｙ ３　　　　　　　　２ のとき、ｘ：ｙを最も簡単な整数の比で表しなさい。 両辺×６ ４ｘ＋12ｙ＝24ｘ－３ｙ 20ｘ＝15ｙ ４ｘ＝３ｙ 解き方１ ４ｘ＝３ｙだから 比例式の「内×内＝外×外」より ３：４＝ｘ：ｙ よって、 ｘ：ｙ＝３：４ 解き方２ ４ｘ＝３ｙより ｘ＝1/4、ｙ＝1/3で１＝１となるから ｘ：ｙ＝1/4：1/3 よって、 ｘ：ｙ＝３：４ 解き方３ ４ｘ＝３ｙより ｘ＝（3/4）ｙ ｘ：ｙ ＝（3/4）ｙ：ｙ ＝３：４ よって、 ｘ：ｙ＝３：４ 問題 次の式をａについて解きなさい。ただし、ｈ≠０とする。 　　１ Ｓ＝━ｈ（ａ＋ｂ） 　　２ 両辺×２ ２Ｓ＝ｈ（ａ＋ｂ） ａｈ＋ｂｈ＝２Ｓ ａｈ＝２Ｓ－ｂｈ ｈ≠０だから 　　２Ｓ－ｂｈ ａ＝━━━━━ 　　　　ｈ 👉ｈ≠０である理由は？ 「分母が０」だと割ることができない 分子÷０では商が立たない また、 ０÷０ではどんな数でもあてはまるため、値が１つに決まらない。 問題 次の式を計算しなさい。 　　２　　　　　 ４ （－━ｘ²ｙ）³÷（━ｘｙ²）²×６ｘ³ｙ 　　３　　　　　 ３ 　　８ｘ⁶ｙ³　　 ９ ＝－━━━━×━━━━×６ｘ³ｙ 　　　27　　　16ｘ²ｙ⁴ ＝－ｘ⁷ 問題 次の式を計算しなさい。 　ｘ³ 　ｘ²　　　 １ （━ － ━）÷（－ ━ｘ）² 　４　 ８　　　　２ 　　ｘ³ 　ｘ²　 ４　　 ＝（━ － ━）× ━ 　　４　 ８　　ｘ² 　　　１ ＝ｘ－━ 　　　２ 食塩水の問題 問題 容器Ａには濃度ａ％の食塩水100ｇが、容器Ｂには濃度５％の食塩水ｂｇがそれぞれ入っている。このとき、次の問いに答えなさい。 1）容器Ａに45ｇの水と５ｇの食塩を入れると、濃度12％の食塩水になった。このときのａの値を求めなさい。 2）1）で作った食塩水に容器Ｂの食塩水を混ぜ合わせると、濃度８％の食塩水になった。このときのｂの値を求めなさい。 1） 容器Ａに入っていた食塩 100×（ａ/100）＝ａ ｇ ａ＋５ ━━━━━━×100＝12 100＋45＋５ 100（ａ＋５） ━━━━━━＝12 　 　150 100（ａ＋５）＝1800 ａ＋５＝18 ａ＝13 2） 容器Ｂに入っていた食塩 ｂ×（5/100）＝ｂ/20 ｇ 18＋（ｂ/20） ━━━━━━×100＝８ 　150＋ｂ 1800＋５ｂ＝1200＋８ｂ ３ｂ＝600 ｂ＝200 問題 ２つの容器Ａ、Ｂがある。容器Ａには15％の食塩水200ｇが入っていて、容器Ｂには５％の食塩水300ｇが入っている。２つの容器からそれぞれ等しい重さの食塩水を取り出し、容器Ａから取り出した食塩水を容器Ｂに、容器Ｂから取り出した食塩水を容器Ａに入れて、それぞれよくかき混ぜたところ、２つの容器の食塩水の濃度が等しくなった。２つの容器それぞれから何ｇの食塩水を取り出したか。 求める食塩水をｘｇとする Ａに入っていた食塩 200×（15/100）＝30ｇ Ａから取り出した食塩 ｘ×（15/100）＝（15/100）ｘ ｇ Ａに残った食塩 30－（15/100）ｘ ｇ Ｂに入っていた食塩 300×（5/100）＝15ｇ Ｂから取り出した食塩 ｘ×（5/100）＝（5/100）ｘ ｇ Ｂに残った食塩 15－（5/100）ｘ ｇ Ａ⇒Ｂ Ｂに入っている食塩の合計 15－（5/100）ｘ＋（15/100）ｘ ＝15＋（1/10）ｘ ｇ Ｂ⇒Ａ Ａに入っている食塩の合計 30－（15/100）ｘ＋（5/100）ｘ ｇ ＝30－（1/10）ｘ ｇ 入れかえ後の食塩水の重さは同じだから Ａの濃度 30－（1/10）ｘ ━━━━━━━×100 　　 200 Ｂの濃度 15＋（1/10）ｘ ━━━━━━━×100 　　 300 よって、 30－（1/10）ｘ　15＋（1/10）ｘ ━━━━━━━＝━━━━━━━ 　　 200　　　　　　　300 90－（3/10）ｘ＝30＋（2/10）ｘ 900－３ｘ＝300＋２ｘ ５ｘ＝600 ｘ＝120 よって、120ｇ ※別解 全体の濃度を出す 食塩の合計 30＋15＝45ｇ 全体の重さ 200＋300＝500ｇ 混ぜた後の濃度 （45/500）×100＝９％ 混ぜた後のＡの食塩の合計 濃度は９％だから 200×（9/100）＝18ｇ Ａに入っている食塩の合計 30－（15/100）ｘ＋（5/100）ｘ ｇ ＝30－（1/10）ｘ ｇ よって、 30－（1/10）ｘ＝18 300－ｘ＝180 ｘ＝120ｇ 問題 12％の食塩水200ｇが入った容器がある。この容器からｘｇの食塩水をくみ出して、次に９％の食塩水ｘ/２ｇと水ｘ/２ｇを入れてかき混ぜると、10.5％の食塩水ができるという。次の問いに答えなさい。 1）ｘについての方程式をつくりなさい。 2）ｘの値を求めなさい。 1） 200ｇの食塩水に含まれる食塩 濃度12％ 200×（12/100）＝24ｇ ｘｇの食塩水に含まれる食塩 濃度12％ ｘ×（12/100）＝（12/100）ｘ ｇ ｘ/２ｇの食塩水に含まれる食塩 濃度９％ （ｘ/２）×（9/100）＝（9/200）ｘ ｇ 10.5％の食塩に含まれる食塩 24－（12/100）ｘ＋（9/200）ｘ ｇ 10.5％の食塩水の合計 200－ｘ＋（ｘ/２）＋（ｘ/２） ｇ 24－（12/100）ｘ＋（9/200）ｘ ━━━━━━━━━━━━━━━×100＝10.5 200－ｘ＋（ｘ/２）＋（ｘ/２） 2） 2400－12ｘ＋（9/2）ｘ＝2100 （15/2）ｘ＝300 15ｘ＝600 ｘ＝40 問題 Ａの容器には濃度２％の食塩水が200ｇ、Ｂの容器には濃度３％の食塩水が300ｇ、Ｃの容器には濃度４％の食塩水が400ｇ入っている。いま、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれの容器から、同量の食塩水をｘｇずつ同時に取り出し、Ａから取り出した食塩水をＢに、Ｂから取り出した食塩水をＣに、Ｃから取り出した食塩水をＡに入れた。このとき、次の問いに答えなさい。 1）Ａの容器から取り出した食塩水に含まれていた食塩の量をｘを用いて表せ。 2）Ａの容器内の食塩水の濃度をｘを用いて表せ。 3）Ａの容器内の食塩水の濃度とＣの容器内の食塩水の濃度が等しくなった。このとき、取り出した食塩水の量と、Ａの容器内の食塩水の濃度を求めよ。 1） ｘ×（2/100） ＝（2/100）ｘ ＝（1/50）ｘ ｇ 2） 取り出す前のＡに含まれる食塩 200×（2/100）＝４ｇ 取り出した後のＡに含まれる食塩 ４－（2/100）ｘ ｇ Ａに移すＣに含まれる食塩 ｘ×（4/100） ＝（4/100）ｘ ｇ 移した後のＡに含まれる食塩 ４－（2/100）ｘ＋（4/100）ｘ 取り出す前後の食塩水の重さは同じ200ｇ ４－（2/100）ｘ＋（4/100）ｘ ━━━━━━━━━━━━━━×100 　　　　　　200 　 400＋２ｘ ＝━━━━━ 　 　200 　 200＋ｘ ＝━━━━％ 　 100 3） 取り出す前のＣに含まれる食塩 400×（4/100）＝16ｇ 取り出した後のＣに含まれる食塩 16－（4/100）ｘ ｇ Ｃに移すＢに含まれる食塩 ｘ×（3/100） ＝（3/100）ｘ ｇ 移した後のＣに含まれる食塩 16－（4/100）ｘ＋（3/100）ｘ 取り出す前後の食塩水の重さは同じ400ｇ 16－（4/100）ｘ＋（3/100）ｘ ━━━━━━━━━━━━━━×100 　　　　　　400 　1600－ｘ ＝━━━━％ 　 　400 よって、 200＋ｘ　1600－ｘ ━━━━＝━━━━ 100　　　 400 800＋４ｘ＝1600－ｘ ５ｘ＝800 ｘ＝160 したがって、 取り出した食塩の量は、160ｇ また、Ａの容器内の濃度は 200＋ｘ ━━━━％ 100 ＝360÷100＝3.6％ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 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テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.24 分母に文字を含む方程式 👉ブログ TOP

円の方程式 練習問題 円の方程式では、中心の座標（ａ，ｂ）と半径ｒから、（ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ² の関係が成り立ちます。通る点の座標を代入することで半径が求められます。 中心（ａ，ｂ）、半径ｒの方程式 （ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ² 円の方程式の一般形 ｘ²＋ｙ²＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０ （ｌ²＋ｍ²－４ｎ＞０） 問題 次のような円の方程式を求めよ。 1）中心が点（２，－３）、半径が１の円 2）中心が点（３，４）で、原点を通る円 3）２点（３，１）、（－５，７）を直径の両端とする円 4）点（５，２）が中心で、ｙ軸に接する円 1） （ｘ－２）²＋（ｙ＋３）²＝１ 2） 半径ｒは（０，０）と（３，４）の距離だから ｒ²＝３²＋４²＝25 よって、 （ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝25 ※別解 （ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝ｒ² （０，０）を通るから （－３）²＋（－４）²＝ｒ² ｒ²＝25 よって、 （ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝25 3） ２点の中点が円の中心 ｘ座標　（３－５）÷２＝－１ ｙ座標　（１＋７）÷２＝４ 中心（－１，４） 半径ｒは（－１，４）と（３，１）の距離だから ｒ²＝｛３－（－１）｝²＋（１－４）² ＝16＋９ ＝25 よって、 （ｘ＋１）²＋（ｙ－４）²＝25 4） 中心（５，２）、ｙ軸はｘ＝０だから 半径ｒ＝５　すなわちｒ²＝25 よって、 （ｘ－５）²＋（ｙ－２）²＝25 問題 次のような円の方程式を求めよ。 1）中心が点（－５，２）、半径が√２の円 2）中心が原点で、点（４，３）を通る円 3）２点（１，２）、（３，－４）が直径の両端である円 4）点（３，４）が中心で、ｘ軸に接する円 1） ｒ＝√２より、ｒ²＝２ よって、 （ｘ＋５）²＋（ｙ－２）²＝２ 2） 半径ｒは（０，０）と（４，３）の距離だから ｒ²＝４²＋３²＝25 よって、 ｘ²＋ｙ²＝25 3） ２点の中点が円の中心 ｘ座標　（３＋１）÷２＝２ ｙ座標　（－４＋２）÷２＝－１ 中心（２，－１） 半径ｒは（２，－１）と（１，２）の距離だから ｒ²＝（１－２）²＋｛２－（－１）｝² ＝１＋９ ＝10 よって、 （ｘ－２）²＋（ｙ＋１）²＝10 4） 中心（３，４）、ｘ軸はｙ＝０だから ｒ＝４　すなわちｒ²＝16 よって、 （ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝16 問題 次の方程式はどのような図形を表すか。 1）ｘ²＋ｙ²＋２ｙ－３＝０ 2）ｘ²＋ｙ²＋４ｘ－６ｙ－４＝０ 3）ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ＋５＝０ 4）ｘ²＋ｙ²－４ｘ－８ｙ＋23＝０ 1） ｘ²＋ｙ²＋２ｙ－３＝０ ｘ²＋（ｙ＋１）²－１－３＝０ ｘ²＋（ｙ＋１）²＝４ 中心（０，－１）、半径２の円 2） ｘ²＋ｙ²＋４ｘ－６ｙ－４＝０ ｘ²＋４ｘ＋ｙ²－６ｙ－４＝０ （ｘ＋２）²－４＋（ｙ－３）²－９－４＝０ （ｘ＋２）²＋（ｙ－３）²＝17 中心（－２，３）、半径√17の円 3） ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ＋５＝０ ｘ²－２ｘ＋ｙ²＋４ｙ＋５＝０ （ｘ－１）²－１＋（ｙ＋２）²－４＋５＝０ （ｘ－１）²＋（ｙ＋２）²＝０ 点（１，－２） 4） ｘ²＋ｙ²－４ｘ－８ｙ＋23＝０ ｘ²－４ｘ＋ｙ²－８ｙ＋23＝０ （ｘ－２）²－４＋（ｙ－４）²－16＋23＝０ （ｘ－２）²＋（ｙ－４）²＝－３ （ｘ－２）²＋（ｙ－４）²≧０だから 解なし 問題 次の方程式はどのような図形を表すか。 1）ｘ²＋２ｘ＋ｙ²＝０ 2）ｘ²＋ｙ²－４ｘ－10ｙ－20＝０ 3）ｘ²＋４ｘ＋ｙ²＋６ｙ＋13＝０ 4）ｘ²＋６ｘ＋ｙ²＋８ｙ＋28＝０ 1） ｘ²＋２ｘ＋ｙ²＝０ （ｘ＋１）²－１＋ｙ²＝０ （ｘ＋１）²＋ｙ²＝１ 中心（－１，０）、半径１の円 2） ｘ²＋ｙ²－４ｘ－10ｙ－20＝０ （ｘ－２）²－４＋（ｙ－５）²－25－20＝０ （ｘ－２）²＋（ｙ－５）²＝49 中心（２，５）、半径７の円 3） ｘ²＋４ｘ＋ｙ²＋６ｙ＋13＝０ （ｘ＋２）²－４＋（ｙ＋３）²－９＋13＝０ （ｘ＋２）²＋（ｙ＋３）²＝０ 点（－２，－３） 4） ｘ²＋６ｘ＋ｙ²＋８ｙ＋28＝０ （ｘ＋３）²－９＋（ｙ＋４）²－16＋28＝０ （ｘ＋３）²＋（ｙ＋４）²＝－３ （ｘ＋３）²＋（ｙ＋４）²≧０だから 解なし 問題 ３点（１，３）、（４，２）、（５，－５）を通る円の方程式を求めよ。 求める方程式を ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０とする （１，３）を代入 １＋９＋ａ＋３ｂ＋ｃ＝０ ａ＋３ｂ＋ｃ＝－10　① （４，２）を代入 16＋４＋４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０ ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝－20　② （５，－５）を代入 25＋25＋５ａ－５ｂ＋ｃ＝０ ５ａ－５ｂ＋ｃ＝－50　③ ①－② －３ａ＋ｂ＝10　④ ①－③ －４ａ＋８ｂ＝40 －ａ＋２ｂ＝10　⑤ ④×２－⑤ －６ａ＋２ｂ＝20 －ａ＋２ｂ＝10 －５ａ＝10　ａ＝－２ ⑤に代入 ２＋２ｂ＝10 ２ｂ＝８　ｂ＝４ ①より －２＋12＋ｃ＝－10 ｃ＝－20 よって、 ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ－20＝０ 問題 次の３点を通る円の方程式を求めよ。 1）（０，０）、（１，－３）、（４，０） 2）（１，１）、（３，１）、（５，－３） 1） 求める方程式を ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０とする （０，０）を代入 ｃ＝０ （１，－３）を代入 １＋９＋ａ－３ｂ＝０ ａ－３ｂ＝－10　① （４，０）を代入 16＋４ａ＝０ ａ＝－４ ①に代入 －４－３ｂ＝－10 －３ｂ＝－６　ｂ＝２ よって、 ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋２ｙ＝０ 2） 求める方程式を ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０とする （１，１）を代入 １＋１＋ａ＋ｂ＋ｃ＝０ ａ＋ｂ＋ｃ＝－２　① （３，１）を代入 ９＋１＋３ａ＋ｂ＋ｃ＝０ ３ａ＋ｂ＋ｃ＝－10　② （５，－３）を代入 25＋９＋５ａ－３ｂ＋ｃ＝０ ５ａ－３ｂ＋ｃ＝－34　③ ①－② －２ａ＝８　ａ＝－４ ①－③ －４ａ＋４ｂ＝32 －ａ＋ｂ＝８ ａ＝－４より ４＋ｂ＝８　ｂ＝４ ①より －４＋４＋ｃ＝－２　ｃ＝－２ よって、 ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋４ｙ－２＝０ 問題 円ｘ²＋ｙ²＝２と次の直線との位置関係（交わる、接するなど）を調べ、共有点がある場合には、その座標を求めよ。 1）ｙ＝ｘ 2）ｙ＝ｘ－２ 3）ｙ＝ｘ＋３ 1） ｘ²＋ｙ²＝２に、ｙ＝ｘを代入 ｘ²＋ｘ²＝２ ｘ²＝１ ｘ＝±１ ｘ＝１のとき、ｙ＝１ ｘ＝－１のとき、ｙ＝－１ よって、 ２点で交わる 共有点の座標 （１，１）（－１，－１） 2） ｘ²＋ｙ²＝２に、ｙ＝ｘ－２を代入 ｘ²＋（ｘ－２）²＝２ ｘ²＋ｘ²－４ｘ＋４－２＝０ ２ｘ²－４ｘ＋２＝０ ｘ²－２ｘ＋１＝０ （ｘ－１）²＝０ ｘ＝１ ｘ＝１のとき、ｙ＝－１ よって、 １点で接する 接点の座標（１，－１） 3） ｘ²＋ｙ²＝２に、ｙ＝ｘ＋３を代入 ｘ²＋（ｘ＋３）²＝２ ｘ²＋ｘ²＋６ｘ＋９－２＝０ ２ｘ²＋６ｘ＋７＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝９－14＝－５ Ｄ＜０だから 共有点をもたない 問題 次の円と直線の位置関係を調べ、共有点がある場合には、その座標を求めよ。 1） ｘ²＋ｙ²＝４ ｘ＋ｙ＝４ 2） ｘ²＋ｙ²＝１ ｘ－ｙ＝√２ 3） ｘ²＋ｙ²＋５ｘ＋ｙ－６＝０ ３ｘ＋ｙ－２＝０ 1） ｘ²＋ｙ²＝４　① ｘ＋ｙ＝４　② ②より ｙ＝４－ｘ ①に代入 ｘ²＋（４－ｘ）²＝４ ｘ²＋16－８ｘ＋ｘ²＝４ ｘ²－８ｘ＋12＝０ （ｘ－２）（ｘ－６）＝０ ｘ＝２，６ ｘ＝２のとき、ｙ＝２ ｘ＝６のとき、ｙ＝－２ よって、 ２点で交わる 共有点の座標 （２，２）（６，－２） 2） ｘ²＋ｙ²＝１　① ｘ－ｙ＝√２　② ②より ｘ＝ｙ＋√２　②’ ①に代入 （ｙ＋√２）²＋ｙ²＝１ ｙ²＋２√２ｙ＋２＋ｙ²＝１ ２ｙ²＋２√２ｙ＋１＝０ （√２ｙ＋１）²＝０ ｙ＝－√２/２ ②’に代入 ｘ＝（－√２/２）＋√２＝√２/２ よって、 １点で接する 接点の座標（√２/２，－√２/２） 3） ｘ²＋ｙ²＋５ｘ＋ｙ－６＝０　① ３ｘ＋ｙ－２＝０　② ②より ｙ＝２－３ｘ ①に代入 ｘ²＋４－12ｘ＋９ｘ²＋５ｘ＋２－３ｘ－６＝０ 10ｘ²－10ｘ＝０ ｘ²－ｘ＝０ ｘ（ｘ－１）＝０ ｘ＝０，１ ｘ＝０のとき、ｙ＝２ ｘ＝１のとき、ｙ＝－１ よって、 ２点で交わる 共有点の座標 （０，２）（１，－１） 問題 円ｘ²＋ｙ²＝２・・①と直線ｙ＝－ｘ＋ｋ・・②について 1）円①と直線②が共有点をもつとき、定数ｋの値の範囲を求めよ。 2）円①と直線②が接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。 1） ①に②を代入 ｘ²＋（－ｘ＋ｋ）²＝２ ｘ²＋ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²＝２ ２ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²－２＝０　③ 判別式をＤとする Ｄ/４＝ｋ²－２ｋ²＋４ ＝－ｋ²＋４ Ｄ≧０より －ｋ²＋４≧０ ｋ²－４≦０ （ｋ＋２）（ｋ－２）≦０ －２≦ｋ≦２ 2） 1）より Ｄ＝－ｋ²＋４ Ｄ＝０より －ｋ²＋４＝０ ｋ²＝４ ｋ＝±２ ｋ＝２のとき ｋ＝２を③に代入 ２ｘ²－４ｘ＋２＝０ ｘ²－２ｘ＋１＝０ （ｘ－１）²＝０ ｘ＝１ ②よりｙ＝－ｘ＋２ ｘ＝１を代入して ｙ＝１ ｋ＝－２のとき ｋ＝－２を③に代入 ２ｘ²＋４ｘ＋２＝０ ｘ²＋２ｘ＋１＝０ （ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－１ ②よりｙ＝－ｘ－２ ｘ＝－１を代入して ｙ＝－１ よって、 ｋ＝２のとき、接点（１，１） ｋ＝－２のとき、接点（－１，－１） 問題 円ｘ²＋ｙ²－２ｘ＝４・・①と直線ｙ＝２ｘ＋ｋ・・②について 1）円①と直線②が共有点をもたないとき、定数ｋの値の範囲を求めよ。 2）円①と直線②が接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。 1） ②を①に代入 ｘ²＋（２ｘ＋ｋ）²－２ｘ＝４ ｘ²＋４ｘ²＋４ｋｘ＋ｋ²－２ｘ－４＝０ ５ｘ²＋２（２ｋ－１）ｘ＋ｋ²－４＝０　③ Ｄ/４＝（２ｋ－１）²－５（ｋ²－４） ＝４ｋ²－４ｋ＋１－５ｋ²＋20 ＝－ｋ²－４ｋ＋21 Ｄ＜０より －ｋ²－４ｋ＋21＜０ ｋ²＋４ｋ－21＞０ （ｋ＋７）（ｋ－３）＞０ ｋ＜－７、ｋ＞３ 2） 1）より Ｄ/４＝－ｋ²－４ｋ＋21 Ｄ＝０より （ｋ＋７）（ｋ－３）＝０ ｋ＝－７，３ ｋ＝－７のとき ｋ＝－７を③に代入 ５ｘ²－30ｘ＋45＝０ ｘ²－６ｘ＋９＝０ （ｘ－３）²＝０ ｘ＝３ ②よりｙ＝２ｘ－７ ｘ＝３を代入 ｙ＝－１ ｋ＝３のとき ｋ＝３を③に代入 ５ｘ²＋10ｘ＋５＝０ ｘ²＋２ｘ＋１＝０ （ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－１ ②よりｙ＝２ｘ＋３ ｘ＝－１を代入 ｙ＝１ よって、 ｋ＝－７のとき、接点（３，－１） ｋ＝３のとき、接点（－１，１） 問題 円ｘ²＋ｙ²＝５と直線２ｘ－ｙ＋ｋ＝０の共有点の個数は、定数ｋの値によって、どのように変わるか調べよ。 円の中心（０，０）、半径ｒ＝√５ 中心と直線２ｘ－ｙ＋ｋ＝０の距離 　　｜２・０－０＋ｋ｜ ｄ＝━━━━━━━━━ 　　√｛２²＋（－１）²｝ 　｜ｋ｜ ＝━━━ 　 √５ ２点で交わるとき ｄ＜ｒより ｜ｋ｜ ━━━＜√５ √５ ｜ｋ｜＜５ －５＜ｋ＜５ １点で接するとき ｄ＝ｒより ｜ｋ｜＝５ ｋ＝±５ 共有点がないとき ｄ＞ｒより ｜ｋ｜＞５ ｋ＜－５、ｋ＞５ よって、 －５＜ｋ＜５のとき、２個 ｋ＝±５のとき、１個 ｋ＜－５、ｋ＞５のとき０個 ※別解 ２ｘ－ｙ＋ｋ＝０より ｙ＝２ｘ＋ｋ ｘ²＋ｙ²＝５に代入 ｘ²＋４ｘ²＋４ｋｘ＋ｋ²－５＝０ ５ｘ²＋４ｋｘ＋ｋ²－５＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝４ｋ²－５ｋ²＋25 ＝－ｋ²＋25 Ｄ＞０より －ｋ²＋25＞０ ｋ²－25＜０ （ｋ＋５）（ｋ－５）＜０ －５＜ｋ＜５ このとき、共有点は２個 Ｄ＝０より －ｋ²＋25＝０ ｋ²－25＝０ ｋ＝±５ このとき、共有点は１個 Ｄ＜０より －ｋ²＋25＜０ ｋ²－25＞０ （ｋ＋５）（ｋ－５）＞０ ｋ＜－５、ｋ＞５ このとき、共有点は０個 よって、 －５＜ｋ＜５のとき、２個 ｋ＝±５のとき、１個 ｋ＜－５、ｋ＞５のとき０個 問題 円（ｘ－１）²＋（ｙ－１）²＝ｒ²と直線ｙ＝２ｘ－３の共有点の個数は、半径ｒの値によって、どのように変わるか調べよ。 円の中心（１，１）、半径ｒ 中心と直線２ｘ－ｙ－３＝０の距離 　　｜２・１－１・１－３｜ ｄ＝━━━━━━━━━━━ 　　　√｛２²＋（－１）²｝ ｄ＝２√５/５ ２点で交わるとき ｄ＜ｒより ｒ＞２√５/５ ｒ＞０だから、ｒ＞２√５/５ １点で接するとき ｄ＝ｒより ｒ＝２√５/５（ｒ＞０に適する） 共有点がないとき ｄ＞ｒより ｒ＜２√５/５ ｒ＞０だから ０＜ｒ＜２√５/５ よって、 ｒ＞２√５/５のとき、２個 ｒ＝２√５/５のとき、１個 ０＜ｒ＜２√５/５のとき、０個 ※別解 ｙ＝２ｘ－３を円の方程式に代入 （ｘ－１）²＋（２ｘ－４）²＝ｒ² ｘ²－２ｘ＋１＋４ｘ²－16ｘ＋16－ｒ²＝０ ５ｘ²－18ｘ＋17－ｒ²＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝81－85＋５ｒ² ＝５ｒ²－４ Ｄ＞０より ５ｒ²－４＞０ （√５ｒ＋２）（√５ｒ－２）＞０ ｒ＜－２√５/５、ｒ＞２√５/５ ｒ＞０だから ｒ＞２√５/５ このとき、共有点は２個 Ｄ＝０より ５ｒ²－４＝０ ｒ＝±２√５/５ ｒ＞０だから ｒ＝２√５/５ このとき、共有点は１個 Ｄ＜０より ５ｒ²－４＜０ （√５ｒ＋２）（√５ｒ－２）＜０ －２√５/５＜ｒ＜２√５/５ ｒ＞０だから ０＜ｒ＜２√５/５ このとき、共有点は０個 よって、 ｒ＞２√５/５のとき、２個 ｒ＝２√５/５のとき、１個 ０＜ｒ＜２√５/５のとき、０個 問題 ｘ²＋ｙ²＝５上の点Ｐ（１，－２）における接線の方程式を求めよ。 ｘ²＋ｙ²＝ｒ²上の点（ａ，ｂ）における接線の方程式 ａｘ＋ｂｙ＝ｒ² １・ｘ＋（－２）・ｙ＝５ ｘ－２ｙ－５＝０ 問題 次の円上の点Ｐにおける接線の方程式を求めよ。 1）ｘ²＋ｙ²＝９、Ｐ（－２，√５） 2）ｘ²＋ｙ²＝36、Ｐ（０，－６） 1） －２・ｘ＋√５・ｙ＝９ －２ｘ＋√５ｙ－９＝０ ２ｘ－√５ｙ＋９＝０ 2） －６・ｙ＝36 ｙ＝－６ 問題 点Ａ（３，１）から円ｘ²＋ｙ²＝２に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。 接点を（ａ，ｂ）とする ｘ²＋ｙ²＝２上にあるから ａ²＋ｂ²＝２　① 接線の方程式は、 ａｘ＋ｂｙ＝２ （３，１）を通るから ３ａ＋ｂ＝２ 変形して ｂ＝２－３ａ　② ①に代入 ａ²＋（２－３ａ）²＝２ ａ²＋４－12ａ＋９ａ²＝２ 10ａ²－12ａ＋２＝０ ５ａ²－６ａ＋１＝０ ５　－１　－１ 　× １　－１　－５ 　　　　　－６ （５ａ－１）（ａ－１）＝０ ａ＝1/5、１ ａ＝1/5のとき、ｂ＝7/5 接点（1/5、7/5） ａｘ＋ｂｙ＝２より 接線の方程式は （1/5）ｘ＋（7/5）ｙ＝２ ｘ＋７ｙ－10＝０ ａ＝１のとき、ｂ＝－１ 接点（１，－１） ａｘ＋ｂｙ＝２より 接線の方程式は ｘ－ｙ＝２ ｘ－ｙ－２＝０ よって、 接線の方程式と接点は ｘ＋７ｙ－10＝０、（1/5、7/5） ｘ－ｙ－２＝０、（１，－１） 問題 点Ａ（７，１）から円ｘ²＋ｙ²＝25に引いた接線の方程式を求めよ。 接点を（ａ、ｂ）とする ｘ²＋ｙ²＝25上にあるから ａ²＋ｂ²＝25　① 接線の方程式は ａｘ＋ｂｙ＝25 （７，１）を通るから ７ａ＋ｂ＝25 変形して ｂ＝25－７ａ　② ①に代入 ａ²＋（25－７ａ）²＝25 ａ²＋625－350ａ＋49ａ²－25＝０ 50ａ²－350ａ＋600＝０ ａ²－７ａ＋12＝０ （ａ－３）（ａ－４）＝０ ａ＝３，４ ②より ａ＝３のとき、ｂ＝４ よって、 ３ｘ＋４ｙ＝25 ａ＝４のとき、ｂ＝－３ よって、 ４ｘ－３ｙ＝25 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.24 円の方程式 練習問題 👉ブログ TOP

連立方程式の文章題 練習問題 当塾では、６月から「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 １学期後半の中学数学では「連立方程式」の学習があり、文章題のトレーニング演習を行ってきました。解き方をつかんできた塾生も増え、難問に進んで挑戦する姿も見られます。 問題 家から９kmはなれた公園に行くのに、はじめは時速６kmで走り、途中から時速４kmで歩いたら、全体で２時間かかった。走った道のりと歩いた道のりをそれぞれ求めなさい。 走った道のりｘkm、歩いた道のりｙkmとする 合わせて９kmだから ｘ＋ｙ＝９　① ｘkmを時速６kmで進んだ時間は ｘ÷６＝ｘ/６時間 ｙkmを時速４kmで進んだ時間は ｙ÷４＝ｙ/４時間 合わせて２時間だから （ｘ/６）＋（ｙ/４）＝２　② ②×12 ２ｘ＋３ｙ＝24　②’ ②’－①×２ ２ｘ＋３ｙ＝24 ２ｘ＋２ｙ＝18 ｙ＝６ ①に代入して　ｘ＝３ よって、 走った道のり　３km 歩いた道のり　６km 問題 ある会社の昨年の従業員数は560人であったが、今年は、昨年に比べ、男性が３％、女性が５％それぞれ増えたので、全体で24人増えた。昨年の男性従業員数、女性従業員数を、それぞれ求めなさい。 昨年の男性をｘ人、女性をｙ人とする 合わせて560人だから ｘ＋ｙ＝560　① 男性の増えた分は ｘ×（3/100）＝（3/100）ｘ人 女性の増えた分は ｙ×（5/100）＝（5/100）ｙ人 合わせて24人増えたから （3/100）ｘ＋（5/100）ｙ＝24　② ②×100 ３ｘ＋５ｙ＝2400　②’ ②’－①×３ ３ｘ＋５ｙ＝2400 ３ｘ＋３ｙ＝1680 ２ｙ＝720　ｙ＝360 ①に代入して　ｘ＝200 よって、 男性　200人 女性　360人 問題 ある中学校の先月のボランティア活動の参加者は、男女合わせて110人であったが、今月は男子が８％減り、女子が15％増えたので、全体で５人増えた。先月の男子、女子の参加者はそれぞれ何人か求めなさい。 先月の人数 男子をｘ人、女子をｙ人とする 合わせて110人だから ｘ＋ｙ＝110　① 男子の減った分は ｘ×（－8/100）＝－（8/100）ｘ人 女子の増えた分は ｙ×（15/100）＝（15/100）ｙ人 合わせて５人だから －（8/100）ｘ＋（15/100）ｙ＝５　② ②×100 －８ｘ＋15ｙ＝500　②’ ①×８＋②’ 　８ｘ＋８ｙ＝880 －８ｘ＋15ｙ＝500 23ｙ＝1380　ｙ＝60 ①に代入して　ｘ＝50 よって、 男子　50人 女子　60人 問題 家から1.5kmはなれた駅へ行くのに、はじめは分速80mで歩き、途中から分速140mで走ったら、全体で15分かかった。歩いた道のりと走った道のりを、それぞれ求めなさい。 歩いた道のりをｘm、走った道のりをｙmとする 合わせて1.5km＝1500mだから ｘ＋ｙ＝1500　① ｘmを分速80mで進んだ時間は ｘ÷80＝ｘ/80 分 ｙmを分速140mで進んだ時間は ｙ÷140＝ｙ/140 分 合わせて15分だから （ｘ/80）＋（ｙ/140）＝15　② 両辺×560 ７ｘ＋４ｙ＝8400　②’ ②’－①×４ ７ｘ＋４ｙ＝8400 ４ｘ＋４ｙ＝6000 ３ｘ＝2400　ｘ＝800 ①に代入して　ｙ＝700 よって、 歩いた道のり　800m 走った道のり　700m 問題 家から10kmはなれた池に行くのに、はじめは時速４kmで歩き、途中の公園からは時速３kmで歩いたら、全体で３時間かかった。家から公園までと公園から池までの道のりを、それぞれ求めなさい。 それぞれの道のり 公園までｘkm、公園から池までｙkmとする 合わせて10kmだから ｘ＋ｙ＝10　① ｘkmを時速４kmで進んだ時間は ｘ÷４＝ｘ/４時間 ｙkmを時速３kmで進んだ時間は ｙ÷３＝ｙ/３時間 合わせて３時間だから （ｘ/４）＋（ｙ/３）＝３　② ②×12 ３ｘ＋４ｙ＝36　②’ ②’－①×３ ３ｘ＋４ｙ＝36 ３ｘ＋３ｙ＝30 ｙ＝６ ①に代入して　ｘ＝４ よって、 家から公園まで　４km 公園から池まで　６km 問題 パン屋さんで、菓子パン１個を定価の15％引き、飲み物１本を定価の20％引きで買い、定価の合計410円よりも71円安く買うことができた。菓子パンと飲み物の定価を、それぞれ求めなさい。 それぞれの定価 パンｘ円、飲み物ｙ円とする 合わせて410円だから ｘ＋ｙ＝410　① パンの値引き分は ｘ×（15/100）＝（15/100）ｘ円 飲み物の値引き分は ｙ×（20/100）＝（20/100）ｙ円 合わせて71円だから （15/100）ｘ＋（20/100）ｙ＝71　② ②×100 15ｘ＋20ｙ＝7100 ３ｘ＋４ｙ＝1420　②’ ②’－①×３ ３ｘ＋４ｙ＝1420 ３ｘ＋３ｙ＝1230 ｙ＝190 ①に代入して　ｘ＝220 よって、 菓子パン　220円 飲み物　　190円 問題 家から900mはなれた駅に行くのに、２分だけ走って残りを歩くと全部で10分で駅に着き、３分だけ走って残りを歩くと全部で９分で着く。走る速さと歩く速さがそれぞれ一定であるとき、それぞれ分速何mか求めなさい。 それぞれの分速 走る速さを分速ｘm、歩く速さを分速ｙmとする 分速ｘmで２分走った距離は ｘ×２＝２ｘm 分速ｙmで10－２＝８分歩いた距離は ｙ×８＝８ｙm 合わせて900mだから ２ｘ＋８ｙ＝900 ｘ＋４ｙ＝450　① 分速ｘmで３分走った距離は ｘ×３＝３ｘm 分速ｙmで９－３＝６分歩いた距離は ｙ×６＝６ｙm 合わせて900mだから ３ｘ＋６ｙ＝900 ｘ＋２ｙ＝300　② ①－② ｘ＋４ｙ＝450 ｘ＋２ｙ＝300 ２ｙ＝150　ｙ＝75 ②に代入して ｘ＋150＝300　ｘ＝150 よって、 走る速さ　分速150m 歩く速さ　分速75m 問題 ある中学校の昨年の生徒数は、男女合わせて355人であったが、今年は、昨年に比べ、男子が５％減り、女子が８％増えたので、全体で５人増えた。今年の男子、女子の生徒数を、それぞれ求めなさい。 昨年の男子をｘ人、昨年の女子をｙ人とする 合わせて355人だから ｘ＋ｙ＝355　① 男子の減った分は ｘ×（－5/100）＝－（5/100）ｘ人 女子の増えた分は ｙ×（8/100）＝（8/100）ｙ人 合わせて５人だから －（5/100）ｘ＋（8/100）ｙ＝５　② ②×100 －５ｘ＋８ｙ＝500　②’ ①×５＋②’ 　５ｘ＋５ｙ＝1775 －５ｘ＋８ｙ＝500 13ｙ＝2275　ｙ＝175 ①に代入して　ｘ＝180 今年を求めるから 男子の減った分は －（5/100）×180＝－９人 よって、今年は 180－９＝171人 女子の増えた分は （8/100）×175＝14人 よって、今年は 175＋14＝189人 したがって、 男子　171人 女子　189人 問題 ある店で、商品のラッピングを行っている。無地の箱Ａは無料で、模様のついた小、中、大の箱の料金は下の表のようになっている。先月、200個のラッピングを行ったところ、箱Ａの個数は、小、中、大の箱を合わせた個数の２倍よりも８個多く、ラッピングの合計金額は16700円であった。また、小の箱の個数は、大の箱の個数の３倍であった。このとき、あとの問いに答えなさい。 ラッピング　料金 箱Ａ　　　　無料 箱（小）　　150円 箱（中）　　300円 箱（大）　　500円 1）箱Ａ、小、中、大の箱はそれぞれ何個であったか、求めなさい。 2）今月から、箱Ａのラッピングを100円で行ったところ、箱Ａと小の箱の個数の比は２：１、中と大の箱の個数の比は３：１となった。また、箱Ａと大の箱を合わせた個数と、小と中の箱を合わせた個数は等しくなり、４種類の箱の個数の合計は180個であった。このとき、今月のラッピングの合計金額を求めなさい。 1） 中をｘ個、大をｙ個とすると 小は大の３倍だから３ｙ個 Ａの個数 （３ｙ＋ｘ＋ｙ）×２＋８ 合わせて200個だから ３ｙ＋ｘ＋ｙ＋２（３ｙ＋ｘ＋ｙ）＋８＝200 ３ｘ＋12ｙ＝192 ｘ＋４ｙ＝64　① 料金は Ａ　０円 小　３ｙ×150＝450ｙ円 中　ｘ×300＝300ｘ円 大　ｙ×500＝500ｙ円 合わせて16700円だから 450ｙ＋300ｘ＋500ｙ＝16700 300ｘ＋950ｙ＝16700 30ｘ＋95ｙ＝1670　② ①×30－② 30ｘ＋120ｙ＝1920 30ｘ＋ 95ｙ＝1670 25ｙ＝250　ｙ＝10 ①に代入して ｘ＋40＝64　ｘ＝24 よって、 小　３ｙ＝３×10＝30個 中　24個 大　10個 Ａ　200－（30＋24＋10）＝136個 2） 小をｘ個とする Ａ：小＝２：１だから Ａは２ｘ個 大をｙ個とする 中：大＝３：１だから 中は３ｙ個 Ａ＋大＝小＋中だから ２ｘ＋ｙ＝ｘ＋３ｙ ｘ＝２ｙ　① 箱の合計は180個だから ２ｘ＋ｘ＋３ｙ＋ｙ＝180 ３ｘ＋４ｙ＝180 ①を代入 ６ｙ＋４ｙ＝180 10ｙ＝180　ｙ＝18 ①に代入して　ｘ＝36 よって、 Ａ　２ｘ＝２×36＝72個 小　36個 中　３ｙ＝３×18＝54個 大　18個 合計金額は 72×100＋36×150＋54×300＋18×500 ＝7200＋5400＋16200＋9000 ＝37800円 問題 Ｋ町では、空き缶のリサイクルを推進するため、アルミ缶１個を２円、スチール缶１個を１円と交換している。Ｋ町のＡ中学校では先月、アルミ缶とスチール缶を合わせて4000個集め、お金と交換した。今月は、先月に比べて、アルミ缶の個数が20％、スチール缶の個数が10％それぞれ増えたので、今月集めたアルミ缶とスチール缶を交換した金額の合計は、先月より1150円多かった。今月集めたアルミ缶の個数を求めなさい。 先月の個数 アルミ缶ｘ個、スチール缶ｙ個とする 合わせて4000個だから ｘ＋ｙ＝4000　① アルミ缶の増えた分 ｘ×（20/100）＝（20/100）ｘ個 １個２円だから ２×（20/100）ｘ ＝（40/100）ｘ円増えた スチール缶の増えた分 ｙ×（10/100）＝（10/100）ｙ個 １個１円だから （10/100）ｙ円増えた 合わせて1150円だから （40/100）ｘ＋（10/100）ｙ＝1150 40ｘ＋10ｙ＝115000 ４ｘ＋ｙ＝11500　② ②－① ４ｘ＋ｙ＝11500 　ｘ＋ｙ＝ 4000 ３ｘ＝7500　ｘ＝2500 今月のアルミ缶の個数を求める 増えた分の個数は （20/100）ｘ ＝（20/100）×2500 ＝500個 よって、 2500＋500＝3000個 問題 ２つの数がある。これらの和は167で、一方の数は他方の数の４倍より８小さい。この２つの数を求めなさい。 ２つの数をｘ、ｙとする 合わせて167だから ｘ＋ｙ＝167　① 一方は他方の４倍より８小さいから ｘ＝４ｙ－８ ①に代入 ４ｙ－８＋ｙ＝167 ５ｙ＝175　ｙ＝35 ①に代入して　ｘ＝132 よって、 35，132 問題 田中さんは、バーゲンセールでシャツとズボンを１着ずつ買った。ふだん定価で買うと合わせて10000円かかるところ、シャツは定価の20％引き、ズボンは定価の25％引きで買えたので、合わせて2300円安くすんだ。シャツ１着、ズボン１着の定価をそれぞれ求めなさい。 それぞれの定価 シャツ１着ｘ円、ズボン１着ｙ円とする 合わせて10000円だから ｘ＋ｙ＝10000　① シャツの値引き分は ｘ×（20/100）＝（20/100）ｘ円 ズボンの値引き分は ｙ×（25/100）＝（25/100）ｙ円 合わせて2300円だから （20/100）ｘ＋（25/100）ｙ＝2300　② ②×100 20ｘ＋25ｙ＝230000 ②－①×20 20ｘ＋25ｙ＝230000 20ｘ＋20ｙ＝200000 ５ｙ＝30000 ｙ＝6000 ①に代入して　ｘ＝4000 よって、 シャツ　4000円 ズボン　6000円 問題 ３種類のおもり◎、●、○があり、○１個の重さは１ｇである。おもりを図１、図２のように左右の皿にのせると、てんびんはそれぞれつり合った。おもりを図３のように左右の皿にのせたときは、てんびんはつり合わなかったので、左右どちらか一方の皿だけにおもりをもう２個のせたところ、てんびんはつり合った。左、右のどちらの皿にどのおもりをのせたか答えなさい。 ◎をｘｇ、●をｙｇとする 図１より ２ｘ＝３ｙ＋１ ２ｘ－３ｙ＝１　① 図２より ｘ＋１＝２ｙ ｘ－２ｙ＝－１　② ①－②×２ ２ｘ－３ｙ＝１ ２ｘ－４ｙ＝－２ ｙ＝３ ②に代入して ｘ－６＝－１　ｘ＝５ よって、 ◎　５ｇ ●　３ｇ 図３より 左　１＋５×２＋３＝14ｇ 右　３＋１×３＝６ｇ 右に14－６＝８ｇのせればよい よって、 右の皿に◎１個、●１個をのせた 問題 ペットボトルに入っていた800mLのジュースを、Ａ、Ｂ、Ｃの３つの容器に分けたところ、ＡとＢのジュースの量は等しく、Ｃのジュースの量だけが異なっていた。 次にＡに入れた量の60%をＢに、Ａの残りを全部Ｃに移したら、ＢとＣのジュースの量が同じになった。最初にＢとＣの容器に入れたジュースの量をそれぞれ求めなさい。 ＡとＢそれぞれｘmL、ＣをｙmLとする 合わせて800mLだから ２ｘ＋ｙ＝800　① Ａの60％をＢに移すと ｘ＋（60/100）ｘ mL Ａの残り40％をＣに移すと ｙ＋（40/100）ｘmL よって、 ｘ＋（60/100）ｘ＝ｙ＋（40/100）ｘ 100ｘ＋60ｘ＝100ｙ＋40ｘ 120ｘ＝100ｙ ６ｘ－５ｙ＝０　② ①×３－② ６ｘ＋３ｙ＝2400 ６ｘ－５ｙ＝０ ８ｙ＝2400　ｙ＝300 ①に代入 ２ｘ＋300＝800 ２ｘ＝500　ｘ＝250 よって、 Ｂ　250mL Ｃ　300mL 問題 ２つの水そうＡ、Ｂにそれぞれ何Ｌかの水が入っており、水そうＡの水量は水そうＢの水量よりも多い。まず、水そうＡに入っている水量の1/3を水そうＢに移したところ、水そうＢの水量は水そうＡの「移した後の水量」の3/2倍になった。 次に、水そうＢに溜まった水量の40％を水そうＡに戻したところ、水そうＡの水量は32Ｌになった。最初に水そうＡ、Ｂに入っていた水の量をそれぞれ求めなさい。 最初のＡの量をｘＬ、Ｂの量をｙＬとする Ａの1/3をＢに移すと ｙ＋（1/3）ｘ Ｌ　① Ａの移した後の量は ｘ－（1/3）ｘ ＝（2/3）ｘ Ｌ この3/2倍の量は （2/3）ｘ×（3/2） ＝ｘ Ｌ　② ①＝②だから ｙ＋（1/3）ｘ＝ｘ ３ｙ＋ｘ＝３ｘ ２ｘ－３ｙ＝０　③ ①の40％は ｛ｙ＋（1/3）ｘ｝×（40/100） これをＡに戻すと （2/3）ｘ＋（2/5）｛ｙ＋（1/3）ｘ｝＝32 10ｘ＋６｛ｙ＋（1/3）ｘ｝＝480 10ｘ＋６ｙ＋２ｘ＝480 12ｘ＋６ｙ＝480 ４ｘ＋２ｙ＝160　④ ③×２－④ ４ｘ－６ｙ＝０ ４ｘ＋２ｙ＝160 －８ｙ＝－160　ｙ＝20 ③に代入して ２ｘ－60＝０　ｘ＝30 よって、 Ａ　30Ｌ Ｂ　20Ｌ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.23 連立方程式の文章題 練習問題 👉ブログ TOP

円の方程式 高校数学 円の方程式では、中心の座標（ａ，ｂ）と半径ｒから、（ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ² の関係が成り立ちます。通る点の座標を代入することで半径が求められます。 中心（ａ，ｂ）、半径ｒの方程式 （ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ² 円の方程式の一般形 ｘ²＋ｙ²＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０ （ｌ²＋ｍ²－４ｎ＞０） 問題 次のような円の方程式を求めよ。 1） 中心が点（１，１）、半径が２ 2） 中心が原点、半径が５ 3） 中心が点（３，－２）、半径が４ 4） 中心が点（－１，２）、半径が√５ 1）中心が点（１，１）、半径が２ （ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ² （ｘ－１）²＋（ｙ－１）²＝４ 2）中心が原点、半径が５ ｘ²＋ｙ²＝25 3）中心が点（３，－２）、半径が４ （ｘ－３）²＋（ｙ＋２）²＝16 4）中心が点（－１，２）、半径が√５ （ｘ＋１）²＋（ｙ－２）²＝５ 問題 次の円の中心の座標と半径を求めよ。 1） （ｘ＋５）²＋（ｙ－２）²＝20 2） （ｘ＋３）²＋（ｙ＋２）²＝２ 1） 中心　（－５，２） 半径　ｒ²＝20 　　　ｒ＝２√５（ｒ＞０） 2） 中心　（－３，－２） 半径　ｒ²＝２ 　　　ｒ＝√２（ｒ＞０） 問題 次の問いに答えよ。 1）２点Ａ（５，－２）、Ｂ（－１，４）を直径の両端とする円について、中心Ｃの座標と半径ｒを求めよ。また、その方程式を求めよ。 2）中心が点Ｃ（－２，１）で点Ａ（１，－３）を通る円について、半径ｒを求めよ。また、その方程式を求めよ。 1） Ａ（５，－２）　Ｂ（－１，４） 中心は、中点の座標 ｘ座標　（５－１）/２＝２ ｙ座標　（４－２）/２＝１ よって、（２，１） ２点間（ｘ₁，ｙ₁）（ｘ₂，ｙ₂）の距離 √｛（ｘ₂－ｘ₁）²＋（ｙ₂－ｙ₁）²｝ √｛（－１－５）²＋（４＋２）²｝ ＝√72 ＝６√２ ＡＢの長さは直径だから ｒ＝３√２ 方程式は、ｒ²＝18だから （ｘ－２）²＋（ｙ－１）²＝18 2） ＣＡの長さが半径 √｛（１＋２）²＋（－３－１）²｝ ＝√25 ＝５ よって、ｒ＝５ 方程式は、ｒ²＝25だから （ｘ＋２）²＋（ｙ－１）²＝25 問題 次のような円の方程式を求めよ。 1）中心が点（３，４）で、ｘ軸に接する円 2）中心が点（２，－３）で、ｙ軸に接する円 1） 円の接線の性質より 中心とｘ軸の接点との距離が半径 ｘ軸上はｙ＝０、中心がｙ＝４だから ｒ＝４－０＝４ ｒ²＝16だから （ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝16 2） 中心とｙ軸の接点との距離が半径 ｙ軸上はｘ＝０、中心がｘ＝２だから ｒ＝２－０＝２ ｒ²＝４だから （ｘ－２）²＋（ｙ＋３）²＝４ 問題 次の方程式はどのような図形を表すか。 1） ｘ²＋ｙ²＋２ｘ＝０ 2） ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋２ｙ－４＝０ 3） ｘ²＋ｙ²－６ｘ＋10ｙ＋16＝０ 4） ２ｘ²＋２ｙ²－４ｘ＋８ｙ＋２＝０ ｘ²＋ｙ²＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０ ｌ²＋ｍ²－４ｎ＞０👉円 ｌ²＋ｍ²－４ｎ＜０👉表す図形なし ｌ²＋ｍ²－４ｎ＝０👉１点 1） ｘ²＋ｙ²＋２ｘ＝０ ２²＞０だから円を表す ｘ²＋２ｘ＋ｙ²＝０ （ｘ＋１）²－１＋ｙ²＝０ （ｘ＋１）²＋ｙ²＝１ 中心（－１，０）、半径１の円 2） ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋２ｙ－４＝０ 16＋４＋16＞０だから円を表す ｘ²－４ｘ＋ｙ²＋２ｙ＝４ （ｘ－２）²－４＋（ｙ＋１）²－１＝４ （ｘ－２）²＋（ｙ＋１）²＝９ ｒ²＝９ ｒ＝３（ｒ＞０）だから 中心（２，－１）、半径３の円 3） ｘ²＋ｙ²－６ｘ＋10ｙ＋16＝０ 36＋100－64＞０だから円を表す ｘ²－６ｘ＋ｙ²＋10ｙ＝－16 （ｘ－３）²－９＋（ｙ＋５）²－25＝－16 （ｘ－３）²＋（ｙ＋５）²＝18 ｒ²＝18 ｒ＝３√２（ｒ＞０）だから 中心（３，－５）、半径３√２の円 4） ２ｘ²＋２ｙ²－４ｘ＋８ｙ＋２＝０ ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ＋１＝０ ４＋16－４＞０だから円を表す ｘ²－２ｘ＋ｙ²＋４ｙ＝－１ （ｘ－１）²－１＋（ｙ＋２）²－４＝－１ （ｘ－１）²＋（ｙ＋２）²＝４ ｒ²＝４ ｒ＝２（ｒ＞０）だから 中心（１，－２）、半径２の円 問題 次の３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の方程式を求めよ。 1） Ａ（１，１）、Ｂ（５，－１）、Ｃ（－３，－７） 2） Ａ（２，０）、Ｂ（１，－１）、Ｃ（３，３） 1） Ａ（１，１）、Ｂ（５，－１）、Ｃ（－３，－７） ｘ²＋ｙ²＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０に ３点をそれぞれ代入 Ａ（１，１）を代入 １＋１＋ｌ＋ｍ＋ｎ＝０ ｌ＋ｍ＋ｎ＝－２　① Ｂ（５，－１）を代入 25＋１＋５ｌ－ｍ＋ｎ＝０ ５ｌ－ｍ＋ｎ＝－26　② Ｃ（－３，－７）を代入 ９＋49－３ｌ－７ｍ＋ｎ＝０ －３ｌ－７ｍ＋ｎ＝－58　③ ｌ＋ｍ＋ｎ＝－２　① ５ｌ－ｍ＋ｎ＝－26　② －３ｌ－７ｍ＋ｎ＝－58　③ ｎを消去する ①－② －４ｌ＋２ｍ＝24 －２ｌ＋ｍ＝12　④ ①－③ ４ｌ＋８ｍ＝56 ２ｌ＋４ｍ＝28　⑤ ④＋⑤ ５ｍ＝40　ｍ＝８ ④に代入 －２ｌ＋８＝12　ｌ＝－２ ①に代入 －２＋８＋ｎ＝－２ ｎ＝－８ よって、 ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋８ｙ－８＝０ 2） Ａ（２，０）、Ｂ（１，－１）、Ｃ（３，３） ｘ²＋ｙ²＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０に ３点をそれぞれ代入 Ａ（２，０）を代入 ４＋２ｌ＋ｎ＝０ ２ｌ＋ｎ＝－４　① Ｂ（１，－１）を代入 １＋１＋ｌ－ｍ＋ｎ＝０ ｌ－ｍ＋ｎ＝－２　② Ｃ（３，３）を代入 ９＋９＋３ｌ＋３ｍ＋ｎ＝０ ３ｌ＋３ｍ＋ｎ＝－18　③ ２ｌ＋ｎ＝－４　① ｌ－ｍ＋ｎ＝－２　② ３ｌ＋３ｍ＋ｎ＝－18　③ ①－② ｌ＋ｍ＝－２　④ ①－③ －ｌ－３ｍ＝14　⑤ ④＋⑤ －２ｍ＝12　ｍ＝－６ ④に代入 ｌ－６＝－２　ｌ＝４ ①に代入 ８＋ｎ＝－４　ｎ＝－12 よって、 ｘ²＋ｙ²＋４ｘ－６ｙ－12＝０ 問題 次のような円の方程式を求めよ。 1）円ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋６ｙ－３＝０と中心が同じで、点（１，２）を通る円 2）中心がｘ軸上にあり、２点（３，５）、（－３，７）を通る円 3）中心が直線ｙ＝ｘ上にあり、半径が√13で点（２，１）を通る円 4）円ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ－11＝０と原点に関して対称な円 1） 円ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋６ｙ－３＝０と中心が同じで、点（１，２）を通る円 ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋６ｙ－３＝０ ｘ²－４ｘ＋ｙ²＋６ｙ＝３ （ｘ－２）²－４＋（ｙ＋３）²－９＝３ （ｘ－２）²＋（ｙ＋３）²＝16 求める円の半径をｒとする （ｘ－２）²＋（ｙ＋３）²＝ｒ² （１，２）を通るから （１－２）²＋（２＋３）²＝ｒ² ｒ²＝26 よって、 （ｘ－２）²＋（ｙ＋３）²＝26 2） 中心がｘ軸上にあり、２点（３，５）、（－３，７）を通る円 ｘ軸上は、ｙ＝０だから 中心を（ａ，０）、半径をｒとする （ｘ－ａ）²＋ｙ²＝ｒ² （３，５）を通るから （３－ａ）²＋25＝ｒ²　① （－３，７）を通るから （－３－ａ）²＋49＝ｒ²　② ①＝②より （３－ａ）²＋25＝（－３－ａ）²＋49 ９－６ａ＋ａ²＋25＝９＋６ａ＋ａ²＋49 －12ａ＝24 ａ＝－２ ①に代入 （３＋２）²＋25＝ｒ² ｒ²＝50 よって、 （ｘ＋２）²＋ｙ²＝50 3） 中心が直線ｙ＝ｘ上にあり、半径が√13で点（２，１）を通る円 中心を（ａ，ａ）とする （ｘ－ａ）²＋（ｙ－ａ）²＝13 （２，１）を通るから （２－ａ）²＋（１－ａ）²＝13 ４－４ａ＋ａ²＋１－２ａ＋ａ²－13＝０ ２ａ²－６ａ－８＝０ ａ²－３ａ－４＝０ （ａ－４）（ａ＋１）＝０ ａ＝４，－１ よって、 （ｘ－４）²＋（ｙ－４）²＝13 （ｘ＋１）²＋（ｙ＋１）²＝13 4） 円ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ－11＝０と原点に関して対称な円 ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ－11＝０ ｘ²－２ｘ＋ｙ²＋４ｙ＝11 （ｘ－１）²－１＋（ｙ＋２）²－４＝11 （ｘ－１）²＋（ｙ＋２）²＝16 原点について（１，－２）と対称な点が、求める円の中心 ｘとｙ座標は異符号だから （－１，２） 半径は等しいから （ｘ＋１）²＋（ｙ－２）²＝16 問題 次の点を通り、ｘ軸とｙ軸の両方に接する円の方程式を求めよ。 1）（４，２） 2）（－１，２） 1） 中心を（ａ，ｂ）、半径をｒとする 円が２つの軸に接するから ｒ＝ａ、またはｒ＝ｂ よって、ｂ＝ａ （ｘ－ａ）²＋（ｙ－ａ）²＝ａ² （４，２）を通るから （４－ａ）²＋（２－ａ）²＝ａ² 16－８ａ＋ａ²＋４－４ａ＋ａ²＝ａ² ａ²－12ａ＋20＝０ （ａ－２）（ａ－10）＝０ ａ＝２，10 よって、 （ｘ－２）²＋（ｙ－２）²＝４ （ｘ－10）²＋（ｙ－10）²＝100 2） （－１，２）は第２象限の点 中心を（－ａ，ａ）とする （ｘ＋ａ）²＋（ｙ－ａ）²＝ａ² （－１，２）を通るから （－１＋ａ）²＋（２－ａ）²＝ａ² １－２ａ＋ａ²＋４－４ａ＋ａ²＝ａ² ａ²－６ａ＋５＝０ （ａ－１）（ａ－５）＝０ ａ＝１，５ よって、 （ｘ＋１）²＋（ｙ－１）²＝１ （ｘ＋５）²＋（ｙ－５）²＝25 問題 方程式ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋６ｙ＋ｎ－１＝０が半径３の円を表すとき、定数ｎの値を求めよ。 ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋６ｙ＋ｎ－１＝０ ｘ²－２ｘ＋ｙ²＋６ｙ＝－ｎ＋１ （ｘ－１）²－１＋（ｙ＋３）²－９＝－ｎ＋１ （ｘ－１）²＋（ｙ＋３）²＝－ｎ＋11 よって、 －ｎ＋11＝３² －ｎ＝－２ ｎ＝２ 問題 方程式ｘ²＋ｙ²＋２ｍｘ＋ｍ＝０が円を表すとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ ａ²＋ｂ²－４ｃ＞０👉円 ａ²＋ｂ²－４ｃ＜０👉表す図形なし ａ²＋ｂ²－４ｃ＝０👉１点 （２ｍ）²－４ｍ＞０ ４ｍ²－４ｍ＞０ ｍ（ｍ－１）＞０ ｍ＜０、ｍ＞１ 別解 ｘ²＋ｙ²＋２ｍｘ＋ｍ＝０ ｘ²＋２ｍｘ＋ｙ²＝－ｍ （ｘ＋ｍ）²－ｍ²＋ｙ²＝－ｍ （ｘ＋ｍ）²＋ｙ²＝ｍ²－ｍ 半径の２乗は０より大きいから ｍ²－ｍ＞０ ｍ（ｍ－１）＞０ ｍ＜０、ｍ＞１ 問題 ３つの直線ｘ－ｙ＝－１、ｘ＋ｙ＝３、ｘ＋２ｙ＝－１で囲まれた三角形について、次の問いに答えよ。 1）三角形の３つの頂点の座標を求めよ。 2）三角形の外接円の方程式を求めよ。 3）三角形の外接円の半径と、外心の座標を求めよ。 1） ｘ－ｙ＝－１　　① ｘ＋ｙ＝３　　　② ｘ＋２ｙ＝－１　③ ①と②の交点 ①－② －２ｙ＝－４　ｙ＝２ ①に代入 ｘ－２＝－１　ｘ＝１ （１，２） ②と③の交点 ②－③ －ｙ＝４　ｙ＝－４ ②に代入 ｘ－４＝３　ｘ＝７ （７，－４） ①と③の交点 ①－③ －３ｙ＝０　ｙ＝０ ①に代入 ｘ＝－１ （－１，０） よって、 （１，２）　（７，－４）　（－１，０） 2） 円の方程式を ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０とする （１，２）を代入 １＋４＋ａ＋２ｂ＋ｃ＝０ ａ＋２ｂ＋ｃ＝－５　① （７，－４）を代入 49＋16＋７ａ－４ｂ＋ｃ＝０ ７ａ－４ｂ＋ｃ＝－65　② （－１，０）を代入 １－ａ＋ｃ＝０ ａ－ｃ＝１　③ ａ＋２ｂ＋ｃ＝－５　① ７ａ－４ｂ＋ｃ＝－65　② ａ－ｃ＝１　③ ｂを消去 ①×２＋② ９ａ＋３ｃ＝－75 ３ａ＋ｃ＝－25　④ ③＋④ ４ａ＝－24　ａ＝－６ ③に代入 －６－ｃ＝１　ｃ＝－７ ①に代入 －６＋２ｂ－７＝－５ ２ｂ＝８　ｂ＝４ よって、 ｘ²＋ｙ²－６ｘ＋４ｙ－７＝０ 3） ｘ²＋ｙ²－６ｘ＋４ｙ－７＝０ ｘ²－６ｘ＋ｙ²＋４ｙ＝７ （ｘ－３）²－９＋（ｙ＋２）²－４＝７ （ｘ－３）²＋（ｙ＋２）²＝20 ｒ²＝20 ｒ＝２√５（ｒ＞０）だから 半径　２√５ 外心は外接円の中心だから （３，－２） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.23 円の方程式 高校数学 👉ブログ TOP

１次方程式と２次方程式 当塾では、６月から「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 受験生は、入試に向けて今までの学習内容の復習を進めています。数学では「方程式」を利用する問題がほとんどで、方程式の計算を速く正確に処理できるようにしておきます。 １次方程式 問題 ｘについての１次方程式 ９ｘ－７＝ａｘ＋14の解がｘ＝３のとき、ａの値を求めなさい。 ９ｘ－７＝ａｘ＋14 ｘ＝３を代入 27－７＝３ａ＋14 20＝３ａ＋14 ６＝３ａ ａ＝２ 問題 ｘについての方程式３ｘ＋10＝ａｘ－２の解が６であるとき、ａの値を求めなさい。 ３ｘ＋10＝ａｘ－２ ｘ＝６を代入 18＋10＝６ａ－２ 28＝６ａ－２ 30＝６ａ ａ＝５ 問題 姉は800円、妹は460円持っていた。２人とも同じ値段のアイスクリームを１個買ったので、姉の残金は、妹の残金の２倍になった。アイスクリーム１個の値段を求めなさい。 アイス１個の値段をｘ円とする 姉の残金　800－ｘ×１ 円 妹の残金　460－ｘ×１ 円 800－ｘ＝２（460－ｘ） 800－ｘ＝920－２ｘ ｘ＝120 よって、120円 問題 何人かの生徒に、カードを同じ枚数ずつ配る。１人に３枚ずつ配ると81枚余り、１人７枚ずつ配ると11枚不足する。生徒の人数を求めなさい。 全生徒をｘ人とする カードの全枚数 １人に３枚ずつ配ると81枚余るから ３ｘ＋81 枚　① １人７枚ずつ配ると11枚不足するから ７ｘ－11 枚　② ①＝②だから ３ｘ＋81＝７ｘ－11 ４ｘ＝92 ｘ＝23 よって、23人 問題 重さが異なる３個のおもりＡ、Ｂ、Ｃと重さが120ｇのおもりＤがある。Ａ、Ｂ、Ｃの３個のおもりは、Ａ、Ｂ、Ｃの順に50ｇずつ重くなっている。また、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの重さの合計は540ｇである。このとき、Ｃの重さを求めなさい。 Ｃをｘｇとする Ｂ　ｘ－50　ｇ Ａ　（ｘ－50）－50 　＝ｘ－100　ｇ よって、 （ｘ－100）＋（ｘ－50）＋ｘ＋120＝540 ３ｘ－30＝540 ３ｘ＝570 ｘ＝190 よって、190ｇ 問題 けいこさんは、ある店で同じチョコレートを24個買おうとしたが、けいこさんの持っていた金額では100円たりなかった。そこで、20個買うことにしたら40円余った。けいこさんの持っていた金額を求めよ。 チョコ１個をｘ円とする けいこさんの所持金 24個買うが100円足りないから 24ｘ－100 円　① 20個買うが40円余るから 20ｘ＋40 円　② ①＝②だから 24ｘ－100＝20ｘ＋40 ４ｘ＝140 ｘ＝35 ①に代入して　740円 ②に代入して　740円 よって、740円 問題 あきこさんは、1.8km離れた駅に向けて家を出発した。それから14分後に、お父さんは自転車で家を出発し、同じ道を通って駅に向かった。あきこさんは分速60m、お父さんは分速200mでそれぞれ一定の速さで進むとすると、お父さんが家を出発してから何分後に追いつくか、求めなさい。 父の出発後をｘ分後とする あきこさんは父より14分多く進んだので あきこさんの進んだ時間は（ｘ＋14）分 分速60mで進んだ距離は 60×（ｘ＋14）m　① 父が分速200mでｘ分進んだ距離は 200×ｘ m　② ①＝②だから 60（ｘ＋14）＝200ｘ 両辺÷20 ３（ｘ＋14）＝10ｘ ３ｘ＋42＝10ｘ ７ｘ＝42 ｘ＝６ よって、６分後 父が６分進んだときの距離は 200×６＝1200m 駅まで1800mで、手前で追いついたから適する 問題 あるシャツを、次のように販売する店がある。 【通常２枚買う場合】　定価の合計金額から500円引き 【特別期間に３枚買う場合】　定価の合計金額から40％引き このシャツを特別期間に３枚買う場合は、通常２枚買う場合よりも300円安くなるという。シャツ１枚の定価はいくらか、求めなさい。ただし、消費税は考えないものとする。 １枚の定価をｘ円とする 通常２枚買う場合は ２ｘ－500 円　① 特別期間に３枚買う場合は ３ｘ×（100－40）/100 ＝３ｘ×（3/5） ＝（9/5）ｘ 円　② ②は①より300円安いから （9/5）ｘ＝２ｘ－500－300 （9/5）ｘ＝２ｘ－800 ９ｘ＝10ｘ－4000 ｘ＝4000 よって、4000円 問題 次の方程式を解きなさい。 1）５ｘ－４＝２ｘ＋５ 2）７ｘ＋１＝３ｘ－11 3）２ｘ＋３＝８ｘ＋９ 4）４ｘ－３＝５ｘ－10 5）６（ｘ＋１）＝８ｘ－12 6）２（ｘ－７）＝５（ｘ＋２） 1） ５ｘ－４＝２ｘ＋５ ３ｘ＝９ ｘ＝３ 2） ７ｘ＋１＝３ｘ－11 ４ｘ＝－12 ｘ＝－３ 3） ２ｘ＋３＝８ｘ＋９ －６＝６ｘ ｘ＝－１ 4） ４ｘ－３＝５ｘ－10 ７＝－ｘ ｘ＝－７ 5） ６（ｘ＋１）＝８ｘ－12 ３ｘ＋３＝４ｘ－６ ９＝ｘ ｘ＝９ 6） ２（ｘ－７）＝５（ｘ＋２） ２ｘ－14＝５ｘ＋10 －24＝３ｘ ｘ＝－８ 問題 次の方程式を解きなさい。 1） ７ｘ＋２　２ｘ＋７ ━━━━＝━━━━ 　 10　　　　５ 2） ２　　　　５ｘ＋３ ━ｘ－４＝━━━━ ３　　　　　 ６ 3） 0.9ｘ＋0.4＝0.5ｘ＋1.6 4） 16：ｘ＝４：５ 5） ７：４＝ｘ：６ 1） ７ｘ＋２　２ｘ＋７ ━━━━＝━━━━ 　 10　　　　５ ７ｘ＋２＝４ｘ＋14 ３ｘ＝12 ｘ＝４ 2） ２　　　　５ｘ＋３ ━ｘ－４＝━━━━ ３　　　　　 ６ ４ｘ－24＝５ｘ＋３ －27＝ｘ ｘ＝－27 3） 0.9ｘ＋0.4＝0.5ｘ＋1.6 ９ｘ＋４＝５ｘ＋16 ４ｘ＝12 ｘ＝３ 4） 16：ｘ＝４：５ ４ｘ＝80 ｘ＝20 5） ７：４＝ｘ：６ ４ｘ＝42 ｘ＝21/2 ２次方程式 問題 次の方程式を解きなさい。 1）（ｘ＋１）²＝25 2）（ｘ－４）²＝６ 3）（ｘ＋３）²＝５ 4）（ｘ－５）²－49＝０ 5）（ｘ－２）²－12＝０ 1） （ｘ＋１）²＝25 ｘ＋１＝±５ ｘ＝＋５－１＝４ ｘ＝－５－１＝－６ よって、 ｘ＝－６，４ 2） （ｘ－４）²＝６ ｘ－４＝±√６ ｘ＝４±√６ 3） （ｘ＋３）²＝５ ｘ＋３＝±√５ ｘ＝－３±√５ 4） （ｘ－５）²－49＝０ （ｘ－５）²＝49 ｘ－５＝±７ ｘ＝＋７＋５＝12 ｘ＝－７＋５＝－２ よって、 ｘ＝－２，12 5） （ｘ－２）²－12＝０ （ｘ－２）²＝12 ｘ－２＝±２√３ ｘ＝２±２√３ 問題 次の方程式を解きなさい。 1）（ｘ＋１）²＝64 2）（ｘ＋４）²－５＝０ 3）（２ｘ－５）²＝18 1） （ｘ＋１）²＝64 ｘ＋１＝±８ ｘ＝＋８－１＝７ ｘ＝－８－１＝－９ よって、 ｘ＝－９，７ 2） （ｘ＋４）²－５＝０ （ｘ＋４）²＝５ ｘ＋４＝±√５ ｘ＝－４±√５ 3） （２ｘ－５）²＝18 ２ｘ－５＝±３√２ ２ｘ＝５±３√２ ｘ＝（５±３√２）/２ 問題 次の方程式を解きなさい。 1）ｘ²＋２ｘ－４＝０ 2）ｘ²＋４ｘ－１＝０ 3）ｘ²＋６ｘ＋２＝０ 1） ｘ²＋２ｘ－４＝０ ｘ²＋２ｘ＝４ ｘ²＋２ｘ＋１＝４＋１ （ｘ＋１）²＝５ ｘ＋１＝±√５ ｘ＝－１±√５ ※平方完成を使う ｘ²＋２ｘ－４＝０ （ｘ＋１）²－１²－４＝０ （ｘ＋１）²＝５ ｘ＋１＝±√５ ｘ＝－１±√５ ※解の公式（ｂ偶数）を使う ｘ²＋２ｘ－４＝０ ｘ＝－１±√（１²＋１×４） ｘ＝－１±√５ 2） ｘ²＋４ｘ－１＝０ ｘ²＋４ｘ＝１ ｘ²＋４ｘ＋４＝１＋４ （ｘ＋２）²＝５ ｘ＋２＝±√５ ｘ＝－２±√５ 3） ｘ²＋６ｘ＋２＝０ ｘ²＋６ｘ＝－２ ｘ²＋６ｘ＋９＝－２＋９ （ｘ＋３）²＝７ ｘ＋３＝±√７ ｘ＝－３±√７ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.22 １次方程式と２次方程式 👉ブログ TOP

直線の方程式と三角形の面積 グラフ上の三角形の面積を求めるときは、点と直線の距離（高さ）を求めることが基本になります。点と直線の距離を求める公式と、２点間の距離を求める公式を利用します。 問題 次の２点を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求めよ。 1） Ａ（２，０）　Ｂ（０，４） 2） Ａ（－１，－２）　Ｂ（２，７） 1） 直線ＡＢの傾き （４－０）/（０－２） ＝－２ よって、 求める直線の傾きは、1/2 ＡＢの中点 ｘ座標　（２＋０）/２＝１ ｙ座標　（０＋４）/２＝２ したがって、直線の式は ｙ－２＝（1/2）（ｘ－１） ２ｙ－４＝ｘ－１ ｘ－２ｙ＋３＝０ 2） 直線ＡＢの傾き （７＋２）/（２＋１） ＝３ よって、 求める直線の傾きは、－1/3 ＡＢの中点 ｘ座標　（－１＋２）/２＝1/2 ｙ座標　（－２＋７）/２＝5/2 したがって、直線の式は ｙ－（5/2）＝（－1/3）｛（ｘ－（1/2）｝ ６ｙ－15＝－２ｘ＋１ ２ｘ＋６ｙ－16＝０ ｘ＋３ｙ－８＝０ 問題 ３点Ａ（３，４）、Ｂ（０，０）、Ｃ（５，０）を頂点とする△ＡＢＣについて、次の３つの直線が１点で交わることを示せ。 1）各辺の垂直二等分線 2）各頂点から対辺に下ろした垂線 1） 直線ＡＢの傾き　4/3 垂線の傾き　－3/4 ＡＢの中点 ｘ座標　（３＋０）/２＝3/2 ｙ座標　（４＋０）/２＝２ 垂直二等分線の式は ｙ－２＝（－3/4）｛ｘ－（3/2）｝ ８ｙ－16＝－６ｘ＋９ ６ｘ＋８ｙ＝25　① 直線ＢＣ　ｙ＝０　 垂線の式はｘの値が一定 ＢＣの中点 ｘ座標　（５＋０）/２＝5/2 垂直二等分線の式は ｘ＝5/2 直線ＣＡの傾き （０－４）/（５－３） ＝－２ 垂線の傾き　1/2 ＣＡの中点 ｘ座標　（５＋３）/２＝４ ｙ座標　（０＋４）/２＝２ 垂直二等分線の式は ｙ－２＝（1/2）（ｘ－４） ２ｙ－４＝ｘ－４ ｘ－２ｙ＝０　② ①にｘ＝5/2を代入 15＋８ｙ＝25 ８ｙ＝10 ｙ＝5/4 ②にｘ＝5/2を代入 （5/2）－２ｙ＝０ ｙ＝5/4 よって、３つの直線は 点（5/2，5/4）で交わる 2） ＡからＢＣに下ろした垂線 直線ＢＣはｙ＝０だから ｘ＝３ ＢからＣＡに下ろした垂線 垂線の傾き　1/2 原点を通るから ｙ＝（1/2）ｘ　① ＣからＡＢに下ろした垂線 垂線の傾き　－3/4 （５，０）を通るから ｙ＝（－3/4）（ｘ－５） ｙ＝（－3/4）ｘ＋（15/4）　② ①にｘ＝３を代入 ｙ＝3/2 ②にｘ＝３を代入 ｙ＝（－9/4）＋（15/4） 　＝3/2 よって、３つの直線は 点（３，3/2）で交わる 問題 次の点の座標を求めよ。 1）直線ｘ＋２ｙ＝０に関して、点Ａ（３，－４）と対称な点Ｂ 2）直線ｘ＋ｙ＋１＝０に関して、点Ａ（３，２）と対称な点Ｂ 1） ｘ＋２ｙ＝０の傾き　－1/2 垂線の傾き　２ 垂線の方程式は（３，－４）を通るから ｙ＋４＝２（ｘ－３） ｙ＋４＝２ｘ－６ ２ｘ－ｙ＝10　① ｘ＋２ｙ＝０　② ①、②の交点を求める ①－②×２ 　　２ｘ－　ｙ＝10 －）２ｘ＋４ｙ＝０ 　　　　－５ｙ＝10 　　　　　　ｙ＝－２ ②に代入 ｘ－４＝０　ｘ＝４ 求める座標を（ａ，ｂ）とする （３，－４）と（ａ，ｂ）の中点が（４，－２）だから （３＋ａ）/２＝４ ａ＝５ （－４＋ｂ）/２＝－２ ｂ＝０ よって、 点Ｂ（５，０） 2） 直線ｘ＋ｙ＋１＝０に関して、点Ａ（３，２）と対称な点Ｂ ｘ＋ｙ＋１＝０の傾き　－１ 垂線の傾き　１ 垂線の方程式は（３，２）を通るから ｙ－２＝ｘ－３ ｘ－ｙ＝１　① ｘ＋ｙ＋１＝０より ｘ＋ｙ＝－１　② ①－②より －２ｙ＝２　ｙ＝－１ ①に代入 ｘ＋１＝１　ｘ＝０ 求める座標を（ａ，ｂ）とする （３，２）と（ａ，ｂ）の中点が（０，－１）だから （３＋ａ）/２＝０ ａ＝－３ （２＋ｂ）/２＝－１ ｂ＝－４ よって、 点Ｂ（－３，－４） 問題 次の３点を頂点とする三角形の面積Ｓを求めよ。 1） Ｏ（０，０）、Ａ（１，８）、Ｂ（２，６） 2） Ａ（－２，－１）、Ｂ（１，５）、Ｃ（３，２） 点（ｘ₁，ｘ₁）とａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０との距離 ｜ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ｜ ━━━━━━━━━━ 　　√（ａ²＋ｂ²） 1） Ｏ（０，０）、Ａ（１，８）、Ｂ（２，６） 底辺　ＯＡ 高さ　点ＢとＯＡとの距離 直線ＯＡの式 ｙ＝８ｘ ８ｘ－ｙ＝０ Ｂ（２，６）と直線ＯＡとの距離 ｜16＋－6｜ ━━━━━━ √（64＋1） ＝10/√65 三平方の定理より ＯＡ²＝８²＋１²＝65 ＯＡ＝√65（ＯＡ＞０） よって、求める面積は （1/2）×（10/√65）×√65 ＝５ 別解 （０，０）と２点を頂点とする三角形の面積 Ｓ＝（1/2）｜ｘ₁ｙ₂－ｘ₂ｙ₁｜ Ａ（１，８）　Ｂ（２，６） （1/2）｜1・6－8・2｜ ＝（1/2）・10 ＝５ 2） Ａ（－２，－１）、Ｂ（１，５）、Ｃ（３，２） 底辺　ＡＢ 高さ　点ＣとＡＢとの距離 直線ＡＢの式 傾き　（5+1）/（1＋2）＝２ ｙ＋１＝２（ｘ＋２） ｙ＝２ｘ＋３ ２ｘ－ｙ＋３＝０ Ｃ（３，２）とＡＢとの距離 ｜６－２＋３｜ ━━━━━━━ 　√（４＋１） ＝７/√５ ２点間（ｘ₁，ｙ₁）（ｘ₂，ｙ₂）の距離 √｛（ｘ₂－ｘ₁）²＋（ｙ₂－ｙ₁）²｝ 底辺ＡＢの長さ Ａ（－２，－１）　Ｂ（１，５） √（１+２）²＋（５＋１）² ＝√（９＋36） ＝３√５ よって、求める面積は （1/2）×３√５×（７/√５） ＝21/2 別解 Ａ（－２，－１）を原点に移動 👉右に２、上に１ Ｂ（１，５）を平行移動すると （３，６） Ｃ（３，２）を平行移動すると （５，３） Ｓ＝（1/2）｜ｘ₁ｙ₂－ｘ₂ｙ₁｜ （1/2）｜３・３－６・５｜ ＝（1/2）・21 ＝21/2 問題 ３つの直線３ｘ－２ｙ＋４＝０、ｘ＋４ｙ＋６＝０、２ｘ＋ｙ－２＝０で囲まれた三角形の面積を求めよ。 ３ｘ－２ｙ＋４＝０　① ｘ＋４ｙ＋６＝０　② ２ｘ＋ｙ－２＝０　③ ①と②の交点 ①×２＋② 　 ６ｘ－４ｙ＋８＝０ ＋）　ｘ＋４ｙ＋６＝０ ｘ＝－２ ４ｙ＋４＝０　ｙ＝－１ Ａ（－２，－１） ②と③の交点 ②×２－③ 　　２ｘ＋８ｙ＋12＝０ －）２ｘ＋　ｙ－２＝０ ７ｙ＝14　ｙ＝－２ ２ｘ－４＝０　ｘ＝２ Ｂ（２，－２） ①と③の交点 ①＋③×２ 　　３ｘ－２ｙ＋４＝０ ＋）４ｘ＋２ｙ－４＝０ ｘ＝０ ｙ－２＝０　ｙ＝２ Ｃ（０，２） Ｃ（０，２）を原点に移動する 👉下に２ Ａ（－２，－１）を平行移動すると （－２，－３） Ｂ（２，－２）を平行移動すると （２，－４） Ｓ＝（1/2）｜ｘ₁ｙ₂－ｘ₂ｙ₁｜ （1/2）｜（－2）・（－4）－（－3）・2｜ ＝（1/2）・14 ＝７ 問題 座標平面上の２点Ａ（１，１）、Ｂ（２，３）について、点Ｐが放物線ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋11上を動くとき、△ＰＡＢの面積の最小値を求めよ。 ＡＢの長さは一定 底辺をＡＢとして、点ＰとＡＢの距離（高さ）が最小になるときを求める。 ２点間（ｘ₁，ｙ₁）（ｘ₂，ｙ₂）の距離 √｛（ｘ₂－ｘ₁）²＋（ｙ₂－ｙ₁）²｝ ＡＢの長さ Ａ（１，１）　Ｂ（２，３） √｛（２－１）²＋（３－１）²｝ ＝√（１＋４） ＝√５ 直線ＡＢの式 傾き　（3－1）/（2－1）＝２ ｙ－１＝２（ｘ－１） ｙ－１＝２ｘ－２ ２ｘ－ｙ－１＝０ 点Ｐを（ｔ，ｔ²＋４ｔ＋11）とする 点（ｘ₁，ｘ₁）とａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０との距離 ｜ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ｜ ━━━━━━━━━━ 　　√（ａ²＋ｂ²） ｜2t－(t²+4t+11)－1｜ ━━━━━━━━━━ 　　　√（4＋1） 　｜－(ｔ²＋２ｔ＋12)｜ ＝━━━━━━━━━━ 　　　　　√５ ｔ²＋２ｔ＋12 ＝（ｔ＋１）²＋11≧０だから 　（ｔ＋１）²＋11 ＝━━━━━━━ 　　　 √５ △ＰＡＢの面積は １　　（ｔ＋１）²＋11 ━×√５━━━━━━━ ２　　　　　√５ 　１　　　　　　 11 ＝━（ｔ＋１）²＋━ 　２　　　　　　 ２ 放物線は下に凸 よって、 ｔ＝－１のとき最小値11/2をとる 最小値　11/2 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.22 直線の方程式と三角形の面積 👉ブログ TOP

連立方程式 速さに関する問題 当塾では。６月から「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 連立方程式の「速さ」に関する問題では、「道のりの合計」と「時間の合計」で式をつくります。また、一次関数の学習にも速さに関する問題があり、連立方程式を利用する場合があります。 問題 Ａ町から14kmはなれたＢ町まで行くのに、Ａ町から峠までは時速３km、峠からＢ町までは時速５kmで歩き、全体で４時間かかった。Ａ町から峠まで、峠からＢ町までの道のりをそれぞれ求めなさい。 解き方１ 文末にある通り 「道のり」をｘkm、ｙkmにする Ａ町～峠をｘkm、峠～Ｂ町をｙkmとする 合わせて14kmだから ｘ＋ｙ＝14　① ｘkmを時速３kmで進むから Ａ町～峠にかかる時間は ｘ÷３＝ｘ/３（時間） ｙkmを時速５kmで進むから 峠～Ｂ町にかかる時間は ｙ÷５＝ｙ/５（時間） 合わせて４時間だから （ｘ/３）＋（ｙ/５）＝４　② ②×15 ５ｘ＋３ｙ＝60　②’ ①×５－②’ ５ｘ＋５ｙ＝70 ５ｘ＋３ｙ＝60 ２ｙ＝10　ｙ＝５ ①に代入 ｘ＋５＝14　ｘ＝９ よって、 Ａ町から峠まで　９km 峠からＢ町まで　５km 解き方２ 「時間」をｘ時間、ｙ時間にする Ａ町～峠をｘ時間、峠～Ｂ町をｙ時間とする 合わせて４時間だから ｘ＋ｙ＝４　① 時速３kmでｘ時間進むから Ａ町～峠の道のりは ３×ｘ＝３ｘ（km） 時速５kmでｙ時間進むから 峠～Ｂ町の道のりは ５×ｙ＝５ｙ（km） 合わせて14kmだから ３ｘ＋５ｙ＝14　② ②－①×３ ３ｘ＋５ｙ＝14 ３ｘ＋３ｙ＝12 ２ｙ＝２　ｙ＝１ ①に代入 ｘ＋１＝４　ｘ＝３ Ａ町～峠の道のりは ３ｘ＝３×３＝９km 峠～Ｂ町の道のりは ５ｙ＝５×１＝５km ★連立の速さの問題では、「道のりの合計」と「時間の合計」で式をつくる。 ※速さを直接足すことはできない 問題 Ａさんは自宅から1.8kmはなれた駅まで行くのに、はじめは毎分70mの速さで歩き、途中から毎分150mの速さで走ったところ、全体で20分かかった。歩いた時間と走った時間をそれぞれ求めなさい。 解き方１ 歩いた時間をｘ分、走った時間をｙ分とする 合わせて20分だから ｘ＋ｙ＝20　① 毎分70mでｘ分歩くから、その距離は 70×ｘ＝70ｘ（m） 毎分150mでｙ分走るから、その距離は 150×ｙ＝150ｙ（m） 合わせて1.8km＝1800mだから 70ｘ＋150ｙ＝1800　② ②÷10 ７ｘ＋15ｙ＝180　②’ ②’－①×７ ７ｘ＋15ｙ＝180 ７ｘ＋７ｙ＝140 ８ｙ＝40　ｙ＝５ ①に代入 ｘ＋５＝20　ｘ＝15 よって、 歩いた時間　15分 走った時間　５分 解き方２ 歩いた距離をｘm、走った距離をｙmとする 合わせて1800mだから ｘ＋ｙ＝1800　① ｘmを毎分70mで歩くから、かかる時間は ｘ÷70＝ｘ/70（分） ｙmを毎分150mで走るから、かかる時間は ｙ÷150＝ｙ/150（分） 合わせて20分だから （ｘ/70）＋（ｙ/150）＝20　② ②×1050 15ｘ＋７ｙ＝21000　②’ ②’－①×７ 15ｘ＋７ｙ＝21000 ７ｘ＋７ｙ＝12600 ８ｘ＝8400　ｘ＝1050 ①に代入 1050＋ｙ＝1800　ｙ＝750 歩いた時間は ｘ/70＝1050/70＝15分 走った時間は ｙ/150＝750/150＝５分 解き方３（連立を使わない） 毎分70mで20分歩き続けるとする その距離は、70×20＝1400m 実際の距離との差は、 1800－1400m＝400m これは走りに切り替えたことで生まれた差 速さで考えると 1分ごとに進む距離は150－70＝80m増える よって、 不足の400mを埋めるために走ればよい時間は、 400÷80＝５分 歩く時間は、20－５＝15分 問題 ある池の周りに１周６kmの道がある。この道を、Ａさんは自転車でＢさんは徒歩で、同じところを出発して反対の方向にまわる。２人が同時に出発すると、ＡさんとＢさんは20分後に出会う。また、ＡさんがＢさんより24分おくれて出発すると、Ａさんは出発してから16分後にＢさんと出会う。Ａさん、Ｂさんそれぞれの速さは毎分何mか求めなさい。 Ａの速さを毎分ｘm、Ｂの速さを毎分ｙmとする 同時に出発のとき Ａ、Ｂともに20分進むから Ａが進む距離　ｘ×20＝20ｘ（m） Ｂが進む距離　ｙ×20＝20ｙ（m） 合わせて６km＝6000mだから 20ｘ＋20ｙ＝6000　① 時間差で出発のとき Ａが進んだ時間　16分 Ｂが進んだ時間　16＋24＝40分 Ａが進む距離　ｘ×16＝16ｘ（m） Ｂが進む距離　ｙ×40＝40ｙ（m） 合わせて6000mだから 16ｘ＋40ｙ＝6000　② ①÷20 ｘ＋ｙ＝300　①’ ②÷８ ２ｘ＋５ｙ＝750　②’ ②’－①’×２ ２ｘ＋５ｙ＝750 ２ｘ＋２ｙ＝600 ３ｙ＝150　ｙ＝50 ①’に代入 ｘ＋50＝300　ｘ＝250 よって、 Ａさん　毎分250m Ｂさん　毎分50m 問題 ある日、ミクさんは、10時ちょうどに自宅を出て1200m先の花屋に、自転車に乗って毎分200mの速さで向かった。自宅を出てから800mの地点で友人に出会ったため、自転車を降りて友人と一緒に毎分80mの速さで５分間歩いたところ、花屋に到着した。友人と別れて花屋で数分間の買い物を終えた後、ふたたび自転車に乗って自宅まで毎分300mの速さで戻った。 下のグラフは、ミクさんが自宅から花屋まで移動し、買い物を終えるまでのようすについて、10時ちょうどに自宅を出てからの時間（分）と自宅からの距離（m）との関係を表したものである。あとの問いに答えなさい。 問題 1）次のア～ウにあてはまる数を求めなさい。 ・ミクさんが友人に出会ったのはミクさんが自宅を出て〔ア〕分後である。 ・ミクさんが花屋で買い物をした時間は〔イ〕分間である。 ・ミクさんが自宅に戻った時刻は10時〔ウ〕分である。 2）ミクさんが自宅を出てからの時間をｘ分、自宅からの距離をｙmとするとき、ミクさんが花屋を出てから自宅に到着するまでについて、ｙをｘの式で表しなさい。 3）ミクさんの兄のコウさんは、ミクさんと同じ道を走って花屋に向かった。コウさんが10時10分に自宅を出て毎分150mの速さで走って花屋に向かったとすると、コウさんとミクさんがすれ違うのは自宅から何mの地点か、求めなさい。 1）ア 800mの道のりを毎分200mで進むから 800÷200＝４　４分後 1）イ 同じ1200mの地点にいるのは 10時９分から10時15分まで 15－９＝６　６分間 1）ウ グラフから10時19分 2） 花屋を出たのは（15，1200）のとき 自宅に着いたのは（19，０）のとき ｘの増加量　19－15＝４ ｙの増加量　０－1200＝－1200 変化の割合　－1200＝４＝－300 ｙ＝－300ｘ＋ｂとする （19，０）を通るから ０＝－5700＋ｂ　ｂ＝5700 よって、 ｙ＝－300ｘ＋5700 ※ｙ－ｑ＝ａ（ｘ－ｐ）を利用する 変化の割合　－300 （19，０）を通るから ｙ－０＝－300（ｘ－19） ｙ＝－300ｘ＋5700 👉ｂを使わずにスマートに求めることができる 3） コウさんの直線の式 速さは毎分150mだから ｙ＝150ｘ＋ｃとする （10，０）を通るから ０＝1500＋ｃ　ｃ＝－1500 よって、 ｙ＝150ｘ－1500　① ｙ＝－300ｘ＋5700との交点だから 150ｘ－1500＝－300ｘ＋5700 450ｘ＝7200 ｘ＝16 ｘ＝16を①に代入 ｙ＝2400－1500＝900 よって、900mの地点 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.21 連立方程式 速さに関する問題 👉ブログ TOP

直線の方程式 平行と垂直 高校数学の１次関数では、２直線の平行・垂直の関係を利用した問題があります。垂直の場合は、２直線の「傾きの積は－１」になります。また、２直線の交点を通る別の直線を求めるときは、定数ｋの恒等式を使います。 問題 ２直線ａｘ＋２ｙ＋３ａ＝０、（３－ａ）ｘ＋（ａ－１）ｙ＋２＝０が次の条件を満たすとき、定数ａの値を求めよ。 1）２直線が平行 2）２直線が垂直 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ ａ’ｘ＋ｂ’ｙ＋ｃ’＝０ ２直線が平行 👉ａｂ’－ｂａ’＝０ ２直線が垂直 👉ａａ’＋ｂｂ’＝０ 傾きの分母が０になる場合を考えなくてよい 1） ａｘ＋２ｙ＋３ａ＝０ （３－ａ）ｘ＋（ａ－１）ｙ＋２＝０ ａ（ａ－１）－２（３－ａ）＝０ ａ²－ａ－６＋２ａ＝０ ａ²＋ａ－６＝０ （ａ＋３）（ａ－２）＝０ ａ＝－３，２ 別解 ２直線の傾きが同じ ａ－１≠０のとき －ａ/２＝－（３－ａ）/（ａ－１） 両辺×－２（ａ－１） ａ（ａ－１）＝２（３－ａ） ａ²－ａ＝６－２ａ ａ²＋ａ－６＝０ （ａ＋３）（ａ－２）＝０ ａ＝－３，２ 2） ａｘ＋２ｙ＋３ａ＝０ （３－ａ）ｘ＋（ａ－１）ｙ＋２＝０ ａ（３－ａ）＋２（ａ－１）＝０ ３ａ－ａ²＋２ａ－２＝０ ａ²－５ａ＋２＝０ 解の公式より 　　５±√17 ａ＝━━━ 　　　２ 別解 ２直線の傾きの積は－１ ａ－１≠０のとき （－ａ/２）｛－（３－ａ）/（ａ－１）｝＝－１ （ａ/２）｛（３－ａ）/（ａ－１）｝＝－１ ａ（３－ａ）＝－２（ａ－１） ３ａ－ａ²＝－２ａ＋２ ａ²－５ａ＋２＝０ 解の公式より 　　５±√17 ａ＝━━━ 　　　２ ※ 傾きの分母が０になる場合 ａ－１＝０　ａ＝１ ２つの式に代入すると ａｘ＋２ｙ＋３ａ＝０　① （３－ａ）ｘ＋（ａ－１）ｙ＋２＝０　② ①より ｘ＋２ｙ＋３＝０ ｙ＝（－1/2）ｘ－（3/2） ②より ２ｘ＋２＝０　ｘ＝－１ 👉平行または垂直の関係にならない 問題 ２直線ｘ＋２ｙ＋２＝０、ｘ－ｙ－１＝０の交点と、点（１，３）を通る直線の方程式を求めよ。 ２直線の交点を通る直線 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　① ａ’ｘ＋ｂ’ｙ＋ｃ’＝０　② ①と②が１点で交わるとき ｋ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）＋ａ’ｘ＋ｂ’ｙ＋ｃ’＝０ ｋは定数 ｋ（ｘ＋２ｙ＋２）＋ｘ－ｙ－１＝０ ｋｘ＋２ｋｙ＋２ｋ＋ｘ－ｙ－１＝０ （ｋ＋１）ｘ＋（２ｋ－１）ｙ＋２ｋ－１＝０ ｘ＝１、ｙ＝３を代入 ｋ＋１＋６ｋ－３＋２ｋ－１＝０ ９ｋ＝３ ｋ＝1/3 よって、 （4/3）ｘ＋（－1/3）ｙ＋（－1/3）＝０ ４ｘ－ｙ－１＝０ 問題 ２直線ｘ－ｙ＋１＝０、３ｘ＋２ｙ－12＝０の交点を通り、次の条件を満たす直線の方程式を、それぞれ求めよ。 1） 直線５ｘ－６ｙ－８＝０に平行 2） 直線５ｘ－６ｙ－８＝０に垂直 1） ｋ（ｘ－ｙ＋１）＋３ｘ＋２ｙ－12＝０ （ｋ＋３）ｘ＋（－ｋ＋２）ｙ＋ｋ－12＝０ ５ｘ－６ｙ－８＝０に平行だから ５（－ｋ＋２）＋６（ｋ＋３）＝０ －５ｋ＋10＋６ｋ＋18＝０ ｋ＝－28 よって、 －25ｘ＋30ｙ－40＝０ ５ｘ－６ｙ＋８＝０ 👉ａｂ’－ｂａ’＝０ 2） （ｋ＋３）ｘ＋（－ｋ＋２）ｙ＋ｋ－12＝０ ５ｘ－６ｙ－８＝０に垂直だから ５（ｋ＋３）－６（－ｋ＋２）＝０ ５ｋ＋15＋６ｋ－12＝０ 11ｋ＝－３ ｋ＝－3/11 （30/11）ｘ＋（25/11）ｙ－（135/11）＝０ 30ｘ＋25ｙ－135＝０ ６ｘ＋５ｙ－27＝０ 👉ａａ’＋ｂｂ’＝０ 問題 直線（１＋ｋ）ｘ－（１－３ｋ）ｙ＝－７ｋ－１は、定数ｋの値に関係なく、定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。 （１＋ｋ）ｘ－（１－３ｋ）ｙ＝－７ｋ－１ ｘ＋ｋｘ－ｙ＋３ｋｙ＋７ｋ＋１＝０ （ｘ＋３ｙ＋７）ｋ＋ｘ－ｙ＋１＝０　① ｋについての恒等式であるから 係数を比較して ｘ＋３ｙ＋７＝０　② ｘ－ｙ＋１＝０　③ ②と③の解はｋの値に関係なく①を満たす ②－③より ４ｙ＋６＝０ ｙ＝－3/2 ③に代入 ｘ＋（3/2）＋１＝０ ｘ＝－5/2 よって、定点の座標は （－5/2，－3/2） ３点が一直線上にある条件 問題 次の３点が一直線上にあるとき、ａの値を求めよ。 1） （２，３）（４，８）（７，ａ） 2） （２，５）（０，ａ）（ａ，３） 1） （２，３）（７，ａ）を通る直線 傾き （ａ－３）/（７－２） ＝（ａ－３）/５ 直線の式は ｙ－３＝｛（ａ－３）/５｝（ｘ－２） （４，８）を通るから ８－３＝｛（ａ－３）/５｝（４－２） ５＝２（ａ－３）/５ ２ａ－６＝25 ａ＝31/2 2） （２，５）（０，ａ）を通る直線 傾き （ａ－５）/（０－２） ＝－（ａ－５）/２ 直線の式は ｙ－５＝｛－（ａ－５）/２｝（ｘ－２） （ａ，３）を通るから ３－５＝｛－（ａ－５）/２｝（ａ－２） ２＝（ａ－５）（ａ－２）/２ （ａ－５）（ａ－２）＝４ ａ²－７ａ＋６＝０ （ａ－１）（ａ－６）＝０ ａ＝１、６ ３直線が１点で交わる条件 問題 ３つの直線ｘ－ｙ＝３－２ａ、２ｘ＋ｙ＝６－ａ、ｘ＋２ｙ＝７－ａが１点で交わるとき、定数ａの値を求めよ。 ｘ－ｙ＝３－２ａ　① ２ｘ＋ｙ＝６－ａ　② ｘ＋２ｙ＝７－ａ　③ ①より ｘ＝ｙ＋３－２ａ ２ｘ＝２ｙ＋６－４ａ　④ ②より ２ｘ＝－ｙ＋６－ａ　⑤ ④＝⑤より ２ｙ＋６－４ａ＝－ｙ＋６－ａ ３ｙ－３ａ＝０ ｙ－ａ＝０　➅ ①より ｘ＝ｙ＋３－２ａ　⑦ ③より ｘ＝－２ｙ＋７－ａ　⑧ ⑦＝⑧より ｙ＋３－２ａ＝－２ｙ＋７－ａ ３ｙ－ａ＝４　⑨ ➅－⑨より 　　　ｙ－ａ＝０ －）３ｙ－ａ＝４　 　－２ｙ　　＝－４ 　　　　　ｙ＝２ ➅に代入 ２－ａ＝０ ａ＝２ 問題 ３つの直線ｘ＋３ｙ＝０、－ｘ＋３ｙ＝１、ａｘ＋２ｙ＝－１が三角形をつくらないとき、定数ａの値を求めよ。 ｘ＋３ｙ＝０　① －ｘ＋３ｙ＝１　② ａｘ＋２ｙ＝－１　③ ①と②は傾きが異なるから交わる よって、 ①と③、②と③が平行になればよい ①の傾き　－1/3 ②の傾き　1/3 ③の傾き　－ａ/2 ①＝③より －1/3＝－ａ/2 ａ＝2/3 ②＝③より 1/3＝－ａ/2 ａ＝－2/3 よって、ａ＝±2/3 さらに、３直線が１点で交わるとき ①－②より ２ｘ＝－１　ｘ＝－1/2 ①に代入 （－1/2）＋３ｙ＝０ ｙ＝1/6 ｘ＝－1/2、ｙ＝1/6を③に代入 （－1/2）ａ＋（1/3）＝－１ －３ａ＋２＝－６ ａ＝8/3 したがって、 ａ＝±2/3、8/3 ※別解 ２直線が平行 ａ₁ｘ＋ｂ₁ｙ＋ｃ₁＝０ ａ₂ｘ＋ｂ₂ｙ＋ｃ₂＝０ 👉ａ₁ｂ₂－ａ₂ｂ₁＝０ ①、③より ｘ＋３ｙ＝０ ａｘ＋２ｙ＋１＝０ １・２－３・ａ＝０　ａ＝2/3 ②、③より －ｘ＋３ｙ－１＝０ ａｘ＋２ｙ＋１＝０ －１・２－３・ａ＝０　ａ＝－2/3 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.21 直線の方程式 平行と垂直 👉ブログ TOP

平方根とルートの計算② 当塾では、６月から「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 平方根は２乗する前の数で、正と負の２つあります。２の平方根は「±√２」のように、平方根が有理数にならない場合は、ルートをつけて表します。また、ルートの計算にはルールがあります。 問題 下の図のように、１辺の長さが２ａcmの正方形ＡＢＣＤがある。辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの中点をそれぞれＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈとし、正方形ＥＦＧＨをつくるとき、正方形ＥＦＧＨの面積と１辺の長さを、ａを使って表しなさい。 正方形のＡＢＣＤの面積の半分だから （２ａ）²×（1/2） ＝４ａ²×（1/2） ＝２ａ² cm² 正方形ＥＦＧＨの１辺は、 ２ａ²の平方根の正の値だから √２ａ cm 問題 √138の整数部分をａ、小数部分をｂとするとき、次の問いに答えなさい。 1）ａの値を求めなさい。 2）ｂ²＋22ｂの値を求めなさい。 1） √121＜√138＜√144 11＜√138＜12 よって、 整数部分ａは、11 2） 小数部分は ｂ＝√138－11 ｂ²＋22ｂ ＝ｂ（ｂ＋22） ＝（√138－11）（√138－11＋22） ＝（√138－11）（√138＋11） ＝138－121 ＝17 ※別解 平方完成して ｂ²＋22ｂ ＝（ｂ＋11）²－121 ＝（√138－11＋11）²－121 ＝138－121 ＝17 問題 次の計算をしなさい。 1） 　　　２√３ √18－━━━ 　　　 √６ 2） 　　　16 √32－━━＋√18 　　 √２ 3） √２＋１　　１ ━━━━－━━ 　 ３　　　√２ 1） 　　　２√３ √18－━━━ 　　　 √６ 　　　　　２ ＝３√２－━━ 　　　　 √２ ＝３√２－√２ ＝２√２ 2） 　　　16 √32－━━＋√18 　　 √２ ＝４√２－８√２＋３√２ ＝－√２ 3） √２＋１　　１ ━━━━－━━ 　 ３　　　√２ 　√２＋１　 √２ ＝━━━━－━━ 　 　 ３　　　２ 　２√２＋２－３√２ ＝━━━━━━━━ 　　　　 ６ 　 ２－√２ ＝━━━━ 　　 ６ 問題 次の計算をしなさい。 1） √７（９－√21）－√27 2） （２－√６）²＋√24 3） （√７＋√３）（√７－２√３） 4）　 　　　　　　　 ９ （√３＋１）²－━━ 　　　　　　　√３ 5） （√６＋√２）（√24－√８） 6） （√５＋√２）²－（√５－√２）² 1） √７（９－√21）－√27 ＝９√７－√７×√７×√３－３√３ ＝９√７－７√３－３√３ ＝９√７－10√３ 2） （２－√６）²＋√24 ＝10－４√６＋２√６ ＝10－２√６ 👉（ａ±ｂ）² 型は、ａ²＋ｂ²を先にすると計算が速い （２－√６）² ＝４－４√６＋６ ＝10－４√６ 3） （√７＋√３）（√７－２√３） ＝７－√３×√７－６ ＝１－√21 4）　 　　　　　　　 ９ （√３＋１）²－━━ 　　　　　　　√３ ＝４＋２√３－３√３ ＝４－√３ 5） （√６＋√２）（√24－√８） ＝（√６＋√２）（２√６－２√２） ＝２（√６＋√２）（√６－√２） ＝２×（６－２） ＝８ 6） （√５＋√２）²－（√５－√２）² ＝（７＋２√10）－（７－２√10） ＝７＋２√10－７＋２√10 ＝４√10 ※別解 （√５＋√２）²－（√５－√２）² ＝Ａ²－Ｂ² ＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） ＝２√５×２√２ ＝４√10 問題 ｘ＝√２＋３のとき、ｘ²－６ｘ＋９の値を求めなさい。 ｘ²－６ｘ＋９ ＝（ｘ－３）² ＝（√２＋３－３）² ＝（√２）² ＝２ ※別解 ｘ＝√２＋３　より ｘ－３＝√２ 両辺を２乗して ｘ²－６ｘ＋９＝２ 問題 ｘ＝√７＋４のとき、ｘ²－８ｘ＋12の値を求めなさい。 ｘ＝√７＋４　より ｘ－４＝√７ 両辺を２乗して ｘ²－８ｘ＋16＝７ ｘ²－８ｘ＋16－４＝７－４ ｘ²－８ｘ＋12＝３ ※別解 ｘ²－８ｘ＋12 ＝（ｘ－２）（ｘ－６） ＝（√７＋４－２）（√７＋４－６） ＝（√７＋２）（√７－２） ＝７－４ ＝３ 問題 ｘ＝√３＋２、ｙ＝√３－２のとき、５ｘ²－５ｙ²の値を求めなさい。 ５ｘ²－５ｙ² ＝５（ｘ²－ｙ²） ＝５（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） ｘ＋ｙ ＝（√３＋２）＋（√３－２） ＝２√３ ｘ－ｙ ＝（√３＋２）－（√３－２） ＝√３＋２－√３＋２ ＝４ よって、 ５（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） ＝５×２√３×４ ＝40√３ 問題 √15の小数部分をａとするとき、ａ²＋６ａの値を求めなさい。 √９＜√15＜√16 ３＜√15＜４ ａ＝√15－３ ａ²＋６ａ ＝（ａ＋３）²－９ ＝（√15－３＋３）²－９ ＝15－９ ＝６ ※別解 ａ²＋６ａ ＝ａ（ａ＋６） ＝（√15－３）（√15－３＋６） ＝（√15－３）（√15＋３） ＝15－９ ＝６ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.20 平方根とルートの計算② 👉ブログ TOP

直線の方程式 高校数学 中学数学では直線の式を求めるとき、傾きと切片を別々に求めてｙ＝ａｘ＋ｂとしました。高校数学では、点の平行移動によるｙ－ｑ＝ａ（ｘ－ｐ）の式を利用して、切片を文字化せずにスマートに求めることができます。 問題 次のような直線の方程式を求めよ。 1）点（－２，８）を通り、傾きが３の直線 2）点（３，－１）を通り、傾きが－１の直線 3）ｙ軸との交点の座標が（０，５）で、傾きが－２の直線 4）点（４，６）を通り、ｘ軸に垂直な直線 5）点（３，２）を通り、ｘ軸に平行な直線 1） 点（ｘ₁，ｙ₁）を通り、傾きｍの直線 ｙ－ｙ₁＝ｍ（ｘ－ｘ₁） ｙ－８＝３（ｘ＋２） ｙ＝３ｘ＋14 2） ｙ＋１＝－（ｘ－３） ｙ＝－ｘ＋２ 3） ｙ軸との交点👉ｙ切片 ｙ＝－２ｘ＋５ 4） ｘ軸に垂直👉ｘの値が一定 ｘ＝４ 5） ｘ軸に平行👉ｙの値が一定 ｙ＝２ 問題 次の２点を通る直線の方程式を求めよ。 1）（１，１）（３，５） 2）（－４，３）（６，－３） 3）（３，－４）（－１，－４） 4）（４，０）（４，３） 1） 異なる２点（ｘ₁，ｙ₁）（ｘ₂，ｙ₂）を通る直線 ｙ－ｙ₁＝ｍ（ｘ－ｘ₁） 傾きｍ ｙ₂－ｙ₁　ｙの増加量 ━━━━＝━━━━━ ｘ₂－ｘ₁　ｘの増加量 グラフでは 上下に進んだ分 ━━━━━━━ 右に進んだ分 　　　　４ ｙ－１＝━（ｘ－１） 　　　　２ ｙ－１＝２（ｘ－１） ｙ＝２ｘ－１ 2）（－４，３）（６，－３） 　　　　－６ ｙ－３＝━━（ｘ＋４） 　　　　 10 　　　　　３　　12 ｙ－３＝－━ｘ－━ 　　　　　５　　５ 　　　３　　３ ｙ＝－━ｘ＋━ 　　　５　　５ 3）（３，－４）（－１，－４） 　　　　 ０ ｙ＋４＝━━（ｘ－３） 　　　　－４ ｙ＝－４ 4）（４，０）（４，３） ｘが同値だから、ｘ＝４ 問題 ｘ切片が１、ｙ切片が－２である直線の方程式を求めよ。 ｘ切片ａ、ｙ切片ｂの直線 （ａ≠０、ｂ≠０） ｘ　ｙ ━＋━＝１ ａ　ｂ 　　ｙ ｘ－━＝１ 　　２ ２ｘ－ｙ＝２ ｙ＝２ｘ－２ 問題 次の２点を通る直線の方程式を求めよ。 1）（２，０）（０，３） 2）（－３，０）（０，５） 1）（２，０）（０，３） ｘ切片２、ｙ切片３ ｘ　ｙ ━＋━＝１ ２　３ ３ｘ＋２ｙ－６＝０ 2）（－３，０）（０，５） ｘ切片－３、ｙ切片５ ｘ　 ｙ ━━＋━＝１ －３　５ －５ｘ＋３ｙ－15＝０ ５ｘ－３ｙ＋15＝０ 問題 次の点を通り、与えられた直線に垂直な直線ℓの方程式を求めよ。 1）（３，－１）　 　ｙ＝３ｘ＋１ 2）（１，４） 　２ｘ－５ｙ－１＝０ 3）（－２，５） 　３ｘ＋５ｙ＋１＝０ 4）（３，２）　ｘ＝５ 1）（３，－１）　 　ｙ＝３ｘ＋１ ２直線が垂直（傾きｍ₁、ｍ₂） ｍ₁・ｍ₂＝－１ ｍ₁＝－1/ｍ₂ 求める直線の傾き　－1/3 ｙ＋１＝（－1/3）（ｘ－３） ３ｙ＋３＝－ｘ＋３ ｘ＋３ｙ＝０ 2）（１，４） 　２ｘ－５ｙ－１＝０ （ｘ₁，ｙ₁）を通り、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に垂直 ｂ（ｘ－ｘ₁）－ａ（ｙ－ｙ₁）＝０ －５（ｘ－１）－２（ｙ－４）＝０ －５ｘ＋５－２ｙ＋８＝０ ５ｘ＋２ｙ－13＝０ 別解 ２ｘ－５ｙ－１＝０の傾き　2/5 求める直線の傾き　－5/2 👉ｍ₁＝－1/ｍ₂ ｙ－４＝（－5/2）（ｘ－１） ２ｙ－８＝－５ｘ＋５ ５ｘ＋２ｙ－13＝０ 3）（－２，５） 　３ｘ＋５ｙ＋１＝０ ５（ｘ＋２）－３（ｙ－５）＝０ ５ｘ＋10－３ｙ＋15＝０ ５ｘ－３ｙ＋25＝０ 4）（３，２）　ｘ＝５ ｘ軸に平行で、ｙの値が一定 ｙ＝２ 問題 次の点を通り、与えられた直線に平行な直線ℓの方程式を求めよ。 1）（２，５） 　ｙ＝２ｘ－３ 2）（－２，－１） 　３ｘ－２ｙ＋５＝０ 3）（６，４） 　ｘ＋２ｙ－４＝０ 4）（１，２）　ｘ＝３ 1）（２，５） 　ｙ＝２ｘ－３ ２直線が平行（傾きｍ₁、ｍ₂） ｍ₁＝ｍ₂ 求める直線の傾き　２ ｙ－５＝２（ｘ－２） ｙ＝２ｘ＋１ 2）（－２，－１） 　３ｘ－２ｙ＋５＝０ （ｘ₁，ｙ₁）を通り、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に平行 ａ（ｘ－ｘ₁）＋ｂ（ｙ－ｙ₁）＝０ ３（ｘ＋２）－２（ｙ＋１）＝０ ３ｘ＋６－２ｙ－２＝０ ３ｘ－２ｙ＋４＝０ 別解 求める直線の傾き　3/2 ｙ＋１＝（3/2）（ｘ＋２） ２ｙ＋２＝３ｘ＋６ ３ｘ－２ｙ＋４＝０ 3）（６，４） 　ｘ＋２ｙ－４＝０ （ｘ－６）＋２（ｙ－４）＝０ ｘ－６＋２ｙ－８＝０ ｘ＋２ｙ－14＝０ 4）（１，２）　ｘ＝３ ｘ＝３またはｙ軸に平行で、ｘの値が一定 ｘ＝１ 問題 原点と次の直線の距離を求めよ。 1）３ｘ－４ｙ－５＝０ 2）ｙ＝－２ｘ＋１ 1） 点と直線の距離 （ｘ₁，ｙ₁）とａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ ｜ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ｜ ━━━━━━━━━━ 　　√（ａ²＋ｂ²） （０，０）と３ｘ－４ｙ－５ 　　 ｜－５｜ ━━━━━━━━━ √｛３²＋（－４）²｝ ＝５/５ ＝１ 2） ｙ＝－２ｘ＋１ ２ｘ＋ｙ－１＝０ （０，０）と２ｘ＋ｙ－１＝０ 　｜－１｜ ━━━━━━ √（２²＋１²） ＝１/√５ ＝√５/５ 問題 次の点と直線の距離を求めよ。 1） 点（２，８） 直線　４ｘ＋３ｙ－12＝０ 2） 点（－１，２） 直線　ｙ＝３ｘ＋１ 3） 点（３，２） 直線　５ｘ－12ｙ＝１ 4） 点（５，－２） 直線　ｙ＝４ 5） 点（４，３） 直線　ｘ＝－１ 1） 点（２，８） 直線　４ｘ＋３ｙ－12＝０ ｜ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ｜ ━━━━━━━━━━ 　　√（ａ²＋ｂ²） ｜８＋24－12｜ ━━━━━━━ √（４²＋３²） ＝20/５ ＝４ 2） 点（－１，２） 直線　ｙ＝３ｘ＋１ ３ｘ－ｙ＋１＝０ ｜－３－２＋１｜ ━━━━━━━━ √（９＋１） ＝４/√10 ＝2√10/５ 3） 点（３，２） 直線　５ｘ－12ｙ＝１ ５ｘ－12ｙ－１＝０ ｜15－24－１｜ ━━━━━━━ √（25＋144） ＝10/13 4） 点（５，－２） 直線　ｙ＝４ （５，－２）と（５，４）との距離 ４－（－２）＝６ 別解 ｙ＝４より　ｙ－４＝０ （５，－２）とｙ－４＝０ ｜０－２－４｜ ━━━━━━━ √（０＋１） ＝６ 5） 点（４，３） 直線　ｘ＝－１ （４，３）と（－１，３）との距離 ４－（－１）＝５ 別解 ｘ＝－１より　ｘ＋１＝０ （４，３）とｘ＋１＝０ ｜４＋０＋１｜ ━━━━━━━ √（１＋０） ＝５ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.20 直線の方程式 高校数学 👉ブログ TOP

平方根とルートの計算 当塾では、６月から「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 平方根は２乗する前の数で、正と負の２つあります。２の平方根は「±√２」のように、平方根が有理数にならない場合は、ルートをつけて表します。また、ルートの計算にはルールがあります。 問題 √７の小数部分をａとするとき、ａ（ａ＋４）の値を求めなさい。 √７の整数部分を求める √４＜√７＜√９ 👇 ２＜√７＜３ ２より大きく３より小さいから 整数部分は　２ よって、 小数部分ａは　√７－２ ａ（ａ＋４） ＝（√７－２）（√７－２＋４） ＝（√７－２）（√７＋２） ＝７－４ ＝３ ※別解 ａ＝√７－２　より ａ＋２＝√７ 両辺を２乗して ａ²＋４ａ＋４＝７ ａ²＋４ａ＝３ よって、 ａ（ａ＋４） ＝ａ²＋４ａ＝３ 問題 体積が600cm³、高さが10cmの正四角柱がある。この正四角柱の底面の１辺の長さを求めなさい。 正四角柱だから底面は「正方形」 正方形の１辺をｘcmとすると ｘ²×10＝600 ｘ²＝60 ｘ＞０より ｘ＝√60＝２√15 よって、 ２√15cm 問題 次の計算をしなさい。 1）（√３＋√２）² 2）（２√２－１）² 3）（√５－√３）² 4）（√６＋√３）²－（√６－√３）² 1） （√３＋√２）² ＝３＋２＋２√６ ＝５＋２√６ 2） （２√２－１）² ＝８＋１－４√２ ＝９－４√２ 3） （√５－√３）² ＝５＋３－２√15 ＝８－２√15 4） （√６＋√３）²－（√６－√３）² ＝（６＋３＋２√18）－（６＋３－２√18） ＝（９＋６√２）－（９－６√２） ＝９＋６√２－９＋６√２ ＝12√２ ※別解 （√６＋√３）²－（√６－√３）² ＝Ａ²－Ｂ² ＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） ＝（√６＋√３＋√６－√３）（√６＋√３－√６＋√３） ＝２√６×２√３ ＝４√18 ＝12√２ 問題 次の計算をしなさい。 1）（√５＋２）（√５＋６） 2）（√５＋４）² 3）（√５－√３）² 4）（√５＋３）（√５－３） 1） （√５＋２）（√５＋６） ＝５＋８√５＋12 ＝17＋８√５ 2） （√５＋４）² ＝５＋16＋８√５ ＝21＋８√５ 3） （√５－√３）² ＝５＋３－２√15 ＝８－２√15 4） （√５＋３）（√５－３） ＝５－９ ＝－４ 問題 次の計算をしなさい。 1）√２（√32＋７） 2）（√30＋√80）÷√５ 3）（√３＋√７）² 4）（√７＋√２）（√７－√２） 5）（√３－√６）² 6）（√３＋１）（√３＋５）－√48 1） √２（√32＋７） ＝√64＋７√２ ＝８＋７√２ 2） （√30＋√80）÷√５ ＝√30÷√５＋√80÷√５ ＝√６＋√16 ＝√６＋４ 3） （√３＋√７）² ＝３＋７＋２√21 ＝10＋２√21 4） （√７＋√２）（√７－√２） ＝７－２ ＝５ 5） （√３－√６）² ＝３＋６－２√18 ＝９－６√２ 6） （√３＋１）（√３＋５）－√48 ＝３＋６√３＋５－４√３ ＝８＋２√３ 問題 ｘ＝√７＋√２、ｙ＝√７－√２のとき、ｘ²－ｙ²の値を求めなさい。 ｘ²＝（√７＋√２）² ＝７＋２＋２√14 ＝９＋２√14 ｙ²＝（√７－√２）² ＝７＋２－２√14 ＝９－２√14 ｘ²－ｙ² ＝（９＋２√14）－（９－２√14） ＝９＋２√14－９＋２√14 ＝４√14 ※別解 ｘ²－ｙ² ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） ＝（√７＋√２＋√７－√２）（√７＋√２－√７＋√２） ＝２√７×２√２ ＝４√14 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.19 平方根とルートの計算 👉ブログ TOP