三角形の外接円 高校数学 １学期の期末考査が終わり、高校生は学期末の模試に向けて対策を進めています。 高校数学では三角形の外接円を利用して、図形の辺の長さや面積を求める問題があります。正弦定理や余弦定理をどの場面で用いるか、作図をしながら具体的にイメージできるようにします。 問題 ∠ＡＣＢが鈍角でＢＣ＞ＡＣの△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝６、ＢＣ＝３√２、sin∠ＡＣＢ＝√14/4である。 1）sin∠ＢＡＣの値を求めよ。 2）cos∠ＢＡＣの値を求めよ。また、辺ＡＣの長さを求めよ。 1） 正弦定理より ＢＣ/sin∠ＢＡＣ＝ＡＢ/sin∠ＡＣＢ ３√２/sin∠ＢＡＣ＝６/（√14/4） ６sin∠ＢＡＣ＝3√28/4 sin∠ＢＡＣ＝√７/４ 2） cos²∠ＢＡＣ＝１－sin²∠ＢＡＣ ＝１－（√7/4）² ＝１－（7/16） ＝9/16 ∠ＡＣＢ＞90°より、∠ＢＡＣ＜90° よって、 cos∠ＢＡＣ＝３/４ 余弦定理より ＢＣ²＝ＡＢ²＋ＡＣ²－２ＡＢ・ＡＣcos∠ＢＡＣ 18＝36＋ＡＣ²－９ＡＣ ＡＣ²－９ＡＣ＋18＝０ （ＡＣ－３）（ＡＣ－６）＝０ ＢＣ＞ＡＣより ＡＣ＝３ 3）辺ＡＢ上に∠ＡＣＤ＝90°となるような点Ｄをとる。このとき、線分ＣＤの長さを求めよ。また、△ＢＣＤの外接円の中心をＯとするとき、四角形ＯＣＤＢの面積を求めよ。 cos∠ＤＡＣ＝ＡＣ/ＡＤ　より ３/４＝３/ＡＤ ３ＡＤ＝12　ＡＤ＝４ △ＡＣＤで三平方の定理より ＣＤ²＝ＡＤ²－ＡＣ² ＝16－９＝７ ＣＤ＞０より、ＣＤ＝√７ ∠ＢＤＣ＝180°－∠ＡＤＣ sin∠ＢＤＣ＝sin（180°－∠ＡＤＣ） sin（180°－∠ＡＤＣ）＝sin∠ＡＤＣより sin∠ＢＤＣ＝sin∠ＡＤＣ sin∠ＡＤＣ＝ＡＣ/ＡＤ＝3/4 よって、 sin∠ＢＤＣ＝3/4 △ＢＣＤの外接円の半径をＲとする ＢＣ/sin∠ＢＤＣ＝２Ｒ ３√２/（3/4）＝２Ｒ （3/2）Ｒ＝３√２ Ｒ＝２√２ △ＯＢＣはＯＢ＝ＯＣの二等辺三角形 点ＯからＢＣへの垂線の長さをｈとする ＯＢ＝２√２、ＢＣ＝３√２だから 三平方の定理より ｈ²＝（2√2）²－（3√2/2）² ＝８－（18/4） ＝14/4 ｈ＝√14/2（ｈ＞０） よって、 △ＯＢＣの面積は、 （1/2）×３√２×（√14/2） ＝3√28/4 ＝3√7/2 △ＢＣＤの面積は、 （1/2）・ＢＤ・ＣＤsin∠ＢＤＣ ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝２だから （1/2）・２・√７・（3/4） ＝3√7/4 したがって、四角形ＯＣＤＢの面積は、 （3√7/2）＋（3√7/4） ＝9√7/4 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.13 三角形の外接円 高校数学 👉ブログ TOP

１次関数の式 １学期も残り１か月ですが、塾生の中には２学期の学習内容を先取りしている生徒もいます。 中２数学では、２学期から「１次関数」の学習に進みます。中１数学の比例と同じように、グラフは直線で表され、ａの値は一定です。比例とのちがいは、原点以外の切片ｂを通るところで、式はｙ＝ａｘ＋ｂの形になります。 問題 次の直線（1）～（4）の式を求めなさい。 1） （０，２）を通るから、ｙ切片２ ｘの増加量　１ ｙの増加量　２ 変化の割合　２/１＝２ よって、 ｙ＝２ｘ＋２ 2） （０，２）を通るから、ｙ切片２ ｘの増加量　３ ｙの増加量　－２ 変化の割合　－２/３ よって、 ｙ＝（－２/３）ｘ＋２ 3） （０，－２）を通るから、ｙ切片－２ ｘの増加量　３ ｙの増加量　２ 変化の割合　２/３ よって、 ｙ＝（２/３）ｘ－２ 4） （０，－１）を通るから、ｙ切片－１ ｘの増加量　３ ｙの増加量　－１ 変化の割合　－１/３ よって、 ｙ＝（－１/３）ｘ－１ 問題 次の条件をみたす１次関数の式を求めなさい。 1）変化の割合が２で、ｘ＝３のときｙ＝７ 2）グラフの傾きが－４で、点（１，２）を通る。 3）グラフが点（２，８）を通り、切片が２ 4）グラフが点（１，－６）を通り、直線ｙ＝－５ｘに平行。 1） ｙ＝ａｘ＋ｂとする ａ＝２だから ｙ＝２ｘ＋ｂ ｘ＝３、ｙ＝７を代入して ７＝６＋ｂ　ｂ＝１ よって、 ｙ＝２ｘ＋１ 2） ａ＝－４だから ｙ＝－４ｘ＋ｂ ｘ＝１、ｙ＝２を代入して ２＝－４＋ｂ　ｂ＝６ よって、 ｙ＝－４ｘ＋６ 3） ｂ＝２だから ｙ＝ａｘ＋２ ｘ＝２、ｙ＝８を代入して ８＝２ａ＋２　ａ＝３ よって、 ｙ＝３ｘ＋２ 4） ａ＝－５だから ｙ＝－５ｘ＋ｂ ｘ＝１、ｙ＝－６を代入して －６＝－５＋ｂ　ｂ＝－１ よって、 ｙ＝－５ｘ－１ 👉切片をｂとしない方法 傾きａで、点（ｐ，ｑ）を通る式 ｙ－ｑ＝ａ（ｘ－ｐ） 変化の割合が２で、ｘ＝３のときｙ＝７ ｙ－７＝２（ｘ－３） ｙ－７＝２ｘ－６ ｙ＝２ｘ＋１ グラフが点（１，－６）を通り、直線ｙ＝－５ｘに平行。 ｙ＋６＝－５（ｘ－１） ｙ＋６＝－５ｘ＋５ ｙ＝－５ｘ－１ 問題 次の条件をみたす１次関数の式を求めなさい。 1）グラフが２点（２，－１）、（５，－７）を通る。 2）グラフが２点（２，21）、（－３，－４）を通る。 1） ｘの増加量　５－２＝３ ｙの増加量　－７－（－１）＝－６ 変化の割合　－６/３＝－２ ｙ＝－２ｘ＋ｂとする （２，－１）を通るから －１＝－４＋ｂ　ｂ＝３ よって、 ｙ＝－２ｘ＋３ 2） ｘの増加量　２－（－３）＝５ ｙの増加量　21－（－４）＝25 変化の割合　25/５＝５ ｙ＝５ｘ＋ｂとする （－３，－４）を通るから －４＝－15＋ｂ　ｂ＝11 よって、 ｙ＝５ｘ＋11 3）ｘ＝１のときｙ＝１、ｘ＝４のときｙ＝10 4）ｘ＝２のときｙ＝３、ｘ＝－６のときｙ＝35 3） ｘの増加量　４－１＝３ ｙの増加量　10－１＝９ 変化の割合　９/３＝３ ｙ＝３ｘ＋ｂとする ｘ＝１、ｙ＝１を代入して １＝３＋ｂ　ｂ＝－２ よって、 ｙ＝３ｘ－２ 4） ｘの増加量　２－（－６）＝８ ｙの増加量　３－35＝－32 変化の割合　－32/８＝－４ ｙ＝－４ｘ＋ｂとする ｘ＝２、ｙ＝３を代入して ３＝－８＋ｂ　ｂ＝11 よって、 ｙ＝－４ｘ＋11 問題 次の直線の式を求めなさい。 1）２点（２，７）、（－１，－８）を通る直線の式。 2）点（－２，10）を通り、ｘ軸と点（３，０）で交わる直線。 1） ｘの増加量　２－（－１）＝３ ｙの増加量　７－（－８）＝15 変化の割合　15/３＝５ ｙ＝５ｘ＋ｂとする （２，７）を通るから ７＝10＋ｂ　ｂ＝－３ よって、 ｙ＝５ｘ－３ 2） ｘの増加量　３－（－２）＝５ ｙの増加量　０－10＝－10 変化の割合　－10/５＝－２ ｙ＝－２ｘ＋ｂとする （３，０）を通るから ０＝－６＋ｂ　ｂ＝６ よって、 ｙ＝－２ｘ＋６ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.12 １次関数の式 👉ブログ TOP

不等式の文章題 高校数学 高校では期末考査が終わり、塾生は期末の模試に向けて対策を進めています。 不等式の文章題では、必要な情報をカタマリとして抜き出すことから始めます。式を立てて範囲を求める際には、求める値が正負の数または整数など、設定されている条件に合うかどうかを確認します。 問題 ｘ＞０とする。濃度がｘ％の食塩水200ｇがある。この食塩水に、（Ａ）または（Ｂ）のいずれかの操作を行い、食塩水の濃度が４％以上６％以下になるようにする。 ＜操作＞ （Ａ）水を110ｇ加える （Ｂ）食塩を７ｇ加える 1）（Ａ）の操作を１回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ（ｇ）をｘを用いて表せ。また、このときの食塩水の濃度（％）をｘを用いて表せ。 2）（Ａ）または（Ｂ）いずれかの操作を１回行うことで、食塩水の濃度が４％以上６％以下になるようなｘの値の範囲を小数で答えよ。 3）（Ａ）または（Ｂ）のいずれの操作についても、１回行うことでは、食塩水の濃度が４％以上６％以下にならず、（Ａ）または（Ｂ）のいずれかの操作をもう１回行うことで、食塩水の濃度が４％以上６％以下になるようなｘの範囲を小数で答えよ。ただし、１回目と２回目で異なる操作を行ってもよい。 1） 食塩水200ｇに含まれる食塩 200×（1/100）ｘ＝２ｘ（ｇ） 水を110ｇ加えるから ｛２ｘ/（200＋110）｝×100 ＝（200/310）ｘ ＝（20/31）ｘ よって、（20/31）ｘ％ 2） Ａを行う場合 ４≦（20/31）ｘ≦６ ×31 124≦20ｘ≦186 ÷20 6.2≦ｘ≦9.3　① Ｂを行う場合 もとの食塩水200ｇに食塩＋７ｇ 食塩水全体は、207ｇ 含まれていた食塩２ｘｇに食塩＋７ｇ 食塩の重さは、（２ｘ＋７）ｇ このときの濃度は、 ｛（２ｘ＋７）/207｝×100 ＝100｛（２ｘ＋７）/207｝ よって、 ４≦100｛（２ｘ＋７）/207｝≦６ ×207 828≦100（２ｘ＋７）≦1242 ÷100 8.28≦２ｘ＋７≦12.42 －７ 1.28≦２ｘ≦5.42 ÷２ 0.64≦ｘ≦2.71　② ①、②より 6.2≦ｘ≦9.3 0.64≦ｘ≦2.71 3）（Ａ）または（Ｂ）のいずれの操作についても、１回行うことでは、食塩水の濃度が４％以上６％以下にならず、（Ａ）または（Ｂ）のいずれかの操作をもう１回行うことで、食塩水の濃度が４％以上６％以下になるようなｘの範囲を小数で答えよ。ただし、１回目と２回目で異なる操作を行ってもよい。 １回行っても満たさない場合 6.2≦ｘ≦9.3、0.64≦ｘ≦2.71の範囲外（補集合）だから Ａ　ｘ＜6.2、ｘ＞9.3　① Ｂ　ｘ＜0.64、ｘ＞2.71　② Ａを連続で行い、満たす場合 １回目の食塩水310ｇに＋110ｇ 食塩水全体は、420ｇ 食塩の重さは変わらず２ｘｇ このときの濃度は、 ｛（２ｘ/310＋110｝×100 ＝（200/420）ｘ ＝（10/21）ｘ％ よって、 ４≦（10/21）ｘ≦６ ×21 84≦10ｘ≦126 ÷10 8.4≦ｘ≦12.6　③ ①、③より 9.3＜ｘ≦12.6　④ Ｂを連続で行い、満たす場合 １回目の食塩水207ｇに食塩＋７ｇ 食塩水全体は、214ｇ 含まれていた食塩（２ｘ＋７）ｇに食塩＋７ｇ 食塩の重さは、（２ｘ＋14）ｇ このときの濃度は、 ｛（２ｘ＋14）/214｝×100 ＝100｛（２ｘ＋14）/214｝ よって、 ４≦100｛（２ｘ＋14）/214｝≦６ ×214 856≦100（２ｘ＋14）≦1284 ÷100 8.56≦２ｘ＋14≦12.84 －14 －6.56≦２ｘ≦－2.84 ｘ＞０だから不適 ＡとＢの混合操作で、満たす場合 もとの食塩水200ｇに水＋110ｇ、食塩＋７ｇ 食塩水全体は、317ｇ もともと含まれていた食塩２ｘｇに＋７ｇ 食塩の重さは、（２ｘ＋７）ｇ このときの濃度は、 ｛（２ｘ＋７）/317｝×100 ＝100｛（２ｘ＋７）/317｝ よって、 ４≦100｛（２ｘ＋７）/317｝≦６ ×317 1268≦100（２ｘ＋７）≦1902 ÷100 12.68≦２ｘ＋７≦19.02 －７ 5.68≦２ｘ≦12.02 ÷２ 2.84≦ｘ≦6.01　⑤ ｘ＜6.2、ｘ＞9.3　① ｘ＜0.64、ｘ＞2.71　②　より ①、②との共通範囲は 2.84≦ｘ≦6.01　➅ 9.3＜ｘ≦12.6　④ 2.84≦ｘ≦6.01　➅　より 求める範囲は、④と➅を合わせた範囲（和集合）だから 9.3＜ｘ≦12.6 2.84≦ｘ≦6.01 問題 次の表は、ある日に行われた100点満点の数学の試験の平均点を、Ａ組、Ｂ組、Ｃ組の男女別に整理したものである。 この表をもとに、以下の問いの条件を満たすｘの値について考える。ただし、この試験における個人の得点はすべて整数値とし、ｘは１以上39以下の整数である。 1）Ａ組の平均点を求めよ。また、Ｂ組の平均点がＡ組の平均点と等しいとき、ｘの値を求めよ。 2）Ｃ組の平均点がＡ組の平均点以上であり、Ｂ組の合計得点とＣ組の合計得点の差が300点以上であるようなｘの値をすべて求めよ。 3）後日、試験を欠席していたＣ組の２人の男子が同じ試験を受験した。この２人の得点の和をｋ点とする。当初、Ｃ組の平均点がＡ組の平均点以上であったが、この２人の得点を加えて計算し直したところ、Ｃ組の平均点がＡ組の平均点より低くなった。このとき、ｘの値がただ１つに定まるようなｋの値をすべて求めよ。 1） 全体の平均 ｛（男平均）×（男人数）＋（女平均）×（女人数）｝/（全人数） Ａ組の平均点 （60×32＋70×８）/（32＋８） ＝（1920＋560）/40 ＝2480/40 ＝62 よって、62点 Ｂ組の平均点 ｛65（40－ｘ）＋55ｘ｝/（40－ｘ＋ｘ） ＝（2600－65ｘ＋55ｘ）/40 ＝（2600－10ｘ）/40 ＝65－（1/4）ｘ よって、 65－（1/4）ｘ＝62 （1/4）ｘ＝３　ｘ＝12 よって、12 2）Ｃ組の平均点がＡ組の平均点以上であり、Ｂ組の合計得点とＣ組の合計得点の差が300点以上であるようなｘの値をすべて求めよ。 Ｃ組の平均点 ｛59（ｘ＋５）＋64（40－ｘ）｝/（ｘ＋５＋40－ｘ） ＝（59ｘ＋295＋2560－64ｘ）/45 ＝（2855－５ｘ）/45 Ａ組の62点以上だから （2855－５ｘ）/45≧62 2855－５ｘ≧2790 －５ｘ≧－65 ｘ≦13　① Ｂ組の合計点 65（40－ｘ）＋55ｘ ＝2600－10ｘ Ｃ組の合計点 59（ｘ＋５）＋64（40－ｘ） ＝2855－５ｘ Ｂ－Ｃは正負になるか分からないので ｜（2600－10ｘ）－（2855－５ｘ）｜ ＝｜－５ｘ－255｜ ＝｜－５（ｘ＋51）｜ ｘは１以上39以下だから ＝５（ｘ＋51） この値が300以上だから ５（ｘ＋51）≧300 ｘ＋51≧60 ｘ≧９　② ①かつ②だから、共通範囲は ９≦ｘ≦13 ｘは整数値だから ９、10、11、12、13 3）後日、試験を欠席していたＣ組の２人の男子が同じ試験を受験した。この２人の得点の和をｋ点とする。当初、Ｃ組の平均点がＡ組の平均点以上であったが、この２人の得点を加えて計算し直したところ、Ｃ組の平均点がＡ組の平均点より低くなった。このとき、ｘの値がただ１つに定まるようなｋの値をすべて求めよ。 当初の場合 2）より、ｘ≦13　① Ｃ組に２人と和ｋを加えた場合 （2855－５ｘ＋ｋ）/（45＋２） Ａ組の平均62点より低いから （2855－５ｘ＋ｋ）/（45＋２）＜62 2855－５ｘ＋ｋ＜2914 －５ｘ＜－ｋ＋59 ｘ＞（ｋ－59）/５ ｘの値が１つに定まるとあるから ①より 12≦（ｋ－59）/５＜13 60≦ｋ－59＜65 119≦ｋ＜124 よって、満たすｋの値は 119、120、121、122、123 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.12 不等式の文章題 高校数学 👉ブログ TOP

ルートの計算方法 ７月になりました。当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 中３数学から高校数学にかけて、ルートを使った計算があります。中学数学ではその基本を学習します。ルートの中を簡単にすることや有理化のほか、素因数分解を使わない方法など、計算のしかたにはいろいろな手順があります。 問題 次の計算をしなさい。 1）４√２×３√６ 2）３√６×√14 3）√28×√56 1） ４√２×３√６ ＝４√２×３√２×√３ ＝12×２×√３ ＝24√３ 2） ３√６×√14 ＝３√２×√３×√２×√７ ＝３×２×√21 ＝６√21 3） √28×√56 ＝２√７×√７×√８ ＝２×７×２√２ ＝28√２ 問題 次の計算をしなさい。 1）√21×√63 2）√18×５√10 3）４√３×√27 4）－６√８×√20 5）４√２×√12÷√18 6）√64÷√12×√27 1） √21×√63 ＝√７×√３×３√７ ＝21√３ 2） √18×５√10 ＝３√２×５√２×√５ ＝30√５ 3） ４√３×√27 ＝４√３×３√３ ＝12×３ ＝36 4） －６√８×√20 ＝－12√２×２√５ ＝－24√10 5） ４√２×√12÷√18 ＝４√２×２√３÷３√２ ＝８√６÷３√２ ＝８√３/３ 6） √64÷√12×√27 ＝（√16/√３）×３√３ ＝４×３ ＝12 問題 次の計算をしなさい。 1） 　　　　10 ３√５－━━ 　　　 √５ 2） 　　　１ √45＋━━ 　　　√５ 3） 　　　　５ ２√60－√━ 　　　　３ 4） 　　　　　 12 √３＋√27－━━ 　　　　　 √３ 1） 　　　　10 ３√５－━━ 　　　 √５ 　　　　　10　 √５ ＝３√５－━━×━━ 　　　　 √５　 √５ ＝３√５－２√５ ＝√５ 2） 　　　１ √45＋━━ 　　　√５ 　　　　　１　 √５ ＝３√５＋━━×━━ 　　　　 √５　 √５ 　 15√５　 √５ ＝━━━＋━━ 　　５　　 ５ 　 16√５ ＝━━━ 　　５ 3） 　　　　５ ２√60－√━ 　　　　３ 　　　　　√５　√３ ＝４√15－━━×━━ 　　　　　√３　√３ 　 12√15　 √15 ＝━━━－━━ 　　３　　 ３ 　 11√15 ＝━━━ 　　３ 4） 　　　　　 12 √３＋√27－━━ 　　　　　 √３ 　　　　　 　　12　 √３ ＝√３＋３√３－━━×━━ 　　　　　 　　√３　 √３ ＝４√３－４√３ ＝０ 問題 √（45ｎ）が整数になるような自然数ｎのうち、もっとも小さい数を求めなさい。 √（45ｎ） ＝√（３²×５×ｎ） よって、 ｎ＝５ 問題 √（10－ｎ）の値が自然数となるような自然数ｎをすべて求めなさい。 ｎは１以上９以下の自然数 √１＝１、√４＝２、√９＝３となるから 10－ｎ＝１　ｎ＝９ 10－ｎ＝４　ｎ＝６ 10－ｎ＝９　ｎ＝１ よって、 ｎ＝１，６，９ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.11 ルートの計算方法 👉ブログ TOP

階差数列 高校数学 階差数列とは、ある数列の隣り合う項の「差」を並べて作った新しい数列のことです。元の数列の規則性が一目で分からない場合でも、階差数列を調べることで元の数列の一般項 ａn を求めることができます。 問題 初項から第ｎ項までの和Ｓnが、次の式で表される数列｛ａn｝の一般項を求めよ。 1）Ｓn＝ｎ²＋３ｎ ｎ＝１のとき ａ₁＝Ｓ₁＝１²＋３・１＝４　① ｎ≧２のとき ａn＝Ｓn－Ｓn-1 ＝（ｎ²＋３ｎ）－｛（ｎ－１）²＋３（ｎ－１）｝ ＝（ｎ²＋３ｎ）－（ｎ²－２ｎ＋１＋３ｎ－３） ＝（ｎ²＋３ｎ）－（ｎ²＋ｎ－２） ＝ｎ²＋３ｎ－ｎ²－ｎ＋２ ＝２ｎ＋２ よって、 ａn＝２ｎ＋２　② ②でｎ＝１とすると、①と一致 ②はｎ＝１のときにも成り立つ したがって、 ａn＝２ｎ＋２ 2）Ｓn＝４ｎ²－ｎ ｎ＝１のとき ａ₁＝Ｓ₁＝４・１²－１＝３　① ｎ≧２のとき ａn＝Ｓn－Ｓn-1 ＝（４ｎ²－ｎ）－｛４（ｎ－１）²－（ｎ－１）｝ ＝（４ｎ²－ｎ）－｛（４ｎ²－８ｎ＋４）－（ｎ－１）｝ ＝（４ｎ²－ｎ）－（４ｎ²－８ｎ＋４－ｎ＋１） ＝（４ｎ²－ｎ）－（４ｎ²－９ｎ＋５） ＝４ｎ²－ｎ－４ｎ²＋９ｎ－５ ＝８ｎ－５ よって、 ａn＝８ｎ－５　② ②でｎ＝１とすると、①に一致 ②はｎ＝１のときにも成り立つ したがって、 ａn＝８ｎ－５ 3）Ｓn＝ｎ²－１ ｎ＝１のとき ａ₁＝１²－１＝０　① ｎ≧２のとき ａn＝Ｓn－Ｓn-1 ＝（ｎ²－１）－｛（ｎ－１）²－１｝ ＝（ｎ²－１）－（ｎ²－２ｎ） ＝ｎ²－１－ｎ²＋２ｎ ＝２ｎ－１ よって、 ａn＝２ｎ－１　② ②でｎ＝１とすると、ａ₁＝１となり、①に一致しない。したがって、 ｎ＝１のとき、ａ₁＝０ ｎ≧２のとき、ａn＝２ｎ－１ Ｓn＝ａｎ²＋ｂｎ　定数項０ 👉ｎ＝１で必ず一致する Ｓn＝ａｎ²＋ｂｎ＋ｃ　定数項がある 👉ｎ＝１のときに一致しない 数列の和 等差数列や等比数列の和は、Σ（シグマ）を使って計算します。Σの上は項数、下は列の最初の番号、右横は足し合わせる数を表します。足し合わせる数が ｋ、ｋ²、ｋ³ のときの公式があります。 問題 次の和を求めよ。（項数ｎ、ｋ＝１） 1）Σ（２ｋ＋１） 2）Σ（ｋ²＋５ｋ） 1） ２Σｋ＋Σ１ ＝２・（1/2）ｎ（ｎ＋１）＋ｎ ＝ｎ²＋ｎ＋ｎ ＝ｎ²＋２ｎ ＝ｎ（ｎ＋２） 2） Σｋ²＋５Σｋ ＝（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋（5/2）ｎ（ｎ＋１） ＝（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１＋15） ＝（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋16） ＝（1/3）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋８） 3）Σ（ｉ²＋３ｉ＋１） 4）Σ（２ｋ＋１）² 3） Σｉ²＋３Σｉ＋Σ１ ＝（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋（3/2）ｎ（ｎ＋１）＋ｎ ＝（1/6）ｎ｛（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋９（ｎ＋１）＋６｝ ＝（1/6）ｎ（２ｎ²＋ｎ＋２ｎ＋１＋９ｎ＋９＋６） ＝（1/6）ｎ（２ｎ²＋12ｎ＋16） ＝（1/3）ｎ（ｎ²＋６ｎ＋８） ＝（1/3）ｎ（ｎ＋２）（ｎ＋４） 4） Σ（４ｋ²＋４ｋ＋１） ＝４Σｋ²＋４Σｋ＋Σ１ ＝（2/3）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋２ｎ（ｎ＋１）＋ｎ ＝（1/3）ｎ｛２（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋６（ｎ＋１）＋３｝ ＝（1/3）ｎ（４ｎ²＋６ｎ＋２＋６ｎ＋６＋３） ＝（1/3）ｎ（４ｎ²＋12ｎ＋11） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.11 階差数列 高校数学 👉ブログ TOP

入試問題の解き方 ７月になり、受験生は入試に向けて動き始めました。 高校入試の数学では、小問ごとのつながりで解き進める形になっていて、特に図形やグラフに関する問題では、前問の答えが後に続く問題を解くためのカギになっています。 合同の証明 問題 下の図は、平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＯとし、対角線ＢＤ上にＢＥ＝ＤＦとなる点Ｅ、Ｆをとったものである。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＥと△ＣＤＦが合同になることを証明しなさい。 2）∠ＡＥＤ＝90°、∠ＣＤＦ＝42°、∠ＤＡＥ＝62°のとき、∠ＢＣＤの大きさを求めなさい。 3）ＢＥ＝４cm、ＥＯ＝２cm、△ＡＢＥの面積が10cm²のとき、平行四辺形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＥと△ＣＤＦにおいて 仮定より、ＢＥ＝ＤＦ　① 平行四辺形の対辺は等しいから ＡＢ＝ＣＤ　② ＡＢ//ＤＣより、平行線の錯角は等しいから ∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ　③ ①、②、③より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＥ≡△ＣＤＦ 👉証明に続く問題は、証明の結果（△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ）を利用します。 2） △ＡＢＥ≡△ＣＤＦより ∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ＝42° ∠ＡＥＤ＝90°より、∠ＡＥＢ＝90° △ＡＢＥで ∠ＢＡＥ ＝180°－∠ＡＢＥ－∠ＡＥＢ ＝180°－42°－90° ＝48° ∠ＢＡＤ ＝∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＥ ＝48°＋62° ＝110° 平行四辺形の対角は等しいから ∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＤ＝110° よって、 ∠ＢＣＤ＝110° 3） △ＡＢＥと△ＡＯＥは高さが等しいから 底辺比が面積比になる ＢＥ：ＥＯ＝４：２＝２：１より △ＡＢＥ：△ＡＯＥ＝２：１ △ＡＢＥ＝10cm²だから 10：△ＡＯＥ＝２：１ △ＡＯＥ＝５cm² よって、 △ＡＯＢ ＝△ＡＢＥ＋△ＡＯＥ ＝10＋５＝15cm² △ＡＯＢと△ＡＯＤは高さが等しく、ＢＯ＝ＤＯだから △ＡＯＢ＝△ＡＯＤ＝15cm² よって、 △ＡＢＤ ＝△ＡＯＢ＋△ＡＯＤ＝30cm² △ＡＢＤ≡△ＣＤＢだから 平行四辺形ＡＢＣＤの面積は △ＡＢＤ＋△ＣＤＢ ＝30＋30＝60cm² 立体の体積 問題 下の図は、１辺の長さが６cmの立方体であり、点Ｐは辺ＢＦの中点である。あとの問いに答えなさい。 1）面ＡＢＦＥと垂直な辺を、次の中からすべて選びなさい。 ・辺ＡＤ　 ・辺ＤＨ ・辺ＧＨ ・辺ＦＧ 2）三角錐ＰＡＢＣの体積を求めなさい。 1） 面ＡＢＦＥと垂直な辺は、 辺ＡＤ、ＥＨ、ＢＣ、ＦＧ よって、 辺ＡＤ、辺ＦＧ 👉面と垂直な辺は立体の高さになる。この見方を使って、次の体積の問題を解きます。 2） 面ＡＢＦＥと垂直な辺はＢＣ 面ＡＢＦＥと同じ平面上にある△ＡＢＰを底面とすると、高さはＢＣになる。 △ＡＢＰにおいて ∠ＡＢＰ＝90°、ＢＰ＝３cmだから △ＡＢＰ ＝（1/2）×ＡＢ×ＢＰ ＝（1/2）×６×３ ＝９cm² よって、 三角錐ＰＡＢＣの体積は （1/3）×△ＡＢＰ×ＢＣ ＝（1/3）×９×６ ＝18cm³ グラフと図形の面積 問題 図１で、①は関数ｙ＝６/ｘ（ｘ＞０）のグラフ、②は関数ｙ＝ａｘのグラフである。点Ａは①、②の交点でｘ座標が３である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。 1）点Ａのｙ座標を求めなさい。 2）ａの値を求めなさい。 1） 点Ａはｙ＝６/ｘ上にあり、ｘ＝３だから ｙ＝６/３＝２ よって、２ 👉次の問題では、点Ａの座標（３，２）を使って解きます。 2） 直線②は、原点と（３，２）を通る。 ｘの増加量が３、ｙの増加量が２だから 傾きは２/３ よって、 ｙ＝（２/３）ｘ ※別解 点Ａはｙ＝ａｘ上にあり、ｘ＝３、ｙ＝２だから ２＝ａ×３ ａ＝２/３ よって、 ｙ＝（２/３）ｘ 図２は、図１に③をかき加えたもので、③は点Ａを通り、点Ｂでｙ軸と、点Ｃでｘ軸と交わる直線であり、点Ｂの座標は（０，８）である。このとき、あとの問いに答えなさい。 3）直線③の式を求めなさい。 4）△ＡＯＣの面積を求めなさい。 3） 直線③の式は、一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂ 切片ｂは、Ｂのｙ座標の８ ｙ＝ａｘ＋８とする Ａ（３，２）を通るから ２＝３ａ＋８ ａ＝－２ よって、 ｙ＝－２ｘ＋８ 👉次の問題では、求めた直線の式ｙ＝－２ｘ＋８を利用します。 4） △ＡＯＣの底辺をＯＣ、高さをＡからの垂線ＡＨとする。 点Ｃは③上にあり、ｙ＝０だから ０＝－２ｘ＋８ ｘ＝４ よって、 ＯＣ＝４－０＝４cm　※ 点Ａのｙ座標２だから ＡＨ＝２－０＝２cm したがって、 △ＡＯＣ ＝（1/2）×ＯＣ×ＡＨ ＝（1/2）×４×２ ＝４cm² ※グラフ上の辺の長さ 👉大きい値から小さい値を引く または、引いた差の絶対値 ０－４＝－４　絶対値４ 数の規則性 問題 下の図のように、１辺に同じ数ずつ碁石が並ぶような正三角形をつくる。表は１辺に並べた碁石の数と、図形をつくるのに必要な碁石の数の関係を表したものである。あとの問いに答えなさい。 1）１辺に６個ずつ碁石を並べて正三角形をつくるとき、必要な碁石の数を求めなさい。 2）１辺にｎ個ずつ碁石を並べて正三角形をつくるとき、必要な碁石の数を、ｎを使って表しなさい。ただし、ｎは２以上の整数とする。 3）１辺にｎ個ずつ碁石を並べて正ｍ角形をつくるとき、必要な碁石の数を、ｍ、ｎを使って表しなさい。ただし、ｎは２以上の整数とする。 4）１辺にｎ個ずつ碁石を並べて正十角形をつくると、必要な碁石の数は110個になった。このときのｎの値を求めなさい。 1） 辺が３つで、それぞれ６個ずつだから ３×６＝18 重なり合う頂点の３個分を引いて 18－３＝15 よって、15 個 👉規則性を見つけ、式をつくります。その式をもとに、以下の問題で応用します。 2） 辺が３つで、それぞれｎ個ずつだから ３×ｎ＝３ｎ 重なり合う頂点の３個分を引いて ３ｎ－３ よって、３ｎ－３ 個　※ ※ｎ＝１のとき０だから、ｎ≧２ 3） 辺がｍ本で、それぞれｎ個ずつだから ｍ×ｎ＝ｍｎ 重なり合う頂点のｍ個分を引いて ｍｎ－ｍ よって、ｍｎ－ｍ 個 4） ｍｎ－ｍ＝110 ｍ＝10のときだから 10ｎ－10＝110 10ｎ＝120 ｎ＝12 ※2）別解 １辺に並ぶ個数をｎ、全体の個数をｙとする。 ｎが１増加すると、ｙは３増加するから、一次関数ｙ＝ａｎ＋ｂの式になる。 表にすると ｎ　２　３　４ ｙ　３　６　９ 一次関数だから ｎ　　０　１　２　３　４ ｙ　－３　０　３　６　９ 傾きは、３/１＝３ 切片は、－３（ｘ＝０のときのｎ） よって、 ｙ＝３ｎ－３ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.10 入試問題の解き方 👉ブログ TOP

正四面体の高さと体積 高校数学 １学期の期末考査が終わり、高校生は学期末の模試に向けて対策を進めています。 高校数学では正弦定理と余弦定理の応用として、四面体の高さと体積を求める問題があります。外接円の半径や三角形の面積公式なども利用します。 問題 １辺の長さが３の正四面体ＯＡＢＣがあり、辺ＯＣ上にＯＤ＝１となる点Ｄを、辺ＯＢ上にＯＥ＝3/4となる点Ｅをとる。 1）△ＡＢＣの外接円の半径を求めよ。また、点Ｏから平面ＡＢＣに垂線を引き、平面ＡＢＣとの交点をＨとする。線分ＯＨの長さを求めよ。 2）四面体ＯＡＥＤの体積を求めよ。 3）cos∠ＡＥＤの値を求めよ。また、点Ｏから平面ＡＥＤに引いた垂線の長さを求めよ。 1） △ＡＢＣの外接円の半径 ∠ＢＡＣ＝60°、対辺ＢＣ＝３ 正弦定理 ２Ｒ＝ＢＣ/sinＡ　より ２Ｒ＝３/sin60° ２Ｒ＝３÷（√３/２） Ｒ＝３×（２/√３）×（１/２） ＝３/√３ ＝√３ 線分ＯＨ △ＯＡＨで、∠ＯＨＡ＝90°だから 三平方の定理より ＯＨ²＝ＯＡ²－ＡＨ² Ｒ＝√３より、ＡＨ＝√３ ＯＡ＝３だから ＯＨ²＝９－３＝６ ＯＨ＝√６（ＯＨ＞０） よって、 △ＡＢＣの外接円の半径　√３ 線分ＯＨ　√６ 2） 錐の頂点をＡとすると 正四面体の底面は△ＯＢＣ 四面体ＯＡＥＤの底面は、△ＯＢＣと同じ面にある△ＯＥＤ よって、 ２つの四面体の高さは同じ したがって、 底面の△ＯＢＣ：△ＯＥＤの面積比が、２つの四面体の体積比と同じになる。 △ＯＢＣの面積 ＯＢ＝ＯＣ＝３、∠ＢＯＣ＝60°だから Ｓ＝（1/2）・３・３sin60° ＝（1/2）・３・３・（√3/2） ＝９√３/４ △ＯＥＤの面積 ＯＤ＝１、ＯＥ＝3/4、∠ＥＯＤ＝60°だから Ｓ＝（1/2）・１・3/4・（√3/2） ＝３√３/16 △ＯＢＣ：△ＯＥＤ ＝９√３/４：３√３/16 ＝36√３：３√３ ＝12：１ 正四面体ＯＡＢＣの体積 底面△ＡＢＣ＝△ＯＢＣ＝９√３/４ 高さＯＨ＝√６ Ｖ₁＝（1/3）・（９√３/４）・√６ ＝９√２/４ 四面体ＯＡＥＤの体積をＶ₂とすると Ｖ₁：Ｖ₂＝12：１ ９√３/４：Ｖ₂＝12：１ Ｖ₂＝（９√２/４）×（1/12） ＝３√２/16 よって、求める体積は ３√２/16 3）cos∠ＡＥＤの値を求めよ。また、点Ｏから平面ＡＥＤに引いた垂線の長さを求めよ。 cos∠ＡＥＤの値 👉cos∠ＡＥＤを求めるために、△ＡＤＥの３辺の長さをそれぞれ求める。 △ＣＡＤにおいて ＣＡ＝３ ＣＤ＝ＯＣ－ＯＤ＝３－１＝２ ∠ＡＣＤ＝60°　だから 余弦定理より ＡＤ² ＝３²＋２²－２・３・２cos60° ＝９＋４－２・３・２・（1/2） ＝13－６＝７ ＡＤ＝√７（ＡＤ＞０） △ＢＡＥにおいて ＢＡ＝３ ＢＥ ＝ＯＢ－ＯＥ＝３－（3/4）＝9/4 ∠ＡＢＥ＝60°　だから 余弦定理より ＡＥ² ＝３²＋（9/4）²－２・３・（9/4）cos60° ＝９＋（81/16）－２・３・（9/4）・（1/2） ＝（225/16）－（108/16） ＝117/16 ＡＥ＝３√13/４（ＡＥ＞０） △ＯＤＥにおいて ＯＤ＝１、ＯＥ＝3/4 ∠ＤＯＥ＝60°だから 余弦定理より ＤＥ² ＝１²＋（3/4）²－２・１・（3/4）cos60° ＝１＋（9/16）－２・１・（3/4）・（1/2） ＝（25/16）－（12/16） ＝13/16 ＤＥ＝√13/４（ＤＥ＞０） △ＡＥＤにおいて cos∠ＡＥＤ ＝（ＡＥ²＋ＤＥ²－ＡＤ²）/２・ＡＥ・ＤＥ ＝｛（3√13/4）²＋（√13/4）²－（√7）²｝/２・（3√13/4）・（√13/4） ＝（117＋13－112）/78 ＝18/78 ＝3/13 よって、 cos∠ＡＥＤ＝3/13 点Ｏから平面ＡＥＤに引いた垂線の長さ 👉底面となる△ＡＥＤの面積と四面体ＯＡＥＤの体積（3√2/16）から、高さについての方程式をつくる。 sin²∠ＡＥＤ＝１－cos²∠ＡＥＤより sin²∠ＡＥＤ＝１－（9/169） ＝160/169 ０°＜∠ＡＥＤ＜180°より sin∠ＡＥＤ＝4√10/13 △ＡＥＤにおいて ＡＥ＝3√13/4、ＤＥ＝√13/4だから 面積は Ｓ＝（1/2）ＡＥ・ＤＥsin∠ＡＥＤ ＝（1/2）・（3√13/4）・（√13/4）・（4√10/13） ＝3√10/8 求める高さをｈとする （1/3）×（3√10/8）×ｈ＝3√2/16 （√10/8）ｈ＝3√2/16 （2√10）ｈ＝3√2 ｈ＝3√5/10 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.10 正四面体の高さと体積 高校数学 👉ブログ TOP

面積を文字で表す １学期も後半に入り、中高生はテスト対策を進めています。 １学期はどの学年も計算の基本からスタートしました。特に中学生は、文字式の対策として、文章や図形から式を立てる応用問題に取り組んでいます。 問題 下の図のように、１辺の長さがａcmの合同な正方形ＡＢＣＤ、ＤＥＦＧが重なっている。辺ＢＣ、辺ＥＦの交点Ｈとしたとき、ＢＨ＝ｂcmとなった。このとき、図のかげをつけた部分の面積をａ、ｂを用いて表しなさい。 ＤＨに補助線をひく △ＤＨＣと△ＤＨＥで ∠ＤＣＨ＝∠ＤＥＨ＝90° ＤＣ＝ＤＥ＝ａcm ＤＨ＝ＤＨ（共通） よって、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいから △ＤＨＣ≡△ＤＨＥ △ＤＨＣ ＝（1/2）×ＣＨ×ＤＣ ＝（1/2）（ａ－ｂ）×ａ 四角形ＤＣＨＥはこの２つ分だから ２×（1/2）（ａ－ｂ）×ａ ＝ａ²－ａｂ（cm²） かげをつけた面積は、 正方形ＡＢＣＤから四角形ＤＣＨＥをひいた面積だから ａ²－（ａ²－ａｂ） ＝ａｂ（cm²） 問題 おうぎ形の半径をｒ、中心角をａ°とすると、弧の長さをℓ、面積Ｓは、それぞれ次のように表せる。 ℓ＝２πｒ×（ａ/360） Ｓ＝πｒ²×（ａ/360） この２つの式から、おうぎ形の面積Ｓは、Ｓ＝（1/2）ℓｒと表せることを示しなさい。 Ｓ＝（1/2）ℓｒ　より Ｓ＝ℓ×（1/2）ｒ ℓ＝２πｒ×（ａ/360）だから Ｓ＝２πｒ×（ａ/360）×（1/2）ｒ ＝πｒ²×（ａ/360） よって、 Ｓ＝（1/2）ℓｒ 問題 下の長方形ＡＢＣＤを、辺ＣＤを軸として１回転させてできる円柱をＰ、辺ＢＣを軸として１回転させてできる円柱をＱとする。Ｐ、Ｑの側面積の関係について説明しなさい。 円柱の側面は長方形 縦の長さは、円柱の高さ 横の長さは、底面の円周の長さ 円柱Ｐの側面積は ｘ×２πｙ＝２πｘｙ cm²　① 円柱Ｑの側面積は ｙ×２πｘ＝２πｘｙ cm²　② ①、②より ＰとＱの側面積は等しい 問題 下の図のような、１辺が２ａcmの正方形に、アは円が１つ、イは半径の等しい円が４つ、それぞれ接している。色のついた円の部分の面積は、ア、イのどちらが大きいか、または同じと考えられるかを答え、理由も説明しなさい。 アの半径は、２ａcmの半分のａcm アの面積は、πａ² cm²　① イの円１つ分の半径は、ａcmの半分の（1/2）ａcm 円１つ分の面積は、（1/4）πａ² cm² ４つ分だから ４×（1/4）πａ²＝πａ² cm²　② ①、②より どちらも同じ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.9 面積を文字で表す 👉ブログ TOP

２次不等式 練習問題 ２次不等式では、２次方程式の解からｘの範囲を求めます。重解や虚数解（実数解なし）の場合には、不等式の解の一覧表を暗記する前に、作図によって、放物線とｘ軸との関係から解の範囲を具体的にイメージする学習を心がけます。 問題 次の２次不等式を解け。 1）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０ 2）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０ 3）ｘ²－３ｘ－10≦０ 1） （ｘ＋１）（ｘ－２）＞０ ｘ＜－１、ｘ＞２ 2） （ｘ＋１）（ｘ－２）＜０ －１＜ｘ＜２ 3） ｘ²－３ｘ－10≦０ （ｘ－５）（ｘ＋２）≦０ －２≦ｘ≦５ 問題 次の２次不等式を解け。 1）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＜０ 2）（２ｘ＋１）（３ｘ－５）＞０ 3）ｘ²－２ｘ＜０ 4）ｘ²＋６ｘ＋８≧０ 5）ｘ²＞９ 6）ｘ²＋ｘ≦６ 1） （ｘ＋２）（ｘ＋３）＜０ －３＜ｘ＜－２ 2） （２ｘ＋１）（３ｘ－５）＞０ ｘ＜－1/2、ｘ＞5/3 3） ｘ²－２ｘ＜０ ｘ（ｘ－２）＜０ ０＜ｘ＜２ 4） ｘ²＋６ｘ＋８≧０ （ｘ＋２）（ｘ＋４）≧０ ｘ≦－４、ｘ≧－２ 5） ｘ²＞９ （ｘ＋３）（ｘ－３）＞０ ｘ＜－３、ｘ＞３ 6） ｘ²＋ｘ≦６ ｘ²＋ｘ－６≦０ （ｘ＋３）（ｘ－２）≦０ －３≦ｘ≦２ 問題 次の２次不等式を解け。 1）２ｘ²－５ｘ＋２＜０ 2）－４ｘ²＋４ｘ＋１≦０ 1） ２ｘ²－５ｘ＋２＜０ ２　－１　－１ 　× １　－２　－４ 　　　　　－５ （２ｘ－１）（ｘ－２）＜０ 1/2＜ｘ＜２ 2） －４ｘ²＋４ｘ＋１≦０ ４ｘ²－４ｘ－１≧０ ４ｘ²－４ｘ－１＝０とする ｘ＝（２±２√２）/４ 　＝（１±√２）/２ よって、 ｘ≦（１－√２）/２、ｘ≧（１＋√２）/２ 問題 次の２次不等式を解け。 1） ３ｘ²＋10ｘ－８＞０ 2） ６ｘ²＋ｘ－12≦０ 3） ５ｘ²＋６ｘ－１≧０ 4） ２（ｘ＋２）（ｘ－２）≦（ｘ＋１）² 5） －ｘ²＋３ｘ＋２＞０ 1） ３ｘ²＋10ｘ－８＞０ ３　－２　－２ 　× １　　４　　12 　　　　　＋10 （３ｘ－２）（ｘ＋４）＞０ ｘ＜－４、ｘ＞2/3 2） ６ｘ²＋ｘ－12≦０ ３　－４　－８ 　× ２　　３　　９ 　　　　　＋１ （３ｘ－４）（２ｘ＋３）≦０ －3/2≦ｘ≦4/3 3） ５ｘ²＋６ｘ－１≧０ ５ｘ²＋６ｘ－１＝０とする ｘ＝（－３±√14）/５ よって、 ｘ≦（－３－√14）/５、ｘ≧（－３＋√14）/５ 4） ２（ｘ＋２）（ｘ－２）≦（ｘ＋１）² ２ｘ²－８－ｘ²－２ｘ－１≦０ ｘ²－２ｘ－９≦０ ｘ²－２ｘ－９＝０とする ｘ＝１±√10 よって、 １－√10≦ｘ≦１＋√10 5） －ｘ²＋３ｘ＋２＞０ ｘ²－３ｘ－２＜０ ｘ²－３ｘ－２＝０とする ｘ＝（３±√17）/２ よって、 （３－√17）/２＜ｘ＜（３＋√17）/２ 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²－８ｘ＋16＞０ 2）ｘ²－８ｘ＋16＜０ 3）ｘ²－８ｘ＋16≧０ 4）ｘ²－８ｘ＋16≦０ 1） ｘ²－８ｘ＋16＞０ （ｘ－４）²＞０ ｘ≠４のすべての実数 👉ｘ＜４、ｘ＞４ 　４を含まない数直線上のすべての値 2） ｘ²－８ｘ＋16＜０ （ｘ－４）²＜０ 解なし 👉２乗した数が０未満になることはない 3） ｘ²－８ｘ＋16≧０ （ｘ－４）²≧０ すべての実数 👉２乗した数は０以上になる 4） ｘ²－８ｘ＋16≦０ （ｘ－４）²≦０ ｘ＝４ 👉ｘ＝４以外は成り立たない 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²＋２ｘ＋１＞０ 2）ｘ²＋４ｘ＋４≧０ 3）（1/4）ｘ²－ｘ＋１＜０ 4）－９ｘ²＋12ｘ－４≧０ 1） ｘ²＋２ｘ＋１＞０ （ｘ＋１）²＞０ ｘ≠－１のすべての実数 2） ｘ²＋４ｘ＋４≧０ （ｘ＋２）²≧０ すべての実数 3） （1/4）ｘ²－ｘ＋１＜０ ｛（1/2）ｘ－１｝²＜０ 解なし 4） －９ｘ²＋12ｘ－４≧０ ９ｘ²－12ｘ＋４≦０ （３ｘ－２）²≦０ ｘ＝2/3 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²＋４ｘ＋６＞０ 2）ｘ²＋４ｘ＋６＜０ 3）ｘ²＋４ｘ＋６≧０ 4）ｘ²＋４ｘ＋６≦０ 1） ｘ²＋４ｘ＋６＞０ ｘ²＋４ｘ＋６ ＝（ｘ＋２）²＋２＞０ ｘ²＋４ｘ＋６＞０が常に成り立つから すべての実数 2） ｘ²＋４ｘ＋６＜０ ｘ²＋４ｘ＋６ ＝（ｘ＋２）²＋２＞０ ｘ²＋４ｘ＋６＜０が成り立たないから 解なし 3） ｘ²＋４ｘ＋６≧０ ｘ²＋４ｘ＋６ ＝（ｘ＋２）²＋２＞０ ｘ²＋４ｘ＋６≧０が常に成り立つから すべての実数 4） ｘ²＋４ｘ＋６≦０ ｘ²＋４ｘ＋６ ＝（ｘ＋２）²＋２＞０ ｘ²＋４ｘ＋６≦０が成り立たないから 解なし 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²－４ｘ＋５＜０ 2）２ｘ²－８ｘ＋13＞０ 3）３ｘ²－６ｘ＋６≦０ 4）ｘ²＋３≧０ 1） ｘ²－４ｘ＋５＜０ ｘ²－４ｘ＋５ ＝（ｘ－２）²＋１＞０ ｘ²－４ｘ＋５＜０が成り立たないから 解なし 2） ２ｘ²－８ｘ＋13＞０ ２ｘ²－８ｘ＋13 ＝２（ｘ²－４ｘ）＋13 ＝２｛（ｘ－２）²－４｝＋13 ＝２（ｘ－２）²＋５＞０ ２ｘ²－８ｘ＋13＞０が常に成り立つから すべての実数 3） ３ｘ²－６ｘ＋６≦０ ３ｘ²－６ｘ＋６ ＝３（ｘ²－２ｘ）＋６ ＝３｛（ｘ－１）²－１｝＋６ ＝３（ｘ－１）²＋３＞０ ３ｘ²－６ｘ＋６≦０が成り立たないから 解なし 4） ｘ²＋３≧０ 常に成り立つから すべての実数 問題 ２次方程式ｘ²＋２ｍｘ－ｍ＋２＝０の解が次のようなとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 1）異なる２つの実数解をもつ 2）実数解をもつ 3）実数解をもたない 1） 判別式をＤとする Ｄ/４＝ｍ²＋ｍ－２ Ｄ＞０だから ｍ²＋ｍ－２＞０ （ｍ＋２）（ｍ－１）＞０ ｍ＜－２、ｍ＞１ 2） 重解を含むからＤ≧０ （ｍ＋２）（ｍ－１）≧０ ｍ≦－２、ｍ≧１ 3） Ｄ＜０だから （ｍ＋２）（ｍ－１）＜０ －２＜ｍ＜１ 問題 ２次方程式ｘ²＋ｍｘ＋９＝０の解が次のようなとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 1）異なる２つの実数解をもつ 2）実数解をもつ 3）実数解をもたない 1） 判別式をＤとする Ｄ＝ｍ²－36 Ｄ＞０だから ｍ²－36＞０ （ｍ＋６）（ｍ－６）＞０ ｍ＜－６、ｍ＞６ 2） Ｄ≧０だから （ｍ＋６）（ｍ－６）≧０ ｍ≦－６、ｍ≧６ 3） Ｄ＜０だから （ｍ＋６）（ｍ－６）＜０ －６＜ｍ＜６ 問題 すべての実数ｘについて、次の２次不等式が成り立つような定数ｍの値の範囲を求めよ。 1）ｘ²＋ｍｘ＋３ｍ－５＞０ 2）ｍｘ²＋４ｘ－２＜０ 1） ｘ²＋ｍｘ＋３ｍ－５＞０ ｛ｘ＋（ｍ/２）｝²－（ｍ²/４）＋３ｍ－５＞０ よって、 －（ｍ²/４）＋３ｍ－５＞０ ｍ²－12ｍ＋20＜０ （ｍ－２）（ｍ－10）＜０ ２＜ｍ＜10 2） ｍｘ²＋４ｘ－２＜０ ｙ＝ｍｘ²＋４ｘ－２とする ｙ＜０だから、 放物線は上に凸で、ｘ軸と共有点をもたない。 よって、 ｍ＜０　① ｍｘ²＋４ｘ－２＝０の判別式Ｄ＜０ Ｄ/４＝４＋２ｍ＜０ ２ｍ＜－４ ｍ＜－２　② ①、②より ｍ＜－２ 問題 次の２次不等式が、常に成り立つような定数ｍの値の範囲を求めよ。 1） ｘ²＋２（ｍ＋１）ｘ＋２（ｍ²－１）＞０ 2） ｍｘ²＋３ｍｘ＋ｍ－１＜０ 1） ｘ²＋２（ｍ＋１）ｘ＋２（ｍ²－１）＞０ ｛ｘ＋（ｍ＋１）｝²－（ｍ＋１）²＋２（ｍ²－１）＞０ よって、 －（ｍ＋１）²＋２（ｍ²－１）＞０ －ｍ²－２ｍ－１＋２ｍ²－２＞０ ｍ²－２ｍ－３＞０ （ｍ－３）（ｍ＋１）＞０ ｍ＜－１、ｍ＞３ 2） ｍｘ²＋３ｍｘ＋ｍ－１＜０ ｙ＝ｍｘ²＋３ｍｘ＋ｍ－１とする ｙ＜０だから、 放物線は上に凸で、ｘ軸と共有点をもたない。 よって、 ｍ＜０　① ｍｘ²＋３ｍｘ＋ｍ－１＝０の判別式Ｄ＜０ Ｄ＝９ｍ²－４ｍ²＋４ｍ ＝５ｍ²＋４ｍ＜０ ｍ（５ｍ＋４）＜０ －4/5＜ｍ＜０　② ①、②より －4/5＜ｍ＜０ 問題 次の不等式を解け。 1） ｘ²＋３ｘ＋２＞０ ｘ²＋２ｘ－３＜０ 2） ２ｘ－３＜ｘ²－４ｘ≦４ｘ－７ 1） ｘ²＋３ｘ＋２＞０　① ｘ²＋２ｘ－３＜０　② ①より （ｘ＋１）（ｘ＋２）＞０ ｘ＜－２、ｘ＞－１　③ ②より （ｘ＋３）（ｘ－１）＜０ －３＜ｘ＜１　④ ③、④より －３＜ｘ＜－２ －１＜ｘ＜１ 2） ２ｘ－３＜ｘ²－４ｘ≦４ｘ－７ ２ｘ－３＜ｘ²－４ｘ　① ｘ²－４ｘ≦４ｘ－７　② ①より ｘ²－６ｘ＋３＞０ ｘ²－６ｘ＋３＝０とする ｘ＝３±√６ よって、 ｘ＜３－√６、ｘ＞３＋√６　③ ②より ｘ²－８ｘ＋７≦０ （ｘ－１）（ｘ－７）≦０ １≦ｘ≦７　④ ③、④より ３＋√６＜ｘ≦７ 問題 次の不等式を解け。 1） ｘ²－２ｘ－８＜０ ｘ²－ｘ－２＞０ 2） ｘ²＋２ｘ＋１＞０ ｘ²－ｘ－６＜０ 3） ２ｘ²＋５ｘ≦３ ３（ｘ²－１）＜１－11ｘ 4） ２－ｘ＜ｘ²＜ｘ＋３ 1） ｘ²－２ｘ－８＜０　① ｘ²－ｘ－２＞０　② ①より （ｘ－４）（ｘ＋２）＜０ －２＜ｘ＜４　③ ②より （ｘ－２）（ｘ＋１）＞０ ｘ＜－１、ｘ＞２　④ ③、④より －２＜ｘ＜－１ ２＜ｘ＜４ 2） ｘ²＋２ｘ＋１＞０　① ｘ²－ｘ－６＜０　② ①より （ｘ＋１）²＞０ ｘ≠－１のすべての実数　③ ※ｘ＜－１、ｘ＞－１ ②より （ｘ－３）（ｘ＋２）＜０ －２＜ｘ＜３　④ ③、④より －２＜ｘ＜－１ －１＜ｘ＜３ 3） ２ｘ²＋５ｘ≦３　① ３（ｘ²－１）＜１－11ｘ　② ①より ２ｘ²＋５ｘ－３≦０ ２　－１　－１ 　× １　　３　　６ 　　　　　＋５ （２ｘ－１）（ｘ＋３）≦０ －３≦ｘ≦1/2　③ ②より ３ｘ²－３－１＋11ｘ＜０ ３ｘ²＋11ｘ－４＜０ ３　－１　－１ 　× １　　４　　12 　　　　　＋11 （３ｘ－１）（ｘ＋４）＜０ －４＜ｘ＜1/3　④ ③、④より －３≦ｘ＜1/3 4） ２－ｘ＜ｘ²＜ｘ＋３ ２－ｘ＜ｘ²　① ｘ²＜ｘ＋３　② ①より ｘ²＋ｘ－２＞０ （ｘ＋２）（ｘ－１）＞０ ｘ＜－２、ｘ＞１　③ ②より ｘ²－ｘ－３＜０ ｘ²－ｘ－３＝０とする ｘ＝（１±√13）/２ よって、 （１－√13）/２＜ｘ＜（１＋√13）/２　④ ③、④より １＜ｘ＜（１＋√13）/２ 問題 次のｘについての不等式を解け。ただし、ａは定数とする。 1） ｘ²－（ａ＋２）ｘ＋２ａ＜０ 2） ｘ²－２ａｘ－３ａ²＜０ 1） ｘ²－（ａ＋２）ｘ＋２ａ＜０ （ｘ－ａ）（ｘ－２）＜０ ａ＜２のとき、ａ＜ｘ＜２ （ｘ－２）²＜０より ａ＝２のとき、解なし ａ＞２のとき、２＜ｘ＜ａ 2） ｘ²－２ａｘ－３ａ²＜０ （ｘ－３ａ）（ｘ＋ａ）＜０ ３ａ＜－ａ すなわち ａ＜０のとき ３ａ＜ｘ＜－ａ ３ａ＝－ａ すなわち ａ＝０のとき 解なし ３ａ＞－ａ すなわち ａ＞０のとき －ａ＜ｘ＜３ａ 問題 ２次不等式ａｘ²＋ｂｘ＋４＞０の解が－1/2＜ｘ＜４となるように、定数ａ、ｂの値を定めよ。 －1/2＜ｘ＜４　より ｛ｘ＋（1/2）｝（ｘ－４）＜０ ｘ²－（7/2）ｘ－２＜０ 両辺×（－２） －２ｘ²＋７ｘ＋４＞０ よって、 ａ＝－２、ｂ＝７ 問題 次の条件を満たすように、定数ａ、ｂの値を定めよ。 1）２次不等式ｘ²＋ａｘ＋ｂ＜０の解が－1/2＜ｘ＜３である。 2）２次不等式ａｘ²＋ｘ＋ｂ≦０の解がｘ≦－１、２≦ｘである。 1） ｛ｘ＋（1/2）｝（ｘ－３）＜０ ｘ²－（5/2）ｘ－（3/2）＜０ よって、 ａ＝－5/2、ｂ＝－3/2 2） （ｘ＋１）（ｘ－２）≧０ ｘ²－ｘ－２≧０ －ｘ²＋ｘ＋２≦０ よって、 ａ＝－１、ｂ＝２ 問題 ０≦ｘ≦２の範囲において、常にｘ²－２ａｘ＋３ａ＞０が成り立つように、定数ａの値の範囲を定めよ。 ｙ＝ｘ²－２ａｘ＋３ａとする ｙ＝ｘ²－２ａｘ＋３ａ ＝（ｘ－ａ）²－ａ²＋３ａ 下に凸、軸ｘ＝ａ 頂点（ａ，－ａ²＋３ａ） 軸が定義域の左側 ａ＜０のとき ｘ＝０を代入して ３ａ＞０ ａ＜０だから不適 軸が定義域の内側 ０≦ａ≦２のとき 頂点のｙ座標が最小値をとり、かつｙ＞０ ｘ＝ａを代入して －ａ²＋３ａ＞０ ａ²－３ａ＜０ ａ（ａ－３）＜０ ０＜ａ＜３ ａ≠０だから ０＜ａ≦２　① 軸が定義域の右側 ａ＞２のとき ｘ＝２を代入して （２－ａ）²－ａ²＋３ａ＞０ ４－４ａ＋ａ²－ａ²＋３ａ＞０ －ａ＞－４ ａ＜４ よって、 ２＜ａ＜４　② ①、②より ０＜ａ＜４ 問題 1）ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ａｘ－ａ＋６について、すべての実数ｘに対してｆ（ｘ）＞０となる定数ａの値の範囲を求めよ。 2）－１≦ｘ≦１で常にｆ（ｘ）≧０となるａの値の範囲を求めよ。 1） ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ａｘ－ａ＋６ ＝（ｘ－ａ）²－ａ²－ａ＋６ ｆ（ｘ）＞０より －ａ²－ａ＋６＞０ ａ²＋ａ－６＜０ （ａ＋３）（ａ－２）＜０ －３＜ａ＜２ 2） ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）²－ａ²－ａ＋６ 下に凸、軸ｘ＝ａ 頂点（ａ，－ａ²－ａ＋６） 軸が定義域の左側 ａ＜－１のとき ｆ（－１） ＝１＋２ａ－ａ＋６ ＝ａ＋７≧０ ａ≧－７ よって、 －７≦ａ＜－１　① 軸が定義域の内側 －１≦ａ≦１のとき 頂点のｙ座標が最小値をとり、かつｙ≧０ ｘ＝ａを代入して －ａ²－ａ＋６≧０ ａ²＋ａ－６≦０ （ａ＋３）（ａ－２）≦０ －３≦ａ≦２ よって、 －１≦ａ≦１　② 軸が定義域の右側 ａ＞１のとき ｆ（１） ＝１－２ａ－ａ＋６ ＝－３ａ＋７≧０ １＜ａ≦7/3　③ ①、②、③より －７≦ａ≦7/3 問題 放物線ｙ＝ｘ²－８ａｘ－８ａ＋24がｘ軸の正の部分と異なる２点で交わるように、定数ａの値の範囲を定めよ。 放物線は下に凸だから ・軸が０より大きい（ｙ軸の右にある） ・ｙ切片が０より大きい ・頂点のｙ座標が０より小さい ｙ＝ｘ²－８ａｘ－８ａ＋24 ＝（ｘ－４ａ）²－16ａ²－８ａ＋24 軸はｘ＝４ａ ４ａ＞０ ａ＞０　① ｙ切片は－８ａ＋24 －８ａ＋24＞０ ａ＜３　② 頂点のｙ座標は－16ａ²－８ａ＋24 －16ａ²－８ａ＋24＜０ ２ａ²＋ａ－３＞０ ２　　３　　３ 　× １　－１　－２ 　　　　　＋１ （２ａ＋３）（ａ－１）＞０ ａ＜－3/2、ａ＞１　③ ①、②、③より １＜ａ＜３ 問題 ２次方程式ｘ²－（ａ－４）ｘ＋ａ－１＝０が次の条件を満たすように、定数ａの値の範囲を定めよ。 1）異なる２つの負の解をもつ。 2）正の解と負の解をもつ。 1） ｙ＝ｘ²－（ａ－４）ｘ＋ａ－１とする ｙ＝｛ｘ－（1/2）（ａ－４）｝²－（1/4）（ａ－４）²＋ａ－１ 放物線は下に凸だから ・軸が０より小さい（ｙ軸の左側） ・ｙ切片は０より大きい ・頂点のｙ座標が０より小さい 軸は（1/2）（ａ－４） （1/2）（ａ－４）＜０ ａ－４＜０ ａ＜４　① ｙ切片はａ－１ ａ－１＞０ ａ＞１　② 頂点は－（1/4）（ａ－４）²＋ａ－１ －（1/4）（ａ－４）²＋ａ－１＜０ （ａ－４）²－４ａ＋４＞０ ａ²－８ａ＋16－４ａ＋４＞０ ａ²－12ａ＋20＞０ （ａ－２）（ａ－10）＞０ ａ＜２、ａ＞10　③ ①、②、③より １＜ａ＜２ 👉判別式の異なる２つの実数解は、③で判明している。 2） ｙ切片が０より小さいときだから ａ－１＜０ ａ＜１ 問題 次の条件を満たすような定数ｍの値の範囲を、それぞれ求めよ。 1）２次方程式ｘ²－（ｍ－１）ｘ＋ｍ²＝０が実数解をもつ。 2）２次不等式ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＋２＜０が解をもつ。 3）２次関数ｙ＝－ｘ²＋２ｍｘ－２ｍ²＋ｍ＋６が負の値しかとらない。 1） ｘ²－（ｍ－１）ｘ＋ｍ²＝０ Ｄ＝（ｍ－１）²－４ｍ² ＝ｍ²－２ｍ＋１－４ｍ² ＝－３ｍ²－２ｍ＋１ Ｄ≧０だから －３ｍ²－２ｍ＋１≧０ ３ｍ²＋２ｍ－１≦０ ３　－１　－１ 　× １　　１　　３ 　　　　　＋２ （３ｍ－１）（ｍ＋１）≦０ －１≦ｍ≦1/3 2） ｘ²＋ｍｘ＋ｍ＋２ ＝｛ｘ＋（1/2）ｍ｝²－（1/4）ｍ²＋ｍ＋２ となるから、 －（1/4）ｍ²＋ｍ＋２＜０ ｍ²－４ｍ－８＞０ ｍ²－４ｍ－８＝０とする ｍ＝２±２√３ ｍ＜２－２√３、ｍ＞２＋２√３ 3） ｙ＝－ｘ²＋２ｍｘ－２ｍ²＋ｍ＋６ ＝－（ｘ²－２ｍｘ）－２ｍ²＋ｍ＋６ ＝－｛（ｘ－ｍ）²－ｍ²｝－２ｍ²＋ｍ＋６ ＝－（ｘ－ｍ）²＋ｍ²－２ｍ²＋ｍ＋６ ＝－（ｘ－ｍ）²－ｍ²＋ｍ＋６ 上に凸、頂点（ｍ，－ｍ²＋ｍ＋６） 頂点のｙ座標が常に０より小さいときだから －ｍ²＋ｍ＋６＜０ ｍ²－ｍ－６＞０ （ｍ－３）（ｍ＋２）＞０ ｍ＜－２、ｍ＞３ 問題 ｋは０でない定数とする。不等式ｋｘ²＋（２ｋ－３）ｘ＋２ｋ－１≧０がすべての実数ｘに対して成り立つようなｋの値の範囲を求めよ。 ｙ＝ｋｘ²＋（２ｋ－３）ｘ＋２ｋ－１ 下に凸で、頂点がｘ軸に接するとき、または頂点のｙ座標が０より大きいとき。 ※ｘ軸と１点を共有するとき、まったく共有しないとき。 よって、 ｋ＞０、Ｄ≦０ ｋｘ²＋（２ｋ－３）ｘ＋２ｋ－１＝０ Ｄ＝（２ｋ－３）²－４ｋ（２ｋ－１） ＝４ｋ²－12ｋ＋９－８ｋ²＋４ｋ ＝－４ｋ²－８ｋ＋９≦０ ４ｋ²＋８ｋ－９≧０ ４ｋ²＋８ｋ－９＝０とする ｋ＝（－４±２√13）/４ ＝（－２±√13）/２ よって、 ｋ≦（－２－√13）/２、ｋ≧（－２＋√13）/２ ｋ＞０との共通範囲だから ｋ≧（－２＋√13）/２ 問題 1） 不等式－１＜ｘ²－６ｘ＋７≦０を解け。 2） 次の連立不等式を解け。 ｜ｘ＋１｜＜3/2 ｘ²－２ｘ－３＞０ 3） 次の連立不等式を満たす整数ｘをすべて求めよ。 ２ｘ²＜７ｘ＋４ ｘ²＋１≧３ｘ 1） ｘ²－６ｘ＋７＞－１　より ｘ²－６ｘ＋８＞０ （ｘ－２）（ｘ－４）＞０ ｘ＜２、ｘ＞４　① ｘ²－６ｘ＋７≦０　より ｘ²－６ｘ＋７＝０とする ｘ＝３±√２ よって、 ３－√２≦ｘ≦３＋√２　② ①、②より ３－√２≦ｘ＜２ ４＜ｘ≦３＋√２ 2） ｜ｘ＋１｜＜3/2　より ｘ＋１≧０　すなわちｘ≧－１のとき ｘ＋１＜3/2 ｘ＜1/2 よって、 －１≦ｘ＜1/2　① ｘ＋１＜０　すなわちｘ＜－１のとき －（ｘ＋１）＜3/2 ｘ＋１＞－3/2 ｘ＞－5/2 よって、 －5/2＜ｘ＜－１　② ①、②より －5/2＜ｘ＜1/2　③ ｘ²－２ｘ－３＞０　より （ｘ－３）（ｘ＋１）＞０ ｘ＜－１、ｘ＞３　④ ③、④より －5/2＜ｘ＜－１ 3） ２ｘ²＜７ｘ＋４　より ２ｘ²－７ｘ－４＜０ ２　　１　　１ 　× １　－４　－８ 　　　　　－７ （２ｘ＋１）（ｘ－４）＜０ －1/2＜ｘ＜４　① ｘ²＋１≧３ｘ　より ｘ²－３ｘ＋１≧０ ｘ²－３ｘ＋１＝０とする ｘ＝（３±√５）/２ よって、 ｘ≦（３－√５）/２、ｘ≧（３＋√５）/２　② －1/2＜（３－√５）/２ （３＋√５）/２＜４　だから －1/2＜ｘ≦（３－√５）/２　③ （３＋√５）/２≦ｘ＜４　④ ③を満たす整数は、０ ④を満たす整数は、３ よって、０と３ 問題 ｘの不等式ｘ²＋２ｘ－８＞０、ｘ²－（ａ＋３）ｘ＋３ａ＜０を同時に満たす整数ｘが３つあるとき、定数ａの値の範囲を求めよ。 ｘ²＋２ｘ－８＞０　より （ｘ＋４）（ｘ－２）＞０ ｘ＜－４、ｘ＞２　① ｘ²－（ａ＋３）ｘ＋３ａ＜０　より （ｘ－ａ）（ｘ－３）＜０ ａ＜３のとき ａ＜ｘ＜３　② ａ＝３のとき ｘ²－６ｘ＋９＜０ （ｘ－３）²＜０ 満たす整数なし ａ＞３のとき ３＜ｘ＜ａ　③ ①、②より ２＜ｘ＜３のとき、満たす整数なし ｘ＜－４を満たす整数は大きい順に －５，－６，－７，－８，... ｘ＝－８は含まないから －８≦ａ＜－７ ①、③より ３＜ｘ＜ａ ３＜ｘを満たす整数は小さい順に ４，５，６，７，... ｘ＝７は含まないから ６＜ａ≦７ よって、 －８≦ａ＜－７、６＜ａ≦７ 問題 ａを定数とする関数ｆ（ｘ）＝ｘ²＋２ｘ－ａ²＋５について、次が成り立つようなａの値の範囲をそれぞれ求めよ。 1）すべてのｘについて、ｆ（ｘ）＞０である。 2）ｘ≧０を満たすすべてのｘについて、ｆ（ｘ）＞０である。 3）ａ≦ｘ≦ａ＋１を満たすすべてのｘについて、ｆ（ｘ）≦０である。 1） ｘ軸と共有点をもたないから ｘ²＋２ｘ－ａ²＋５＝０は、Ｄ＜０ Ｄ/４＝１＋ａ²－５ ＝ａ²－４＜０ （ａ＋２）（ａ－２）＜０ －２＜ａ＜２ 2） ｆ（ｘ）＝ｘ²＋２ｘ－ａ²＋５ ＝（ｘ＋１）²－ａ²＋４ 軸はｘ＝－１だから ｘ≧０において、ｘ＝０のときに最小 よって、ｆ（０）＞０ ｆ（０）＝－ａ²＋５＞０ ａ²－５＜０ （ａ＋√５）（ａ－√５）＜０ －√５＜ａ＜√５ 3） ｆ（ａ）≦０かつｆ（ａ＋１）≦０ ｆ（ａ）＝ａ²＋２ａ－ａ²＋５ ＝２ａ＋５≦０ ａ≦－5/2　① ｆ（ａ＋１） ＝（ａ＋２）²－ａ²＋４ ＝ａ²＋４ａ＋４－ａ²＋４ ＝４ａ＋８≦０ ａ≦－２　② ①、②より ａ≦－5/2 問題 1）方程式ａｘ²＋（ａ＋７）ｘ＋２ａ－７＝０が異なる２つの実数解をもつような定数ａの値の範囲を求めよ。 2）異なる２つの実数解がともに、－３＜ｘ＜３の範囲にあるような定数ａの値の範囲を求めよ。 1） ａ＝０のとき１次方程式となるから ａ≠０　① 判別式をＤとする Ｄ＝（ａ＋７）²－４ａ（２ａ－７） ＝ａ²＋14ａ＋49－８ａ²＋28ａ ＝－７ａ²＋42ａ＋49 Ｄ＞０より －７ａ²＋42ａ＋49＞０ ａ²－６ａ－７＜０ （ａ－７）（ａ＋１）＜０　② ①、②より －１＜ａ＜０ ０＜ａ＜７ 2） 放物線が下に凸のとき ａ＞０のとき 異なる実数解をもつから －１＜ａ＜０、０＜ａ＜７　① ｙ＝ａｘ²＋（ａ＋７）ｘ＋２ａ－７とする ｘ＝－３のとき、ｙ＞０だから ｙ＝９ａ－３ａ－21＋２ａ－７ ＝８ａ－28＞０ ａ＞7/2　② ｘ＝３のとき、ｙ＞０だから ｙ＝９ａ＋３ａ＋21＋２ａ－７ ＝14ａ＋14＞０ ａ＞－１　③ 軸は、ｘ＝－（ａ＋７）/２ａ －３＜－（ａ＋７）/２ａ＜３　だから －６ａ＜－（ａ＋７）＜６ａ －６ａ＜－（ａ＋７）　より ６ａ＞ａ＋７ ５ａ＞７ ａ＞7/5 －（ａ＋７）＜６ａ　より －ａ－７＜６ａ －７ａ＜７ ａ＞－１ よって、ａ＞7/5　④ ①、②、③、④より 7/2＜ａ＜７ 放物線が上に凸のとき ａ＜０のとき －１＜ａ＜０ ｘ＝３のとき、ｙ＜０だから 14ａ＋14＜０ ａ＜－１となり不適 よって、 7/2＜ａ＜７ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.9 ２次不等式 練習問題 👉ブログ TOP

分数をふくむ多項式 ７月になりました。当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。 分数をふくむ多項式では、通分や約分のほか、分配法則を使います。割り算がある場合は、逆数のかけ算にして解くなど、小学算数の内容が土台になります。 問題 次の計算をしなさい。 1） 　　　５　　７ －48（━ｘ－━） 　　　８　　12 2） 　３　　９ （━ｘ－━）÷（－３） 　５　　４ 3） 　10　　５　　　 ５ （━ｘ－━）÷（－━） 　９　　12　　　 ６ 1） 　　　５　　７ －48（━ｘ－━） 　　　８　　12 ＝－６×５ｘ－４×（－７） ＝－30ｘ＋28 2） 　３　　９ （━ｘ－━）÷（－３） 　５　　４ 　　３　　９　　　 １ ＝（━ｘ－━）×（－━） 　　５　　４　　　 ３ 　　１　　３ ＝－━ｘ＋━ 　　５　　４ 3） 　10　　５　　　 ５ （━ｘ－━）÷（－━） 　９　　12　　　 ６ 　　10　　５　　　 ６ ＝（━ｘ－━）×（－━） 　　９　　12　　　 ５ 　　４　　１ ＝－━ｘ＋━ 　　３　　２ 問題 次の計算をしなさい。 1） ３ｘ－２ ━━━━×６ 　 ８ 2） 　　　　　５ｘ＋４ （－24）×━━━━ 　　　　　　 18 3） 　　　－４ｘ＋７ －20（━━━━━） 　　　　　25 1） ３ｘ－２ ━━━━×６ 　 ８ 　３ｘ－２ ＝━━━━×３ 　 　４ 　９ｘ－６ ＝━━━━ 　 　４ 2） 　　　　　５ｘ＋４ （－24）×━━━━ 　　　　　　 18 　　　　　　５ｘ＋４ ＝（－４）×━━━━ 　　　　　　　 ３ 　－20ｘ－16 ＝━━━━━ 　　　３ 3） 　　　－４ｘ＋７ －20（━━━━━） 　　　　　25 　　　　－４ｘ＋７ ＝－４（━━━━━） 　　　　　　５ 　16ｘ－28 ＝━━━━ 　　 ５ 問題 次の計算をしなさい。 1） 　　　　２ｘ＋３ ｘ－６＋━━━━ 　　　　　 ４ 2） 　　　ｘ＋４ ２ｘ－━━━ 　　　　３ 3） 　　　　　３ｘ－７ ３ｘ－１－━━━━ 　　　　　　 ４ 4） ２ｘ－３　５ｘ＋２ ━━━━＋━━━━ 　 ３　 　　 ４ 1） 　　　　２ｘ＋３ ｘ－６＋━━━━ 　　　　　 ４ 　４ｘ－24＋２ｘ＋３ ＝━━━━━━━━━ 　　　　　４ 　６ｘ－21 ＝━━━━ 　　 ４ 2） 　　　ｘ＋４ ２ｘ－━━━ 　　　　３ 　６ｘ－（ｘ＋４） ＝━━━━━━━━ 　　　　３ 　６ｘ－ｘ－４ ＝━━━━━━ 　　　 ３ 　５ｘ－４ ＝━━━━ 　　 ３ 3） 　　　　　３ｘ－７ ３ｘ－１－━━━━ 　　　　　　 ４ 　12ｘ－４－３ｘ＋７ ＝━━━━━━━━━ 　　　　　４ 　９ｘ＋３ ＝━━━━ 　　 ４ 4） ２ｘ－３　５ｘ＋２ ━━━━＋━━━━ 　 ３　 　　 ４ 　８ｘ－12＋15ｘ＋６ ＝━━━━━━━━━ 　　　　　12 　23ｘ－６ ＝━━━━ 　　 12 5） ４ｘ－３　２ｘ－５ ━━━━－━━━━ 　 ５　 　　 ４ 6） ５ｘ－２　７ｘ－６ ━━━━－━━━━ 　 ６　 　　 ８ 5） ４ｘ－３　２ｘ－５ ━━━━－━━━━ 　 ５　 　　 ４ 16ｘ－12－10ｘ＋25 ＝━━━━━━━━━ 　　　　 20 ６ｘ＋13 ＝━━━━ 　　 20 6） ５ｘ－２　７ｘ－６ ━━━━－━━━━ 　 ６　 　　 ８ 　20ｘ－８－21ｘ＋18 ＝━━━━━━━━━ 　　　　　24 　－ｘ＋10 ＝━━━━ 　　 24 カッコをふくむ多項式 問題 次の計算をしなさい。 1） ３ａ－２（２ａ－４）＋５（４ａ＋３） 2） ３（２ｘ＋５）－４ｘ－８（２ｘ－９） 3） １　　　　　　　　　　１ ━ｘ－３（３ｘ－５）－━（４ｘ－16） ２　　　　　　　　　　８ 4） 0.4（６ａ－８）－７（0.3ａ－0.5） 1） ３ａ－２（２ａ－４）＋５（４ａ＋３） ＝３ａ－４ａ＋８＋20ａ＋15 ＝19ａ＋23 2） ３（２ｘ＋５）－４ｘ－８（２ｘ－９） ＝６ｘ＋15－４ｘ－16ｘ＋72 ＝－14ｘ＋87 3） １　　　　　　　　　　１ ━ｘ－３（３ｘ－５）－━（４ｘ－16） ２　　　　　　　　　　８ 　１　　　　　　　１ ＝━ｘ－９ｘ＋15－━ｘ＋２ 　２　　　　　　　２ ＝－９ｘ＋17 4） 0.4（６ａ－８）－７（0.3ａ－0.5） ＝2.4ａ－3.2－2.1ａ＋3.5 ＝0.3ａ＋0.3 問題 次の計算をしなさい。 1） ８ａ＋13－｛９－５（３ａ－４）｝ 2） ４（ｘ－３）－｛２（ｘ－３）－３（２ｘ－１）｝ 1） ８ａ＋13－｛９－５（３ａ－４）｝ ＝８ａ＋13－（９－15ａ＋20） ＝８ａ＋13－（29－15ａ） ＝８ａ＋13－29＋15ａ ＝23ａ－16 2） ４（ｘ－３）－｛２（ｘ－３）－３（２ｘ－１）｝ ＝４ｘ－12－（２ｘ－６－６ｘ＋３） ＝４ｘ－12－（－４ｘ－３） ＝４ｘ－12＋４ｘ＋３ ＝８ｘ－９ ２つ以上の文字をふくむ乗除 問題 次の計算をしなさい。 1） ｘｙ×６ｚ 2） ５ａ×（－５ｂｃ） 3） 　　　　　 １ （－24ｍ）×━ｎ 　　　　　 ３ 4） １ ━ａｂ×（－12ａ） ４ 5） 　　　　ｙ² ６ｘ²ｙ×━ 　　　　２ 6） 　　　　　　５ 16ａｂ²×（－━ａ） 　　　　　　２ 7） （－３ｘ）²×ｘ 8） （－２ａｂ）³ 1） ｘｙ×６ｚ ＝６ｘｙｚ 2） ５ａ×（－５ｂｃ） ＝－25ａｂｃ 3） 　　　　　 １ （－24ｍ）×━ｎ 　　　　　 ３ ＝－８ｍｎ 4） １ ━ａｂ×（－12ａ） ４ ＝－３ａ²ｂ 5） 　　　　ｙ² ６ｘ²ｙ×━ 　　　　２ ＝３ｘ²ｙ³ 6） 　　　　　　５ 16ａｂ²×（－━ａ） 　　　　　　２ ＝－40ａ²ｂ² 7） （－３ｘ）²×ｘ ＝９ｘ²×ｘ ＝９ｘ³ 8） （－２ａｂ）³ ＝－８ａ³ｂ³ 代入 問題 ａ＝1/2、ｂ＝３のとき、３（ａ－２ｂ）－５（３ａ－ｂ）の値を求めなさい。 ３（ａ－２ｂ）－５（３ａ－ｂ） ＝３ａ－６ｂ－15ａ＋５ｂ ＝－12ａ－ｂ ＝－12×（1/2）－３ ＝－６－３ ＝－９ 問題 ａ＝３、ｂ＝－２のとき、２ａ²ｂ³÷ａｂの値を求めなさい。 ２ａ²ｂ³÷ａｂ ＝２ａｂ² ＝２×３×（－２）² ＝６×４ ＝24 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.8 分数をふくむ多項式 👉ブログ TOP

２次不等式 高校数学Ⅰ ２次不等式では、２次方程式からｘの値を求めて、不等号の向きで範囲を決めます。不等号の向きだけで機械的に判断するよりも、放物線とｘ軸との関係をつかんだ上で、学習を進めるようにします。 問題 次の２次不等式を解け。 1）（ｘ－２）（ｘ－５）＞０ 2）（ｘ＋４）（２ｘ＋１）≦０ 3）ｘ²－２ｘ－３≧０ 4）ｘ²－９ｘ＋20＜０ 5）ｘ²－３ｘ≦０ 6）ｘ²－16＞０ 1） （ｘ－２）（ｘ－５）＝０とする ｘ＝２，５ （ｘ－２）（ｘ－５）＞０ ｘ＜２、ｘ＞５ 2） （ｘ＋４）（２ｘ＋１）＝０ ｘ＝－４，－1/2 （ｘ＋４）（２ｘ＋１）≦０ －４≦ｘ≦－1/2 3） ｘ²－２ｘ－３＝０ （ｘ－３）（ｘ＋１）＝０ ｘ＝３，－１ ｘ²－２ｘ－３≧０ ｘ≦－１、ｘ≧３ 4） ｘ²－９ｘ＋20＝０ （ｘ－４）（ｘ－５）＝０ ｘ＝４，５ ｘ²－９ｘ＋20＜０ ４＜ｘ＜５ 5） ｘ²－３ｘ＝０ ｘ（ｘ－３）＝０ ｘ＝０，３ ｘ²－３ｘ≦０ ０≦ｘ≦３ 6） ｘ²－16＝０ ｘ²＝16 ｘ＝±４ ｘ²－16＞０ ｘ＜－４、ｘ＞４ 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²－４ｘ＋３＞０ 2）ｘ²＋５ｘ＋６＜０ 3）２ｘ²－７ｘ－４≦０ 4）６ｘ²＋ｘ－２＞０ 5）ｘ²＋５ｘ＋１＜０ 6）２ｘ²－９≧０ 1） ｘ²－４ｘ＋３＞０ （ｘ－１）（ｘ－３）＞０ ｘ＜１、ｘ＞３ 2） ｘ²＋５ｘ＋６＜０ （ｘ＋２）（ｘ＋３）＜０ －３＜ｘ＜－２ 3） ２ｘ²－７ｘ－４≦０ ２　　１　　１ 　×　 １　－４　－８ 　　　　　－７ （２ｘ＋１）（ｘ－４）≦０ －1/2≦ｘ≦４ 4） ６ｘ²＋ｘ－２＞０ ３　　２　　４ 　× ２　－１　－３ 　　　　　＋１ （３ｘ＋２）（２ｘ－１）＞０ ｘ＜－2/3、ｘ＞1/2 5） ｘ²＋５ｘ＋１＝０とする 　　－５±√21 ｘ＝━━━━ 　　　 ２ ｘ²＋５ｘ＋１＜０ －５－√21 －５＋√21 ━━━━ ＜ｘ＜ ━━━━ 　 ２　　　　　　 ２ 6） ２ｘ²－９≧０ （√２ｘ＋３）（√２ｘ－３）≧０ ｘ≦－３/√２、ｘ≧３/√２ よって、 ｘ≦－３√２/２、ｘ≧３√２/２ 問題 次の２次不等式を解け。 1）－ｘ²＋７ｘ－10＞０ 2）５ｘ－ｘ²≦０ 3）－３ｘ²－ｘ＋３≧０ 1） －ｘ²＋７ｘ－10＞０ ｘ²－７ｘ＋10＜０ （ｘ－２）（ｘ－５）＜０ ２＜ｘ＜５ 2） ５ｘ－ｘ²≦０ ｘ²－５ｘ≧０ ｘ（ｘ－５）≧０ ｘ≦０、ｘ≧５ 3） －３ｘ²－ｘ＋３≧０ ３ｘ²＋ｘ－３≦０ ３ｘ²＋ｘ－３＝０とする 　　－１±√37 ｘ＝━━━━ 　　　 ６ －１－√37　　 －１＋√37 ━━━━≦ｘ≦━━━━━ 　 ６　　　　 　　６ 問題 次の２次不等式を解け。 1）（ｘ＋４）²≧０ 2）（ｘ－１）²≦０ 3）ｘ²＋４ｘ＋４＜０ 4）ｘ²＋８ｘ＋16＜０ 5）９ｘ²－12ｘ＋４＞０ 6）ｘ²－ｘ＋（1/4）≧０ 1） （ｘ＋４）²≧０ すべての実数 （ｘ＋４）²≧０ 👉ｘがどんな実数でも、０か正の数になる。 数直線 ｘ≦－４、ｘ≧－４ ●の－４を含む、左右方向すべての範囲 2） （ｘ－１）²≦０ ｘ＝１ （ｘ－１）²≦０ 👉ｘが１のときだけ「＝０」　それ以外の実数はない 数直線 １≦ｘ≦１ ●の１を含むだけ 3） ｘ²＋４ｘ＋４＜０ （ｘ＋２）²＜０ 解なし （ｘ＋２）²＜０ 👉ｘが実数のとき、２乗すると０または正の数になる。よって、解なし。 数直線 －２＜ｘ＜－２ 〇の－２は含まない、左右方向にも範囲はない 4） ｘ²＋８ｘ＋16＜０ （ｘ＋４）²＜０ 解なし 数直線 －４＜ｘ＜－４ ○の－４は含まない、左右方向にも範囲はない 5） ９ｘ²－12ｘ＋４＞０ （３ｘ－２）²＞０ ｘ≠2/3のすべての実数 （３ｘ－２）²＞０ 👉ｘ＝2/3のときは０　「＝０」ではないすべての実数。 数直線 ｘ＜2/3、ｘ＞2/3 〇の2/3は含まない、左右方向すべての範囲 6） ｘ²－ｘ＋（1/4）≧０ ｛ｘ－（1/2）｝²≧０ すべての実数 数直線 ｘ≦1/2、ｘ≧1/2 ●の1/2を含む、左右方向すべての範囲 ポイント 左辺が２乗（判別式Ｄ＝０）のケースでは、「不等式の解の一覧表」を先に覚えることよりも、数直線に表したり、式の意味を考えることから始めます。 ※（ｘ－ａ）²＝０の重解は、同じ解が２個出てくると考える。 問題 次の２次不等式を解け。 1）ｘ²－２ｘ＋３＜０ 2）－ｘ²＋10ｘ－25＜０ 3）５－２ｘ＋ｘ²≧０ 4）２√２ｘ＋１≦－２ｘ² 5）－３＞２ｘ²＋７ｘ 6）３ｘ²－４ｘ≧２ｘ²－５ｘ＋１ 1） ｘ²－２ｘ＋３＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝１－３＝－２ Ｄ＜０より ｙ＝ｘ²－２ｘ＋３は ｘ軸との共有点をもたないから ｙ＞０ よって、 ｙ＝ｘ²－２ｘ＋３＜０となる値はないから 解なし 2） －ｘ²＋10ｘ－25＜０ ｘ²－10ｘ＋25＞０ （ｘ－５）²＞０ ｘ≠５のすべての実数 3） ５－２ｘ＋ｘ²≧０ ｘ²－２ｘ＋５≧０ ｘ²－２ｘ＋５＝０ Ｄ/４＝１－５＝－４ Ｄ＜０より ｙ＝ｘ²－２ｘ＋５は ｘ軸との共有点を持たないから ｙ＞０ よって、 ｙ＝５－２ｘ＋ｘ²≧０となる値は すべての実数 4） ２√２ｘ＋１≦－２ｘ² ２ｘ²＋２√２ｘ＋１≦０ （√２ｘ＋１）²≦０ ｘ＝－１/√２ ｘ＝－√２/２ 5） －３＞２ｘ²＋７ｘ ２ｘ²＋７ｘ＋３＜０ ２　１　　１ 　× １　３　　６ 　　　　＋７ （２ｘ＋１）（ｘ＋３）＜０ －３＜ｘ＜－1/2 6） ３ｘ²－４ｘ≧２ｘ²－５ｘ＋１ ｘ²＋ｘ－１≧０ ｘ²＋ｘ－１＝０とする 　　－１±√５ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 　　－１－√５　　－１＋√５ ｘ≦━━━━、ｘ≧━━━━ 　　　 ２　　　　　 ２ 問題 次の連立不等式を解け。 1） ｘ²＋６ｘ＋８＞０ ｘ²＋２ｘ－３＜０ 2） ｘ²－ｘ－12≦０ ｘ²－３ｘ＋２＞０ 3） ｘ²－４ｘ＋３≦０ ｘ²－３ｘ－10＜０ 4） ６ｘ²＋ｘ－１＜０ ｘ²＋ｘ－１≧０ 5） ｘ²－10ｘ＋20＜０ －ｘ²＋６ｘ－３＞０ 1） ｘ²＋６ｘ＋８＞０　① ｘ²＋２ｘ－３＜０　② ①より （ｘ＋２）（ｘ＋４）＞０ ｘ＜－４、ｘ＞－２　③ ②より （ｘ＋３）（ｘ－１）＜０ －３＜ｘ＜１　④ ③、④の共通範囲は －２＜ｘ＜１ 2） ｘ²－ｘ－12≦０　① ｘ²－３ｘ＋２＞０　② ①より （ｘ－４）（ｘ＋３）≦０ －３≦ｘ≦４　③ ②より （ｘ－１）（ｘ－２）＞０ ｘ＜１、ｘ＞２　④ ③、④の共通範囲は －３≦ｘ＜１ ２＜ｘ≦４ 3） ｘ²－４ｘ＋３≦０　① ｘ²－３ｘ－10＜０　② ①より （ｘ－１）（ｘ－３）≦０ １≦ｘ≦３　③ ②より （ｘ－５）（ｘ＋２）＜０ －２＜ｘ＜５　④ ③、④の共通範囲は １≦ｘ≦３ 4） ６ｘ²＋ｘ－１＜０　① ｘ²＋ｘ－１≧０　② ①より ３　－１　－２ 　× ２　　１　　３ 　　　　　＋１ （３ｘ－１）（２ｘ＋１）＜０ －1/2＜ｘ＜1/3　③ ②より ｘ²＋ｘ－１＝０ 　　－１±√５ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 　 －１－√５　　 －１＋√５ ｘ≦━━━━、ｘ≧━━━━　④ 　　　 ２　　　　　　２ －１－√５＝－3.2... －１＋√５＝1.2... ③、④の共通範囲はないから 解なし 5） ｘ²－10ｘ＋20＜０　① －ｘ²＋６ｘ－３＞０　② ①より ｘ²－10ｘ＋20＝０とする ｘ＝５±√５ よって、 ５－√５＜ｘ＜５＋√５　③ 2...＜ｘ＜7... ②より ｘ²－６ｘ＋３＜０ ｘ²－６ｘ＋３＝０とする ｘ＝３±√６ よって、 ３－√６＜ｘ＜３＋√６　④ 0...＜ｘ＜5... ③、④の共通範囲は ５－√５＜ｘ＜３＋√６ 問題 次の不等式を解け。 1）３＜ｘ²＋２ｘ≦８ 2）２ｘ＋３＜ｘ²＜５ 1） ３＜ｘ²＋２ｘ≦８ ３＜ｘ²＋２ｘ　① ｘ²＋２ｘ≦８　② ①より ｘ²＋２ｘ－３＞０ （ｘ＋３）（ｘ－１）＞０ ｘ＜－３、ｘ＞１　③ ②より ｘ²＋２ｘ－８≦０ （ｘ＋４）（ｘ－２）≦０ －４≦ｘ≦２　④ ③、④の共通範囲は －４≦ｘ＜－３ １＜ｘ≦２ 2） ２ｘ＋３＜ｘ²＜５ ２ｘ＋３＜ｘ²　① ｘ²＜５　② ①より ｘ²－２ｘ－３＞０ （ｘ－３）（ｘ＋１）＞０ ｘ＜－１、ｘ＞３　③ ②より －√５＜ｘ＜√５　④ ③、④の共通範囲は －√５＜ｘ＜－１ 問題 次の２次不等式を解け。 1） ６（ｘ＋１）²＞５ｘ＋４ 2） ｘ²＜√５（２ｘ－√５） 3） 　ｘ　　　　 ２ｘ－５ （━－１）²＞ ━━━━ 　２　　　　　　４ 4） （ｘ－１）²　（ｘ－２）² ━━━━━≧━━━━━－１ 　 ３　　　　　２ 1） ６（ｘ＋１）²＞５ｘ＋４ ６ｘ²＋12ｘ＋６－５ｘ－４＞０ ６ｘ²＋７ｘ＋２＞０ ３　２　　４ 　× ２　１　　３ 　　　　＋７ （３ｘ＋２）（２ｘ＋１）＞０ ｘ＜－2/3、ｘ＞－1/2 2） ｘ²＜√５（２ｘ－√５） ｘ²＜２√５ｘ－（√５）² ｘ²－２√５ｘ＋（√５）²＜０ （ｘ－√５）²＜０ 左辺を２乗して負になる実数ｘはないから 解なし 3） 　ｘ　　　　 ２ｘ－５ （━－１）²＞ ━━━━ 　２　　　　　　４ ｘ²　　　　　２ｘ－５ ━－ｘ＋１＞ ━━━━ ４　　　　　　　４ ｘ²－４ｘ＋４＞２ｘ－５ ｘ²－６ｘ＋９＞０ （ｘ－３）²＞０ 左辺を２乗して正になるのはｘ＝３以外の実数 よって、 ｘ≠３のすべての実数 4） （ｘ－１）²　（ｘ－２）² ━━━━━≧━━━━━－１ 　 ３　　　　　２ ２（ｘ－１）²≧３（ｘ－２）²－６ ２ｘ²－４ｘ＋２≧３ｘ²－12ｘ＋12－６ ｘ²－８ｘ＋４≦０ ｘ²－８ｘ＋４＝０ ｘ＝４±√12 　＝４±２√３ よって、 ４－２√３≦ｘ≦４＋２√３ 問題 次の２次不等式を満たす整数ｘをすべて求めよ。 1）２ｘ²＋３ｘ－９≦０ 2）ｘ²－２ｘ－４＜０ 1） ２ｘ²＋３ｘ－９≦０ ２　－３　－３ 　×　 １　　３　　６ 　　　　　＋３ （２ｘ－３）（ｘ＋３）≦０ －３≦ｘ≦3/2＝1.5 よって、 －３、－２、－１、０、１ 2） ｘ²－２ｘ－４＜０ ｘ²－２ｘ－４＝０ ｘ＝１±√５ １－√５＜ｘ＜１＋√５ １＋√５＝3.2... １－√５＝－1.2... よって、 －１、０、１、２、３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.8 ２次不等式 高校数学Ⅰ 👉ブログ TOP

式による説明と証明 テスト対策 ７月になりました。この時期の中高生は期末テストがあり、対策を行いました。 数学には文字式を使った説明または証明の問題があり、「ＡはＢになることを説明・証明しなさい」という形で出題されます。Ａの内容について文字を使って式を立てて、Ｂの結論部分はお題に合わせて式を変形して表します。 問題 下のカレンダーの数をいろいろに囲むとき、あとの問いに答えなさい。 1）縦に並んだ３つの数を囲むとき、この３つの数の和がいつでも３の倍数になることを文字を使って説明しなさい。 2）縦２つ、横２つの正方形で囲むとき、４つの数の和が４の倍数になることを文字を使って説明しなさい。 1） 真ん中の数をｎとすると、縦に並んだ３つの数は ｎ－７、ｎ、ｎ＋７ これらの和は （ｎ－７）＋ｎ＋（ｎ＋７） ＝３ｎ ｎは自然数だから、３ｎは３の倍数である。 したがって、 縦に並んだ３つの数の和は３の倍数になる。 2） いちばん小さい数をｎとすると、４つの数は ｎ、ｎ＋１、ｎ＋７、ｎ＋８ これらの和は ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋７）＋（ｎ＋８） ＝４ｎ＋16 ＝４（ｎ＋４） ｎは整数だから、４（ｎ＋16）は４の倍数である。 したがって、 正方形で囲まれた４つの数の和は４の倍数になる。 問題 ２つの続いた奇数で、大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は、８の倍数になる。このことを、文字を使って証明しなさい。 〔証明〕 ２つの続いた奇数を、２ｎ－１、２ｎ＋１とする。 大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は （２ｎ＋１）²－（２ｎ－１）² ＝４ｎ²＋４ｎ＋１－（４ｎ²－４ｎ＋１） ＝４ｎ²＋４ｎ＋１－４ｎ²＋４ｎ－１ ＝８ｎ ｎは整数だから、８ｎは８の倍数である。 したがって、 ２つの続いた奇数で、大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は、８の倍数になる。 問題 下の図のような半径ｒmの円形の土地の周囲に、幅ａmの道がある。この道の面積をＳm²、道の真ん中を通る線の長さをℓmとすると、Ｓ＝ａℓとなる。このことを証明しなさい。 〔証明〕 道の面積は Ｓ＝π（ｒ＋ａ）²－πｒ² ＝π（ｒ²＋２ａｒ＋ａ²）－πｒ² ＝πｒ²＋２πａｒ＋πａ²－πｒ² ＝２πａｒ＋πａ²　① 道の真ん中を通る線の長さは ℓ＝２π×｛ｒ＋（ａ/２）｝ ＝２πｒ＋πａ 両辺にａをかけて ａℓ＝２πａｒ＋πａ²　② ①、②より Ｓ＝ａℓ 問題 下の図のように、線分ＡＢ上に点Ｃをとり、ＡＢ、ＡＣ、ＣＢをそれぞれ直径とする円をかく。ＡＣ＝２ａcm、ＣＢ＝２ｂcmのとき、色をつけた面積を求めなさい。 直径ＡＢの円の面積から、直径ＡＣの円と直径ＣＢの円の面積をひく。 直径ＡＢの円 ＡＢ＝２ａ＋２ｂ cmだから 半径は、ａ＋ｂ cm 面積は、π（ａ＋ｂ）² cm² 直径ＡＣの円 ＡＣ＝２ａ cmだから 半径は、ａcm 面積は、πａ² cm² 直径ＣＢの円 ＣＢ＝２ｂcmだから 半径は、ｂcm 面積は、πｂ² cm² よって、 π（ａ＋ｂ）²－πａ²－πｂ² ＝π（ａ²＋２ａｂ＋ｂ²）－πａ²－πｂ² ＝πａ²＋２πａｂ＋πｂ²－πａ²－πｂ² ＝２πａｂ したがって、 ２πａｂ cm² 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.7 式による説明と証明 テスト対策 👉ブログ TOP