一次関数と二次関数
（1/7 授業解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（1/7）は、小学生、中学生、高校生に授業を行いました。冬休みということもあり、塾生の多くが２学期の復習や受験対策を行っています。
★一次関数（中２）
問題
一次関数ｙ＝３ｘ＋５について、次の問いに答えなさい。
１）変化の割合を答えなさい。
２）ｘの増加量が４のときのｙの増加量を求めなさい。
１）
ｙ＝ａｘ＋ｂ
変化の割合＝傾きａ
変化の割合：３
２）
変化の割合＝ｙ増加量／ｘ増加量
ｙの増加量をｍとする
ｍ／４＝３
ｍ＝１２
ｙの増加量：１２
問題
次の条件を満たす一次関数の式を求めなさい。
１）変化の割合が４で、ｘ＝３のときｙ＝５
２）グラフが２点（２，３）（４，１）を通る。
１）
ｙ＝４ｘ＋ｂに、
ｘ＝３、ｙ＝５を代入
５＝１２＋ｂ
ｂ＝ー７
よって、ｙ＝４ｘ－７
２）
解き方１
先に変化の割合を求める
ｘ増加量：４－２＝２
ｙ増加量：１－３＝ー２
変化の割合
ー２／２＝ー１
ｙ＝ーｘ＋ｂに、（２，３）代入
３＝ー２＋ｂ
ｂ＝５
よって、ｙ＝ーｘ＋５
解き方２
連立方程式で求める
ｙ＝ａｘ＋ｂに、（２，３）（４，１）代入
２ａ＋ｂ＝３ ①
４ａ＋ｂ＝１ ②
①ー②
ａ＝ー１、ｂ＝５
よって、ｙ＝ーｘ＋５
★比例と反比例（中１）
問題
下の図において、①は関数ｙ＝ａｘ、②は関数ｙ＝１８／ｘのグラフである。点Ａは①と②の交点で、そのｙ座標は６である。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）定数ａの値を求めよ。
２）②のグラフ上の点で、ｘ座標とｙ座標がともに自然数となる点は全部で何個あるか。
３）点Ａからｘ軸、ｙ軸にひいた垂線がｘ軸、ｙ軸と交わる点をそれぞれＢ、Ｃとし、①のグラフ上に点Ｐ、ｙ軸上にｙ座標が８である点Ｑをとる。三角形ＯＰＱの面積が四角形ＯＢＡＣの面積と等しくなるとき、点Ｐのｘ座標をすべて求めよ。
１）
点Ａのｘ座標を求める
Ａは②上の点だから、ｙ＝１８／ｘに、ｙ＝６を代入
６＝１８／ｘ
６ｘ＝１８
ｘ＝３
Ａ（３，６）
ｙ＝ａｘに、（３，６）代入
６＝３ａ
ａ＝２
２）
ｘとｙの値がともに正の整数（ｘ＞０，ｙ＞０）となることから、右上の双曲線上の点になる。
ｙ＝１８／ｘに自然数であるｘを代入したとき、ｙも自然数となればよいから、ｘの値は１８の約数である「１，２，３，６，９，１８」。
よって、６個
３）
四角形ＯＡＢＣの面積
３×６＝１８
△ＯＰＱの底辺をＯＱ（＝８）、高さをｈとする。△ＯＰＱの面積も１８となるから、
１／２×８×ｈ＝１８
ｈ＝９／２
９／２は点Ｐとｙ軸との距離になるから、ｘ座標は９／２。
また、原点Ｏについて点Ｐと対称となる点をとっても面積は等しくなるから、ｘ座標はー９／２。
よって、９／２とー９／２
★一次関数と二次関数（中３）
問題
下の図で、①は関数ｙ＝１ｘ²／３のグラフであり、②は関数ｙ＝ｘ²のグラフであり、③は関数ｙ＝ａｘ＋３のグラフである。点Ａは①上に、点Ｂは②上にあり、点Ａのｘ座標はー３、点Ｂのｘ座標は３である。また、点Ｃは直線ＡＢとｙ軸との交点である。点Ｄは①と③の交点であり、ｘ座標はー６である。あとの各問いに答えなさい。
１）点Ａのｙ座標を求めなさい。
２）点Ｃのｙ座標を求めなさい。
３）ａの値を求めなさい。
４）点Ｅを③上に、△ＡＯＢの面積と△ＥＯＢの面積が等しくなるようにとるとき、点Ｅの座標を求めなさい。ただし、点Ｅのｙ座標は０より大きいものとする。
１）
点Ａは①上にあるから、
ｙ＝１ｘ²／３に、ｘ＝ー３代入
ｙ＝３
２）
点ＣはＡＢを通る直線の切片になる
点Ｂは②上にあるから、
ｙ＝ｘ²に、ｘ＝３代入
ｙ＝９
よって、ＡとＢの２点は
Ａ（ー３，３）、Ｂ（３，９）
変化の割合は、
ｘ増加量：３－（ー３）＝６
ｙ増加量：９－３＝６
６／６＝１
切片をｂとし、ｙ＝ｘ＋ｂに（ー３，３）代入
３＝ー３＋ｂ
ｂ＝６
よって、Ｃのｙ座標：６
３）
ｙ＝ａｘ＋３は点Ｄを通るから、先に点Ｄの座標を求める。
点Ｄは①上にあるから、
ｙ＝１ｘ²／３に、ｘ＝ー６代入
ｙ＝３６／３＝１２
点Ｄの座標（ー６，１２）
ｙ＝ａｘ＋３に、（ー６，１２）代入
１２＝ー６ａ＋３
ａ＝ー３／２
４）入試によく出る★
△ＡＯＢと△ＥＯＢの共通の底辺は線分ＯＢだから、高さが等しくなるように③上に点Ｅをとる（三角形の等積変形）。
↓
ＯＢに平行となる直線ＡＥをひく
↓
ＡＥの式と③の式との交点が、求める点Ｅになる。
直線ＯＢの傾き
ＯＢは原点を通るから、
ｙ＝ａｘに、Ｂ（３，９）代入
９＝３ａ
ａ＝３（傾き）
直線ＡＥはＯＢと平行になるから、ＡＥの傾きは３
ＡＥの式を求める
ｙ＝３ｘ＋ｂに、Ａ（ー３，３）代入
３＝ー９＋ｂ
ｂ＝１２
よって、ｙ＝３ｘ＋１２ ④
③のｙ＝ー３／２ｘ＋３との交点を求める。
代入法により、
３ｘ＋１２＝ー３／２ｘ＋３
６ｘ＋２４＝ー３ｘ＋６
９ｘ＝ー１８
ｘ＝ー２
④に、ｘ＝ー２代入
ｙ＝ー６＋１２＝６
よって、（ー２，６）
👉三角形の等積変形①
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塾生の声
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2025.1.8 一次関数と二次関数（1/7 授業解説）