高次方程式 練習問題 ３次式や４次式の高次方程式では、組立除法による因数分解を利用して解を求めます。２次式に分解されたときには、解の公式などを利用して実数解や虚数解を求めます。 問題 次の４次方程式を解け。 1）ｘ⁴－５ｘ²＋４＝０ 2）ｘ⁴－16＝０ 3）ｘ⁴＋ｘ²－30＝０ 1） ｘ⁴－５ｘ²＋４＝０ ｘ²＝Ａ Ａ²－５Ａ＋４＝０ （Ａ－１）（Ａ－４）＝０ （ｘ²－１）（ｘ²－４）＝０ ｘ＝±１，±２ 2） ｘ⁴－16＝０ ｘ²＝Ａ Ａ²－16＝０ （Ａ＋４）（Ａ－４）＝０ （ｘ²＋４）（ｘ²－４）＝０ ｘ²＋４＝０ ｘ²＝－４ ｘ＝±２ｉ ｘ²－４＝０ ｘ²＝４ ｘ＝±２ よって、 ｘ＝±２ｉ，±２ 3） ｘ⁴＋ｘ²－30＝０ ｘ²＝Ａ Ａ²＋Ａ－30＝０ （Ａ＋６）（Ａ－５）＝０ （ｘ²＋６）（ｘ²－５）＝０ ｘ²＋６＝０ ｘ＝±√６ｉ ｘ²－５＝０ ｘ＝±√５ よって、 ｘ＝±√６ｉ，±√５ 問題 次の３次方程式を解け。 1） ｘ³－６ｘ²＋11ｘ－６＝０ 2） ｘ³＋７ｘ²－６＝０ 3） ｘ³－２ｘ²＋ｘ＋４＝０ 4） ３ｘ³＋ｘ²－８ｘ＋４＝０ 1） ｘ³－６ｘ²＋11ｘ－６＝０ （ｘ－１）で割り切れる 👉ｘ＝１のとき、左辺＝０ １　－６　　11　－６　【１ 　　　１　－５　　６ １　－５　　６　　０ （ｘ－１）（ｘ²－５ｘ＋６）＝０ （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝０ ｘ＝１，２，３ 2） ｘ³＋７ｘ²－６＝０ （ｘ＋１）で割り切れる １　　７　　０　－６　【－１ 　　－１　－６　　６ １　　６　－６　　０ （ｘ＋１）（ｘ²＋６ｘ－６）＝０ 解の公式より ｘ＝－３±√15，－１ 3） ｘ³－２ｘ²＋ｘ＋４＝０ （ｘ＋１）で割り切れる １　－２　１　　４　【－１ 　　－１　３　－４ １　－３　４　　０ （ｘ＋１）（ｘ²－３ｘ＋４）＝０ 解の公式より 　　３±√－７ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 　　３±√７ｉ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ ｘ＝－１ 4） ３ｘ³＋ｘ²－８ｘ＋４＝０ （ｘ－１）で割り切れる ３　１　－８　　４　【１ 　　３　　４　－４ ３　４　－４　　０ （ｘ－１）（３ｘ²＋４ｘ－４）＝０ ３　－２　　－２ 　× １　　２　　　６ 　　　　　　＋４ （ｘ－１）（３ｘ－２）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝１，2/3，－２ 問題 次の方程式を解け。 1） ｘ⁴＋４ｘ³＋２ｘ²－５ｘ－２＝０ 2） （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝４・３・２ 3） ２ｘ³－９ｘ²＋２＝０ 4） （ｘ²－４ｘ）²－（ｘ²－４ｘ）－６＝０ 5） （ｘ²＋２ｘ－３）（ｘ²＋２ｘ＋４）＝８ 6） ｘ⁴＋４＝０ 1） ｘ⁴＋４ｘ³＋２ｘ²－５ｘ－２＝０ （ｘ－１）で割り切れる １　４　２　－５　－２　【１ 　　１　５　　７　　２ １　５　７　　２　　０ （ｘ－１）（ｘ³＋５ｘ²＋７ｘ＋２）＝０ （ｘ＋２）で割り切れる １　　５　　７　　２　【－２ 　　－２　－６　－２ １　　３　　１　　０ （ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ²＋３ｘ＋１）＝０ 解の公式より 　　－３±√５ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ ｘ＝１，－２ 2） （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝４・３・２ ｘ－１＝４、ｘ－２＝３、ｘ－３＝２ ｘ＝５ （ｘ－５）で割り切れる （ｘ²－３ｘ＋２）（ｘ－３）－24＝０ ｘ³－３ｘ²－３ｘ²＋９ｘ＋２ｘ－６－24＝０ ｘ³－６ｘ²＋11ｘ－30＝０ １　－６　　11　－30　【５ 　　　５　－５　　30 １　－１　　６　　０ （ｘ－５）（ｘ²－ｘ＋６）＝０ 解の公式より 　　 １±√－23 ｘ＝━━━━━ 　　　　２ 　　 １±√23ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　　２ ｘ＝５ 3） ２ｘ³－９ｘ²＋２＝０ ｛ｘ－（1/2）｝で割り切れる ２　－９　　０　　２　【1/2 　　　１　－４　－２ ２　－８　－４　　０ ｛ｘ－（1/2）｝（２ｘ²－８ｘ－４）＝０ ｛ｘ－（1/2）｝（ｘ²－４ｘ－２）＝０ 解の公式より ｘ＝２±√６，1/2 4） （ｘ²－４ｘ）²－（ｘ²－４ｘ）－６＝０ ｘ²－４ｘ＝Ａ Ａ²－Ａ－６＝０ （Ａ－３）（Ａ＋２）＝０ （ｘ²－４ｘ－３）（ｘ²－４ｘ＋２）＝０ 解の公式より ｘ＝２±√７，２±√２ 5） （ｘ²＋２ｘ－３）（ｘ²＋２ｘ＋４）＝８ ｘ²＋２ｘ＝Ａ （Ａ－３）（Ａ＋４）－８＝０ Ａ²＋Ａ－12－８＝０ Ａ²＋Ａ－20＝０ （Ａ＋５）（Ａ－４）＝０ （ｘ²＋２ｘ＋５）（ｘ²＋２ｘ－４）＝０ 解の公式より ｘ＝－１±√－４ 　＝－１±２ｉ ｘ＝－１±√５ 6） ｘ⁴＋４＝０ ｘ²＝Ａ Ａ²＋２²＝０ （Ａ＋２）²－４Ａ＝０ （ｘ²＋２）²－４ｘ²＝０ （ｘ²＋２）²－（２ｘ）²＝０ （ｘ²＋２＋２ｘ）（ｘ²＋２－２ｘ）＝０ （ｘ²＋２ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋２）＝０ 解の公式より ｘ＝－１±√－１ 　＝－１±ｉ ｘ＝１±√－１ 　＝１±ｉ 問題 ４次方程式ｘ⁴－ａｘ³－ｘ²＋16ｘ＋ｂ＝０が１と３を解にもつとき、次の問いに答えよ。 1）定数ａ、ｂの値を求めよ。 2）他の解を求めよ。 1） ｘ＝１を代入 １－ａ－１＋16＋ｂ＝０ －ａ＋ｂ＝－16　① ｘ＝３を代入 81－27ａ－９＋48＋ｂ＝０ －27ａ＋ｂ＝－120　② ①－②より 26ａ＝104 ａ＝４ ①に代入 －４＋ｂ＝－16 ｂ＝－12 よって、 ａ＝４、ｂ＝－12 2） 方程式にａ＝４、ｂ＝－12を代入 ｘ⁴－４ｘ³－ｘ²＋16ｘ－12＝０ （ｘ－１）で割り切れる １　－４　－１　　16　－12　【１ 　　　１　－３　－４　　12 １　－３　－４　　12　　０ （ｘ－１）（ｘ³－３ｘ²－４ｘ＋12）＝０ （ｘ－２）で割り切れる １　－３　－４　　12　【２ 　　　２　－２　－12 １　－１　－６　　０ （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ²－ｘ－６）＝０ （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝１，３，±２ よって、±２ ※別解 ｘ⁴－４ｘ³－ｘ²＋16ｘ－12＝０ ｘ⁴－ｘ²－12－４ｘ³＋16ｘ＝０ （ｘ²－４）（ｘ²＋３）－４ｘ（ｘ²－４）＝０ （ｘ²－４）（ｘ²－４ｘ＋３）＝０ （ｘ²－４）（ｘ－１）（ｘ－３）＝０ ｘ＝±２，１，３ 問題 ａ、ｂは実数とする。３次方程式ｘ³－５ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０が３＋２ｉを解にもつとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。また、他の解を求めよ。 ３－２ｉも解にもつから ２次方程式の解と係数の関係より （３＋２ｉ）＋（３－２ｉ） ＝６ （３＋２ｉ）（３－２ｉ） ＝９－４ｉ² ＝13 よって、方程式を因数分解すると （ｘ²－６ｘ＋13）が得られる ｘ³－５ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝（ｘ²－６ｘ＋13）（ｘ＋ｃ）とおく 右辺 ＝ｘ³＋ｃｘ²－６ｘ²－６ｃｘ＋13ｘ＋13ｃ ＝ｘ³＋（ｃ－６）ｘ²＋（13－６ｃ）ｘ＋13ｃ 係数を比較して ｃ－６＝－５　① 13－６ｃ＝ａ　② 13ｃ＝ｂ　③ ①より　ｃ＝１ ｃ＝１を②に代入　ａ＝７ ｃ＝１を③に代入　ｂ＝13 よって、 ａ＝７、ｂ＝13 ｘ＋ｃ＝０　より ｘ＋１＝０ ｘ＝－１ 他の解は、－１，３－２ｉ 問題 ３次方程式ｘ³＋ｘ²＋（ｍ－２）ｘ－ｍ＝０が２重解をもつとき、定数ｍの値を求めよ。 （ｘ－１）で割り切れる １　１　ｍ－２　－ｍ　【１ 　　１　　　２　　ｍ １　２　　　ｍ　　０ （ｘ－１）（ｘ²＋２ｘ＋ｍ）＝０ ｘ²＋２ｘ＋ｍ＝０の解が、ｘ≠１のとき 👉（ｘ－１）＝０の解と重複しないとき ｘ²＋２ｘ＋ｍ＝０の判別式をＤとする Ｄ＝１－ｍ 重解はＤ＝０のときだから １－ｍ＝０ ｍ＝１ ｘ²＋２ｘ＋ｍ＝０の解が、ｘ＝１のとき 👉（ｘ－１）＝０の解と重複するとき ｘ＝１を代入 １＋２＋ｍ＝０ ｍ＝－３ よって、ｍ＝１，－３ 問題 ３次方程式ｘ³＋２ｘ²＋（ｍ－１）ｘ－ｍ－２＝０の解がすべて実数であるとき、実数の定数ｍの値の範囲を求めよ。 （ｘ－１）で割り切れる １　２　ｍ－１　－ｍ－２　【１ 　　１　　　３　　ｍ＋２ １　３　ｍ＋２　　　　０ （ｘ－１）（ｘ²＋３ｘ＋ｍ＋２）＝０ ｘ²＋３ｘ＋ｍ＋２＝０の判別式をＤとする Ｄ＝９－４（ｍ＋２） 　＝１－４ｍ ｘ－１＝０はｘ＝１で実数解 他は重解を含む２つの実数解だから Ｄ≧０ １－４ｍ≧０ －４ｍ≧－１ ｍ≦1/4 問題 ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４＝０の３つの解をα、β、γとするとき、次の式の値を求めよ。 1）α²＋β²＋γ² 2）α³＋β³＋γ³ 3） （１－α）（１－β）（１－γ） 4） （α＋β）（β＋γ）（γ＋α） 1） α²＋β²＋γ² ３次方程式の解と係数の関係から α＋β＋γ ＝－（－3/1）＝３ αβ＋βγ＋γα ＝（2/1）＝２ αβγ ＝－（4/1）＝－４ α²＋β²＋γ² ＝（α＋β＋γ）²－２（αβ＋βγ＋γα） ＝３²－２・２ ＝５ 2） α³＋β³＋γ³ ＝（α＋β＋γ）（α²＋β²＋γ²－αβ－βγ－γα）＋３αβγ ＝３（５－２）＋３・（－４） ＝－３ 3） （１－α）（１－β）（１－γ） 展開すると ＝１－（α＋β＋γ）＋（αβ＋βγ＋γα）－αβγ ＝１－３＋２－（－４） ＝４ ※別解 解がα、β、γだから ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４ ＝（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ） （１－α）（１－β）（１－γ）だから ｘ＝１を左辺に代入 １－３＋２＋４＝４ 4） （α＋β）（β＋γ）（γ＋α） α＋β＋γ＝３　だから α＋β＝３－γ β＋γ＝３－α γ＋α＝３－β （α＋β）（β＋γ）（γ＋α） ＝（３－γ）（３－α）（３－β） 解がα、β、γだから ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４ ＝（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ） （３－γ）（３－α）（３－β）だから ｘ＝３を左辺に代入 27－27＋６＋４＝10 問題 ３次方程式ｘ³＋（５ａ＋２）ｘ²＋（10ａ＋１）ｘ＋２＝０が異なる３つの実数解をもつとき、実数ａの値の範囲を求めよ。 （ｘ＋２）で割り切れる １　５ａ＋２　10ａ＋１　　２　【－２ 　　　　－２　　－10ａ　－２ １　　　５ａ　　　　１　　０ （ｘ＋２）（ｘ²＋５ａｘ＋１）＝０ ｘ²＋５ａｘ＋１＝０の判別式をＤとする Ｄ＝25ａ²－４ 異なる２つの実数解をもつから Ｄ＞０より 25ａ²－４＞０ （５ａ＋２）（５ａ－２）＞０ ａ＜－2/5、ａ＞2/5　① ｘ＋２＝０より　ｘ＝－２ 異なる３つの実数解をもつから ｘ²＋５ａｘ＋１＝０の解は、ｘ＝－２以外 代入すると ４－10ａ＋１＝０ ａ＝1/2 ①の範囲からａ＝1/2を除外すると ａ＜－2/5、2/5＜ａ＜1/2、ａ＞1/2 問題 次の等式を満たす実数ｘの値を求めよ。 （３＋２ｉ）ｘ²＋（８＋５ｉ）ｘ－３（１＋ｉ）＝０ ３ｘ²＋２ｉｘ²＋８ｘ＋５ｉｘ－３－３ｉ＝０ （３ｘ²＋８ｘ－３）＋（２ｘ²＋５ｘ－３）ｉ＝０ 両辺の係数を比較して ３ｘ²＋８ｘ－３＝０　① ２ｘ²＋５ｘ－３＝０　② 👉実部と虚部の係数がともに０ ①より ３　－１　　－１ 　× １　　３　　　９ 　　　　　　＋８ （３ｘ－１）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝1/3、－３　① ②より ２　－１　　－１ 　× １　　３　　　６ 　　　　　　＋５ （２ｘ－１）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝1/2、－３　② ①、②を同時に満たす解だから ｘ＝－３ 問題 ２次方程式ｘ²－ｐｘ＋２ｐ＝０の解は虚数で、解の３乗は実数であるとき、実数ｐの値を求めよ。 判別式をＤとする Ｄ＝ｐ²－８ｐ Ｄ＜０だから ｐ²－８ｐ＜０ ｐ（ｐ－８）＜０ ０＜ｐ＜８ ２次方程式の解をα、βとする 解と係数の関係から α＋β＝ｐ、αβ＝２ｐ α³は実数だから α³＝β³（α≠β） α³－β³＝０ （α－β）（α²＋αβ＋β²）＝０ α－β≠０だから α²＋αβ＋β²＝０ （α＋β）²－αβ＝０ ｐ²－２ｐ＝０ ｐ（ｐ－２）＝０ ０＜ｐ＜８より ｐ＝２ 問題 ｘ²＋ｘｙ－６ｙ²－ｘ＋７ｙ＋ｋがｘ、ｙの１次式の積に因数分解できるように、定数ｋの値を求めよ。また、このとき、与えられた式を因数分解せよ。 ｘ²＋ｘｙ－６ｙ²－ｘ＋７ｙ＋ｋ ＝ｘ²＋（ｙ－１）ｘ－（６ｙ²－７ｙ－ｋ） 👉この式が、ｘ²＋△ｘ＋□²になる ｘ²＋（ｙ－１）ｘ－（６ｙ²－７ｙ－ｋ）＝０の判別式をＤとする Ｄ＝（ｙ－１）²＋４（６ｙ²－７ｙ－ｋ） 　＝ｙ²－２ｙ＋１＋24ｙ²－28ｙ－４ｋ 　＝25ｙ²－30ｙ＋１－４ｋ これが平方数になればよい 👉解の公式のルートの中が２乗の形 25ｙ²－30ｙ＋１－４ｋ＝０の判別式をＤ₂とする Ｄ₂＝15²－25（１－４ｋ） 　＝225－25＋100ｋ 　＝200＋100ｋ 重解をもてばよいから Ｄ₂＝０より 200＋100ｋ＝０ ｋ＝－２ ｋ＝－２を代入 ｘ²＋（ｙ－１）ｘ－（６ｙ²－７ｙ＋２） ３　－２　　－４ 　× ２　－１　　－３ 　　　　　　－７ ＝ｘ²＋（ｙ－１）ｘ－（３ｙ－２）（２ｙ－１） １　　（３ｙ－２）　　３ｙ－２ 　× １　－（２ｙ－１）　－２ｙ＋１ 　　　　　　　　　　　ｙ－１ ＝（ｘ＋３ｙ－２）（ｘ－２ｙ＋１） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.25 高次方程式 練習問題 👉ブログ TOP

グラフ上の図形と座標 定期テストや高校入試では、グラフ上にできた図形の面積を利用して座標を求める出題があります。求めたい座標を文字に置きかえて、方程式を立てて解きます。文字に置きかえる作業は慣れが必要で、最も差がつきやすい問題です。 問題 図１で、①は関数ｙ＝ａ/ｘ（ｘ＜０）のグラフであり、点Ａは①上の点で座標が（－３，４）である。点Ｂは①上の点でｘ座標が－２である。点Ｃはｙ軸上の点でｙ座標が４である。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）ａの値を求めなさい。 2）点Ｂのｙ座標を求めなさい。 3）直線ＢＣの式を求めなさい。 1） ｙ＝ａ/ｘは、（－３，４）を通る。 比例定数ａは、ｘとｙの値の積だから ａ＝－３×４＝－12 よって、－12 2） 点Ｂは、ｙ＝－12/ｘ上にあり、 ｘ＝－２だから ｙ＝－12/－２＝６ よって、６ 3） 切片の点Ｃは（０，４）だから 直線の式を、ｙ＝ｂｘ＋４とおく 直線は、点Ｂ（－２，６）を通るから ６＝－２ｂ＋４ ２ｂ＝－２　ｂ＝－１ よって、ｙ＝－ｘ＋４ 4）図２は、図１のｙ軸上の点Ｃよりも上側に点Ｐをとったものである。曲線ＡＢ、線分ＢＣ、線分ＣＯ、線分ＯＡで囲まれた図形の面積と、曲線ＡＢ、線分ＢＰ、線分ＰＣ、線分ＣＡで囲まれた図形の面積が等しくなるとき、点Ｐのｙ座標を求めなさい。 4） ２つの図形が重なるのは 曲線ＡＢ、線分ＢＣ、線分ＣＡで囲まれた部分 よって、 △ＡＯＣ＝△ＢＰＣのとき △ＡＯＣ 底辺ＣＯ＝４－０＝４ 高さＡＣ＝０－（－３）＝３ よって、面積は （1/2）×４×３＝６　① △ＢＰＣ Ｐのｙ座標をｔとする 底辺ＰＣ＝ｔ－４ 高さは、ＢとＰＣの距離だから ０－（－２）＝２ よって、面積は （1/2）×（ｔ－４）×２ ＝ｔ－４　② ①＝②より ｔ－４＝６ ｔ＝10 したがって、 求めるｙ座標は、10 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.24 グラフ上の図形と座標 👉ブログ TOP

剰余の定理 テスト対策 １学期も後半に入り、中高生は期末テスト対策を進めています。 高校数Ⅱで学習する剰余の定理は、割る式が「０」になると、余りを求めることができるというしくみで、割られる式は、（割る式）×（商）＋（余り）で表します。 問題 次の条件を満たすように、定数ａ、ｂの値をそれぞれ定めよ。 1）多項式Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ａｘ＋６はｘ＋３で割り切れる。 2）多項式Ｐ（ｘ）＝４ｘ³＋ａｘ²－５ｘ＋３を２ｘ＋１で割ると４余る。 3）多項式Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－９はｘ＋３で割り切れ、ｘ－２で割ると－５余る。 1） Ｐ（－３）＝０より －27－３ａ＋６＝０ －３ａ＝21 ａ＝－７ 2） Ｐ（－1/2）＝４より （－1/2）＋（1/4）ａ＋（5/2）＋３＝４ （1/4）ａ＝－１ ａ＝－４ 3） Ｐ（－３）＝０より －27＋９ａ－３ｂ－９＝０ ９ａ－３ｂ＝36 ３ａ－ｂ＝12　① Ｐ（２）＝－５より ８＋４ａ＋２ｂ－９＝－５ ４ａ＋２ｂ＝－４ ２ａ＋ｂ＝－２　② ①＋②より ５ａ＝10　ａ＝２ ②に代入して ４＋ｂ＝－２　ｂ＝－６ よって、 ａ＝２、ｂ＝－６ 問題 1）２ｘ³＋３ａｘ²－ａ²＋６がｘ＋１で割り切れるように、定数ａの値を定めよ。 2）２ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－３はｘ－３で割り切れ、２ｘ－１で割ると余りが５であるという。このとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³＋３ａｘ²－ａ²＋６ Ｐ（－１）＝０より －２＋３ａ－ａ²＋６＝０ ａ²－３ａ－４＝０ （ａ－４）（ａ＋１）＝０ ａ＝４，－１ 2） Ｐ（ｘ）＝２ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ－３ Ｐ（３）＝０より 54＋９ａ＋３ｂ－３＝０ ９ａ＋３ｂ＝－51 ３ａ＋ｂ＝－17　① Ｐ（1/2）＝５より （1/4）＋（1/4）ａ＋（1/2）ｂ－３＝５ ａ＋２ｂ＝31　② ①×２－② 　　６ａ＋２ｂ＝－34 －）　 ａ＋２ｂ＝31 　　５ａ　　　＝－65 　　　　　　ａ＝－13 ②に代入 －13＋２ｂ＝31 ２ｂ＝44　ｂ＝22 よって、 ａ＝－13、ｂ＝22 問題 1）多項式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割ると余りは５、ｘ－２で割ると余りは７となる。このとき、Ｐ（ｘ）をｘ²－３ｘ＋２で割った余りを求めよ。 2）多項式Ｐ（ｘ）をｘ²－１で割ると４ｘ－３余り、ｘ²－４で割ると３ｘ＋５余る。このとき、Ｐ（ｘ）をｘ²＋３ｘ＋２で割った余りを求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－３ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（１）＝５より ａ＋ｂ＝５　① Ｐ（２）＝７より ２ａ＋ｂ＝７　② ①－② －ａ＝－２　ａ＝２ ①に代入して ２＋ｂ＝５　ｂ＝３ よって、 ２ｘ＋３ ※別解 求める余りを ａ（ｘ－１）＋５とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋７ Ｐ（２）＝７より ａ（２－１）＋５＝７ ａ＝２ よって、 ２（ｘ－１）＋５ ＝２ｘ＋３ 2） Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋３ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－１）Ｒ（ｘ）＋４ｘ－３ Ｐ（－１）＝－７ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－４）Ｓ（ｘ）＋３ｘ＋５ Ｐ（－２）＝－１ Ｐ（－１）＝－７より －ａ＋ｂ＝－７　① Ｐ（－２）＝－１より －２ａ＋ｂ＝－１　② ①－② ａ＝－６ ①に代入して ６＋ｂ＝－７　ｂ＝－13 よって、 －６ｘ－13 問題 1）多項式Ｐ（ｘ）をｘ＋２で割った余りが３、ｘ－３で割った余りが－１のとき、Ｐ（ｘ）をｘ²－ｘ－６で割った余りを求めよ。 2）多項式Ｐ（ｘ）をｘ²＋５ｘ＋４で割ると２ｘ＋４余り、ｘ²＋ｘ－２で割ると－ｘ＋２余るという。このとき、Ｐ（ｘ）をｘ²＋６ｘ＋８で割った余りを求めよ。 1） 求める余りを ａ（ｘ＋２）＋３とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｑ（ｘ）－１ Ｐ（３）＝－１より ５ａ＋３＝－１　ａ＝－4/5 よって、 （－4/5）（ｘ＋２）＋３ ＝（－4/5）ｘ－（8/5）＋（15/5） ＝（－4/5）ｘ＋（7/5） ※別解 Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－ｘ－６）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ－３）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（－２）＝３より －２ａ＋ｂ＝３　① Ｐ（３）＝－１より ３ａ＋ｂ＝－１　② ①－② －５ａ＝４　ａ＝－4/5 ②に代入して －12/5＋ｂ＝－１　ｂ＝7/5 よって、 （－4/5）ｘ＋（7/5） 2） Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋６ｘ＋８）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ＋２）（ｘ＋４）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋５ｘ＋４）Ｒ（ｘ）＋２ｘ＋４ ＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）Ｒ（ｘ）＋２ｘ＋４ Ｐ（－４）＝－４ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋ｘ－２）Ｓ（ｘ）－ｘ＋２ ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）Ｓ（ｘ）－ｘ＋２ Ｐ（－２）＝４ Ｐ（－４）＝－４より －４ａ＋ｂ＝－４　① Ｐ（－２）＝４より －２ａ＋ｂ＝４　② ①－② －２ａ＝－８　ａ＝４ ②に代入して －８＋ｂ＝４　ｂ＝12 よって、 ４ｘ＋12 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ＋１で割ると余りが－２、ｘ²－３ｘ＋２で割ると余りが－３ｘ＋７であるという。このとき、Ｐ（ｘ）を（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ－２）で割った余りを求めよ。 求める余りを ａ（ｘ²－３ｘ＋２）－３ｘ＋７とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１）Ｑ（ｘ）－２ Ｐ（－１）＝－２より ６ａ＋３＋７＝－２ ６ａ＝－12　ａ＝－２ よって、 －２（ｘ²－３ｘ＋２）－３ｘ＋７ ＝－２ｘ²＋６ｘ－４－３ｘ＋７ ＝－２ｘ²＋３ｘ＋３ ※別解 Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ 👉３次式で割るから余りを２次式とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１）Ｒ（ｘ）－２ Ｐ（－１）＝－２ Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－３ｘ＋２）Ｓ（ｘ）－３ｘ＋７ ＝（ｘ－１）（ｘ－２）Ｓ（ｘ）－３ｘ＋７ Ｐ（１）＝４ Ｐ（２）＝１ Ｐ（－１）＝－２より ａ－ｂ＋ｃ＝－２　① Ｐ（１）＝４より ａ＋ｂ＋ｃ＝４　② Ｐ（２）＝１より ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝１　③ ①－② －２ｂ＝－６　ｂ＝３ ②－③ －３ａ－ｂ＝３ ｂ＝３を代入 －３ａ－３＝３ －３ａ＝６　ａ＝－２ ②より －２＋３＋ｃ＝４　ｃ＝３ よって、 －２ｘ²＋３ｘ＋３ 問題 多項式Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋２）で割った余りが７ｘ、ｘ－３で割った余りが１であるとき、Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ－３）で割った余りを求めよ。 求める余りを ａ（ｘ－１）（ｘ＋２）＋７ｘとする Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋１ Ｐ（３）＝１より ａ（３－１）（３＋２）＋７・３＝１ 10ａ＝－20　ａ＝－２ よって、 －２（ｘ－１）（ｘ＋２）＋７ｘ ＝－２（ｘ²＋ｘ－２）＋７ｘ ＝－２ｘ²－２ｘ＋４＋７ｘ ＝－２ｘ²＋５ｘ＋４ ※別解 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｒ（ｘ）＋７ｘ Ｐ（１）＝７ Ｐ（－２）＝－14 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｓ（ｘ）＋１ Ｐ（３）＝１ Ｐ（１）＝７より ａ＋ｂ＋ｃ＝７　① Ｐ（－２）＝－14より ４ａ－２ｂ＋ｃ＝－14　② Ｐ（３）＝１より ９ａ＋３ｂ＋ｃ＝１　③ ①－② －３ａ＋３ｂ＝21 －ａ＋ｂ＝７　④ ①－③ －８ａ－２ｂ＝６ －４ａ－ｂ＝３　⑤ ④＋⑤ －５ａ＝10　ａ＝－２ ④に代入して ２＋ｂ＝７　ｂ＝５ ①より －２＋５＋ｃ＝７　ｃ＝４ よって、 －２ｘ²＋５ｘ＋４ 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－３、（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ－３）で割ったときの余りをそれぞれａ、Ｒ（ｘ）とする。Ｒ（ｘ）のｘ²の係数が２であり、更にＰ（ｘ）を（ｘ＋２）（ｘ－１）で割ったときの余りが４ｘ－５であるとき、ａの値を求めよ。 Ｒ（ｘ）＝２（ｘ＋２）（ｘ－１）＋４ｘ－５ Ｒ（３）＝Ｐ（３）＝ａだから ２・５・２＋４・３－５＝ａ ａ＝20＋12－５＝27 ※別解 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋ａ Ｐ（３）＝ａ Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ－３）Ｓ（ｘ）＋２ｘ²＋ｂｘ＋ｃ Ｐ（３）＝ａより 18＋３ｂ＋ｃ＝ａ　① Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋２）（ｘ－１）Ｔ（ｘ）＋４ｘ－５ Ｐ（－２）＝－13より ８－２ｂ＋ｃ＝－13　② Ｐ（１）＝－１より ２＋ｂ＋ｃ＝－１　③ ②、③より 　 －２ｂ＋ｃ＝－21 －） 　ｂ＋ｃ＝－３ 　　　 －３ｂ＝－18 　　　　　 ｂ＝６ ６＋ｃ＝－３　ｃ＝－９ ①より 18＋18－９＝ａ ａ＝27 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割ると－１余り、ｘ＋１で割ると３余る。 1）Ｐ（ｘ）をｘ²－１で割ったときの余りを求めよ。 2）Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）²で割ったときの余りが定数であるとき、Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）²（ｘ＋１）で割ったときの余りを求めよ。 1） Ｐ（ｘ）＝（ｘ²－１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（１）＝－１、Ｐ（－１）＝３より ａ＋ｂ＝－１　① －ａ＋ｂ＝３　② ①－②より ２ａ＝－４　ａ＝－２ ②に代入して ２＋ｂ＝３　ｂ＝１ よって、 －２ｘ＋１ 2） 求める余りを ｃ（ｘ－１）²＋ｄとする Ｐ（１）＝－１より ｄ＝－１ Ｐ（－１）＝３より ４ｃ＋ｄ＝３ ４ｃ－１＝３　ｃ＝１ よって、 （ｘ－１）²－１ ＝ｘ²－２ｘ＋１－１ ＝ｘ²－２ｘ 問題 ｘ²＋１で割ると３ｘ＋２余り、ｘ²＋ｘ＋１で割ると２ｘ＋３余るようなｘの多項式のうちで、次数が最小のものを求めよ。 Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋１）Ｑ（ｘ）＋３ｘ＋２ Ｑ（ｘ）＝（ａｘ＋ｂ）とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋１）（ａｘ＋ｂ）＋３ｘ＋２ ＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｂｘ＋ｂ＋３ｘ＋２ ＝ａｘ³＋ｂｘ²＋（ａ＋３）ｘ＋ｂ＋２　① Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋ｘ＋１）Ｒ（ｘ）＋２ｘ＋３ ①より、最高次の係数はａだから Ｒ（ｘ）＝（ａｘ＋ｃ）とする Ｐ（ｘ）＝（ｘ²＋ｘ＋１）（ａｘ＋ｃ）＋２ｘ＋３ ＝ａｘ³＋ｃｘ²＋ａｘ²＋ｃｘ＋ａｘ＋ｃ＋２ｘ＋３ ＝ａｘ³＋（ａ＋ｃ）ｘ²＋（ａ＋ｃ＋２）ｘ＋ｃ＋３　② ①、②より係数を比較して ａ＋ｃ＝ｂ　③ ａ＋３＝ａ＋ｃ＋２　④ ｂ＋２＝ｃ＋３　⑤ ④より ｃ＝１ ⑤に代入 ｂ＋２＝１＋３　ｂ＝２ ③より ａ＋１＝２　ａ＝１ よって、①より ｘ³＋２ｘ²＋４ｘ＋４ ※条件を満たす多項式が２次式以下であるとすると ｐ（ｘ²＋１）＋３ｘ＋２＝ｐ（ｘ²＋ｘ＋１）＋２ｘ＋３ ｐｘ²＋３ｘ＋ｐ＋２＝ｐｘ²＋（ｐ＋２）ｘ＋ｐ＋３ 係数を比較して ３＝ｐ＋２　ｐ＝１ しかし、定数項のｐ＋２＝ｐ＋３は成り立たない。 よって、最小の次数は３次となる。 問題 多項式Ｐ（ｘ）があり、Ｐ（ｘ）はｘ－１で割り切れ、ｘ＋２で割った余りが９である。ただし、Ｐ（ｘ）のすべての項の係数は実数である。 1）Ｐ（１）、Ｐ（－２）の値をそれぞれ求めよ。 2）Ｐ（ｘ）をｘ²＋ｘ－２で割った余りを求めよ。 3）Ｐ（ｘ）は３次の項の係数が１である３次式であり、方程式Ｐ（ｘ）＝０が異なる実数解をちょうど２個もつ。Ｐ（ｘ）を求めよ。 1） Ｐ（１）＝０ Ｐ（－２）＝９ 2） Ｐ（ｘ） ＝（ｘ²＋ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（１）＝０より ａ＋ｂ＝０　① Ｐ（－２）＝９より －２ａ＋ｂ＝９　② ①－② ３ａ＝－９　ａ＝－３ ①に代入して －３＋ｂ＝０　ｂ＝３ よって、 －３ｘ＋３ 3） Ｐ（ｘ） ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）Ｑ（ｘ）－３ｘ＋３ ３次の項の係数が１だから Ｑ（ｘ）＝ｘ＋ｃとする Ｐ（ｘ） ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ＋ｃ）－３ｘ＋３ ＝（ｘ²＋ｘ－２）（ｘ＋ｃ）－３ｘ＋３ ＝ｘ³＋ｃｘ²＋ｘ²＋ｃｘ－２ｘ－２ｃ－３ｘ＋３ ＝ｘ³＋（ｃ＋１）ｘ²＋（ｃ－５）ｘ－２ｃ＋３＝０ Ｐ（１）＝０だから １　ｃ＋１　　ｃ－５　－２ｃ＋３　【１ 　　　　１　　ｃ＋２　　２ｃ－３ １　ｃ＋２　２ｃ－３　　　　　０ （ｘ－１）｛ｘ²＋（ｃ＋２）ｘ＋２ｃ－３｝＝０ ｘ²＋（ｃ＋２）ｘ＋２ｃ－３＝０の解が１のとき、異なる実数解をちょうど２個もつ。 １＋ｃ＋２＋２ｃ－３＝０ ｃ＝０ よって、 Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋（ｃ＋１）ｘ²＋（ｃ－５）ｘ－２ｃ＋３ ＝ｘ³＋ｘ²－５ｘ＋３ また、 ｘ²＋（ｃ＋２）ｘ＋２ｃ－３＝０がｘ≠１の重解をもつとき Ｄ＝（ｃ＋２）²－４（２ｃ－３） ＝ｃ²＋４ｃ＋４－８ｃ＋12 ＝ｃ²－４ｃ＋16 ＝（ｃ－２）²＋12＞０ Ｄ＝０とならないから不適 したがって、 ｘ³＋ｘ²－５ｘ＋３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.21 剰余の定理 テスト対策 👉ブログ TOP

連立方程式 文章問題 １学期も後半に入り、中学生は各学年で「方程式」の学習に進んでいます。方程式には、文章から式を立てて数を求める学習があり、長い文章から必要な情報を取り出して整理する力が必要になります。 問題 ２けたの自然数がある。この数は、各位の数の和の６倍よりも１大きい数である。また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は、もとの数より18小さい。もとの自然数を求めなさい。 十の位の数をｘ、一の位の数をｙとする。 この数は、各位の数の和の６倍よりも１大きい この数（２けたの自然数）　10ｘ＋ｙ 各位の数の和　ｘ＋ｙ 👉10ｘ＋ｙ＝６（ｘ＋ｙ）＋１　① 十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は、もとの数より18小さい 位を入れかえた数　10ｙ＋ｘ もとの数（２けたの自然数）　10ｘ＋ｙ 👉10ｙ＋ｘ＝（10ｘ＋ｙ）－18　② ①より 10ｘ＋ｙ＝６ｘ＋６ｙ＋１ ４ｘ－５ｙ＝１　①’ ②より －９ｘ＋９ｙ＝－18 両辺÷９ －ｘ＋ｙ＝－２　②’ ①’＋②’×４ 　　　４ｘ－５ｙ＝１ ＋）－４ｘ＋４ｙ＝－８ 　　　　　　－ｙ＝－７ 　　　　　　　ｙ＝７ ②’に代入 －ｘ＋７＝－２　ｘ＝９ もとの自然数を10ｘ＋ｙとしたから 10×９＋７＝97 問題 ある町で全住宅の太陽光発電システムの設置状況について調査をしたところ、設置している住宅戸数は設置していない住宅戸数より2160戸少なかった。また設置している住宅戸数は全住宅戸数の５％であった。設置している住宅戸数を求めなさい。 設置している戸数をｘ、 設置していない戸数をｙとする。 ｘはｙより2160少ないから ｘ＝ｙ－2160　① ｘは（ｘ＋ｙ）の５％だから ｘ＝（ｘ＋ｙ）×（5/100）　② ②×100 100ｘ＝５ｘ＋５ｙ ５ｙ＝95ｘ ｙ＝19ｘ ①に代入 ｘ＝19ｘ－2160 －18ｘ＝－2160 ｘ＝120 よって、120戸 問題 ２種類の重さのおもり●、■がある。下の図１、２のように、おもりを左右の皿にのせると、てんびんはつり合う。図３のように、右の皿に■のおもりを６個のせたとき、左の皿に●のおもりを何個のせれば、てんびんはつり合いますか。 ●をｘｇ、■をｙｇとする 図１より ３ｙ＝４ｘ＋１　① 図２より ｘ＋３ｙ＝11　② ①を②に代入 ｘ＋（４ｘ＋１）＝11 ５ｘ＝10　ｘ＝２ ①より ３ｙ＝８＋１ ３ｙ＝９　ｙ＝３ 図３より ■１個が３ｇだから ６個分で18ｇ ●１個が２ｇだから 18÷２＝９ よって、９個 計算問題 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ４ｘ＋５ｙ＝11 ３ｘ＋４ｙ＝９ 2） ｘ＋２ｙ＝９ ｙ＝ｘ－３ 3） ３（ｘ－ｙ）＋５ｙ＝５ ５ｘ－２ｙ＝19 4） 0.5ｘ＋1.2ｙ＝21 ｘ　ｙ ━＋━＝５ ３　５ 1） ４ｘ＋５ｙ＝11　① ３ｘ＋４ｙ＝９　② ①×３－②×４ 　　12ｘ＋15ｙ＝33 －）12ｘ＋16ｙ＝36 　　　　　－ｙ＝－３ 　　　　　　ｙ＝３ ②に代入 ３ｘ＋12＝９ ３ｘ＝－３　ｘ＝－１ よって、 ｘ＝－１、ｙ＝３ 2） ｘ＋２ｙ＝９　① ｙ＝ｘ－３　② ②を①に代入 ｘ＋２（ｘ－３）＝９ ｘ＋２ｘ－６＝９ ３ｘ＝15　ｘ＝５ ②に代入 ｙ＝５－３＝２ よって、 ｘ＝５、ｙ＝２ 3） ３（ｘ－ｙ）＋５ｙ＝５　① ５ｘ－２ｙ＝19　② ①より ３ｘ－３ｙ＋５ｙ＝５ ３ｘ＋２ｙ＝５　①’ ①’＋② 　　３ｘ＋２ｙ＝５ ＋）５ｘ－２ｙ＝19 　　８ｘ　　　＝24 　　　　　　ｘ＝３ ①’に代入 ９＋２ｙ＝５ ２ｙ＝－４　ｙ＝－２ よって、 ｘ＝３、ｙ＝－２ 4） 0.5ｘ＋1.2ｙ＝21　① ｘ　ｙ ━＋━＝５　② ３　５ ①×10 ５ｘ＋12ｙ＝210 ５ｘ＝210－12ｙ①’ ②×15 ５ｘ＋３ｙ＝75 ５ｘ＝75－３ｙ　②’ ①’＝②’ 210－12ｙ＝75－３ｙ －９ｙ＝－135 ｙ＝15 ②’に代入 ５ｘ＝75－45 ５ｘ＝30　ｘ＝６ よって、 ｘ＝６、ｙ＝15 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.23 連立方程式 文章問題 👉ブログ TOP

因数定理 テスト対策 １学期も後半に入り、中高生は期末テスト対策を進めています。 高校数Ⅱの因数定理は、前の単元で学習する「剰余の定理」の余りが０になるケースを利用したもので、高次式の因数分解や方程式を解くときに利用します。 問題 次の式を因数分解せよ。 1） ｘ³－ｘ²－10ｘ－８ 2） ２ｘ⁴－３ｘ³－ｘ²－３ｘ＋２ 3） ｘ³－ｘ²－４ 4） ２ｘ³－５ｘ²－ｘ＋６ 5） ｘ⁴－４ｘ＋３ 6） ｘ⁴－２ｘ³－ｘ²－４ｘ－６ 7） 12ｘ³－５ｘ²＋１ 1） ｘ³－ｘ²－10ｘ－８ ｘ＝－２のとき０ （ｘ＋２）で割り切れる １　－１　－10　－８　【－２ 　　－２　　６　　８ １　－３　－４　　０ （ｘ＋２）（ｘ²－３ｘ－４） ＝（ｘ＋２）（ｘ－４）（ｘ＋１） 2） ２ｘ⁴－３ｘ³－ｘ²－３ｘ＋２ ｘ＝２のとき０ （ｘ－２）で割り切れる ２　－３　－１　－３　　２　【２ 　　　４　　２　　２　－２ ２　　１　　１　－１　　０ （ｘ－２）（２ｘ³＋ｘ²＋ｘ－１） ２ｘ³＋ｘ²＋ｘ－１ ｘ＝1/2のとき０ ｛ｘ－（1/2）｝で割り切れる ２　１　１　－１　【1/2 　　１　１　　１ ２　２　２　　０ （ｘ－２）｛ｘ－（1/2）｝（２ｘ²＋２ｘ＋２） ＝（ｘ－２）（２ｘ－１）（ｘ²＋ｘ＋１） 3） ｘ³－ｘ²－４ ｘ＝２のとき０ （ｘ－２）で割り切れる １　－１　０　－４　【２ 　　　２　２　　４ １　　１　２　　０ （ｘ－２）（ｘ²＋ｘ＋２） 4） ２ｘ³－５ｘ²－ｘ＋６ ｘ＝－１のとき０ （ｘ＋１）で割り切れる ２　－５　－１　　６　【－１ 　　－２　　７　－６ ２　－７　　６　　０ （ｘ＋１）（２ｘ²－７ｘ＋６） ２ｘ²－７ｘ＋６ ２　－３　－３ 　× １　－２　－４ 　　　　　－７ （ｘ＋１）（２ｘ－３）（ｘ－２） 5） ｘ⁴－４ｘ＋３ ｘ＝１のとき０ （ｘ－１）で割り切れる １　０　０　－４　　３　【１ 　　１　１　　１　－３ １　１　１　－３　　０ （ｘ－１）（ｘ³＋ｘ²＋ｘ－３） ｘ³＋ｘ²＋ｘ－３ ｘ＝１のとき０ （ｘ－１）で割り切れる １　１　１　－３　【１ 　　１　２　　３　 １　２　３　　０ （ｘ－１）²（ｘ²＋２ｘ＋３） 6） ｘ⁴－２ｘ³－ｘ²－４ｘ－６ ｘ＝－１のとき０ （ｘ＋１）で割り切れる １　－２　－１　－４　－６　【－１ 　　－１　　３　－２　　６ １　－３　　２　－６　　０ 　 （ｘ＋１）（ｘ³－３ｘ²＋２ｘ－６） ｘ³－３ｘ²＋２ｘ－６ ｘ＝３のとき０ （ｘ－３）で割り切れる １　－３　２　－６　【３ 　　　３　０　　６ １　　０　２　　０ （ｘ＋１）（ｘ－３）（ｘ²＋２） 7） 12ｘ³－５ｘ²＋１ ｘ＝－1/3のとき０ ｛ｘ＋（1/3）｝で割り切れる 12　－５　０　　１　【－1/3 　　－４　３　－１ 12　－９　３　　０ ｛ｘ＋（1/3）｝（12ｘ²－９ｘ＋３） ＝（３ｘ＋１）（４ｘ²－３ｘ＋１） 問題 ｘ＝１＋√２ｉのとき、次の式の値を求めよ。 Ｐ（ｘ）＝ｘ⁴－４ｘ³＋２ｘ²＋６ｘ－７ ｘ＝１＋√２ｉより ｘ－１＝√２ｉ 両辺を２乗 ｘ²－２ｘ＋１＝－２ ｘ²＝２ｘ－３ Ｐ（ｘ）に代入 （２ｘ－３）²－４ｘ（２ｘ－３）＋２（２ｘ－３）＋６ｘ－７ ＝４ｘ²－12ｘ＋９－８ｘ²＋12ｘ＋４ｘ－６＋６ｘ－７ ＝－４ｘ²＋10ｘ－４ ｘ²＝２ｘ－３を代入 －４（２ｘ－３）＋10ｘ－４ ＝－８ｘ＋12＋10ｘ－４ ＝２ｘ＋８ ｘ＝１＋√２ｉを代入 ２（１＋√２ｉ）＋８ ＝10＋２√２ｉ 問題 ｘ＝（１－√３ｉ）/２のとき、ｘ⁵＋ｘ⁴－２ｘ³＋ｘ²－３ｘ＋１の値を求めよ。 ｘ＝（１－√３ｉ）/２より ２ｘ＝１－√３ｉ ２ｘ－１＝－√３ｉ 両辺を２乗すると ４ｘ²－４ｘ＋１＝－３ ４ｘ²－４ｘ＋４＝０ ｘ²－ｘ＋１＝０ 両辺に（ｘ＋１）をかける 👉「ａ³＋ｂ³」型ができる （ｘ＋１）（ｘ²－ｘ＋１）＝０ ｘ³＋１³＝０ ｘ³＝－１ よって、 ｘ⁵＝ｘ³・ｘ²＝－ｘ² ｘ⁴＝ｘ³・ｘ＝－ｘ ５次式に代入して －ｘ²－ｘ＋２＋ｘ²－３ｘ＋１ ＝－４ｘ＋３ ｘ＝（１－√３ｉ）/２を代入して ＝－２＋２√３ｉ＋３ ＝１＋２√３ｉ ※別解 ｘ²－ｘ＋１で５次式を割ると ｘ³＋２ｘ²－ｘ－２ ｘ⁵＋ｘ⁴－２ｘ³＋ｘ²－３ｘ＋１ ｘ⁵－ｘ⁴　＋ｘ³　　　　　　 　 ２ｘ⁴－３ｘ³ 　 ２ｘ⁴－２ｘ³＋２ｘ² 　　　　 －ｘ³－ｘ² 　　　　　－ｘ³＋ｘ²－ｘ 　　　　　　　－２ｘ²－２ｘ＋１ 　　　　　　　－２ｘ²＋２ｘ－２ 　　　　　　　　　　－４ｘ＋３ ｘ⁵＋ｘ⁴－２ｘ³＋ｘ²－３ｘ＋１ ＝（ｘ²－ｘ＋１）（ｘ³＋２ｘ²－ｘ－２）－４ｘ＋３ ｘ²－ｘ＋１＝０より ＝－４ｘ＋３ ｘ＝（１－√３ｉ）/２を代入して ＝－２＋２√３ｉ＋３ ＝１＋２√３ｉ 問題 ｘの多項式Ｐ（ｘ）＝ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ａｂｘ²－（ａ＋３ｂ－４）ｘ－（３ａ－２）がｘ²－１で割り切れるような定数ａ、ｂの値の組を求めよ。また、求めたａ、ｂの値の組に対し、Ｐ（ｘ）を実数の範囲で因数分解せよ。 ｘ²－１ ＝（ｘ＋１）（ｘ－１） よって、 Ｐ（１）＝０、Ｐ（－１）＝０ Ｐ（１） ＝ａ＋ｂ＋ａｂ－ａ－３ｂ＋４－３ａ＋２ ＝ａｂ－３ａ－２ｂ＋６＝０ ａ　－２　－２ｂ 　× ｂ　－３　－３ａ 　　　　　－３ａ－２ｂ （ａ－２）（ｂ－３）＝０ ａ＝２、ｂ＝３　① Ｐ（－１） ＝ａ－ｂ＋ａｂ＋ａ＋３ｂ－４－３ａ＋２ ＝ａｂ－ａ＋２ｂ－２＝０ ａ　　２　２ｂ 　× ｂ　－１　－ａ 　　　　　－ａ＋２ｂ （ａ＋２）（ｂ－１）＝０ ａ＝－２、ｂ＝１　② ①、②を同時に満たすのは ａ＝２、ｂ＝１ ａ＝－２、ｂ＝３ ａ＝２、ｂ＝１のとき ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ａｂｘ²－（ａ＋３ｂ－４）ｘ－（３ａ－２） ＝２ｘ⁴＋ｘ³＋２ｘ²－ｘ－４ Ｐ（１）＝０だから ２　１　２　－１　－４　【１ 　　２　３　　５　　４ ２　３　５　　４　　０ （ｘ－１）（２ｘ³＋３ｘ²＋５ｘ＋４） Ｐ（－１）＝０だから ２　３　　５　　４　【－１ 　－２　－１　－４ ２　１　　４　　０ （ｘ－１）（ｘ＋１）（２ｘ²＋ｘ＋４） ２ｘ²＋ｘ＋４＝０の判別式をＤとする Ｄ＝１－32＝－31 Ｄ＜０だから因数分解できない よって、 ａ＝２、ｂ＝１のとき （ｘ－１）（ｘ＋１）（２ｘ²＋ｘ＋４） ａ＝－２、ｂ＝３のとき ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ａｂｘ²－（ａ＋３ｂ－４）ｘ－（３ａ－２） ＝－２ｘ⁴＋３ｘ³－６ｘ²－３ｘ＋８ Ｐ（１）＝０だから －２　　３　－６　－３　　８　【１ 　　　－２　　１　－５　－８ －２　　１　－５　－８　　０ （ｘ－１）（－２ｘ³＋ｘ²－５ｘ－８） Ｐ（－１）＝０だから －２　１　－５　－８　【－１ 　　　２　－３　　８ －２　３　－８　　０ （ｘ－１）（ｘ＋１）（－２ｘ²＋３ｘ－８） ＝－（ｘ－１）（ｘ＋１）（２ｘ²－３ｘ＋８） ２ｘ²－３ｘ＋８＝０の判別式をＤとする Ｄ＝９－64＝－55 Ｄ＜０だから因数分解できない よって、 ａ＝－２、ｂ＝３のとき －（ｘ－１）（ｘ＋１）（２ｘ²－３ｘ＋８） 問題 次の方程式を解け。 1）ｘ³＝27 2）ｘ⁴－ｘ²－６＝０ 3）ｘ⁴＋ｘ²＋４＝０ 4）ｘ⁴＝16 5）ｘ⁴－ｘ²－12＝０ 6）ｘ⁴－３ｘ²＋９＝０ 1） ｘ³＝27 ｘ³－27＝０ ｘ³－３³＝０ （ｘ－３）（ｘ²＋３ｘ＋９）＝０ ｘ²＋３ｘ＋９＝０より ｘ＝（－３±√－27）/２ 　＝（－３±３√３ｉ）/２ よって、 ｘ＝３，（－３±３√３ｉ）/２ 2） ｘ⁴－ｘ²－６＝０ （ｘ²）²－ｘ²－６＝０ （ｘ²－３）（ｘ²＋２）＝０ ｘ²－３＝０より ｘ＝±√３ ｘ²＋２＝０より ｘ＝±√２ｉ よって、 ｘ＝±√３、±√２ｉ 3） ｘ⁴＋ｘ²＋４＝０ ｘ⁴＋４＋ｘ²＝０ （ｘ²＋２）²－４ｘ²＋ｘ²＝０ （ｘ²＋２）²－３ｘ²＝０ （ｘ²＋２＋√３ｘ）（ｘ²＋２－√３ｘ）＝０ ｘ²＋√３ｘ＋２＝０より ｘ＝（－√３±√－５）/２ 　＝（－√３±√５ｉ）/２ ｘ²－√３ｘ＋２＝０より ｘ＝（√３±√－５）/２ 　＝（√３±√５ｉ）/２ よって、 ｘ＝（－√３±√５ｉ）/２ ｘ＝（√３±√５ｉ）/２ 4） ｘ⁴＝16 ｘ⁴－16＝０ （ｘ²）²－４²＝０ （ｘ²＋４）（ｘ²－４）＝０ ｘ＝±２ｉ、±２ 5） ｘ⁴－ｘ²－12＝０ （ｘ²）²－ｘ²－12＝０ （ｘ²－４）（ｘ²＋３）＝０ ｘ＝±２、±√３ｉ 6） ｘ⁴－３ｘ²＋９＝０ ｘ⁴＋９－３ｘ²＝０ （ｘ²＋３）²－６ｘ²－３ｘ²＝０ （ｘ²＋３）²－９ｘ²＝０ （ｘ²＋３＋３ｘ）（ｘ²＋３－３ｘ）＝０ ｘ²＋３ｘ＋３＝０より ｘ＝（－３±√３ｉ）/２ ｘ²－３ｘ＋３＝０より ｘ＝（３±√３ｉ）/２ よって、 ｘ＝（－３±√３ｉ）/２ ｘ＝（３±√３ｉ）/２ 問題 次の方程式を解け。 1） ｘ³＋３ｘ²＋４ｘ＋４＝０ 2） ２ｘ⁴＋５ｘ³＋５ｘ²－２＝０ 3） ３ｘ³＋４ｘ²－６ｘ－７＝０ 4） ｘ⁴＋６ｘ³－24ｘ－16＝０ 1） ｘ³＋３ｘ²＋４ｘ＋４＝０ ｘ＝－２のとき０ （ｘ＋２）で割り切れる １　　３　　４　　４　【－２ 　　－２　－２　－４ １　　１　　２　　０ （ｘ＋２）（ｘ²＋ｘ＋２）＝０ ｘ²＋ｘ＋２＝０より ｘ＝（－１±√７ｉ）/２ よって、 ｘ＝－２，（－１±√７ｉ）/２ 2） ２ｘ⁴＋５ｘ³＋５ｘ²－２＝０ ｘ＝－１のとき０ （ｘ＋１）で割り切れる ２　　５　　５　　０　－２　【－１ 　　－２　－３　－２　　２　　 ２　　３　　２　－２　　０ （ｘ＋１）（２ｘ³＋３ｘ²＋２ｘ－２）＝０ ２ｘ³＋３ｘ²＋２ｘ－２ ｘ＝1/2のとき０ ｛ｘ－（1/2）｝で割り切れる ２　３　２　－２　【1/2 　　１　２　　２ ２　４　４　　０ （ｘ＋１）｛ｘ－（1/2）｝（２ｘ²＋４ｘ＋４）＝０ （ｘ＋１）（２ｘ－１）（ｘ²＋２ｘ＋２）＝０ ｘ²＋２ｘ＋２＝０より ｘ＝－１±ｉ よって、 ｘ＝－１，1/2，－１±ｉ 3） ３ｘ³＋４ｘ²－６ｘ－７＝０ ｘ＝－１のとき０ （ｘ＋１）で割り切れる ３　　４　－６　－７　【－１ 　　－３　－１　　７ ３　　１　－７　　０ （ｘ＋１）（３ｘ²＋ｘ－７）＝０ ３ｘ²＋ｘ－７＝０より ｘ＝（－１±√85）/６ よって、 ｘ＝－１，（－１±√85）/６ 4） ｘ⁴＋６ｘ³－24ｘ－16＝０ ｘ＝－２のとき０ （ｘ＋２）で割り切れる １　　６　　０　－24　－16　【－２ 　　－２　－８　　16　　16 １　　４　－８　－８　　０ （ｘ＋２）（ｘ³＋４ｘ²－８ｘ－８）＝０ ｘ³＋４ｘ²－８ｘ－８ ｘ＝２のとき０ （ｘ－２）で割り切れる １　４　－８　－８　【２ 　　２　　12　　８ １　６　　４　　０ （ｘ＋２）（ｘ－２）（ｘ²＋６ｘ＋４）＝０ ｘ²＋６ｘ＋４＝０より ｘ＝－３±√５ よって、 ｘ＝±２，－３±√５ 問題 1）等式ｘ⁴－31ｘ²＋20ｘ＋５＝（ｘ²＋ａ）²－（ｂｘ－２）²がｘについての恒等式となるように、定数ａ、ｂの値を定めよ。 2）方程式ｘ⁴－31ｘ²＋20ｘ＋５＝０を解け。 1） 右辺 ＝ｘ⁴＋２ａｘ²＋ａ²－（ｂ²ｘ²－４ｂｘ＋４） ＝ｘ⁴＋２ａｘ²＋ａ²－ｂ²ｘ²＋４ｂｘ－４ ＝ｘ⁴＋（２ａ－ｂ²）ｘ²＋４ｂｘ＋ａ²－４ 係数を比較して ２ａ－ｂ²＝－31　① ４ｂ＝20　② ａ²－４＝５　③ ②より ｂ＝５ ③より ａ²＝９　ａ＝±３ ａ＝３のとき、①より ６－ｂ²＝－31 ｂ²＝37 ｂ＝±√37となり、ｂ＝５に合わない ａ＝－３のとき、①より －６－ｂ²＝－31 ｂ²＝25 ｂ＝±５となり、ｂ＝５に合う よって、 ａ＝－３、ｂ＝５ 2） （ｘ²＋ａ）²－（ｂｘ－２）²＝０だから （ｘ²－３）²－（５ｘ－２）²＝０ （ｘ²－３＋５ｘ－２）（ｘ²－３－５ｘ＋２）＝０ （ｘ²＋５ｘ－５）（ｘ²－５ｘ－１）＝０ ｘ²＋５ｘ－５＝０より ｘ＝（－５±３√５）/２ ｘ²－５ｘ－１＝０より ｘ＝（５±√29）/２ よって、 ｘ＝（－５±３√５）/２ ｘ＝（５±√29）/２ 問題 １辺が５cmの正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取った残りでふたのない直方体を作ったら、その容器が８cm³になった。切り取った正方形の１辺の長さを求めよ。 切り取る正方形の１辺をｘcmとする 底面積 １辺が（５－２ｘ）だから （５－２ｘ）²　cm² 高さ 切り取る正方形の１辺と同じ長さだからｘcm よって、 （５－２ｘ）²・ｘ＝８ （25－20ｘ＋４ｘ²）ｘ＝８ ４ｘ³－20ｘ²＋25ｘ－８＝０ ０＜ｘ＜2.5だから 因数は１，２，1/2，1/4 ｘ＝1/2のとき０ ｛ｘ－（1/2）｝で割り切れる ４　－20　　25　－８　【1/2 　　　２　－９　　８ ４　－18　　16　　０ ｛ｘ－（1/2）｝（４ｘ²－18ｘ＋16）＝０ （２ｘ－１）（２ｘ²－９ｘ＋８）＝０ ２ｘ²－９ｘ＋８＝０より ｘ＝（９±√17）/４ よって、 ｘ＝1/2，（９±√17）/４ ０＜ｘ＜2.5より （９＋√17）/４ は不適 したがって、 1/2（cm）、（９－√17）/４（cm） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.23 因数定理 テスト対策 👉ブログ TOP

Σ 数列の和 等差数列や等比数列の和は、Σ（シグマ）を使って計算します。Σの上は項数、下は列の最初の番号、右横は足し合わせる数を表します。足し合わせる数が ｋ、ｋ²、ｋ³ のときの公式があります。 問題 次の式を、和の記号Σを用いて書け。 1） １³＋２³＋３³＋・・＋ｎ³ 2） 　　　　　　　　　 n-1 １＋３＋９＋・・＋３ 3） ３＋６＋９＋12＋15 4） １＋２＋４＋８＋・・（第ｎ項まで） 1） １³＋２³＋３³＋・・＋ｎ³ １番から始まる 👉 Σ 　 k=1 　　　　　　 　n ｎ番で終わる👉 Σ ｎ²を足し合わせる👉 Σ ｋ³ n Σ ｋ³ k=1 2） 　　　　　　　　　 n-1 １＋３＋９＋・・＋３ ＝３⁰＋３¹＋３²＋・・ ３⁰　１番目 ３¹　２番目 ３²　３番目 　n-1 ３　　ｎ番目 １番から始まる 👉 Σ 　 k=1 　　　　　　　 n ｎ番で終わる👉 Σ 　n-1 ３ を足し合わせる 　　　 k-1 👉 Σ ３ n k-1 Σ ３ k=1 3） ３＋６＋９＋12＋15 ＝３・１＋３・２＋３・３＋３・４＋３・５ １番から始まる ５番で終わる ３・ｎを足し合わせる 5 Σ ３ｋ k=1 4） １＋２＋４＋８＋・・（第ｎ項まで） ＝２⁰＋２¹＋２²＋２³＋・・２の（ｎ－１）乗 １番から始まる ｎ番で終わる ２の（ｎ－１）乗を足し合わせる n k-1 Σ ２ k=1 問題 次の和を求めよ。 1） n k Σ ４ k=1 2） n k-1 Σ ２ k=1 3） n-1 k Σ ６ k=1 1） n k Σ ４ k=1 　　　　　　　　　　 ４¹＋４²＋４³＋・・＋４のｎ乗 等比数列 初項ａ＝４ 公比ｒ＝４（４倍ずつ） 項数　ｎ 　　　n ４（４ －１） ━━━━━━ 　 ４－１ 　４　　n ＝━（４ －１） 　３ 2） n k-1 Σ ２ k=1 ２⁰＋２¹＋２²＋・・＋２の（ｎ－１）乗 初項ａ＝２⁰＝１ 公比ｒ＝２ 項数　ｎ 　　　　n 　１（２ －１） ＝━━━━━━ 　　 ２－１ 　　n ＝２ －１ 3） n-1 k Σ ６ k=1 ６¹＋６²＋６³＋・・＋６の（ｎ－１）乗 初項ａ＝６ 公比ｒ＝６ 項数　ｎ－１ 　　　　n-1 　６（６　－１） ＝━━━━━━━ 　　　６－１ 　６　　n-1 ＝━（６　－１） 　５ 問題 次の和を求めよ。 1） 40 Σ ｋ k=1 2） 25 Σ ｋ² k=1 3） 19 Σ ｋ³ k=1 4） 21 Σ ｋ² k=7 1） 40 Σ ｋ k=1 ＝（1/2）ｎ（ｎ＋１） ＝（1/2）・40・41 ＝820 2） 25 Σ ｋ² k=1 ＝（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（1/6）・25・26・51 ＝25・13・17 ＝25（15－２）（15＋２） ＝25（225－４） ＝25（25・９－４） ＝625・９－100 ＝5525 3） 19 Σ ｋ³ k=1 ＝｛（1/2）ｎ（ｎ＋１）｝² ＝｛（1/2）・19・20｝² ＝｛19・10｝² ＝19²・10² ＝361・100 ＝36100 4） 21 Σ ｋ² k=7 1〜21番目の和から1〜6番目の和をひく 21　　 6 Σ ｋ²－ Σ ｋ² k=1 k=1 ＝（1/6）・21・22・43－（1/6）・6・7・13 ＝７・11・43－７・13 ＝７（10＋1）・43－７・13 ＝７（430＋43－13） ＝７・460 ＝3220 問題 次の和を求めよ。 1） n Σ（５ｋ＋４） k=1 2） n Σ（４ｋ³－１） k=1 3） n-1 Σ ｋ（ｋ＋３） k=1 4） ３²＋６²＋９²＋・・＋（３ｎ）² 5） １²・２＋２²・３＋３²・４＋・・＋ｎ²（ｎ＋１） 1） n Σ（５ｋ＋４） k=1 　n n ５ Σ ｋ＋ Σ ４ 　k=1 k=1 ＝５・（1/2）ｎ（ｎ＋１）＋４ｎ ＝（1/2）ｎ（５ｎ＋５）＋（1/2）ｎ・８ ＝（1/2）ｎ（５ｎ＋13） 2） n Σ（４ｋ³－１） k=1 　n　　　 n ４ Σ ｋ³－ Σ １ 　k=1 k=1 ＝４｛（1/2）ｎ（ｎ＋１）｝²－ｎ ＝４｛（1/4）ｎ²（ｎ＋１）²｝－ｎ ＝ｎ²（ｎ＋１）²－ｎ ＝ｎ²（ｎ²＋２ｎ＋１）－ｎ ＝ｎ（ｎ³＋２ｎ²＋ｎ－１） 3） n-1 Σ ｋ（ｋ＋３） k=1 n-1 n-1 Σ ｋ²＋３ Σ ｋ k=1 k=1 ＝（1/6）（ｎ－１）ｎ（２ｎ－１）＋３・（1/2）（ｎ－１）ｎ ＝（1/6）ｎ（ｎ－１）（２ｎ－１）＋（9/6）ｎ（ｎ－１） ＝（1/6）ｎ（ｎ－１）｛（２ｎ－１）＋９｝ ＝（1/6）ｎ（ｎ－１）（２ｎ＋８） ＝２・（1/6）ｎ（ｎ－１）（ｎ＋４） ＝（1/3）ｎ（ｎ－１）（ｎ＋４） 4） ３²＋６²＋９²＋・・＋（３ｎ）² n Σ（３ｋ）² k=1 　n ＝ Σ ９ｋ² 　k=1 　　n ＝９ Σ ｋ² 　　k=1 ＝９・（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（3/2）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） 5） １²・２＋２²・３＋３²・４＋・・＋ｎ²（ｎ＋１） n Σ ｋ²（ｋ＋１） k=1 　n　　　 n ＝ Σ ｋ³＋ Σ ｋ² 　k=1 k-1 ＝｛（1/2）ｎ（ｎ＋１）｝²＋（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（1/4）ｎ²（ｎ＋１）²＋（1/6）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（3/12）ｎ²（ｎ＋１）²＋（2/12）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） ＝（1/12）ｎ（ｎ＋１）｛３ｎ（ｎ＋１）＋２（２ｎ＋１）｝ ＝（1/12）ｎ（ｎ＋１）（３ｎ²＋３ｎ＋４ｎ＋２） ＝（1/12）ｎ（ｎ＋１）（３ｎ²＋７ｎ＋２） ３ｎ²＋７ｎ＋２ ３　１　　１ 　× １　２　　６ 　　　　＋７ ＝（1/12）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（３ｎ＋１） 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.22 Σ 数列の和 👉ブログ TOP

中３受験生 募集のお知らせ 受験生の『成績アップ』と『志望校合格』を全力応援します！！ 当塾では、『５科目対応の完全個別指導』を行っております。テスト対策と受験対策に強い完全個別指導で、多数の生徒さんを成績アップと志望校合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします！！ 募集対象 2027年度の高校受験において、以下の高校を志望する中学３年生の方を募集いたします。 八戸高校　八戸東高校　八戸北高校　国立八戸高専　 私立高校の進学系学科（学業奨学生、学業特待生） 受講時数 １回・90分　週１～２回 毎回、１対１の完全個別指導 毎週決まった時間帯での受講となります 対応科目 数学　英語　国語　社会　理科 １か月受講料 定額　14,800円（税込） １枠・月４回分 入塾費、セット教材費なし 体験学習 ご入塾をご検討の方に「体験学習」を実施しております。 お申し込みは、当塾ホームページ、お電話にて承ります。 👉体験学習のご案内 　 ※ＨＰの案内ページに移動します 当塾の特長 「完全個別」による充実の学習スタイル ★ 100%オーダーメイド 　全科目対応で、「自分が解けない問題」だけに集中して解決できます。得意な所はスキップし、苦手な所にだけ時間を割けるので、効率良く学習が進められます。 ★ 質問の待ち時間ゼロ 　集団塾でよくある「質問の順番待ち」はありません。授業時間を最大限に有効活用できるタイムパフォーマンスの良い授業スタイルです。 ★ 自分のペースで進められる 　「今までの復習をしたい」「これから先の予習をしたい」など、自分のペースで学習が進められます。「周りに合わせる場面がゼロ」のストレスフリーな学習環境です。 🌸合格実績（開塾４年間）🌸 八戸高校：４名　八戸東高校：10名　八戸北高校：11名　国立八戸高専：２名 工大二高・進学コース：３名　聖ウルスラ学院・英語科：１名 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 指導実績　塾生33名（2026年6月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.22 中３受験生 募集のお知らせ 👉中学生コース 👉高校生コース

平方根の基本 平方根は「２乗する前の数」のことをいいます。例えば「９」は、（＋３）²と（－３）² なので、９の平方根は ±３になります。また、２や３のように平方根が整数にならないときは、√（ルート）を使って表します。 問題 次の数の平方根をいいなさい。 1）36 2）49 　 ４ 3）━ 　 25 1） 同じ数を掛けて36になるのは （＋６）×（＋６） （－６）×（－６） よって、 36の平方根は、±６ 2） （＋７）×（＋７） （－７）×（－７） よって、 49の平方根は、±７ 3） （＋2/5）×（＋2/5） （－2/5）×（－2/5） よって、 4/25の平方根は、±2/5 問題 根号を使って、次の数の平方根を表しなさい。 1）３ 2）10 3）1.3 　 ３ 4）━ 　 ７ 1） 同じ数を掛けて３になるのは （＋√３）×（＋√３） （－√３）×（－√３） よって、 ３の平方根は、±√３ 2） （＋√10）×（＋√10） （－√10）×（－√10） よって、 10の平方根は、±√10 3） （＋√1.3）×（＋√1.3） （－√1.3）×（－√1.3） よって、 1.3の平方根は、±√1.3 4） 　　 ３　　　　 ３ （＋√ ━）×（＋√ ━） 　　 ７　　　　 ７ 　　 ３　　　　 ３ （－√ ━）×（－√ ━） 　　 ７　　　　 ７ よって、 ３　　　　　　　 ３ ━の平方根は、±√ ━ ７　　　　　　　 ７ 問題 次の数を根号を使わずに表しなさい。 1）√36 2）－√81 3）√１ 4）√（－３）² 1） √36＝√６²＝６ 2） －√81＝－√９²＝－９ 3） √１＝√１²＝１ 4） √（－３）² ＝√９＝√３²＝３ 問題 次の数を求めなさい。 1）（√７）² 2）（－√13）² 3）（√16）² 1） （√７）² ＝（√７）×（√７） ＝７ 2） （－√13）² ＝（－√13）×（－√13） ＝13 3） （√16）² ＝（√16）×（√16） ＝16 ※ （√16）² ＝（√４²）² ＝４² ＝16 問題 次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。 1）√13、√15 2）４、√17 3）－√10、－√13 4）√0.1、0.1 5）３、４、√10 6）－２、－√２ 1） √13＜√15 2） ４、√17 √16、√17 ４＜√17 3） －√10＞－√13 👉負の数は、絶対値が大きいほど小さい。 4） √0.1、0.1 √0.1、√0.01 √0.1＞0.1 5） ３、４、√10 √９、√16、√10 ３＜√10＜４ 6） －２、－√２ －√４、－√２ －２＜－√２ 有理化 問題 次の数の分母を有理化しなさい。 1） ２ ━━ √５ 2） √３ ━━ √２ 3） ５ ━━ √27 4） 10 ━━ √８ 有理化：「×１」をする 1） ２　 √５ ━━×━━ √５　 √５ 　 ２√５ ＝━━━ 　 ５ 2） √３　 √２ ━━×━━ √２　 √２ 　 √６ ＝━━ 　 ２ 3） ５ ━━ √27 　 ５　　√３ ＝━━━×━━ ３√３　 √３ 　 ５√３ ＝━━━ 　　９ 4） 10 ━━ √８ 　 10　 ＝━━━ 　 ２√２ 　 ５　 √２ ＝━━×━━ 　 √２　 √２ 　 ５√２ ＝━━━ 　 ２ 問題 次の計算をしなさい。ただし、分母は有理化すること。 1）６÷√３ 2）√20÷√12 1） ６÷√３ 　 ６　 √３ ＝━━×━━ 　 √３　 √３ 　 ６√３ ＝━━━ 　　３ ＝２√３ 2） √20÷√12 　 √20 ＝━━ 　 √12 ルート内を約分 　 √５　 √３ ＝━━×━━ 　 √３　 √３ 　 √15 ＝━━ 　 ３ 近似値 問題 √３＝1.732として、次の値を求めなさい。 1）√27 2） 12 ━━ √３ 1） √27 ＝３√３ ＝３×1.732 ＝5.196 2） 12　 √３ ━━×━━ √３　 √３ ＝４√３ ＝４×1.732 ＝6.928 問題 √５＝2.236として、次の値を求めなさい。 1）√20 2）√80 3） １ ━━ √５ 4） 　５ ━━━ ２√５ 1） √20 ＝２√５ ＝２×2.236 ＝4.472 2） √80 ＝４√５ ＝４×2.236 ＝8.944 3） １　 √５ ━━×━━ √５　 √５ 　 √５ ＝━━ 　 ５ 👉割る数を有理数にする ＝√５÷５ ＝2.236÷５ ＝0.4472 4） 　５　　√５ ━━━×━━ ２√５　 √５ 　 √５ ＝━━ 　 ２ ＝√５÷２ ＝2.236÷２ ＝1.118 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.21 平方根の基本 👉ブログ TOP

２次関数の最大値と最小値 ２次関数の最大値と最小値を求めるとき、放物線の軸（対称軸）をもとに考えます。放物線は左右対称なので、軸から最も遠い位置にある点が最大または最小になります。 問題 次の２次関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。 1）ｙ＝３ｘ²＋２ 2）ｙ＝－（ｘ－１）²＋５ 3）ｙ＝ｘ²－４ｘ－４ 4）ｙ＝－ｘ²＋６ｘ＋１ 5）ｙ＝ｘ²＋５ｘ＋４ 6）ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１ 1） ｙ＝３ｘ²＋２ 下に凸、頂点（０，２） ｘ＝０のとき、 ｙ＝３・０²＋２＝２ よって、 ｘ＝０のとき、最小値２ 2） ｙ＝－（ｘ－１）²＋５ 上に凸、頂点（１，５） ｘ＝１のとき ｙ＝－（１－１）²＋５＝５ よって、 ｘ＝１のとき、最大値５ 3） ｙ＝ｘ²－４ｘ－４ ＝（ｘ－２）²－８ 下に凸、頂点（２，－８） ｘ＝２のとき、 ｙ＝（２－２）²－８＝－８ よって、 ｘ＝２のとき、最小値－８ 4） ｙ＝－ｘ²＋６ｘ＋１ ＝－（ｘ²－６ｘ）＋１ ＝－｛（ｘ－３）²－９｝＋１ ＝－（ｘ－３）²＋10 上に凸、頂点（３，10） ｘ＝３のとき、 ｙ＝－（３－３）²＋10＝10 よって、 ｘ＝３のとき、最大値10 5） ｙ＝ｘ²＋５ｘ＋４ ＝｛ｘ＋（5/2）｝²－（25/4）＋４ ＝｛ｘ＋（5/2）｝²－（9/4） 下に凸、頂点（－5/2，－9/4） ｘ＝－5/2のとき ｙ＝｛（－5/2）＋（5/2）｝²－（9/4） 　＝－9/4 よって、 ｘ＝－5/2のとき、最小値－9/4 6） ｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１ ＝－２｛ｘ²－（3/2）ｘ｝－１ ＝－２［｛（ｘ－（3/4）｝²－（9/16）］－１ ＝－２｛（ｘ－（3/4）｝²＋（9/8）－１ ＝－２｛（ｘ－（3/4）｝²＋（1/8） 上に凸、頂点（3/4，1/8） ｘ＝3/4のとき ＝－２｛（3/4）－（3/4）｝²＋（1/8） ＝1/8 よって、 ｘ＝3/4のとき、最大値1/8 問題 次の関数の最大値、最小値を求めよ。 1） ｙ＝３ｘ² （２≦ｘ≦３） 2） ｙ＝（－1/2）ｘ² （－４≦ｘ≦－２） 3） ｙ＝ｘ²－２ｘ－３ （－２≦ｘ≦５） 4） ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１ （－２≦ｘ≦１） 5） ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４ （－１≦ｘ≦２） 6） ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ （－２≦ｘ≦０） 1） ｙ＝３ｘ² （２≦ｘ≦３） 下に凸 ｘ＝２のとき、 ｙ＝３×２²＝12 ｘ＝３のとき、 ｙ＝３・３²＝27 よって、 ｘ＝３のとき、最大値27 ｘ＝２のとき、最小値12 2） ｙ＝（－1/2）ｘ² （－４≦ｘ≦－２） 上に凸 ｘ＝－４のとき、 ｙ＝（－1/2）・（－４）²＝－８ ｘ＝－２のとき、 ｙ＝（－1/2）・（－２）² 　＝－２ よって、 ｘ＝－２のとき、最大値－２ ｘ＝－４のとき、最小値－８ 3） ｙ＝ｘ²－２ｘ－３ （－２≦ｘ≦５） ｙ＝ｘ²－２ｘ－３ ＝（ｘ－１）²－４ 下に凸、頂点（１，－４） ｘ＝１のとき、 ｙ＝（１－１）²－４＝－４ ｘ＝５のとき、 ｙ＝（５－１）²－４＝12 ｘ＝５のとき、最大値12 ｘ＝１のとき、最小値－４ 4） ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１ （－２≦ｘ≦１） ｙ＝－２ｘ²－４ｘ＋１ ＝－２（ｘ²＋２ｘ）＋１ ＝－２｛（ｘ＋１）²－１｝＋１ ＝－２（ｘ＋１）²＋３ 上に凸、頂点（－１，３） ｘ＝－１のとき、 ｙ＝－２・０²＋３＝３ ｘ＝１のとき、 ｙ＝－２・２²＋３＝－５ ｘ＝－１のとき、最大値３ ｘ＝１のとき、最小値－５ 5） ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４ （－１≦ｘ≦２） ｙ＝２ｘ²－３ｘ＋４ ＝２｛ｘ²－（3/2）ｘ｝＋４ ＝２［｛ｘ－（3/4）｝²－（9/16）］＋４ ＝２｛ｘ－（3/4）｝²＋（23/8） 下に凸、頂点（3/4，23/8） 軸　ｘ＝3/4 定義域の両端との距離 （3/4）－（－１）＝7/4 ２－（3/4）＝5/4 よって、 ｘ＝－１のとき、最大値をとる ｘ＝3/4のとき、 ｙ＝２・０²＋（23/8）＝23/8 ｘ＝－１のとき、 ｙ＝２・（－１）²－３・（－１）＋４ 　＝９ ｘ＝－１のとき、最大値９ ｘ＝3/4のとき、最小値23/8 6） ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ （－２≦ｘ≦０） ｙ＝（－1/2）ｘ²＋２ｘ ＝（－1/2）（ｘ²－４ｘ） ＝（－1/2）｛（ｘ－２）²－４｝ ＝（－1/2）（ｘ－２）²＋２ 上に凸、頂点（２，２） 軸　ｘ＝２ 定義域の両端との距離 ２－（－２）＝４ ２－０＝２ よって、 ｘ＝－２のとき、最小値をとる ｘ＝０のとき、 ｙ＝（－1/2）・０²＋２・０＝０ ｘ＝－２のとき、 ｙ＝（－1/2）・（－４）²＋２ 　＝－８＋２ 　＝－６ ｘ＝０のとき、最大値０ ｘ＝－２のとき、最小値－６ 問題 次の関数の値域を求めよ。 1） ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16 （０≦ｘ≦２） 2） ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２ （－１≦ｘ≦０） 1） ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16 （０≦ｘ≦２） ｙ＝３ｘ²－18ｘ＋16 ＝３（ｘ²－６ｘ）＋16 ＝３｛（ｘ－３）²－９｝＋16 ＝３（ｘ－３）²－11 下に凸、頂点（３，－11） 軸　ｘ＝３ 定義域は軸の左側にある ｘ＝０のとき ｙ＝３・０²－18・０＋16＝16 ｘ＝２のとき ｙ＝３（２－３）²－11＝－８ よって、 －８≦ｙ≦16 2） ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２ （－１≦ｘ≦０） ｙ＝－３ｘ²－４ｘ＋２ ＝－３｛（ｘ²＋（4/3）ｘ｝＋２ ＝－３［｛ｘ＋（2/3）｝²－（4/9）］＋２ ＝－３｛ｘ＋（2/3）｝²＋（10/3） 上に凸、頂点（－2/3，10/3） 軸　ｘ＝－2/3 －１≦－2/3≦０より 軸は定義域の中にある 定義域の両端との距離 （－2/3）－（－１）＝1/3 ０－（－2/3）＝2/3 よって、 ｘ＝０のとき、最小値をとる ｘ＝０のとき、 ｙ＝－３・０²－４・０＋２＝２ ｘ＝－2/3のとき、 ｙ＝－３・０²＋（10/3）＝10/3 したがって、 ２≦ｙ≦10/3 問題 次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。 1） ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５ （－１＜ｘ＜３） 2） ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ （０＜ｘ＜７） 3） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３ （０＜ｘ≦１） 4） ｙ＝３ｘ²－６ｘ （０＜ｘ＜３） 1） ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５ （－１＜ｘ＜３） ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５ ＝－（ｘ²－４ｘ）＋５ ＝－｛（ｘ－２）²－４｝＋５ ＝－（ｘ－２）²＋９ 上に凸、頂点（２，９） 軸　ｘ＝２ －１＜ｘ＜３より、最小値なし ｘ＝２のとき、最大値をとる ｙ＝－（２－２）²＋９＝９ よって、 ｘ＝２のとき、最大値９ 2） ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ （０＜ｘ＜７） ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ ＝－２（ｘ²－７ｘ） ＝－２［｛ｘ－（7/2）｝²－（49/4）］ ＝－２｛ｘ－（7/2）｝²＋（49/2） 上に凸、頂点（7/2，49/2） 軸　ｘ＝7/2 ０＜ｘ＜７より、最小値なし ｘ＝7/2のとき、最大値をとる ｙ＝｛（7/2）－（7/2）｝²＋（49/2） 　＝49/2 よって、 ｘ＝7/2のとき、最大値49/2 3） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３ （０＜ｘ≦１） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３ ＝２（ｘ²＋２ｘ）＋３ ＝２｛（ｘ＋１）²－１｝＋３ ＝２（ｘ＋１）²＋１ 下に凸、頂点（－１，１） 軸　ｘ＝－１ 軸は定義域の左側にある ０＜ｘ≦１より 軸からの距離が最も遠いｘ＝１のときが最大 最小値はない ｘ＝１のとき、 ｙ＝２・２²＋１＝９ よって、 ｘ＝１のとき、最大値９ 4） ｙ＝３ｘ²－６ｘ （０＜ｘ＜３） ｙ＝３ｘ²－６ｘ ＝３（ｘ²－２ｘ） ＝３｛（ｘ－１）²－１｝ ＝３（ｘ－１）²－３ 下に凸、頂点（１，－３） 軸　ｘ＝１ ０＜ｘ＜３より 軸は定義域の中にある ｘ＝１のとき、最小値をとる 最大値はない ｘ＝１のとき、 ｙ＝３・０²－３＝－３ よって、 ｘ＝１のとき、最小値－３ 問題 次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。 1） ｙ＝２（ｘ＋１）（ｘ－４） （－１≦ｘ≦４） 2） ｙ＝－２ｘ²＋ｘ （ｘ≧－１） 1） ｙ＝２（ｘ＋１）（ｘ－４） （－１≦ｘ≦４） 下に凸 ｙ＝０のとき、 ２（ｘ＋１）（ｘ－４）＝０ ｘ＝－１，４より 放物線とｘ軸と共有点は （－１，０）と（４，０） 軸は２点の中点だから （－１＋４）÷２＝3/2 軸は、ｘ＝3/2 －１≦3/2≦４だから ｘ＝－１，４のとき、最大値をとる また、 ｘ＝3/2のとき、最小値をとる ｘ＝－１，４のとき、 ｙ＝０ ｘ＝3/2のとき、 ｙ＝２・（5/2）・（－5/2） 　＝－25/2 よって、 ｘ＝－１，４のとき、最大値０ ｘ＝3/2のとき、最小値－25/2 2） ｙ＝－２ｘ²＋ｘ （ｘ≧－１） 上に凸 ｙ＝－２ｘ²＋ｘ 　＝－ｘ（２ｘ－１） ｙ＝０のとき －ｘ（２ｘ－１）＝０ ｘ＝０，1/2 軸は２点の中点だから ｛０＋（1/2）｝÷２＝1/4 軸は、ｘ＝1/4 ｘ＝－１は、ｘ＝０，1/2よりも軸から最も遠い位置にあるから ｘ＝－１のとき、最小値をとる また、 ｘ＝1/4のとき、最大値をとる ｘ＝－１のとき ｙ＝－２（－１）²＋（－１） 　＝－３ ｘ＝1/4のとき ｙ＝－２（1/4）²＋（1/4） 　＝1/8 ｘ＝1/4のとき、最大値1/8 ｘ＝－１のとき、最小値－３ 問題 次の条件を満たすように、定数ｃの値を定めよ。 1）関数ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋ｃ（２≦ｘ≦４）の最大値が９である。 2）関数ｙ＝－ｘ²－４ｘ＋ｃ（－３≦ｘ≦１）の最小値が－３である。 1） ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋ｃ ＝２（ｘ²－２ｘ）＋ｃ ＝２｛（ｘ－１）²－１｝＋ｃ ＝２（ｘ－１）²－２＋ｃ 下に凸、軸ｘ＝１ ２≦ｘ≦４だから 軸から最も遠いｘ＝４のとき、最大値ｙ＝９ 式にｘ＝４、ｙ＝９を代入 ９＝２（４－１）²－２＋ｃ ９＝18－２＋ｃ ｃ＝－７ 2） ｙ＝－ｘ²－４ｘ＋ｃ ＝－（ｘ²＋４ｘ）＋ｃ ＝－｛（ｘ＋２）²－４｝＋ｃ ＝－（ｘ＋２）²＋４＋ｃ 上に凸、軸ｘ＝－２ －３≦ｘ≦１だから 軸から最も遠いｘ＝１のとき、最小値ｙ＝－３ 式にｘ＝１、ｙ＝－３を代入 －３＝－（１＋２）²＋４＋ｃ －３＝－９＋４＋ｃ ｃ＝２ 問題 次の条件を満たすように、定数ｃの値を求めよ。 1） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ （－２≦ｘ≦１）の最大値が７ 2） ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ （０≦ｘ≦３）の最小値が－５ 1） ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ （－２≦ｘ≦１）の最大値が７ ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋ｃ ＝２（ｘ²＋２ｘ）＋ｃ ＝２｛（ｘ＋１）²－１｝＋ｃ ＝２（ｘ＋１）²－２＋ｃ 下に凸、軸ｘ＝－１ －２≦ｘ≦１より 軸は定義域の中にある ｘ＝１のほうが軸から遠い位置にあるから ｘ＝１のとき、最大値ｙ＝７をとる よって ７＝２・１²＋４・１＋ｃ ７＝６＋ｃ ｃ＝１ 2） ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ （０≦ｘ≦３）の最小値が－５ ｙ＝－ｘ²＋２ｘ＋ｃ ＝－（ｘ²－２ｘ）＋ｃ ＝－｛（ｘ－１）²－１｝＋ｃ ＝－（ｘ－１）²＋１＋ｃ 上に凸、軸ｘ＝１ ０≦ｘ≦３より 軸は定義域の中にある ｘ＝３のほうが軸から遠い位置にあるから ｘ＝３のとき、最小値ｙ＝－５をとる よって －５＝－３²＋２・３＋ｃ －５＝－３＋ｃ ｃ＝－２ 問題 ａ＞０とする。関数ｙ＝ａｘ²－４ａｘ＋ｂ（０≦ｘ≦５）の最大値が15で、最小値が－３であるとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。 ｙ＝ａｘ²－４ａｘ＋ｂ ＝ａ（ｘ²－４ｘ）＋ｂ ＝ａ｛（ｘ－２）²－４｝＋ｂ ＝ａ（ｘ－２）²－４ａ＋ｂ ａ＞０より、下に凸 軸は、ｘ＝２ ０≦ｘ≦５より 軸は定義域の中にある ｘ＝５のほうが軸から遠い位置にあるから ｘ＝５のとき、最大値ｙ＝15をとる　① また、 ｘ＝２のとき、最小値ｙ＝－３をとる　② ①より 15＝ａ・３²－４ａ＋ｂ ５ａ＋ｂ＝15　③ ②より －３＝ａ・０²－４ａ＋ｂ －４ａ＋ｂ＝－３　④ ③－④より ９ａ＝18　ａ＝２ ③に代入 10＋ｂ＝15　ｂ＝５ よって、 ａ＝２、ｂ＝５ 問題 ｘの２次関数ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３ｍの最小値をｋとする。 1）ｋをｍの式で表せ。 2）ｋが－４であるとき、ｍの値を求めよ。 3）ｋの値を最大にするｍの値と、ｋの最大値を求めよ。 1） ｙ＝ｘ²＋２ｍｘ＋３ｍ ＝（ｘ＋ｍ）²－ｍ²＋３ｍ 下に凸、軸ｘ＝－ｍ ｘ＝－ｍのとき、最小値ｋをとる よって、 ｋ＝（－ｍ＋ｍ）²－ｍ²＋３ｍ ｋ＝－ｍ²＋３ｍ 2） ｋ＝－４より －４＝－ｍ²＋３ｍ ｍ²－３ｍ－４＝０ （ｍ－４）（ｍ＋１）＝０ ｍ＝４，－１ 3） ｋ＝－ｍ²＋３ｍより ｋはｍの２次関数である ｋ＝－（ｍ²－３ｍ） ＝－［｛ｍ－（3/2）｝²－（9/4）｝ ＝－｛ｍ－（3/2）｝²＋（9/4） 上に凸、頂点（3/2，9/4） よって、 ｍ＝3/2のとき、最大値9/4 放物線は左右対称 👉軸から最も遠い位置にある点が最大・最小 ｙ＝ｘ²（－３≦ｘ≦１） 下に凸（比例定数ａ＞０） 軸から最も遠い点👉最大 軸　ｘ＝０ 定義域　－３≦ｘ≦１ 軸の０から最も遠いのはｘ＝－３ ｘ＝－３のとき、ｙが最大 ｙ＝（－３）²＝９ グラフの高低で見る いちばん高い（最大） ｘ＝－３のとき、ｙ＝９ いちばん低い（最小） ｘ＝０のとき、ｙ＝０ 👉値域　０≦ｙ≦９ ｙ＝－ｘ²（－２≦ｘ≦０） 上に凸（比例定数ａ＜０） 軸から最も遠い点👉最小 軸　ｘ＝０ 定義域　－２≦ｘ≦０ 軸の０から最も遠いのはｘ＝－２ ｘ＝－２のとき、ｙが最小 ｙ＝－（－２）²＝－４ グラフの高低で見る いちばん高い（最大） ｘ＝０のとき、ｙ＝０ いちばん低い（最小） ｘ＝－２のとき、ｙ＝－４ 👉値域　－４≦ｙ≦０ 原点以外の頂点（平方完成したとき） ｙ＝２ｘ²＋６ｘ＋３ （－３≦ｘ≦０） ｙ＝２（ｘ²＋３ｘ）＋３ ＝２｛ｘ＋（3/2）｝²－（3/2） 下に凸（比例定数ａ＞０） 軸から最も遠い点👉最大 軸　ｘ＝－3/2 定義域　－３≦ｘ≦０ 軸の－3/2から最も遠いのは ｘ＝－３とｘ＝０　※－3/2は中間にある ｘ＝－３、ｘ＝０のとき、ｙが最大 ｘ＝－３のとき ｙ＝２・（－３）²＋６・（－３）＋３ ＝18－18＋３＝３ ｘ＝０のとき ｙ＝２・０²＋６・０＋３＝３ グラフの高低で見る いちばん高い（最大） ｘ＝－３、０のとき、ｙ＝３ いちばん低い（最小） ｘ＝－3/2のとき、ｙ＝－3/2 👉値域　－3/2≦ｙ≦３ ｙ＝－３ｘ²＋３ｘ＋１ （１≦ｘ≦２） ｙ＝－３ｘ²＋３ｘ＋１ ＝－３｛ｘ－（1/2）｝²＋（7/4） 上に凸（比例定数ａ＜０） 軸から最も遠い点👉最小 軸　ｘ＝1/2 定義域　１≦ｘ≦２ 軸の1/2から最も遠いのはｘ＝２ ｘ＝２のとき、ｙが最小 ｘ＝２のとき ｙ＝－３・２²＋３・２＋１＝－５ グラフの高低で見る いちばん高い（最大） ｘ＝１のとき、ｙ＝１ いちばん低い（最小） ｘ＝２のとき、ｙ＝－５ 👉値域　－５≦ｙ≦１ ※ｙの値を求めるとき、平方完成した式に代入すると計算手順が簡単になる場合もある。 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.21 ２次関数の最大値と最小値 👉ブログ TOP

文字式の利用 商と余り 多項式の展開の応用として、割り算のしくみを利用して式をつくる問題があります。割られる数となる式は、（割る数）×（商）＋（余り）をもとにしてつくります。 問題 ２つの続いた自然数がある。小さいほうの自然数を７でわると、商がｎで余りが３となる。このとき、次の問いに答えなさい。 1）小さいほうの自然数をｎの式で表しなさい。 2）この２つの自然数の積を７でわったときの余りを求めなさい。 1） ７でわると、商がｎで余りが３ 小さい方の数は ７×ｎ＋３ ＝７ｎ＋３ 2） 大きい方の数は （７ｎ＋３）＋１ ＝７ｎ＋４ ２つの数の積だから （７ｎ＋３）（７ｎ＋４） ＝49ｎ²＋49ｎ＋12 ＝７（７ｎ²＋７ｎ＋１）＋５ ７（７ｎ²＋７ｎ＋１）は７の倍数だから割り切れる よって、余りは５ なぜ、 ７（７ｎ²＋７ｎ）＋12 ではないのか？ 👉余りは、割る数より小さいから。 ７（７ｎ²＋７ｎ）は７の倍数なので、この部分は７で割り切ることができます。余りは12となりますが、余りは割る数より小さくなるので、７より小さくなるように変形する必要があります。 　　　３ ７）２６ 　　２１ 　　　５ 　　　２ ７）２６ 　　１４ 　　１２ ※別解 積の余りは、「余りの積」を割った余りと等しくなる。 小さい数の余り：３ 大きい数の余り：４ ふたつの余りの積：３×４＝12 最終的な余り：12÷７＝１あまり５ 高校数学・剰余の定理 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割った余りが５、ｘ＋２で割った余りが－１である。Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＋２）で割った余りを求めよ。 （ｘ－１）（ｘ＋２）は２次式 ２次式で割った余りは、１次以下になる（２次より低い次数になる）。 商をＱ（ｘ）、余りをａｘ＋ｂとする Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ ｘ＝１、－２のとき、余りが求められる　※ Ｐ（１）＝ａ＋ｂ Ｐ（－２）＝－２ａ＋ｂ Ｐ（１）＝５、Ｐ（－２）＝－１だから ａ＋ｂ＝５　① －２ａ＋ｂ＝－１　② ①－②より ３ａ＝６　ａ＝２ ①に代入　ｂ＝３ 余りをａｘ＋ｂとしたから ２ｘ＋３ ※剰余の定理 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ　の意味 👉割る式（ｘ－１）（ｘ＋２）が「０」になれば、余りａｘ＋ｂが求められる。 ｘ－１＝０　ｘ＝１のとき ｘ＋２＝０　ｘ＝－２のとき 整式の割り算 👉余りの次数は、割る数（除数）の次数よりも低くなる。 問題 多項式Ｐ（ｘ）をｘ－３で割った余りが１、ｘ＋１で割った余りが５である。Ｐ（ｘ）を（ｘ－３）（ｘ＋１）で割った余りを求めよ。 （ｘ－３）（ｘ＋１）は２次式だから 商をＱ（ｘ）、余りをａｘ＋ｂとする よって、 Ｐ（ｘ）＝（ｘ－３）（ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ Ｐ（３）＝３ａ＋ｂ Ｐ（－１）＝－ａ＋ｂ Ｐ（３）＝１、Ｐ（－１）＝５だから ３ａ＋ｂ＝１　① －ａ＋ｂ＝５　② ①－②より ４ａ＝－４　ａ＝－１ ②に代入　ｂ＝４ 求める余りは、－ｘ＋４ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.20 文字式の利用 商と余り 👉ブログ TOP

二重根号の外し方 根号（ √ ）は、ルートの中が２乗の形になると外れます。二重根号も同じで、ルートの中身が（ａ+ｂ）² の形になると外れます。 （√ａ＋√ｂ）² ＝（√ａ）²＋２√ａ√ｂ＋（√ｂ）² ＝ａ＋ｂ＋２√ａ√ｂ 👉ルートの中がこの形になると外れる （√ａ－√ｂ）² ＝（√ａ）²－２√ａ√ｂ＋（√ｂ）² ＝ａ＋ｂ－２√ａ√ｂ ａ＞ｂのとき √｛（ａ＋ｂ）＋２√ａ√ｂ｝ ＝√ａ＋√ｂ √｛（ａ＋ｂ）－２√ａ√ｂ｝ ＝√ａ－√ｂ 問題 次の式を簡単にせよ。 1）√（４＋２√３） 2）√（９＋√56） 3）√（６－４√２） 4）√（４－√15） 1） √（４＋２√３） ＝√｛（３＋１）＋２√（３×１）｝ ＝√３＋√１ ＝√３＋１ 2） √（９＋√56） ＝√（９＋２√14） ＝√７＋√２ 👉√ の外に２を出す⇒ √ の中を４で割る 3） √（６－４√２） ＝√（６－２√８） ＝√４－√２ ＝２－√２ 👉√ の中に戻す⇒ ２で割った数を２乗してかける ６√２ ＝２√（３²×２） ＝２√18 4） √（４－√15） 　√（８－２√15） ＝━━━━━━━ 　　　 √２ 　√５－√３ ＝━━━━ 　　√２　　 　√10－√６ ＝━━━━ 　　 ２ 問題 次の式を簡単にせよ。 1）√（８－√48） 2）√（５＋√21） 3）√（５－２√６） 4）√（11－６√２） 5）√（６－３√３） 1） √（８－√48） ＝√（８－２√12） ＝√６－√２ 2） √（５＋√21） 　√（10＋２√21） ＝━━━━━━━ 　　　 √２ 　√７＋√３ ＝━━━━ 　　√２ 　√14＋√６ ＝━━━━ 　　 ２ 3） √（５－２√６） ＝√３－√２ 4） √（11－６√２） ＝√（11－２√18） ＝√９－√２ ＝３－√２ 5） √（６－３√３） 　√（12－６√３） ＝━━━━━━━ 　　　 √２ 　√（12－２√27） ＝━━━━━━━ 　　　 √２ 　√９－√３ ＝━━━━ 　　 √２ 　３√２－√６ ＝━━━━━ 　　 ２ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.20 二重根号の外し方 👉ブログ TOP

一次関数のグラフ すれちがう問題 一次関数では、進んでいるものどうしが「すれ違う」ときの時間ｘや地点ｙを求める問題があります。高校入試にもよく出る問題で、すれ違うときのｘとｙは、２直線の式の連立方程式で求めます。 問題 長さ25mのプールで、妹と姉が、同じスタートラインから別々のレーンを泳ぎ始め、一定の速さで１往復してゴールした。妹は、スタートしてから50秒後にゴールし、姉は妹より14秒遅くスタートして、４秒遅くゴールした。下の図は、妹のスタートから計測を始めてｘ秒後の妹と姉の位置を、それぞれのスタート地点からの距離ｙmで表したグラフである。ただし、妹と姉の身長や折り返しのターンにかかる時間は考えないものとする。 1）妹と姉の泳ぐ速さは、それぞれ毎秒何mか、求めなさい。 2）グラフから、妹と姉は１回すれ違っていることがわかる。妹と姉がすれ違ったのは、妹がスタートしてから何秒後か、求めなさい。 問題文のポイント 一定の速さで１往復 👉往復50mを同じ速さで進む 姉は妹より14秒遅くスタート、４秒遅くゴール 👉妹がスタートして54秒後にゴール 👉54－14＝40秒間泳いだ 妹のスタートから計測を始めてｘ秒後 👉グラフのｘは、妹の出発後の時間 1）妹と姉の泳ぐ速さは、それぞれ毎秒何mか、求めなさい。 妹 往復50m進むのに、50秒かかる。 50m÷50秒＝１ 毎秒１m 姉 往復50m進むのに、40秒かかる。 50m÷40秒＝5/4　 毎秒 5/4 m 2）グラフから、妹と姉は１回すれ違っていることがわかる。妹と姉がすれ違ったのは、妹がスタートしてから何秒後か、求めなさい。 妹と姉がすれ違う 👉妹と姉のグラフの交点 👉グラフの式の連立方程式で求める すれ違った時間　ｘ すれ違った地点　ｙ 直線の式（ｙ＝ａｘ＋ｂ）だから 妹と姉の傾きａと切片ｂを求める 妹 速さが傾きａ　※ 毎秒１m ターン後は、ｙが減少するから ａ＝－１ ｙ＝－ｘ＋ｂとする （50，０）を通るから ｘ＝50、ｙ＝０を代入 ０＝－50＋ｂ　ｂ＝50 妹の直線の式は、 ｙ＝－ｘ＋50　① 姉 毎秒 5/4 m ターン前は、ｙが増加するから ａ＝5/4 ｙ＝（5/4）ｘ＋ｂとする （14，０）を通るから ｘ＝14、ｙ＝０を代入 ０＝（5/4）×14＋ｂ ｂ＝－35/2 姉の直線の式は ｙ＝（5/4）ｘ－（35/2）　② ①、②より －ｘ＋50＝（5/4）ｘ－（35/2） 両辺×４ －４ｘ＋200＝５ｘ－70 ９ｘ＝270 ｘ＝30 よって、30秒後 ※直線の式　「傾きａは速さ」 ｙ：道のり、ａ：速さ、ｘ：時間 道のり＝速さ×時間 ｙ＝ａｘ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.19 一次関数のグラフ すれちがう問題 👉ブログ TOP