三平方の定理 高校入試対策③ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の 三平方の定理 では、立体図形にかけた糸の最短距離を求める出題があります。展開図にしたときの直角三角形の斜辺を求めることが基本になります。通過する辺に指定がないときは、特に注意が必要です。 問題 下の図は、１辺の長さが６cmの立方体である。辺ＦＧの中点をＰとするとき、あとの問いに答えなさい。 1）辺ＥＦ上にＱＦ＝４cmとなる点Ｑをとるとき、三角すいＢＱＦＰの体積を求めなさい。 2）辺ＡＥの中点をＲとするとき、点Ｒから辺ＥＦを通って点Ｐまで糸をかける。この糸の長さが最も短くなるときの、糸の長さを求めなさい。 1） △ＰＱＦと辺ＢＦが垂直の関係だから 底面を△ＰＱＦ、高さをＢＦとする。 ∠ＰＦＱ＝90°、 ＰＦ＝６×（1/2）＝３cmだから △ＰＱＦ ＝（1/2）×ＰＦ×ＱＦ ＝（1/2）×３×４ ＝６cm² ＢＦ＝６cmだから 三角錐ＢＱＦＰの体積は、 （1/3）×６×６＝ 12cm³ 2） 辺ＥＦの中点をＳとする。 展開図にすると 直角三角形ＲＰＳの斜辺ＲＰが最短距離になる。 ＲＳ＝ＲＥ＋ＥＳ＝６cm ＰＳ＝ＡＢ＝６cm 三平方の定理より ＲＰ²＝ＲＳ²＋ＰＳ² ＲＰ²＝６²＋６² ＲＰ²＝72 ＲＰ＝６√２ よって、 ６√２cm 問題 下の図の直方体の表面に、点Ｂから点Ｈまで糸をかける。糸の長さを最短にできるのは、次の㋐～㋒のどの場合か答えなさい。また、そのときの糸の長さを求めなさい。 ㋐ 辺ＣＤ上を通るように糸をかける。 ㋑ 辺ＣＧ上を通るように糸をかける。 ㋒ 辺ＦＧ上を通るように糸をかける。 ㋐ 面ＡＢＣＤとＤＣＧＨを通る直線ＢＨ △ＢＨＧにおいて ∠ＢＧＨ＝90° ＢＧ ＝ＢＣ＋ＣＧ＝５＋４＝９cm ＧＨ＝３cm 三平方の定理より ＢＨ²＝ＢＧ²＋ＧＨ² ＢＨ²＝９²＋３²＝90 よって、 ＢＨ＝3√10cm（ＢＨ＞０） ㋑ 面ＢＦＧＣとＣＧＨＤを通る直線ＢＨ △ＢＨＦにおいて ∠ＢＦＨ＝90° ＢＦ＝４cm ＦＨ＝ＦＧ＋ＧＨ＝５＋３＝８cm 三平方の定理より ＢＨ²＝ＢＦ²＋ＦＨ² ＢＨ²＝４²＋８²＝80 よって、 ＢＨ＝4√5cm（ＢＨ＞０） ㋒ 面ＢＦＧＣとＦＥＨＧを通る直線ＢＨ △ＢＨＥにおいて ＢＥ＝ＢＦ＋ＦＥ＝４＋３＝７cm ＥＨ＝ＦＧ＝５cm 三平方の定理より ＢＨ²＝ＢＥ²＋ＥＨ² ＢＨ²＝７²＋５²＝74 よって、 ＢＨ＝√74cm（ＢＨ＞０） 記号　 ㋒ 糸の長さ　 √74cm 問題 下の図において、この立体は、１辺の長さが10cmの立方体である。また、辺ＥＦ上に点Ｐがあり、線分ＦＰの長さをｔcmとする。ただし、０＜ｔ＜10とする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）線分ＤＰの長さが６√６cmとなるとき、ｔの値を求めなさい。 2）ｔ＝２のとき、ひもを点Ｄから立方体の表面にそって点Ｐまでゆるまないようにかける。このひもの長さが最も短くなるときの長さを求めなさい。 1） 正方形ＡＥＨＤに対角線ＤＥ を引く 正方形の面と線分ＥＰは垂直 の関係だから △ＤＰＥにおいて ∠ＤＥＰ＝90° 三平方の定理より ＥＰ²＝ＤＰ²－ＤＥ² △ＡＥＤ において 直角二等辺三角形の辺の比より ＤＥ：ＡＥ＝√２：１ ＤＥ：10＝√２：１ ＤＥ＝10√２cm ＥＰ＝（10－ｔ）だから （10－ｔ）²＝（６√６）²－（10√２）² 100－20ｔ＋ｔ²＝216－200 ｔ²－20ｔ＋84＝０ （ｔ－６）（ｔ－14）＝０ ｔ＝６，14 ０＜ｔ＜10より ｔ＝６ 2） 面ＡＥＨＤとＥＦＧＨ において 直角三角形ＤＰＡの斜辺ＤＰ の長さになる。 ＡＤ＝10cm ＡＰ＝ＡＥ＋ＥＰ＝10＋８＝18cm 三平方の定理より ＤＰ²＝ＡＤ²＋ＡＰ² ＤＰ²＝10²＋18² ＤＰ²＝424 ＤＰ＝２√106（ＤＰ＞０） よって、 ２√106cm ※参考 面ＡＢＣＤとＥＦＢＡで求める場合 直角三角形ＤＰＥの斜辺ＤＰ ＤＥ＝ＤＡ＋ＡＥ＝20cm ＥＰ＝ＥＦ－ｔ＝８cm 三平方の定理より ＤＰ²＝ＤＥ²＋ＥＰ² ＤＰ²＝20²＋８² ＤＰ²＝464（ＤＰ＝４√29） この場合、最短にならないため、問題に合わない。 👉辺ＥＨを通すとき（下面から）と、辺ＡＢを通すとき（上面から）で斜辺の長さが変わる。 ★平方数 （２乗の数） 　 11²＝121　12²＝144　13²＝169 　14²＝196　15²＝225　16²＝256 　17²＝289　18²＝324　19²＝361 　21²＝441　25²＝625 ★ピタゴラス数 　直角三角形の辺 　 ３cm、４cm、５cm 　 ３²＋４²＝５² 　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。 　 ５cm、12cm、13cm 　 ５²＋12²＝13² 　 ８cm、15cm、17cm 　 ８²＋15²＝17² 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.22 三平方の定理 高校入試対策③ 👉 ブログ TOP

図形の角度 高校入試対策② 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 12月も後半、受験生は入試対策を進めています。高校入試には、図形の角度を求める出題があり、平行線や円周角、多角形の性質などを押さえておきます。角度の求め方は、証明問題の対策にもつながります。 問題 次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。ただし、ℓ//mとする。 1）　2） 1） 135°の隣り合う角は 180°－135°＝45° 錯角は等しいから ∠ｘ＝ 45° 2） ｘの頂点を通りℓとmに平行な直線を引く 40°の錯角と65°の錯角の和だから ∠ｘ＝ 105° 問題 次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。 1）　2） 1） 内角の隣り合わない２角の和だから ∠ｘ＝65°＋75°＝ 140° 2） ∠ｘ＝125°－50°＝ 75° 3） 3） ２つの三角形の外角が等しいから ｘ＋30°＝65°＋45° ｘ＝ 80° 問題 下の図のように、△ＡＢＣでＢＣを延長した直線上の点をＥとする。∠Ｂの二等分線と∠ＡＣＥの二等分線の交点をＤとするとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 ∠ＡＢＤ＝ａ°、∠ＡＣＤ＝ｂ°とすると ∠ＡＢＣ＝２ａ°、∠ＡＣＥ＝２ｂ° △ＡＢＣの内角と外角の関係より ∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＥ よって、 ２ａ°＋42°＝２ｂ° ａ°＝ｂ°－21°　① ＡＣとＢＤの交点をＦとする △ＣＤＦと△ＡＢＦの外角ＡＦＤは等しいから ｘ＋ｂ°＝ａ°＋42° ｘ＝ａ°－ｂ°＋42°　② ①、②より ｘ＝（ｂ°－21°）－ｂ°＋42° よって、 ｘ＝21° 問題 下の図のように、長方形ＡＢＣＤを線分ＥＦを折り目として折る。∠ＣＥＢ＝30°のとき、∠ＤＦＥの大きさｘを求めなさい。 ＡＦの延長上にある頂点をＧ、 ＢＥの延長上にある頂点をＨとする。 四角形ＣＥＦＤ≡四角形ＨＥＦＧだから ∠ＣＤＦ＝∠ＨＧＦ＝90°　① ∠ＥＣＤ＝∠ＥＨＧ＝90°　② ∠ＣＥＦ＝∠ＨＥＦ、 ∠ＢＥＣ＋∠ＣＥＦ＋∠ＨＥＦ＝180°だから ∠ＣＥＦ＝（180°－30°）÷２＝75°　③ ①、②、③より 四角形ＣＥＦＤの内角の和より ｘ＋90°×２＋75°＝360° ｘ＝105° 問題 下の図で、正方形ＯＡ’Ｂ’Ｃ’は頂点Ｏを中心として、正方形ＯＡＢＣを図のように35°だけ回転したものである。∠ＢＯＢ’と∠ｘの大きさを求めなさい。 Ｏを中心に、ＢをＢ’に35°回転させたから ∠ＢＯＢ’＝35° ＯＢとＯＢ’は正方形の対角線だから ∠ＯＢＡ＝∠ＯＢ’Ａ’＝45° 三角形の外角の性質より ｘ＝∠ＢＯＢ’＋∠ＯＢＡ＋∠ＯＢ’Ａ’ ｘ＝35°＋45°×２ よって、 ｘ＝125° 問題 次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。 1）　2） 1） Ｃ⌒Ｄに対する円周角は等しいから ∠ＣＢＤ＝∠ＣＡＤ＝50° よって、 ∠ＡＢＣ＝50°＋62°＝112° ＡＢ＝ＢＣより △ＢＡＣの底角は等しいから ∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ △ＢＡＣの内角の和より ∠ＢＡＣ＝（180°－112°）÷２＝34° △ＡＢＥの内角と外角の関係より ｘ＝34°＋62°＝ 96° 2） Ａ⌒Ｂに対する円周角が25°だから ∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝50° ＯＡ//ＣＢより 平行線の錯角は等しいから ∠ＯＡＣ＝∠ＢＣＡ＝25° ＯＡ＝ＯＣ、 △ＯＡＣの底角は等しいから ∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝25° △ＯＡＣの内角の和より ｘ＋50°＋25°×２＝180° ｘ＝ 80° 問題 下の図の△ＡＢＣで、頂点Ａ、Ｃから、それぞれ辺ＢＣ、ＡＢに垂線ＡＤ、ＣＥをひき、その交点をＰとする。点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｐのうち、同じ円周上にある４点を１組見つけなさい。また、それらが同じ円周上にある理由も説明しなさい。 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＣ＝90°だから ２つの角は直径ＡＣに対する円周角である。 よって、 点Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｅ が同じ円周上にある。 ※別解 線分ＢＰをひく ∠ＢＤＰ＝∠ＢＥＰ＝90°だから ２つの角は直径ＢＰに対する円周角である。 よって、 点Ｂ、Ｄ、Ｐ、Ｅが同じ円周上にある。 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.21 図形の角度 高校入試対策② 👉 ブログ TOP

三角形の内角と外角 練習問題 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 三角形の角度 を求める問題では、三角形の外角を利用します。180度から内角を引くという考え方よりも、 外角を隣り合わない内角どうしで足して求める という考え方を利用します。180度から引くという手順が省けるため効率よく計算できるほか、不明な角が複数ある問題で役立ちます。 問題 次の図で、∠ｘ、∠ｙの大きさを、∠ａ、∠ｂを使って表しなさい。 1）　2） 1） 隣り合わない内角２つの和だから ∠ｘ＝∠ａ＋∠ｂ 2） ∠ｙ＝∠ａ－∠ｂ 問題 次の図で、∠ｘ、∠ｙの大きさを求めなさい。 1）　2） 1） 三角形の外角の性質より ｘ＝60°＋45°＝ 105° 2） ｙ＝115°－25°＝ 90° 問題 次の図で、∠ｘ、∠ｙの大きさを求めなさい。 1）　2）　3） 1） ２つの三角形の外角は等しいから ｘ＋70°＝50°＋40° ｘ＝ 20° 2） ｙ＋20°＝55°＋35° ｙ＝ 70° 3） 110°隣り合う角は70° よって、 ｘ＋35°＝70°＋25° ｘ＝ 60° 問題 次の図で、ℓ//mのとき、∠ｚの大きさを求めなさい。 同位角は等しいから 三角形の右側の外角は75° よって、 ｚ＝75°－35°＝ 40° 問題 次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。 下図の通り △ＡＢＤの内角と外角の関係より ∠ＣＤＥ＝ｘ＋25° △ＣＤＥの内角と外角の関係より ∠ＢＥＣ ＝ｘ＋25°＋40° ＝ｘ＋65° 対頂角は等しいから ｘ＋65°＋20°＋30°＝180° ｘ＝ 65° 問題 下の図は、正五角形と２本の直線ℓ、mを組み合わせたものである。ℓ//mのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 正五角形の１つの内角は、 180°×（５－２）÷５＝108° 下図の通り ℓとmに平行な直線ＤＥをひく △ＡＢＣの内角と外角の関係より ∠ＡＣＤ＝20°＋108°＝128° 平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから ∠ＣＤＥ＝180°－128°＝52° 正五角形の１つの内角は108°だから ∠ＥＤＦ＝108°－52°＝56° 同位角は等しいから ∠ｘ＝ 56° 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.20 三角形の内角と外角 練習問題 👉 ブログ TOP

三角形の合同③ 高校入試対策 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 入試問題では「 証明 」の出題があり、三角形の合同または相似を利用します。昨年度の県立高入試は、数年ぶりにすべて記述で答える出題となりました。等しい辺や角は、根拠（理由）を加えることが必要になります。 問題 下の図のように、ＡＣ＝ＢＣ、∠ＡＣＢ＝90°の直角二等辺三角形がある。辺ＡＣ上に点Ｄ、半直線ＢＣ上に点Ｅをそれぞれとり、直線ＢＤと線分ＡＥとの交点をＦとすると、ＢＦ⊥ＡＥである。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＣＥと△ＢＣＤが合同になることを証明しなさい。 2）点Ｄが辺ＡＣの中点のとき、△ＡＢＤの面積は△ＡＢＥの面積の何倍か、求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＣＥと△ＢＣＤにおいて 仮定より　ＡＣ＝ＢＣ　① ∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ　② △ＡＣＥと△ＦＢＥの内角の和より ∠ＣＡＥ ＝180°－∠ＡＣＥ－∠ＡＥＣ ＝180°－90°－∠ＡＥＣ ＝90°－∠ＡＥＣ　③ ∠ＣＢＤ ＝180°－∠ＢＦＥ－∠ＡＥＣ ＝180°－90°°－∠ＡＥＣ ＝90°－∠ＡＥＣ　④ ③、④より ∠ＣＡＥ＝∠ＣＢＤ　⑤ ①、②、⑤より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ＡＣＥ≡△ＢＣＤ 2）点Ｄが辺ＡＣの中点のとき、△ＡＢＤの面積は△ＡＢＥの面積の何倍か。 △ＡＢＤと△ＢＣＤにおいて ＡＤ＝ＣＤ ２つの三角形の高さは同じだから △ＡＢＤ＝△ＢＣＤ △ＡＣＥ≡△ＢＣＤより △ＡＣＥ＝△ＢＣＤ △ＡＣＥ＝△ＢＣＤ＝△ＡＢＤだから △ＡＢＥ＝３△ＡＢＤ よって、 △ＡＢＤ＝（1/3）△ＡＢＥ 1/3倍 問題 下の図のように、正三角形ＡＢＣがあり、辺ＡＣ上に点Ｄをとる。また、正三角形ＡＢＣの外側に正三角形ＤＣＥをつくる。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＢＣＤ≡△ＡＣＥであることを証明しなさい。 2）四角形ＡＢＣＥの周の長さが21cmのとき、次のア、イに答えなさい。 ア ＡＢ＝ａcm、ＣＤ＝ｂcmとしたとき、辺ＡＥの長さをａ、ｂを用いて表しなさい。 イ △ＡＢＤの周の長さが13cmのとき、正三角形ＤＣＥの１辺の長さを求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＢＣＤと△ＡＣＥにおいて 仮定より ＢＣ＝ＡＣ　① ＤＣ＝ＥＣ　② ∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ＝60°　③ ①、②、③より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＢＣＤ≡△ＡＣＥ 2）ア ＡＥ＝21－（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＥ） ＡＢ＝ＢＣ＝ａcm △ＢＣＤ≡△ＡＣＥより ＣＥ＝ＣＤ＝ｂcmだから ＡＥ＝21－（ａ＋ａ＋ｂ） 　　＝21－２ａ－ｂ よって、 21－２ａ－ｂ（cm） 2）イ ＡＢ＋ＢＤ＋ＤＡ＝13 △ＢＣＤ≡△ＡＣＥより ＢＤ＝ＡＥ＝21－２ａ－ｂ ＤＡ＝ＣＡ－ＣＤ＝ａ－ｂ よって、 ａ＋（21－２ａ－ｂ）＋（ａ－ｂ）＝13 ｂ＝４ ＤＥ＝ＣＤ＝ＣＥ＝ｂcmだから ＤＥ＝ ４cm 問題 下のレポートを読んで、あとの問いに答えなさい。 【レポート】 「三角形における垂線」 ・△ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｐをとり、点Ｐから辺ＡＢ、ＡＣにひいた垂線と辺ＡＢ、ＡＣとの交点をそれぞれ点Ｑ、Ｒとする。このとき、ＰＱ＋ＰＲの長さはどうなるのか調べることにした。 ・ＡＢ⊥ＰＱ、ＡＣ⊥ＰＲとなる３通りの△ＡＢＣをかいて確認する。 ・それぞれの場合について、ＰＱ＋ＰＲの長さがどのようになるのか下のように説明した。 〔①の場合〕 点Ｒを、辺ＢＣを対称の軸として対称移動させた点をＲ’とすると、３点Ｐ、Ｑ、Ｒ’が一直線上にあるとき、ＰＱ＋ＰＲの長さは（　㋐　）になる。 〔②の場合〕 点Ｐが辺ＢＣ上のどの位置にあってもＰＱ＋ＰＲの長さは一定になる。その理由は、 ・②の図で四角形ＴＰＲＳは長方形だから、ＰＲ＝ＴＳ（ⅰ） ・直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、△ＱＢＰ≡△ＴＰＢ ・合同な三角形の対応する辺は等しいから、ＰＱ＝ＢＴ（ⅱ） （ⅰ）（ⅱ）から、ＰＱ＋ＰＲ＝ＢＴ＋ＴＳ＝（　㋑　） よって、ＰＱ＋ＰＲの長さは一定である。 〔③の場合〕 ③の図で、線分ＡＨの長さや辺の長さがわかれば、面積やＰＱ＋ＰＲの長さが求められる。 【レポート】について、次の問いに答えなさい。 1）（㋐）にあてはまるものとして正しいものを、下のａ～ｄから１つ選びなさい。 ａ　辺ＡＣと等しく　 ｂ　辺ＢＣと等しく ｃ　最も長く ｄ　最も短く 2）（㋑）にあてはまる線分を答えなさい。 3）②の図で、∠ＢＡＣ＝72°のとき、∠ＴＢＰの大きさを求めなさい。 4）③の図で、ＡＢ＝５cm、ＢＣ＝６cm、ＡＨ＝４cmのとき、ＰＱ＋ＰＲの長さを求めなさい。 1） 辺ＢＣが対称の軸だから 辺ＢＣは、辺ＲＲ’の垂直二等分線になる。 このとき、ＰＲ＝ＰＲ’となり Ｑ、Ｐ、Ｒ’が一直線上にあるから ＰＱ＋ＰＲの長さは最短になる。 よって、 ｄ 2） ＢＴ＋ＴＳ＝ ＢＳ ※ △ＱＢＰ≡△ＴＰＢ ∠ＢＱＰ＝∠ＰＴＢ＝90°　① ＢＰ＝ＰＢ（共通）　② 四角形ＴＰＲＳは長方形だから ＡＣ//ＴＰ △ＡＢＣの底角は等しいから ∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝∠ＱＢＰ　③ 平行線の同位角は等しいから ∠ＡＣＢ＝∠ＴＰＢ　④ ③、④より ∠ＱＢＰ＝∠ＴＰＢ　⑤ ①、②、⑤より 直角三角形の斜辺と１つの鋭角が等しい 3） ∠ＢＡＣ＝72°のとき、∠ＴＢＰの大きさ △ＡＢＣの底角は等しいから ∠ＡＢＣ ＝（180°－72°）÷２＝54° △ＡＢＳにおいて ∠ＡＳＢ＝90°だから ∠ＡＢＳ ＝180°－90°－72°＝18° よって ∠ＴＢＰ ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＳ ＝54°－18°＝ 36° 4） ＡＢ＝５cm、ＢＣ＝６cm、ＡＨ＝４cmのとき、ＰＱ＋ＰＲの長さ △ＡＢＣの面積は、 （1/2）×ＢＣ×ＡＨ ＝（1/2）×６×４＝12cm²　①　 高さをＢＳとすると △ＡＢＣの面積は、 （1/2）×ＡＣ×ＢＳ ＝（1/2）×５×ＢＳ　② ②＝①より （1/2）×５×ＢＳ＝12 よって、 ＢＳ＝24/5 ＢＳ＝ＰＱ＋ＰＲだから 求める長さは、 24/5cm 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.19 三角形の合同③ 高校入試対策 👉 ブログ TOP

関数 高校入試対策8 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の 関数 では、グラフ上の三角形の面積について、「 等積変形 」を利用する問題がよく出題されます。２つの三角形の共通な底辺に平行な直線を引いて、高さと面積が等しくなるようにします。 等積変形 問題 下の図１のように、関数ｙ＝ａ／ｘ、関数ｙ＝ｘ＋５、関数ｙ＝（－1/3）ｘ＋ｂのグラフがある。関数ｙ＝ａ／ｘと関数ｙ＝ｘ＋５のグラフは２点Ａ、Ｂで交わり、ｘ座標の大きいほうの点をＡ、小さいほうの点をＢとする。点Ａのｘ座標は１である。また、関数ｙ＝ｘ＋５のグラフとｘ軸との交点をＣとし、関数ｙ＝（－1/3）ｘ＋ｂのグラフは点Ｃを通る。あとの問いに答えなさい。 1）ａの値を求めなさい。 2）ｂの値を求めなさい。 1） 点Ａは ｙ＝ｘ＋５上にあり、ｘ＝１だから ｙ＝１＋５＝６ ｙ＝ａ／ｘ上にあるから ａ＝１×６＝ ６ 2） 点Ｃは ｙ＝ｘ＋５上にあり、ｙ＝０だから ０＝ｘ＋５ ｘ＝－５ ｙ＝（－1/3）ｘ＋ｂ上にあるから ０＝（－1/3）×（－５）＋ｂ ｂ＝ －5/3 3）下の図２のように、関数ｙ＝ａ／ｘのグラフ上に、ｘ座標が点Ｃと同じである点Ｄをとる。また、関数ｙ＝（－1/3）ｘ＋ｂのグラフ上に、四角形ＡＣＤＯの面積と△ＡＣＥの面積が等しくなるように点Ｅをとる。点Ｅのｘ座標を求めよ。ただし、点Ｅのｘ座標は点Ｃのｘ座標より大きいものとする。 四角形ＡＣＤＯの面積を、 △ＡＣＯ＋△ＣＤＯとして求める。 △ＡＣＯの面積 底辺ＣＯ＝０－（－５）＝５ 高さは、点Ａがｙ＝６だから ６－０＝６ △ＡＣＯ＝（1/2）×５×６＝15 △ＣＤＯの面積 底辺ＣＯ＝５ 高さは、点Ｄがｙ＝－6/5だから ０－（－6/5）＝6/5 △ＣＤＯ＝（1/2）×５×（6/5）＝３ よって、 四角形ＡＣＤＯの面積は、 △ＡＣＯ＋△ＣＤＯ ＝15＋３＝18 点Ｅを通り、ＡＣに平行な直線をひく。 平行な直線とｘ軸との交点をＦとする。 ＡＣ//ＥＦより △ＡＣＥ＝△ＡＣＦ＝18 点Ｆのｘ座標をｔとする △ＡＣＦの底辺ＣＦ ＝ｔ－（－５）＝ｔ＋５ 高さは点Ａとｘ軸との距離だから ６－０＝６ よって、 （1/2）×（ｔ＋５）×６＝18 ｔ＝１ ＡＣに平行な直線は、 傾き１で（１，０）を通るから ｙ＝ｘ－１ 点Ｅは、この直線と ｙ＝（－1/3）ｘ－（5/3）との交点だから ｘ－１＝（－1/3）ｘ－（5/3） ｘ＝－1/2 ｙ＝ｘ－１に代入 ｙ＝（－1/2）－１＝－3/2 よって、 （－1/2，－3/2） 問題 下の図で、①は関数ｙ＝ａｘ²のグラフである。２点Ａ、Ｂは①上にあり、点Ａの座標が（４，－４）、点Ｂのｘ座標が６である。また、②は点Ａを通る直線ＯＢと平行な直線である。あとの問いに答えなさい。 1）ａの値を求めなさい。 2）点Ｂのｙ座標を求めなさい。 3）直線②の式を求めなさい。 4）点Ｃをｘ軸上に、△ＯＢＣの面積が△ＯＡＢの面積と等しくなるようにとるとき、点Ｃのｘ座標を求めなさい。ただし、点Ｃのｘ座標は０より大きいものとする。 1） ｙ＝ａｘ²は（４，－４）を通るから －４＝ａ×４² ａ＝－1/4 2） 点Ｂは、 ｙ＝（－1/4）ｘ²上にあり、ｘ＝６だから ｙ＝（－1/4）×６²＝－９ よって、 －９ 3） 直線ＯＢは、原点を通る直線である。 Ｂ（６，－９）だから 傾きは、－９／６＝－３／２ 直線②は、ＯＢと平行だから傾きが同じ 求める式を、ｙ＝（－3/2）ｘ＋ｂとする （４，－４）を通るから －４＝（－3/2）×４＋ｂ ｂ＝２ よって、求める式は、 ｙ＝（－3/2）ｘ＋２ 4） △ ＯＢ Ｃと△ Ｏ Ａ Ｂ 共通な辺を底辺ＯＢとすると 高さが等しくなる点Ｃをとればよいから ＯＢに平行な直線とｘ軸との交点がＣ。 ＯＢに平行な直線の式は、 ①のｙ＝－（3/2）ｘ＋２ 点Ｃは、ｙ＝０だから ０＝－（3/2）ｘ＋２ ｘ＝4/3 よって、 求めるｘ座標は、 4/3 面積を２等分する直線 問題 下の図は、関数ｙ＝ａｘ²のグラフに、ｘ軸に平行な線分ＡＤと線分ＢＣをひいたものであり、点Ａは（－２，８）、点Ｂは（－１，２）である。このとき、点Ｂを通り、四角形ＡＢＣＤを２等分する直線の式を求めなさい。 ＡＤ//ＢＣより 四角形ＡＢＣＤは台形である。 点Ｃは、Ｂとｙ軸について対称だから （１，２） 点Ｄは、Ａとｙ軸について対称だから （２，８） ＡＤ＝２－（－２）＝４ ＢＣ＝１－（－１）＝２ 台形の高さは、点ＡとＢのｙの値の差だから ８－２＝６ 台形の面積は、 （４＋２）×６×（1/2）＝18 △ＡＢＥ＝９となる点ＥをＡＤ上にとる △ＡＢＥの底辺はＡＥ、高さは６だから （1/2）×ＡＥ×６＝９ ＡＥ＝３ よって、 点Ｅの座標は（１，８） Ｂ（－１，２）とＥ（１，８）を通る直線の傾きは、 ｘの増加量　１－（－１）＝２ ｙの増加量　８－２＝６ 傾き　６／２＝３ 切片の値をｂとする ｙ＝３ｘ＋ｂ （－１，２）を通るから ２＝３×（－１）＋ｂ ｂ＝５ よって、求める式は、 ｙ＝３ｘ＋５ 👉 １次関数 練習問題 👉 ２次関数 練習問題 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.19 関数 高校入試対策8 👉 ブログ TOP

三平方の定理 高校入試対策② 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試では 三平方の定理 に関する出題があります。立てた式を解く際には、二次方程式を利用するため、平方根の計算やｘを用いた因数分解、解の公式などの計算方法も押さえておく必要があります。 問題 下の図のように、平面上に３点Ａ、Ｂ、Ｃがある。あとの問いに答えなさい。 1）次の線分の長さを求めなさい。 ①　線分ＡＢ ②　線分ＢＣ ③　線分ＣＡ ① 下図の通り 点Ｄ（－４，４）をとり、直角三角形ＡＢＤをつくる。 ＡＤ＝４－（－４）＝８ ＢＤ＝４－（－２）＝６ 三平方の定理より ＡＢ²＝ＡＤ²＋ＢＤ² ＡＢ²＝８²＋６² ＡＢ²＝100 ＡＢ＝10 （ＡＢ＞０） ② 点Ｅ（－４，－４）をとり、直角三角形ＢＣＥをつくる。 ＢＥ＝－２－（－４）＝２ ＣＥ＝０－（－４）＝４ 三平方の定理より ＢＣ²＝ＢＥ²＋ＣＥ² ＢＣ²＝２²＋４² ＢＣ²＝20 ＢＣ＝２√５ （ＢＣ＞０） ③ 点Ｆ（４，－４）をとり、直角三角形ＡＣＦをつくる。 ＡＦ＝４－（－４）＝８ ＣＦ＝４－０＝４ 三平方の定理より ＣＡ²＝ＡＦ²＋ＣＦ² ＣＡ²＝８²＋４² ＣＡ²＝80 ＣＡ＝４√５ （ＣＡ＞０） 2）△ＡＢＣはどんな三角形ですか。 ＡＢ²＝100、ＢＣ²＝20、ＣＡ²＝80より ＡＢ²＝ＢＣ²＋ＣＡ²が成り立つから ∠Ｃ＝90°の直角三角形 問題 下の図のように、ｘ軸上に点Ａ（４，０）がある。△ＯＡＢが正三角形となるような点Ｂの座標をすべて答えなさい。 下図の通り ＢＯ＝ＢＡ＝４となる点Ｂをとる。 点Ｂからの垂線とｘ軸との交点をＨとする。 △ＢＯＨにおいて、三平方の定理より ＢＨ²＝ＢＯ²－ＯＨ² ＯＨ＝２だから ＢＨ²＝４²－２² ＢＨ²＝12 ＢＨ＝２√３（ＢＨ＞０） よって、 点Ｂの座標は（２，２√３） また、 ｙ座標の負のほうにも同じくとれるから （２，－２√３） 以上から （２，２√３）、（２，－２√３） 問題 半径が３cmの円Ｏと、円の中心から８cmの距離に点Ａがある。点Ａから円Ｏへの接線をひき、その接点をＰとするとき、接線ＡＰの長さを求めなさい。 円の接線の性質より ∠ＯＰＡ＝90° △ＯＡＰにおいて、三平方の定理より ＡＰ²＝ＯＡ²－ＯＰ² ＯＡ＝８cm、ＯＰ＝３cmだから ＡＰ²＝８²－３² ＡＰ²＝55 ＡＰ＝√55（ＡＰ＞０） よって、 √55cm 問題 下の図で、△ＡＢＣは∠Ａ＝90°の直角三角形で、３点Ｄ、Ｅ、Ｆは△ＡＢＣの辺上の点で、それぞれ円Ｏとの接点である。あとの問いに答えなさい。 1）四角形ＡＤＯＦはどんな四角形ですか。 2）線分ＣＦの長さを求めなさい。 1） 円の接線の性質より ∠ＯＤＡ＝∠ＯＦＡ＝90° ∠Ａ＝90°だから ∠ＤＯＦ＝90° 円の接線の性質より ＡＤ＝ＡＦ＝１cm 四角形ＡＤＯＦのすべての内角が90°だから それぞれの対辺ＯＦとＯＤも１cm よって、 四角形ＡＤＯＦは 正方形 である 2） ＣＦ＝ｘcmとする 円の接線の性質より ＣＦ＝ＣＥ＝ｘcm よって、 ＡＣ＝ＡＦ＋ＣＦ＝１＋ｘ ＢＣ＝ＢＥ＋ＣＥ＝３＋ｘ △ＡＢＣにおいて、三平方の定理より ＢＣ²－ＡＣ²＝ＡＢ² ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝４cmだから （ｘ＋３）²－（ｘ＋１）²＝４² ｘ²＋６ｘ＋９－ｘ²－２ｘ－１＝16 ｘ＝２ よって、 ２cm ★平方数 （２乗の数） 　 11²＝121　12²＝144　13²＝169 　14²＝196　15²＝225　16²＝256 　17²＝289　18²＝324　19²＝361 　21²＝441　25²＝625 ★ピタゴラス数 　直角三角形の辺 　 ３cm、４cm、５cm 　 ３²＋４²＝５² 　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。 　 ５cm、12cm、13cm 　 ５²＋12²＝13² 　 ８cm、15cm、17cm 　 ８²＋15²＝17² 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.18 三平方の定理 高校入試対策② 👉 ブログ TOP

方程式 高校入試対策② 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の 方程式 に関する出題では、文章題形式の問題があります。方程式を立てるために、文の内容から等しい関係を正しく読み解くことが基本になります。数学では国語的な力も多分に求められます。 連立方程式（入試過去問） 問題 下の表は、15歳の花子さんが、ある日に食べた朝食・昼食・夕食の献立表の一部である。なお、表の脂質の量は小数第２位を四捨五入してある。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）ごはん100ｇあたりのエネルギーは何kcalか求めなさい。 2）昼食のパン100ｇあたりのエネルギーは350kcal、牛乳100ｇあたりのエネルギーは67kcalである。昼食のパン、牛乳のそれぞれの分量を求めなさい。 1） ごはん100ｇあたりをｘkcal とする 夕食のごはんの分量とエネルギー量から 100：ｘ＝200：336 １：ｘ＝２：336 ｘ＝168 よって、 168kcal 2） 昼食のパンの分量をａｇ 、 牛乳の分量をｂｇ とする。 合計610ｇだから ａ＋ｂ＋157＋83＋80＝610 ａ＋ｂ＝290　① パン100ｇあたり350kcalだから 100：350＝ａ：パンのkcal パン＝（350/100）ａkcal 牛乳100ｇあたり67kcalだから 100：67＝ｂ：牛乳のkcal 牛乳＝（67/100）ｂkcal 昼食で摂取したエネルギーの合計は (350/100)ａ＋(67/100)ｂ＋215＋93＋37＝794 (350/100)ａ＋(67/100)ｂ＝449　② ②×100 350ａ＋67ｂ＝44900　②’ ②’－①×67 　 350ａ＋67ｂ＝44900 －）67ａ＋67ｂ＝19430 　 283ａ　　　＝25470 　　　　　　ａ＝90 ①に代入 90＋ｂ＝290 ｂ＝200 よって、 パンの分量　 90ｇ 牛乳の分量　 200ｇ 3）花子さんの年齢では、１日に摂取したエネルギー量の20％以上30％未満は、脂質からとることが望ましいとされている。脂質１ｇあたりのエネルギーを９kcalとして、この日、花子さんが食事でとったエネルギー量に対する脂質の割合が、望ましいとされているのは何ｇ以上何ｇ未満か求めなさい。また、この日の花子さんの脂質の摂取量は適切か、適切でないか答えなさい。ただし、花子さんはこの日、表に示された食事以外には、何も食べなかったものとする。 エネルギー量の合計は2205kcal 20％分は、 2205×0.2＝441kcal 脂質１ｇあたり９kcalだから 441÷９＝49ｇ 30％分は、 2205×0.3＝661.5kcal 脂質１ｇあたり９kcalだから 661.5÷９＝73.5ｇ よって、この日の望ましい摂取量は、 49ｇ以上73.5ｇ未満 この日の脂質の摂取量の合計は60.4ｇ よって、 適切である ２次方程式 問題 縦が15m、横が26mの長方形の土地に、図のように縦と横の入り口の幅が同じ通路をつくり、残りを花だんにする。花だんの面積が240m²になるようにするには、通路の入り口の幅を何mにすればよいか、求めなさい。 花だんの縦は、（15－ｘ）m 花だんの横は、（26－２ｘ）m 面積240m²になるから （15－ｘ）（26－２ｘ）＝240 －（ｘ－15）×｛－２（ｘ－13）｝＝240 ２（ｘ－15）（ｘ－13）＝240 両辺÷２ （ｘ－15）（ｘ－13）＝120 ｘ²－28ｘ＋75＝０ （ｘ－３）（ｘ－25）＝０ ０＜ｘ＜15より ｘ＝３ よって、 ３m 文字式の利用 問題 下の図のように、縦の長さがａ、横の長さがｂの長方形がある。ただし、ａ＜ｂである。この長方形は、５つの正方形ア～オに分割できる。ただし、正方形ウ、エ、オは合同な正方形である。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）正方形イの１辺の長さをａ、ｂを使って表しなさい。 2）正方形ウの１辺の長さをａ、ｂを使って表しなさい。 3）正方形ウの１辺の長さの３つ分が正方形イの１辺の長さに等しいことを、「ａ＝□」の形にして、ａについて表しなさい。 4）長方形の周の長さが66のとき、ａの値を求めなさい。 5）長方形の面積が７のとき、ａの値を求めなさい。 6）ａ、ｂがａ＜ｂを満たす正の整数のとき、長方形の面積は必ずある正の整数ｎの倍数になる。このようなｎのうち、最も大きいものを求めなさい。 1） アの横の長さがａだから イの１辺の長さは、 ｂ－ａ 2） イの縦の長さがｂ－ａだから ａ－（ｂ－ａ） ＝ ２ａ－ｂ 3） ウの１辺は、２ａ－ｂ ３つ分だから、３（２ａ－ｂ） イの１辺は、ｂ－ａだから ３（２ａ－ｂ）＝ｂ－ａ ａについて変形すると ａ＝（4/7）ｂ 4） 長方形の周の長さが66だから ２ａ＋２ｂ＝66 両辺÷２より ａ＋ｂ＝33 これに、ａ＝（4/7）ｂを代入 （4/7）ｂ＋ｂ＝33 ｂ＝21 ａ＝（4/7）ｂより ａ＝（4/7）×21＝12 ａ＜ｂを満たすから ａ＝12 5） 長方形の面積が７だから ａｂ＝７ ａ＝（4/7）ｂより ｂについて変形すると ｂ＝（7/4）ａ これを、ａｂ＝７に代入 ａ×（7/4）ａ＝７ ａ²＝４ ａ＞０より、 ａ＝２ 6） ａ＝（4/7）ｂより ｂが７の倍数 のとき、ａも整数になる。 ｂ＝７のとき ａ＝（4/7）×７＝４ よって、 ｎ＝ ４×７＝ 28 ※ ａ＝４では、約数が１，２，４ ｂ＝７では、約数が１，７ 倍数は、１，２，４，７，14，28になる。 ※ユークリッドの互除法 👉 １次方程式 練習問題 👉 連立方程式 練習問題 👉 ２次方程式 練習問題 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.18 方程式 高校入試対策② 👉 ブログ TOP

三角形の合同② 高校入試対策 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 入試問題では「 証明 」の出題があり、三角形の合同または相似を利用します。昨年度の県立高入試は、数年ぶりにすべて記述で答える出題となりました。等しい辺や角は、根拠（理由）を加えることが必要になります。 問題 下の図のように、ＡＣ＞ＢＣ、∠ＢＣＡ＝90°の直角三角形ＡＢＣがある。辺ＡＣ上に点Ｄをとり、正方形ＢＣＤＥをつくる。辺ＤＥをＥの方向に延ばした直線上にＢＡ＝ＢＦとなる点Ｆをとり、点Ｆと点Ａを結ぶとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＣと△ＦＢＥが合同になることを証明しなさい。 2）∠ＣＡＢ＝35°のとき、∠ＡＦＥの大きさを求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＣと△ＦＢＥにおいて 仮定より、 ＢＡ＝ＢＦ　① ＢＣ＝ＢＥ　② ∠ＢＣＡ＝90°　③ ∠ＢＥＦ ＝180°－∠ＢＥＤ ＝180°－90°＝90°　④ ③、④より ∠ＢＣＡ＝∠ＢＥＦ＝90°　⑤ ①、②、⑤より 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので △ＡＢＣ≡△ＦＢＥ 2） ∠ＣＡＢ＝35°より ∠ＡＢＣ ＝180°－（35°＋90°）＝55° △ＡＢＣ≡△ＦＢＥより ∠ＦＢＥ＝∠ＡＢＣ＝55°　➅ ＥＢ//ＡＣより、錯角が等しいから ∠ＥＢＡ＝∠ＣＡＢ＝35°　⑦ ➅、⑦より ∠ＡＢＦ ＝∠ＦＢＥ＋∠ＥＢＡ ＝55°＋35°＝90° △ＡＢＦは、ＢＡ＝ＢＦの直角二等辺三角形だから ∠ＡＦＢ＝45° △ＡＢＣ≡△ＦＢＥより ∠ＥＦＢ＝∠ＣＡＢ＝35° ∠ＥＦＢ＋∠ＡＦＥ＝∠ＡＦＢだから 35°＋∠ＡＦＥ＝45° よって、 ∠ＡＦＥ＝10° 三角形の相似 問題 下の図のように、正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上に点Ｅをとり、ＡＥを１辺とする正方形ＡＥＦＧをつくる。辺ＣＤと辺ＥＦの交点をＨとすると、△ＡＢＥ∽△ＥＣＨである。あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＥ∽△ＥＣＨであることを証明しなさい。 2）ＡＢ＝５cm、ＢＥ＝４cmのとき、ＤＨの長さを求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＥと△ＥＣＨにおいて 正方形の内角だから ∠ＡＢＥ＝∠ＥＣＨ＝90°　① ∠ＡＥＢ ＝ 180°－∠ＡＥＨ－∠ＨＥＣ ＝180°－90°－∠ＨＥＣ ＝90°－∠ＨＥＣ　② ∠ＥＨＣ ＝ 180°－∠ＨＣＥ－∠ＨＥＣ ＝180°－90°－∠ＨＥＣ ＝90°－∠ＨＥＣ　③ ②、③より ∠ＡＥＢ＝∠ＥＨＣ　④ ①、④より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＥ∽△ＥＣＨ 2） △ＡＢＥ∽△ＥＣＨより ＡＢ：ＥＣ＝ＢＥ：ＣＨ ＥＣ ＝ＢＣ－ＢＥ ＝５－４＝１ ５：１＝４：ＣＨ ５ＣＨ＝４ ＣＨ＝4/5cm ＤＨ ＝ＤＣ－ＣＨ ＝５－4/5 ＝21/5 よって、 21/5cm 問題 下の図のように、長方形ＡＢＣＤ（ＡＢ＜ＢＣ）がある。この長方形ＡＢＣＤの内部にＥＢ＝ＤＣ、∠ＢＥＣ＝90°となるように点Ｅをとり、辺ＢＣを斜辺とする直角三角形ＢＣＥをつくる。また、点Ｅから辺ＢＣに垂線をひき、辺ＢＣとの交点をＦ、点Ｄから辺ＥＣに垂線をひき、辺ＥＣとの交点をＧとする。このとき、△ＥＢＦ≡△ＤＣＧを証明しなさい。 〔証明〕 △ＥＢＦと△ＤＣＧにおいて 仮定より ∠ＥＦＢ＝∠ＤＧＣ＝90°　① ＥＢ＝ＤＣ　② ∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＤ＝90°だから ∠ＥＢＦ＝90°－∠ＥＣＢ　③ ∠ＤＣＧ＝90°－∠ＥＣＢ　④ ③、④より ∠ＥＢＦ＝∠ＤＣＧ　⑤ ①、②、⑤より 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので △ＥＢＦ≡△ＤＣＧ 問題 下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがある。２点Ｅ、Ｆは辺ＡＤを３等分する点である。点Ｅを通り辺ＤＣに平行な直線と直線ＢＦとの交点をＧ、直線ＢＦと直線ＣＤとの交点をＨとすると、ＢＧ＝ＧＦである。あとの問いに答えなさい。 1）△ＥＧＦと△ＤＨＦが合同になることを証明しなさい。 2）平行四辺形ＡＢＣＤの面積は、△ＤＨＦの面積の何倍か、求めなさい。 点ＥとＦは、ＡＤを３等分する 👉ＥＦ＝ＤＦ 対頂角が等しい 👉∠ＥＦＧ＝∠ＤＦＨ ＥＧ//ＨＤだから、錯角が等しい 👉∠ＦＥＧ＝∠ＦＤＨ 1） 〔証明〕 △ＥＧＦと△ＤＨＦにおいて 仮定より ＥＦ＝ＤＦ　① 対頂角は等しいから ∠ＥＦＧ＝∠ＤＦＨ　② ＥＧ//ＨＤより、平行線の錯角は等しいから ∠ＦＥＧ＝∠ＦＤＨ　③ ①、②、③より １辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ＥＧＦ≡△ＤＨＦ 2） 下図の通り、 ＡＢに平行な直線をＥＪとすると △ＪＧＢ≡△ＥＧＦ ※１組の辺と錯角２つが等しい ＡＥに平行なＩＧを引くと △ＪＧＢ≡△ＩＢＧ ※１組の辺と対角・錯角が等しい △ＪＧＢ≡△ＥＧＦより ＪＧ＝ＥＧで、ＧはＥＪの中点だから △ＧＥＩと△ＡＩＥも合同である。 よって、 ▱ＡＢＪＥ＝４△ＪＧＢ ▱ＡＢＣＤ＝３▱ＡＢＪＥだから ▱ＡＢＣＤ＝12△ＪＧＢ △ＪＧＢ＝△ＤＨＦだから ▱ＡＢＣＤ＝12△ＤＨＦ よって、 12倍 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.17 三角形の合同② 高校入試対策 👉 ブログ TOP

立体図形 高校入試対策 12月に入り、中学生は高校入試対策を進めています。 立体図形 の柱や錐（すい）の問題では、垂直の関係にある「底面と高さ」を見出すことが基本になります。体積について考える場合は、公式のほかに、体積が底面積と高さとそれぞれ比例の関係にあることも押さえておきます。 問題 下の図のように、円柱の形をした容器に鉄の球を入れた。容器の底面の半径は４cm、高さは８cmであり、球の半径は３cmである。この状態の容器を水平面に置き、容器の底面からはかった水面の高さが６cmになるように水を入れた。あとの問いに答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。 1）容器の容積を求めなさい。 2）球の体積を求めなさい。 3）容器に入っている水をこぼさないようにして、容器から球を取り出したとき、取り出したあとの容器の底面からはかった水面の高さを求めなさい。 1） 円柱の体積＝底面積×高さ π×４²×８＝128π よって、 128π cm³ 2） 球の体積＝（4/3）πｒ³ （4/3）×π×３³＝36π よって、 36π cm³ 3） 高さ６cmの円柱の体積 π×４²×６＝96π cm³ これから球の体積を引くと、 水の体積が求められる。 96π－36π＝60π cm³ 柱の高さと底面積は比例の関係 高さ６cmに対して96π cm³ 求める高さｘcmに対して60π cm³ よって、 ６：96π＝ｘ：60π １：16π＝ｘ：60π １：４＝ｘ：15 ４ｘ＝15 ｘ＝ 15/4 cm 問題 図１のような、底面がＡＢ＝６cm、ＢＣ＝４cm、∠ＡＢＣ＝90°の直角三角形である三角柱ＡＢＣ-ＤＥＦと、図２のような、底面が１辺３cmの正方形である正四角柱ＧＨＩＪ-ＫＬＭＮがあり、２つの立体の高さは等しい。あとの問いに答えなさい。 1）図１の三角柱について、辺ＢＣと垂直な辺は全部で何本か、答えなさい。 2）図２の正四角柱について、ＨＬ＝ａcmとするとき、正四角柱の表面積を、ａを用いた最も簡単な式で表しなさい。 3）図１の三角柱の体積が96cm³のとき、図２の正四角柱の体積を求めなさい。 4）図２の正四角柱の頂点Ｊと頂点Ｋ、Ｌ、Ｍをそれぞれ結び、四角すいＪ-ＫＬＭＮをつくるとき、図１の三角柱の体積とつくった四角すいの体積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。 1） ∠ＡＢＣ＝90°より、ＢＣ⊥ＡＢ 底面と側面が垂直だから ＢＣ⊥ＥＢ、ＢＣ⊥ＦＣ よって、 ３本 2） 底面２つ分は、 ３²×２＝18cm² 側面４つ分は、 ａ×３×４＝12ａcm² よって、 12ａ＋18（cm²） 3） ＨＬ＝ａより、ＢＥ＝ａとする。 柱の体積の公式より (1/2）×４×６×ａ＝96 12ａ＝96 ａ＝８cm ＨＬ＝８だから ３²×８＝72 よって、 72cm³ 4） ＢＥ＝ａとすると、 三角柱の体積は（3）より、12ａcm³ 四角錐の高さはＪＮ ＪＮ＝ＢＥ＝ａだから 四角錐の体積は、 （1/3）×３²×ａ＝３ａcm³ よって、 12ａ：３ａ 求める比は、 ４：１ 問題 図１のような、直角三角形ＡＢＣを底面とする三角柱の容器があり、ＡＢ＝５cm、ＡＣ＝８cm、ＡＤ＝12cm、∠ＢＡＣ＝90°である。この容器を水平な台の上に置き、面ＤＥＦから９cmの高さまで水を入れる。あとの問いに答えなさい。 1）辺ＡＤとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。 2）図２は、水がこぼれないようにふたをした図１の三角柱を、水面が長方形ＢＥＱＰになるように傾けたものである。線分ＰＣの長さを求めなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。 1） ねじれ：平行でなく、交わらない ＡＤと平行　ＢＥ、ＣＦ ＡＤと交わる　ＡＢ、ＡＣ、ＤＥ、ＤＦ よって、 辺ＢＣ、辺ＥＦ 2） 「水面が長方形ＢＥＱＰになる」 👉水が入っている部分の立体は、 　 △ＢＣＰを底面とする三角柱である。 △ＢＣＰの高さはＢＡだから 三角柱の体積は、 （1/2）×ＰＣ×ＢＡ×ＢＥ ＢＥ＝ＡＤ＝12cmだから （1/2）×ＰＣ×５×12　① 図１の水が入っている部分の体積は、 （1/2）×５×８×９＝180　② ①＝②より （1/2）×ＰＣ×５×12＝180 30ＰＣ＝180 ＰＣ＝ ６cm 問題 下の図は、ＡＢ＝４cm、ＢＣ＝８cm、ＡＥ＝３cmの直方体ＡＢＣＤＥＦＧＨである。辺ＢＣの中点をＭとし、点Ｍと点Ｄ、Ｇ、点Ｄと点Ｇをそれぞれ結ぶ。あとの問いに答えなさい。 1）∠ＢＭＤの大きさを求めなさい。 2）この直方体を平面ＤＭＧで２つの立体に切り分けるとき、頂点Ａをふくむ方の立体の体積を求めなさい。 1） ＣＤ＝ＡＢ＝４cm ＣＭ＝ＭＢ＝４cm ∠ＤＣＭ＝90° △ＣＤＭは直角二等辺三角形だから ∠ＣＭＤ＝45° よって、 ∠ＢＭＤ ＝180°－∠ＣＭＤ ＝180°－45°＝ 135° 2） 直方体の体積から、三角錐Ｇ-ＣＤＭの体積を引いて求める。 △ＣＤＭと辺ＧＣは垂直の関係だから 三角錐の底面を△ＣＤＭ、高さをＧＣとする。 ＣＤ＝ＣＭ＝４cm、∠ＤＣＭ＝90° ＧＣ＝ＡＥ＝３cm 三角錐の体積は、 （1/3）×（1/2）×４²×３＝８cm³ 直方体の体積は、 ＡＢ×ＢＣ×ＡＥ ＝４×８×３＝96cm³ よって、求める体積は、 96－８＝ 88cm³ 問題 下の図のような三角柱ＡＢＣ－ＤＥＦがあり、底面は∠ＡＢＣ＝90°、ＡＢ＝ＢＣ＝６cmの直角二等辺三角形で、高さはＡＤ＝10cmである。また、点Ｐは辺ＢＥ上、点Ｑは辺ＣＦ上にあり、ＢＰ＝４cm、ＢＰ＜ＣＱである。あとの問いに答えなさい。 1）三角柱ＡＢＣ－ＤＥＦの体積を求めなさい。 2）ＡＰ＝ＰＱのとき、三角錐Ｑ－ＤＥＦの体積を求めなさい。 1） 底面△ＡＢＣの面積は、 （1/2）×６²＝18cm² 高さＡＤ＝10cm よって、求める体積は、 18×10＝ 180cm³ 2） 下図の通り、 ＢＣに平行な線分ＰＲをひく 。 △ＡＢＰと△ＰＲＱにおいて ＡＰ＝ＰＱ　① ＡＢ＝ＢＣ、ＰＲ＝ＢＣより ＡＢ＝ＰＲ　② ∠ＡＢＰ＝90°　③ ＢＣ//ＰＲより 同位角は等しいから ∠ＰＲＱ＝∠ＢＣＲ＝90°　④ ③、④より ∠ＡＢＰ＝∠ＰＲＱ＝90° 直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいから △ＡＢＰ≡△ＰＲＱ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＲＱ＝ＢＰ＝４cm また、 ＢＰ//ＣＲより、ＣＲ＝４cm ＱＦ＝ＣＦ－ＣＲ－ＲＱだから ＱＦ＝10－４－４＝２cm ∠ＱＦＥ＝90°より ＱＦは三角錐の高さになる。 よって、求める体積は、 （1/3）×△ＤＥＦ×ＱＦ ＝（1/3）×18×２ ＝ 36/3cm³ 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.17 立体図形 高校入試対策 👉 ブログ TOP

関数 高校入試対策7 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の「 関数 」の問題 では、１～２学年で学習する一次関数、３学年で学習する二次関数から幅広く出題されます。ふだんの勉強では、式をグラフに表す作業を取り入れることで、関数への理解を深めることができます。 １次関数 問題 １次関数ｙ＝ａｘ＋６について、ｘの変域が－２≦ｘ≦５のとき、ｙの変域がｂ≦ｘ≦10である。ａ＜０であるとき、ａ、ｂの値を求めなさい。 ａ＜０より 直線の傾きが負だから グラフは右下がりの直線になる。 よって、 ｘの値が小さくなっていくと、 ｙの値は大きくなっていくから、 ｘ＝－２のとき、ｙ＝10 グラフが（－２，10）を通るから 10＝ａ×（－２）＋６ ａ＝－２ よって、 直線の式は、ｙ＝－２ｘ＋６ ｘ＝５のときは、 ｙ＝－２×５＋６＝－４＝ｂ 以上から ａ＝－２、ｂ＝－４ 問題 ユミさんの家から駅までの道のりは1800mであり、その途中に書店がある。ユミさんは午前９時に家を出発して書店まで一定の速さで進み、書店で本を購入した後、書店から駅まで分速90mで進んだ。下の図は、ユミさんが家を出発してからｘ分後の家からの道のりをｙmとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。 1）ユミさんが家から書店まで進むとき、ｙをｘの式で表しなさい。 2）ユミさんが書店から駅まで進むとき、ｙをｘの式で表しなさい。 3）駅にいた兄が、９時10分に駅から家に分速150mの速さで向かっていると、ユミさんとすれ違った。兄とユミさんがすれ違ったのは、家から何mの地点で、何時何分であったか求めなさい。 1） 原点を通る直線だから 求める式を、ｙ＝ａｘとする。 （15，900）を通るから 900＝ａ×15 ａ＝60 よって、 ｙ＝60ｘ ※ 傾きａ は、「 速さ 」を表す。 900mを15分で進むから、 速さは、900÷15＝分速60m 2） 分速90mだから 求める式を、ｙ＝90ｘ＋ｂとする。 （30，900）を通るから 900＝90×30＋ｂ ｂ＝－1800 よって、 ｙ＝90ｘ－1800 ※ 書店から駅まで、 ｘが10増えて、ｙが900増える。 👉傾きａ＝900/10＝90 900mを10分で進むから、 速さは、900÷10＝分速90m 3） 兄は分速150mで進むから 兄の式を、ｙ＝－150ｘ＋ｂとする。 （10，1800）を通るから 1800＝－150×10＋ｂ ｂ＝3300 よって、ｙ＝－150ｘ＋3300 ユミさんの式は、 ①０≦ｘ≦15のとき、ｙ＝60ｘ ②15≦ｘ≦30のとき、ｙ＝900 ③30≦ｘ≦40のとき、ｙ＝90ｘ－1800 兄の式との連立方程式より ①のとき －150ｘ＋3300＝60ｘ ｘ＝15.7... ０≦ｘ≦15を満たさない ②のとき －150ｘ＋3300＝900 ｘ＝16 15≦ｘ≦30を満たすから問題に合う ③のとき －150ｘ＋3300＝90ｘ－1800 ｘ＝21.25 30≦ｘ≦40を満たさない よって、 ｘ＝16のとき、ｙ＝900だから 家から 900m の地点で、 ９時16分 問題 図１で、①は関数ｙ＝（4/3）ｘ＋４、②は関数ｙ＝－ｘ＋11のグラフであり、①と②の交点をＡとする。また、①とｙ軸、ｘ軸との交点をそれぞれＢ、Ｃとし、②とｘ軸との交点をＤとする。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。 1）点Ｃの座標を求めなさい。 2）点Ａの座標を求めなさい。 1） 点Ｃは、 ｙ＝（4/3）ｘ＋４上にあり、ｙ＝０だから （4/3）ｘ＋４＝０ （4/3）ｘ＝－４ ｘ＝－３ よって、 （－３，０） 2） ①と②の連立方程式より （4/3）ｘ＋４＝－ｘ＋11 ４ｘ＋12＝－３ｘ＋33 ７ｘ＝21 ｘ＝３ ②に代入 ｙ＝－３＋11＝８ よって、 （３，８） 図２は、図１に平行四辺形ＡＢＤＥをかき加えたものである。あとの問いに答えなさい。 3）点Ｅの座標を求めなさい。 4）平行四辺形ＡＢＤＥの面積を求めなさい。 3） ＡＢ//ＥＤより 直線ＥＤはＡＢと傾きが同じ Ａ（３，８）　Ｂ（０，４） ｘの増加量　３－０＝３ ｙの増加量　８－４＝４ よって、 点Ｅは、 Ｄから右に３、上に４進んだ点 点Ｄは、 ｙ＝－ｘ＋11上にあり、ｙ＝０だから －ｘ＋11＝０ ｘ＝11 点Ｅのｘ座標　11＋３＝14 点Ｅのｙ座標　０＋４＝４ よって、 （14，４） 4） 点Ｂ は（０，４）で、 Ａ（３，８）とＣ（－３，０）の中点 だから 直線ＢＤは△ＡＣＤの面積を２等分する。 △ＡＢＤ＝（1/2）△ＡＣＤ △ＡＢＤ＝△ＡＥＤだから 平行四辺形ＡＢＤＥ＝△ＡＣＤ △ＡＣＤにおいて 底辺ＣＤ＝11－（－３）＝14cm 高さＡＨ＝８－０＝８cm △ＡＣＤの面積は、 （1/2）×14×８＝56cm² よって、 平行四辺形ＡＢＤＥの面積は、 56cm² ２次関数 問題 下の図のように、関数ｙ＝（1/3）ｘ²・・①と、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞1/3）・・②があり、点Ａは、①のグラフ上の点である。点Ａを通り、ｘ軸に平行な直線と①のグラフともう１つの交点をＢとし、点Ｂを通り、ｙ軸に平行な直線と②のグラフとの交点をＣとする。点Ａのｘ座標が－３、ＡＢ：ＢＣ＝２：５のとき、あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。 1）関数ｙ＝（1/3）ｘ²について、ｘの値が３から６まで増加するときの変化の割合を求めなさい。 2）ａの値を求めなさい。 3）△ＯＡＣの面積を求めなさい。 1） ｘ＝３のとき、 ｙ＝（1/3）×３²＝３ ｘ＝６のとき、 ｙ＝（1/3）×６²＝12 ｘの増加量　６－３＝３ ｙの増加量　12－３＝９ よって、変化の割合は、 ９／３＝ ３ 2） ＡＢはｘ軸に平行 点ＡとＢのｙの値が同じだから 点Ｂは、ｘ＝３ ※放物線はｙ軸について対称 　ｘの絶対値が同じ よって、 ＡＢ＝３－（－３）＝６ ※ｘの値の大きいほうから小さいほうをひく ＡＢ：ＢＣ＝２：５より ６：ＢＣ＝２：５ ３：ＢＣ＝１：５ ＢＣ＝15 点Ｂは、 ｙ＝（1/3）ｘ²上にあり、ｘ＝３だから ｙ＝（1/3）×３²＝３ ＢＣ＝15より 点Ｃのｙ座標は、 ３＋15＝18 ＢＣはｙ軸に平行だから 点Ｃのｘ座標はＢと同じ３ 点Ｃは、 ｙ＝ａｘ²上にあり、（３，18）を通るから 18＝ａ×３² ａ＝２ 3） ＡＣとｙ軸との交点をＤ とする 点Ｄは、 直線ＡＣの切片だから、ＡＣの式を求める。 点Ａのｙ座標はＢと同じ３ Ａ（－３，３） Ｃ（３，18） ｘの増加量　３－（－３）＝６ ｙの増加量　18－３＝15 傾き　15／６＝５／２ 切片の値をｂとする ｙ＝（5/2）ｘ＋ｂ （－３，３）を通るから ３＝（5/2）×（－３）＋ｂ ｂ＝21/2 △ＯＡＤの底辺をＯＤとすると ＯＤ＝21/2－０＝21/2cm 高さは点Ａとｙ軸との距離だから ０－（－３）＝３cm △ＯＡＤの面積は、 （1/2）×（21/2）×３＝63/４cm² △ＯＣＤの底辺をＯＤとすると 高さは点Ｃとｙ軸との距離だから ３－０＝３cm △ＯＡＤの底辺と高さが同じだから △ＯＣＤの面積は、63/４cm² △ＯＡＣ ＝△ＯＡＤ＋△ＯＣＤ ＝△ＯＡＤ×２だから （63/４）×２＝ 63/2cm² 👉 １次関数 練習問題 👉 ２次関数 練習問題 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.16 関数 高校入試対策7 👉 ブログ TOP

三平方の定理 辺の長さ② 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 三平方の定理 では、直角をはさむ２辺それぞれの２乗の和が、斜辺を２乗した数になります。また、30°、60°、90°と45°、45°、90°の直角三角形では、三角比を利用して辺の長さを求めます。 問題 縦が４cm、横が６cmの長方形の対角線の長さを求めなさい。 ＡＣに対角線を引く ∠Ｂ＝90°だから ＡＣ²＝ＡＢ²＋ＢＣ² ＡＣ²＝４²＋６² ＡＣ²＝52 ＡＣ＝２√13（ＡＣ＞０） よって、 ２√13cm 問題 下の図の二等辺三角形ＡＢＣの高さＡＨと、面積をそれぞれ求めなさい。 ∠ＡＨＢ＝∠ＡＨＣ＝90° ＡＢ＝ＡＣ、ＡＨ＝ＡＨより △ＡＢＨ≡△ＡＣＨ よって、 ＢＨ＝ＣＨ＝２cm △ＡＢＨにおいて ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ² ＡＨ²＝３²－２² ＡＨ²＝５ ＡＨ＝√５（ＡＨ＞０） よって、 ＡＨ＝√５cm △ＡＢＣの面積は、 （1/2）×ＢＣ×ＡＨ ＝（1/2）×４×√５ ＝２√５ よって、 △ＡＢＣ＝２√５cm² 問題 次の図で、ｘの値を求めなさい。 1） △ＡＢＨにおいて ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ² ＡＨ²＝８²－３² ＡＨ²＝55　 ※ △ＡＣＨにおいて ＣＨ²＋ＡＨ²＝ＡＣ² ｘ²＋55＝10² ｘ²＝100－55 ｘ²＝45 ｘ＝３√５ （ｘ＞０） ※ ２乗の数で代入することになる 2） ＢＣに垂直となるＤＨを引く ＤＨ＝ＡＢ＝５cm △ＤＣＨにおいて ＤＣ²＝ＤＨ²＋ＣＨ² ＤＨ＝ＡＢ＝５cm、 ＣＨ＝ＢＣ－ＡＤ＝３cmだから ｘ²＝５²＋３² ｘ²＝34 ｘ＝√34 （ｘ＞０） 3） △ＡＣＤ において 直角二等辺三角形の辺の比より ＡＤ：ＡＣ＝１：√２ ３：ＡＣ＝１：√２ ＡＣ＝３√２ △ＡＢＣ において 直角三角形の辺の比より ＡＢ：ＡＣ＝２：√３ ｘ：３√２＝２：√３ √３ｘ＝６√２ ｘ＝６√２／√３ 　＝６√６／３ 　＝ ２√６ 4） ＢＣに垂直となるＡＨを引く ＡＢ＝ＡＣ、ＡＨ⊥ＢＣだから ∠ＢＡＨ＝∠ＣＡＨ＝60° よって、 ∠ＡＢＨ＝30° △ＡＢＨにおいて 直角三角形の辺の比より ＡＢ：ＢＨ＝２：√３ 10：ｘ/２＝２：√３ ｘ＝ 10√３cm 問題 １辺が６cmの正六角形の面積を求めなさい。 対角線ＡＤとＦＣの交点をＧ とし、 ＣＤに垂直となるＧＨ を引く。 ∠ＢＣＤ ＝180×（６－２）÷６＝120° ＦＣは正六角形の面積を２等分するから ∠ＢＣＤ÷２＝∠ＧＣＤ＝60° ∠ＧＨＣ＝90°だから ∠ＣＧＨ＝30° また、 ＣＨ＝ＣＤ÷２＝３cm △ＧＣＨにおいて 直角三角形の辺の比より ＧＨ：ＣＨ＝√３：１ ＧＨ：３＝√３：１ ＧＨ＝３√３cm △ＧＣＨの面積は、 （1/2）×ＣＤ×ＧＨ ＝（1/2）×６×３√３ ＝９√３cm² 正六角形の中に、△ＧＣＨと合同な三角形が６つできるから 求める面積は、 ９√３×６＝ 54√３cm² 立体への応用（入試問題） 問題 下の図において、この立体は、１辺の長さが10cmの立方体である。また、辺ＥＦ上に点Ｐがあり、線分ＦＰの長さをｔcmとする。ただし、０＜ｔ＜10とする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）線分ＤＰの長さが６√６cmとなるとき、ｔの値を求めなさい。 2）ｔ＝２のとき、ひもを点Ｄから立方体の表面にそって点Ｐまでゆるまないようにかける。このひもの長さが最も短くなるときの長さを求めなさい。 1） 正方形ＡＥＨＤに対角線ＤＥ を引く 正方形の面と線分ＥＰは垂直 の関係だから △ＤＰＥにおいて ∠ＤＥＰ＝90° 三平方の定理より ＥＰ²＝ＤＰ²－ＤＥ² △ＡＥＤ において 直角二等辺三角形の辺の比より ＤＥ：ＡＥ＝√２：１ ＤＥ：10＝√２：１ ＤＥ＝10√２cm ＥＰ＝（10－ｔ）だから （10－ｔ）²＝（６√６）²－（10√２）² 100－20ｔ＋ｔ²＝216－200 ｔ²－20ｔ＋84＝０ （ｔ－６）（ｔ－14）＝０ ｔ＝６，14 ０＜ｔ＜10より ｔ＝６ 2） 面ＡＥＨＤとＥＦＧＨ において 直角三角形ＤＰＡの斜辺ＤＰ の長さになる。 ＡＤ＝10cm ＡＰ＝ＡＥ＋ＥＰ＝10＋８＝18cm 三平方の定理より ＤＰ²＝ＡＤ²＋ＡＰ² ＤＰ²＝10²＋18² ＤＰ²＝424 ＤＰ＝２√106（ＤＰ＞０） よって、 ２√106cm ※参考 面ＡＢＣＤとＥＦＢＡで求める場合 直角三角形ＤＰＥの斜辺ＤＰ ＤＥ＝ＤＡ＋ＡＥ＝20cm ＥＰ＝ＥＦ－ｔ＝８cm 三平方の定理より ＤＰ²＝ＤＥ²＋ＥＰ² ＤＰ²＝20²＋８² ＤＰ²＝464（ＤＰ＝４√29） この場合、最短にならないため、問題に合わない。 👉辺ＥＨを通すとき（下面から）と、辺ＡＢを通すとき（上面から）で斜辺の長さが変わる。 ★平方数 （２乗の数） 　 11²＝121　12²＝144　13²＝169 　14²＝196　15²＝225　16²＝256 　17²＝289　18²＝324　19²＝361 　21²＝441　25²＝625 ★ピタゴラス数 　直角三角形の辺 　 ３cm、４cm、５cm 　 ３²＋４²＝５² 　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。 　 ５cm、12cm、13cm 　 ５²＋12²＝13² 　 ８cm、15cm、17cm 　 ８²＋15²＝17² 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.16 三平方の定理 辺の長さ② 👉 ブログ TOP

相似 高校入試対策② 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 中３数学では「 相似 」の単元に入り、受験生は入試対策にも取り組んでいます。入試問題では、 相似な三角形の面積比 （相似比の２乗）と、 高さが同じ三角形の面積比 （底辺比と同じ）とを分けて考える出題があります。 相似比の見方 問題 次の図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。辺ＢＡをＡの方向へ延長し、ＢＡ＝ＥＡとなるように点Ｅをとる。ＥとＣを結び、ＥＣとＡＤの交点をＦ、ＥＣとＢＤの交点をＧとするとき、あとの問いに答えなさい。 1）ＡＦ：ＦＤを求めなさい。 2）ＥＦ：ＦＧを求めなさい。 1） ＡＦ//ＢＣ、ＢＡ＝ＥＡだから 中点連結定理より ＡＦ：ＢＣ＝１：２ ＢＣ＝ＡＦ＋ＦＤだから ＡＦ：（ＡＦ＋ＦＤ）＝１：２ ＡＦ＋ＦＤ＝２ＡＦ ＡＦ＝ＦＤ よって、 ＡＦ：ＦＤ＝１：１ 2） △ＤＦＧと△ＢＣＧにおいて ＦＤ//ＢＣより、 平行線の錯角は等しいから ∠ＤＦＧ＝∠ＢＣＧ ∠ＦＤＧ＝∠ＣＢＧ ２組の角が等しいので △ＤＦＧ∽△ＢＣＧ ＤＦ：ＢＣ＝１：２だから ＦＧ：ＣＧ＝１：２ よって、 ＦＣ＝３ＦＧ ＦはＥＣの中点だから ＥＦ＝ＦＣ ＥＦ＝３ＦＧだから ＥＦ：ＦＧ＝３：１ 相似比を利用した辺の長さ 問題 下の図のように、∠ＢＣＡ＝90°の直角三角形ＡＢＣがあり、ＡＢ＝20cm、ＢＣ＝12cm、ＣＡ＝16cmである。点ＤはＣＡ上にあり、ＡＤ＝７cmである。点Ｅは直線ＢＤ上にあり、∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥである。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＣと△ＢＤＣが相似になることを証明しなさい。 2）線分ＢＥの長さを求めなさい。 1） △ＡＢＣと△ＢＤＣにおいて ∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ＝90°　① ＤＣ＝ＡＣ－ＡＤ＝９cmだから ＢＣ：ＤＣ ＝12：９＝４：３　② ＡＣ：ＢＣ ＝16：12＝４：３　③ ②、③より ＢＣ：ＤＣ＝ＡＣ：ＢＣ　④ ①、④より ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＣ∽△ＢＤＣ 2） ＡＢ：ＢＤ＝４：３より 20：ＢＤ＝４：３ ５：ＢＤ＝１：３ ＢＤ＝15cm △ＢＤＣと△ＡＤＥにおいて 対頂角は等しいから ∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＥ　⑤ △ＡＢＣ∽△ＢＤＣより ∠ＢＡＣ＝∠ＤＢＣ ∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥだから ∠ＤＢＣ＝∠ＤＡＥ　➅ ⑤、➅より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＢＤＣ∽△ＡＤＥ 対応する辺の比は等しいから ＢＤ：ＡＤ＝ＤＣ：ＤＥ 15：７＝９：ＤＥ ＤＥ＝21/5cm ＢＥ＝ＢＤ＋ＤＥだから ＢＥ＝15＋（21/5） 　　＝ 96/5cm 底辺比を利用した三角形の面積 問題 右の図で、四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ//ＢＣの台形である。Ｅは辺ＡＢの中点、Ｆは辺ＤＣ上の点で、四角形ＡＥＦＤと四角形ＥＢＣＦの周の長さが等しい。ＡＤ＝２cm、ＢＣ＝６cm、ＤＣ＝５cm、台形ＡＢＣＤの高さが４cmのとき、あとの問いに答えなさい。 1）線分ＤＦの長さを求めなさい。 2）四角形ＥＢＣＦの面積を求めなさい。 1） ＤＦ＝ｘcmとする 四角形ＡＥＦＤの周の長さは ＤＦ＋ＦＥ＋ＥＡ＋ＡＤ ＝ｘ＋ＦＥ＋ＥＡ＋２　① ＣＦ＝５－ｘ cmだから 四角形ＥＢＣＦの周の長さは ＣＦ＋ＦＥ＋ＥＢ＋ＢＣ ＝（５－ｘ）＋ＦＥ＋ＥＢ＋６　② ＦＥは共通な辺だから、ＦＥ＝ＦＥ ＥはＡＢの中点だから、ＥＡ＝ＥＢ ①、②より ｘ＋２＝（５－ｘ）＋６ ｘ＝9/2 よって、 ＤＦ＝ 9/2 cm 2） 下図の通り、 Ｂからの垂線と半直線ＤＡとの交点をＨとする ＤＨと平行なＥＧをひくと ＢＥ＝ＥＡだから、 中点連結定理より、ＢＧ＝ＧＨ ＢＨは、台形の高さだから ＢＧ＝ＧＨ＝２cm ＢＧは、△ＥＢＣの高さだから △ＥＢＣ ＝（1/2）×６×２＝６cm² ＧＨは、△ＥＡＤの高さだから △ＥＡＤ ＝（1/2）×２×２＝２cm² 台形ＡＢＣＤ ＝（1/2）×（２＋６）×４＝16cm² △ＥＣＤ ＝台形ＡＢＣＤ－（△ＥＢＣ＋△ＥＡＤ） ＝16－（６＋２）＝８cm² ＤＦ＝9/2cm、ＣＦ＝1/2cmだから ＤＦ：ＣＦ＝９：１ よって、 △ＥＣＦ＝（1/10）△ＥＣＤ △ＥＣＦ＝（1/10）×８＝4/5cm² 四角形ＥＢＣＦ＝△ＥＢＣ＋△ＥＣＦだから 求める面積は、 ６＋（4/5）＝ 34/5cm² 相似比と体積比 問題 下の図のように、１辺の長さが12cmの正四面体がある。点Ｐを辺ＡＣ上の点とする。点Ｐを通り、底面ＢＣＤに平行な平面でこの正四面体を切る。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）点Ｐが線分ＡＣの中点のとき、底面ＢＣＤをふくむほうの立体の体積は、もとの正四面体の体積の何倍になるか、求めなさい。 2）切り口の面積が、△ＢＣＤの面積の1/3倍になるとき、線分ＡＰの長さを求めなさい。 1） ＡＢの中点をＱとする △ＡＱＰと△ＡＢＣにおいて ＡＱ＝ＱＢ、ＡＰ＝ＰＣ ＱＰ//ＢＣより 同位角は等しいから ∠ＡＱＰ＝∠ＡＢＣ ∠ＡＰＱ＝∠ＡＣＢ よって、 △ＡＱＰ∽△ＡＢＣ 対応する辺の比は等しいから ＡＰ：ＡＣ＝１：２ ＡＤの中点をＲとする 三角錐Ａ－ＰＱＲと正四面体の体積比は、 ＡＰ：ＡＣ＝１：２より １³：２³＝１：８ よって、 底面ＢＣＤをふくむ立体の体積比は、 ８－１＝７ よって、 ７÷８＝ 7/8倍 2） △ＰＱＲ∽△ＢＣＤより 面積比は、 △ＰＱＲ：△ＢＣＤ＝１：３だから 相似比は、 √１：√３＝１：√３ よって、 ＡＰ：ＡＣ＝１：√３だから ＡＰ：12cm＝１：√３ √３ＡＰ＝12 ＡＰ＝ ４√３cm 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.15 相似 高校入試対策② 👉 ブログ TOP