二次方程式 高校入試対策③ 二次方程式は解が２つ出てくる方程式で、そのしくみを利用した応用問題もあります。因数分解やルートの計算など、これまでに学習したことも使います。 問題 次の方程式を解きなさい。 1）（ｘ＋１）²＝64 2）（ｘ＋４）²－５＝０ 3）（２ｘ－５）²＝18 1） （ｘ＋１）²＝64 ｘ＋１＝±８ ｘ＝－１±８ ｘ＝７，－９ 2） （ｘ＋４）²－５＝０ （ｘ＋４）²＝５ ｘ＋４＝±√５ ｘ＝－４±√５ 3） （２ｘ－５）²＝18 ２ｘ－５＝±３√２ ２ｘ＝５±３√２ 　　５±３√２ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 問題 ３ｘ²－４ｘ－１＝０の解はｘ＝（２±√７）/３である。この２つの解（２＋√７）/３と（２－√７）/３は、数直線上に表すとそれぞれどこにあるか。次の㋐～㋓から選びなさい。 √４＜√７＜√９より ２＜√７＜３ √７の整数部分は２だから （２＋√７）/３は、１より大きい （２－√７）/３は、－１より大きい よって、 （２＋√７）/３　㋓ （２－√７）/３　㋒ 問題 次の方程式を解きなさい。 1）ｘ²－４ｘ＝０ 2）ｘ²＝３ｘ 3）（ｘ＋１）²＝２ｘ＋10 1） ｘ²－４ｘ＝０ ｘ（ｘ－４）＝０ ｘ＝０，４ 2） ｘ²＝３ｘ ｘ²－３ｘ＝０ ｘ（ｘ－３）＝０ ｘ＝０，３ 3） （ｘ＋１）²＝２ｘ＋10 ｘ²＋２ｘ＋１－２ｘ－10＝０ ｘ²－９＝０ （ｘ＋３）（ｘ－３）＝０ ｘ＝±３ 問題 ｘについての方程式ｘ²－２ａｘ＋３＝０の解の１つが－１であるとき、もう１つの解を求めなさい。 解の１つが－１、左辺の定数項が３だから （ｘ＋１）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝－１，－３ よって、－３ ※別解 方程式にｘ＝－１を代入 １＋２ａ＋３＝０ ２ａ＝－４　ａ＝－２ 方程式にａ＝－２を代入 ｘ²＋４ｘ＋３＝０ （ｘ＋１）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝－１，－３ よって、－３ 問題 次の方程式を解きなさい。 1）３ｘ²－72＝０ 2）ｘ²＋４ｘ－１＝０ 3）ｘ²＝ｘ＋１ 1） ３ｘ²－72＝０ 両辺÷３ ｘ²－24＝０ ｘ²＝24 ｘ＝±２√６ 2） ｘ²＋４ｘ－１＝０ ｘ²＋４ｘ＝１ ｘ²＋４ｘ＋４＝１＋４ （ｘ＋２）²＝５ ｘ＋２＝±√５ ｘ＝－２±√５ 3） ｘ²＝ｘ＋１ ｘ²－ｘ－１＝０ 解の公式より 　　１±√５ ｘ＝━━━ 　　　２ 問題 横が縦より４cm長いボール紙がある。この４すみから、下の図のように１辺が５cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の箱を作ると、容積は480cm³になった。ボール紙の縦と横の長さをそれぞれ求めなさい。 縦をｘcmとすると、横は（ｘ＋４）cm 直方体の縦は（ｘ－10）cm 直方体の横は（ｘ＋４）－10cm 直方体の高さは５cm よって、 ５（ｘ－10）（ｘ－６）＝480 （ｘ－10）（ｘ－６）＝96 ｘ²－16ｘ＋60－96＝０ ｘ²－16ｘ－36＝０ （ｘ－18）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝18，－２ ｘ＞10だから ｘ＝18 したがって、 縦の長さ　18cm 横の長さ　22cm 問題 次の方程式を解きなさい。 1）（ｘ－６）²＝10 2）ｘ²＋５ｘ＋６＝０ 3）（ｘ－６）（ｘ＋６）＝20－ｘ 1） （ｘ－６）²＝10 ｘ－６＝±√10 ｘ＝６±√10 2） ｘ²＋５ｘ＋６＝０ （ｘ＋２）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝－２，－３ 3） （ｘ－６）（ｘ＋６）＝20－ｘ ｘ²－36－20＋ｘ＝０ ｘ²＋ｘ－56＝０ （ｘ＋８）（ｘ－７）＝０ ｘ＝－８，７ 問題 ｘについての２次方程式ｘ²＋ａｘ－15＝０の１つの解が３であるとき、ａの値を求めなさい。また、もう１つの解を求めなさい。 １つの解が３で、左辺の定数項が－15だから （ｘ－３）（ｘ＋５）＝０ ｘ＝３，－５ よって、もう１つの解は－５ （ｘ－３）（ｘ＋５）＝０より ｘ²＋２ｘ－15＝０ よって、ａ＝２ ａの値　２ もう１つの解　－５ ※別解 方程式にｘ＝３を代入 ９＋３ａ－15＝０ ３ａ＝６　ａ＝２ 方程式にａ＝２を代入 ｘ²＋２ｘ－15＝０ （ｘ＋５）（ｘ－３）＝０ ｘ＝－５，３ よって、 ａの値　２ もう１つの解　－５ 問題 ａ、ｂを定数とする。２次方程式ｘ²－ａｘ＋ｂ＝０の２つの解が－５、－７であるとき、ａ、ｂの値をそれぞれ求めなさい。 ｘ²の係数が１、２つの解が－５、－７だから （ｘ＋５）（ｘ＋７）＝０ ｘ²＋12ｘ＋35＝０ －ａ＝12より　ａ＝－12 よって、 ａの値　－12 ｂの値　35 ※別解 方程式にｘ＝－５を代入 25＋５ａ＋ｂ＝０ ５ａ＋ｂ＝－25　① 方程式にｘ＝－７を代入 49＋７ａ＋ｂ＝０ ７ａ＋ｂ＝－49　② ②－① ２ａ＝－24　ａ＝－12 ①に代入 －60＋ｂ＝－25　ｂ＝35 よって、 ａの値　－12 ｂの値　35 問題 ２次方程式ｘ²－６ｘ－７＝０の２つの解のうち、大きい方の解が、２次方程式ｘ²＋（ａ－２）ｘ－４ａ－８＝０の解でもあるとき、ａの値を求めなさい。 ｘ²－６ｘ－７＝０　① ｘ²＋（ａ－２）ｘ－４ａ－８＝０　② ①より （ｘ－７）（ｘ＋１）＝０ ｘ＝７，－１ 大きい方の解ｘ＝７を②に代入 49＋７ａ－14－４ａ－８＝０ ３ａ＝－27 ａ＝－９ ※別解 ｘ²＋（ａ－２）ｘ－４ａ－８＝０より ｘ²－２ｘ－８＋ａｘ－４ａ＝０ （ｘ－４）（ｘ＋２）＋（ｘ－４）ａ＝０ （ｘ－４）（ｘ＋２＋ａ）＝０ ｘ＝４，－２－ａ 大きい方の解は７だから －２－ａ＝７ ａ＝－９ 問題 ａを定数とする。ｘについての２次方程式ｘ²＋４ｘ－ａ²－12＝０の解の１つがａであるとき、もう１つの解を求めなさい。 方程式にｘ＝ａを代入 ａ²＋４ａ－ａ²－12＝０ ４ａ＝12　ａ＝３ 方程式にａ＝３を代入 ｘ²＋４ｘ－９－12＝０ ｘ²＋４ｘ－21＝０ （ｘ＋７）（ｘ－３）＝０ ｘ＝－７，３ ａ＝３だから もう１つの解は－７ 問題 和が13で、積が36である２つの数を求めなさい。 和が13だから ２数をｘ、13－ｘとする 積が36だから ｘ（13－ｘ）＝36 －ｘ²＋13ｘ－36＝０ ｘ²－13ｘ＋36＝０ （ｘ－４）（ｘ－９）＝０ ｘ＝４，９ よって、４と９ 問題 ある正の数を２乗して５をたすと、もとの数の６倍になるという。ある正の数を求めなさい。 求める数をｘとする（ｘ＞０） ｘ²＋５＝ｘ×６ ｘ²－６ｘ＋５＝０ （ｘ－１）（ｘ－５）＝０ ｘ＝１，５ ２つの解はｘ＞０を満たすから １と５ 問題 連続した３つの自然数がある。それぞれ２乗して、その和を求めたら110になった。３つの自然数を求めなさい。 小、中、大の順に ｘ－１、ｘ、ｘ＋１とする （ｘ－１）²＋ｘ²＋（ｘ＋１）²＝110 ｘ²－２ｘ＋１＋ｘ²＋ｘ²＋２ｘ＋１＝110 ３ｘ²＝108 ｘ²＝36 ｘは自然数だから ｘ＝６ よって、 ５，６，７ 問題 和が２で、積が－48になる２つの数を求めなさい。 和が２だから ２数をｘ、２－ｘとする 積が－48だから ｘ（２－ｘ）＝－48 －ｘ²＋２ｘ＋48＝０ ｘ²－２ｘ－48＝０ （ｘ－８）（ｘ＋６）＝０ ｘ＝８，－６ よって、８と－６ 問題 連続する３つの自然数がある。真ん中の数の２乗が、最大の数の２乗と最小の数の２乗の差に等しいとき、この３つの自然数を求めなさい。 真ん中の数をｘとする 最大は（ｘ＋１）、最小は（ｘ－１） ｘ²＝（ｘ＋１）²－（ｘ－１）² ｘ²＝ｘ²＋２ｘ＋１－（ｘ²－２ｘ＋１） ｘ²＝ｘ²＋２ｘ＋１－ｘ²＋２ｘ－１ ｘ²－４ｘ＝０ ｘ（ｘ－４）＝０ ｘは自然数だから、ｘ＝４ よって、 ３，４，５ ※別解 ｘ²＝（ｘ＋１）²－（ｘ－１）² ｘ²＝Ａ²－Ｂ² ｘ²＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） ｘ²＝（ｘ＋１＋ｘ－１）（ｘ＋１－ｘ＋１） ｘ²＝２ｘ×２ ｘ²－４ｘ＝０ ｘ（ｘ－４）＝０ 2025年・青森県立高校入試 👉2025 高校入試解説 👉2026 高校入試解説 👉二次方程式 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.26 二次方程式 高校入試対策③ 👉ブログ TOP

放物線の移動 放物線の移動には、平行移動と対称移動があります。＋１平行移動するときはｘやｙの値を－１します。ｘ軸について対称移動するときはｙを異符号、原点について対称移動するときはｘとｙをそれぞれ異符号にします。 問題 放物線ｙ＝ｘ²＋２ｘ－１を平行移動して次の放物線に重ねるには、どのように平行移動すればよいか。 1）ｙ＝ｘ²－６ｘ＋12 2）ｙ＝ｘ²－２ｘ－２ 1） ｙ＝ｘ²＋２ｘ－１より ｙ＝（ｘ＋１）²－２ 頂点（－１，－２） ｙ＝ｘ²－６ｘ＋12より ｙ＝（ｘ－３）²＋３ 頂点（３，３） よって、 ｘ軸方向　３－（－１）＝４ ｙ軸方向　３－（－２）＝５ したがって、 ｘ軸方向に４、ｙ軸方向に５ 2） ｙ＝ｘ²＋２ｘ－１の頂点（－１，－２） ｙ＝ｘ²－２ｘ－２より ｙ＝（ｘ－１）²－３ 頂点（１，－３） よって、 ｘ軸方向　１－（－１）＝２ ｙ軸方向　－３－（－２）＝－１ したがって、 ｘ軸方向に２、ｙ軸方向に－１ 問題 放物線ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋３を、次のように平行移動したとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。 1）ｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－３ 2）ｘ軸方向に－５、ｙ軸方向に２ 1） ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋３より ＝２（ｘ²－２ｘ）＋３ ＝２｛（ｘ－１）²－１｝＋３ ＝２（ｘ－１）²＋１ 頂点（１，１） 移動後の ｘ座標　１＋１＝２ ｙ座標　１－３＝－２ よって、 ｙ＝２（ｘ－２）²－２ ※別解 ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋３ ＝２（ｘ－１）²＋１ ｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－３移動 ｙ＝２（ｘ－１－１）²＋１－３ ｙ＝２（ｘ－２）²－２ ※ ｙ＋３＝２（ｘ－１）²－４（ｘ－１）＋３ ｙ＋３＝２ｘ²－４ｘ＋２－４ｘ＋４＋３ ｙ＝２ｘ²－８ｘ＋６ 2） ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋３ ＝２（ｘ－１）²＋１ ｘ軸方向に－５、ｙ軸方向に２移動 ｙ＝２（ｘ－１＋５）²＋１＋２ ｙ＝２（ｘ＋４）²＋３ ※ ｙ－２＝２（ｘ＋５）²－４（ｘ＋５）＋３ ｙ－２＝２ｘ²＋20ｘ＋50－４ｘ－20＋３ ｙ＝２ｘ²＋16ｘ＋35 問題 ある放物線を、ｘ軸に関して対称移動し、さらにｘ軸方向に－１、ｙ軸方向に３だけ平行移動すると、放物線ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋３に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。 逆の平行移動 ｙ＋３＝（ｘ－１）²＋４（ｘ－１）＋３ ｙ＋３＝ｘ²－２ｘ＋１＋４ｘ－４＋３ ｙ＝ｘ²＋２ｘ－３ 逆の対称移動 －ｙ＝ｘ²＋２ｘ－３ ｙ＝－ｘ²－２ｘ＋３ 問題 ｙ＝２ｘ²－８ｘ＋11の、ｘ軸、ｙ軸、原点それぞれに関する対称移動後の放物線の方程式を求めよ。 ｘ軸について対称 👉ｙの符号が変わる －ｙ＝２ｘ²－８ｘ＋11 ｙ＝－２ｘ²＋８ｘ－11 ｙ軸について対称 👉ｘの符号が変わる ｙ＝２（－ｘ）²－８（－ｘ）＋11 ｙ＝２ｘ²＋８ｘ＋11 原点について対称 👉ｘとｙ両方の符号が変わる －ｙ＝２（－ｘ）²－８（－ｘ）＋11 －ｙ＝２ｘ²＋８ｘ＋11 ｙ＝－２ｘ²－８ｘ－11 ※別解 ｙ＝２（ｘ²－４ｘ）＋11 ＝２｛（ｘ－２）²－４｝＋11 ＝２（ｘ－２）²＋３ 下に凸、軸ｘ＝２、頂点（２，３） ｘ軸について対称 上に凸、軸ｘ＝２、頂点（２，－３） よって、 ｙ＝－２（ｘ－２）²－３ ｙ軸について対称 下に凸、軸ｘ＝－２、頂点（－２，３） よって、 ｙ＝２（ｘ＋２）²＋３ 原点について対称 上に凸、軸ｘ＝－２、頂点（－２，－３） よって、 ｙ＝－２（ｘ＋２）²－３ 問題 放物線ｙ＝ｘ²－４ｘ＋３を、次の方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求めよ。 1）ｙ軸方向 2）ｘ軸方向 1） ｙ切片が０となり、 ｘ＝０のときｙ＝０だから ｙ＝ｘ²－４ｘ 2） ｙ＝ｘ²－４ｘ＋３ ＝（ｘ－１）（ｘ－３） ｙ＝０のとき、ｘ＝１，３ 左に１ずらすと原点を通るから ｙ＝ｘ（ｘ－２） よって、 ｙ＝ｘ²－２ｘ また、 左に３ずらすと原点を通るから ｙ＝（ｘ＋２）ｘ よって、 ｙ＝ｘ²＋２ｘ ※2）別解 左に１ずらすから ｙ＝（ｘ＋１）²－４（ｘ＋１）＋３ ＝ｘ²＋２ｘ＋１－４ｘ－４＋３ ＝ｘ²－２ｘ ｙ＝ｘ²－２ｘ 左に３ずらすから ｙ＝（ｘ＋３）²－４（ｘ＋３）＋３ ＝ｘ²＋６ｘ＋９－４ｘ－12＋３ ＝ｘ²＋２ｘ ｙ＝ｘ²＋２ｘ 問題 ある放物線をｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－２だけ平行移動したとき、移動後の放物線はｙ＝－２ｘ²＋３ｘ－１であった。もとの放物線の方程式を求めよ。 ｙ－２＝－２（ｘ＋１）²＋３（ｘ＋１）－１ ｙ－２＝－２ｘ²－４ｘ－２＋３ｘ＋３－１ ｙ＝－２ｘ²－ｘ＋２ 問題 ある放物線を、ｘ軸方向に－２、ｙ軸方向に－２だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動すると、放物線ｙ＝－ｘ²＋ｘ－８に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。 対称移動の逆 －ｙ＝－（－ｘ）²＋（－ｘ）－８ －ｙ＝－ｘ²－ｘ－８ ｙ＝ｘ²＋ｘ＋８ 平行移動の逆 ｙ－２＝（ｘ－２）²＋（ｘ－２）＋８ ｙ－２＝ｘ²－４ｘ＋４＋ｘ－２＋８ ｙ＝ｘ²－３ｘ＋12 問題 放物線ｙ＝２ｘ²＋６ｘ＋７・・①は、放物線ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋１・・②をどのように平行移動したものか。 ①より ｙ＝２ｘ²＋６ｘ＋７ ｙ＝２（ｘ²＋３ｘ）＋７ ＝２［｛ｘ＋（3/2）｝²－（9/4）］＋７ ＝２｛ｘ＋（3/2）｝²－（9/2）＋（14/2） ＝２｛ｘ＋（3/2）｝²＋（5/2） よって、頂点（－3/2，5/2） ②より ｙ＝２ｘ²－４ｘ＋１ ＝２（ｘ²－２ｘ）＋１ ＝２｛（ｘ－１）²－１｝＋１ ＝２（ｘ－１）²－２＋１ ＝２（ｘ－１）²－１ よって、頂点（１，－１） したがって、 ｘ軸方向には （－3/2）－１＝－5/2 ｙ軸方向には （5/2）－（－１）＝7/2 ｘ軸方向に　－5/2 ｙ軸方向に　7/2 グラフの平行移動 問題 ｙ＝２ｘ²－５ｘ＋３のグラフを、ｘ軸方向に－２、ｙ軸方向に１だけ平行移動するとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。 ｙ－１＝２（ｘ＋２）²－５（ｘ＋２）＋３ ｙ－１＝２ｘ²＋８ｘ＋８－５ｘ－10＋３ ｙ＝２ｘ²＋３ｘ＋２ ※ ｙ＝２ｘ²－５ｘ＋３ 　＝２（ｘ²－5/2ｘ）＋３ 　＝２｛（ｘ－5/4）²－25/16｝＋３ 　＝２（ｘ－5/4）²－1/8 頂点（5/4，－1/8） 移動後の頂点 ｘ座標 5/4－２＝－3/4 ｙ座標 －1/8＋１＝7/8 ｙ＝２（ｘ＋3/4）²＋7/8 👇 ｙ＝２（ｘ²＋3/2ｘ＋9/16）＋7/8 　＝２ｘ²＋３ｘ＋２ グラフの対称移動 問題 ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋１のグラフの、ｘ軸、ｙ軸、原点それぞれに関する対称移動後の放物線の方程式を求めよ。 ｙ＝ｆ（ｘ） ｘ軸について対称 👉－ｙ＝ｆ（ｘ） －ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋１ ｙ＝－ｘ²－４ｘ－１ ｙ軸について対称 👉ｙ＝ｆ（－ｘ） ｙ＝（－ｘ）²＋４（－ｘ）＋１ ｙ＝ｘ²－４ｘ＋１ 原点について対称 👉－ｙ＝ｆ（－ｘ） －ｙ＝ｘ²－４ｘ＋１ ｙ＝－ｘ²＋４ｘ－１ ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋１ ｙ＝（ｘ＋２）²－３ 頂点（－２，－３） ｘ軸について対称 上に凸の放物線 頂点（－２，３） ｙ＝－（ｘ＋２）²＋３ ｙ＝－ｘ²－４ｘ－１ ｙ軸について対称 下の凸の放物線 頂点（２，－３） ｙ＝（ｘ－２）²－３ ｙ＝ｘ²－４ｘ＋１ 原点について対称 上に凸の放物線 頂点（２，３） ｙ＝－（ｘ－２）²＋３ ｙ＝－ｘ²＋４ｘ－１ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.25 放物線の移動 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２点を通る直線の式 一次関数（ｙ＝ａｘ＋ｂ）では、２つの座標点が分かっているときに、ｘとｙの増加量を使って傾きａを求めることができます。切片ｂはどちらかの点を代入することで求めることができます。 問題 ｙがｘの１次関数で、そのグラフが２点（１，５）、（３，１）を通るとき、次の問いに答えなさい。 1）グラフの傾きを求めなさい。 2）この１次関数の式を求めなさい。 1） ｘの増加量　３－１＝２ ｙの増加量　１－５＝－４ よって、直線の傾きは －４/２＝－２ 2） ｙ＝－２ｘ＋ｂとする （３，１）を通るから １＝－６＋ｂ　ｂ＝７ よって、求める式は ｙ＝－２ｘ＋７ ※別解 傾きａ、（ｐ，ｑ）を通る直線の式 ｙ－ｑ＝ａ（ｘ－ｐ） 傾き－２、（３，１）を通るから ｙ－１＝－２（ｘ－３） ｙ－１＝－２ｘ＋６ ｙ＝－２ｘ＋７ 👉ｂを用いずに求めることができる 問題 ｙがｘの１次関数で、そのグラフが２点（－３，－４）、（３，２）を通るとき、求める１次関数の式をｙ＝ａｘ＋ｂとして、次の問いに答えなさい。 1）ａ、ｂについての連立方程式をつくりなさい。 2）1）の連立方程式を解いて、この１次関数の式を求めなさい。 1） ｙ＝ａｘ＋ｂが（－３，－４）を通るから －４＝－３ａ＋ｂ　① ｙ＝ａｘ＋ｂが（３，２）を通るから ２＝３ａ＋ｂ　② ①、②より －３ａ＋ｂ＝－４ ３ａ＋ｂ＝２ 2） ①－② －６ａ＝－６　ａ＝１ ②に代入して、ｂ＝－１ ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して ｙ＝ｘ－１ 👉２点を通る直線の式を求めるときは、連立を使わずに傾きａ（変化の割合）を求めてから解くようにします。座標が文字で表される出題があるため、ａの求め方を確実に押さえておくことが大切です。 問題 ｙがｘの１次関数で、そのグラフが２点（－２，６）、（４，－18）を通るとき、次の問いに答えなさい。 1）グラフの傾きを求めなさい。 2）この１次関数の式を求めなさい。 1） ｘの増加量　４－（－２）＝６ ｙの増加量　－18－６＝－24 傾き －24/６＝－４ 2） ｙ＝－４ｘ＋ｂとする （－２，６）を通るから ６＝８＋ｂ　ｂ＝－２ よって、ｙ＝－４ｘ－２ 問題 ｙがｘの１次関数で、そのグラフが２点（－３，０）、（－１，８）を通るとき、求める１次関数の式をｙ＝ａｘ＋ｂとして、次の問いに答えなさい。 1）ａ、ｂについての連立方程式をつくりなさい。 2）1）の連立方程式を解いて、この１次関数の式を求めなさい。 1） ｙ＝ａｘ＋ｂに（－３，０）、（－１，８）を代入 －３ａ＋ｂ＝０ －ａ＋ｂ＝８ 2） －３ａ＋ｂ＝０　① －ａ＋ｂ＝８　② ①－② －２ａ＝－８　ａ＝４ ②に代入 －４＋ｂ＝８　ｂ＝12 よって、ｙ＝４ｘ＋12 問題 次の条件をみたす１次関数の式を求めなさい。 1）グラフが２点（１，－４）、（３，－12）を通る。 2）グラフが２点（－１，３）、（２，－３）を通る。 3）ｘ＝－３のときｙ＝８、ｘ＝２のときｙ＝３ 4）ｘ＝－２のときｙ＝４、ｘ＝４のときｙ＝１ 1） ｘの増加量　３－１＝２ ｙの増加量　－12－（－４）＝－８ 傾き　－８/２＝－４ ｙ＝－４ｘ＋ｂとする （１，－４）を通るから －４＝－４＋ｂ　ｂ＝０ よって、ｙ＝－４ｘ 2） ｘの増加量　２－（－１）＝３ ｙの増加量　－３－３＝－６ 傾き　－６/３＝－２ ｙ＝－２ｘ＋ｂとする （－１，３）を通るから ３＝２＋ｂ　ｂ＝１ よって、ｙ＝－２ｘ＋１ 3） ｘの増加量　２－（－３）＝５ ｙの増加量　３－８＝－５ 傾き　－５/５＝－１ ｙ＝－ｘ＋ｂとする （２，３）を通るから ３＝－２＋ｂ　ｂ＝５ よって、ｙ＝－ｘ＋５ 4） ｘの増加量　４－（－２）＝６ ｙの増加量　１－４＝－３ 傾き　－３/６＝－１/２ ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｂとする （－２，４）を通るから ４＝１＋ｂ　ｂ＝３ よって、ｙ＝（－1/2）ｘ＋３ 問題 ｘ＝－６のときｙ＝－１、ｘ＝３のときｙ＝２となる１次関数の式を求めたい。 1）変化の割合を求めなさい。 2）求める１次関数の式をｙ＝ａｘ＋ｂとして、ａ、ｂについての連立方程式をつくりなさい。 3）1）、2）のどちらかを利用して、この１次関数の式を求めなさい。 1） ｘの増加量　３－（－６）＝９ ｙの増加量　２－（－１）＝３ よって、変化の割合は ３/９＝１/３ 2） ｘ＝－６、ｙ＝－１を代入 －１＝－６ａ＋ｂ ｘ＝３、ｙ＝２を代入 ２＝３ａ＋ｂ よって、 －６ａ＋ｂ＝－１ 　３ａ＋ｂ＝　２ 3） 1）を利用する場合 求める式をｙ＝（1/3）ｘ＋ｂとする ｘ＝３のとき、ｙ＝２だから ２＝（1/3）×３＋ｂ ｂ＝１ よって、ｙ＝（1/3）ｘ＋１ 2）を利用する場合 －６ａ＋ｂ＝－１　① 　３ａ＋ｂ＝　２　② ①－② －９ａ＝－３　ａ＝1/3 ②に代入して １＋ｂ＝２　ｂ＝１ よって、ｙ＝（1/3）ｘ＋１ 2025年・青森県立高校入試 👉2025 高校入試解説 👉2026 高校入試解説 👉一次関数 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.24 ２点を通る直線の式 👉ブログ TOP

図形と方程式 高校数学 図形と方程式の単元では、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の直線の方程式と、（ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ²の円の方程式について学習します。点と直線の距離や接線などこれらの方程式を利用した公式もあります。 問題 1）２点Ａ（－１，２）、Ｂ（７，６）に対して、線分ＡＢを１：３に内分する点の座標を求めなさい。 2）２点（－３，－２）、（５，４）を通る直線の方程式を求めなさい。 3）点（５，２）を通り、直線２ｘ－３ｙ＋１＝０に平行な直線の方程式を求めなさい。 1） 線分ＡＢをｍ：ｎで内分する点 Ａ（ｘ₁，ｙ₁）　Ｂ（ｘ₂，ｙ₂） ｘ座標　　　　ｙ座標 ｎｘ₁＋ｍｘ₂　 ｎｙ₁＋ｍｙ₂ ━━━━━━　━━━━━━ 　 ｍ＋ｎ　　　　ｍ＋ｎ 線分ＡＢを１：３で内分 Ａ（－１，２）、Ｂ（７，６） ｘ座標 １・７＋３・（－１） ━━━━━━━━━＝１ 　　 １＋３ ｙ座標 １・６＋３・２ ━━━━━━━＝３ 　　１＋３ よって、（１，３） 2） 傾きａ、（ｘ₁，ｙ₂）を通る直線 👉ｙ－ｙ₁＝ａ（ｘ－ｘ₁） ａ＝（４＋２）/（５＋３）＝3/4 （－３，－２）を通るから ｙ＋２＝（3/4）（ｘ＋３） ｙ＝（3/4）ｘ＋（1/4） 3） ２ｘ－３ｙ＋１＝０より、傾きは2/3 この直線と平行で、（５，２）を通るから ｙ－２＝（2/3）（ｘ－５） ３ｙ－６＝２ｘ－10 ２ｘ－３ｙ－４＝０ 4）原点を通り、直線ｘ＋３ｙ＋８＝０に垂直な直線の方程式を求めなさい。 5）点（１，－２）と直線ｘ＋２ｙ＋１＝０の距離を求めなさい。 6）中心の座標が（－２，１）、半径３の円の方程式を求めなさい。 4） 垂直な２直線の傾きｍ、ｍ’ 👉ｍｍ’＝－１ ｘ＋３ｙ＋８＝０より、傾きは－1/3 よって、求める直線の傾きは３ 原点を通るから ｙ＝３ｘ ３ｘ－ｙ＝０ 5） 点（ｘ₁，ｙ₁）と直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の距離 　｜ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ｜ 👉━━━━━━━━━ 　　　√（ａ²＋ｂ²） （１，－２）とｘ＋２ｙ＋１＝０の距離 　　｜１－４＋１｜ ｄ＝━━━━━━━ 　　　√（１＋４） ＝２/√５ ＝２√５/５ 6） 中心（ａ，ｂ）、半径ｒの円の方程式 👉（ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ² 中心（－２，１）、半径３の円 （ｘ＋２）²＋（ｙ－１）²＝９ 問題 点（３，４）を通り、２ｘ－ｙ＋１＝０と ① 平行な直線の方程式 ② 垂直な直線の方程式 をそれぞれ求めよ。 ① ２ｘ－ｙ＋１＝０より ｙ＝２ｘ＋１ 直線の傾きは同じだから 求める直線の傾きは２ （３，４）を通るから ｙ－４＝２（ｘ－３） ｙ－４＝２ｘ－６ ２ｘ－ｙ－２＝０ ② 求める直線の傾きをｍとすると ２ｍ＝－１ ｍ＝－1/2 （３，４）を通るから ｙ－４＝（－1/2）（ｘ－３） ２ｙ－８＝－ｘ＋３ ｘ＋２ｙ－11＝０ 問題 1）中心の座標が（３，－４）でｘ軸と接する円の方程式を求めなさい。 2）円ｘ²＋ｙ²＝５上の点（２，－１）における接線の方程式を求めなさい。 1） 中心はｙ＝－４、ｘ軸はｙ＝０ よって、 半径は０－（－４）＝４ したがって、 （ｘ－３）²＋（ｙ＋４）²＝16 2） ｘ²＋ｙ²＝ｒ²上の点（ｘ₁，ｙ₁）における接線 👉ｘ₁ｘ＋ｙ₁ｙ＝ｒ² ｘ²＋ｙ²＝５上の点（２，－１）における接線 ２・ｘ＋（－１）・ｙ＝５ ２ｘ－ｙ－５＝０ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.23 図形と方程式 高校数学 👉ブログ TOP

一次関数 入試対策問題12 高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。 問題 下の図のように、ｙがｘに比例する関数㋐のグラフと、ｙがｘに反比例する関数㋑のグラフが、点Ｐで交わっている。点Ｐの座標が（２，４）であるとき、あとの問いに答えなさい。 1）関数㋐、㋑のそれぞれについて、ｙをｘの式で表しなさい。 2）関数㋐、㋑のグラフ上に、それぞれｙ座標が２である点Ｑ、Ｒをとるとき、△ＰＱＲの面積を求めなさい。ただし、座標の１目もりを１cmとする。 1）㋐ 原点を通る直線だからｙ＝ａｘとする （２，４）を通るから ４＝２ａ　ａ＝２ よって、ｙ＝２ｘ ㋑ 双曲線だからｙ＝ａ/ｘとする ａはｘとｙの値の積だから ａ＝２×４＝８ よって、ｙ＝８/ｘ 2） 点Ｑはｙ＝２ｘ上にありｙ＝２だから ２＝２ｘ　ｘ＝１ Ｑ（１，２） 点Ｒはｙ＝８/ｘ上にありｙ＝２だから ２＝８/ｘ ２ｘ＝８　ｘ＝４ Ｒ（４，２） △ＰＱＲの底辺をＱＲ、高さをＰからＱＲへの垂線ＰＨとする。 点Ｑはｘ＝１、点Ｒはｘ＝４だから ＱＲ＝４－１＝３cm 点Ｐはｙ＝４、点Ｈはｙ＝２だから ＰＨ＝４－２＝２cm よって、求める面積は （1/2）×３×２＝３cm² 問題 下の図のような平行四辺形ＯＡＢＣがある。頂点Ｂ、Ｃの座標は、それぞれ（８，３）、（２，３）で、Ｏは原点である。あとの問いに答えなさい。 1）頂点Ａの座標を求めなさい。 2）原点を通る直線と辺ＣＢとの交点をＰとする。△ＯＰＣの面積と四角形ＯＡＢＰの面積の比が１：５になるとき、直線ＯＰの式を求めなさい。 1） ＢＣ＝８－２＝６ 四角形ＯＡＢＣは平行四辺形だから ＯＡ＝ＢＣ＝６ 原点のｘ座標は０だから 点Ａのｘ座標は０＋６＝６ 点Ａのｙ座標は０だから （６，０） 2） 平行四辺形ＯＡＢＣ 底辺ＯＡ＝６ 高さは点Ｃとｘ軸の距離３－０＝３ 面積は、６×３＝18 △ＯＰＣの面積は平行四辺形の1/6倍だから 18×（1/6）＝３ △ＯＰＣの底辺ＣＰの長さをｔとする 高さは点Ｃとｘ軸の距離だから３ よって、 （1/2）×ｔ×３＝３ ｔ＝２ 点Ｃのｘ座標は２だから 点Ｐのｘ座標は２＋２＝４ 点Ｐのｙ座標はＣと同じ３ 原点と（４，３）を通る直線だから ｙ＝（3/4）ｘ 問題 ２つの１次関数ｙ＝２ｘ－１とｙ＝－ｘ＋ａ（ａは定数）のグラフの交点のｘ座標は２である。１次関数ｙ＝－ｘ＋ａについて、ｘの変域が１≦ｘ≦３のときのｙの変域を求めなさい。 ２ｘ－１＝－ｘ＋ａ ａ＝３ｘ－１ ｘ＝２を代入して、ａ＝５ ｙ＝－ｘ＋５ ｘ＝１のとき、ｙ＝４ ｘ＝３のとき、ｙ＝２ よって、 ２≦ｙ≦４ 問題 水が120Ｌ入った水そうから、水がなくなるまで一定の割合で水を抜く。水を抜き始めてから８分後の水そうの水の量は100Ｌであった。下の図は、水を抜き始めてからｘ分後の水そうの水の量をｙＬとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。 1）毎分何Ｌの割合で水を抜いているか、求めなさい。 2）ｙをｘの式で表しなさい。 3）水そうの水がなくなるのは、水を抜き始めてから何分後か、求めなさい。 1） ｘの増加量　８－０＝８ ｙの増加量　100－120＝－20 変化の割合　－20/8＝－5/2 よって、5/2Ｌ 2） 傾き－5/2、切片120の直線だから ｙ＝（－5/2）ｘ＋120 3） ｙ＝０のときだから ０＝（－5/2）ｘ＋120 ０＝－５ｘ＋240 ５ｘ＝240　ｘ＝48 よって、48分後 問題 下の図のような、１辺が４cmの正方形ＡＢＣＤがある。点ＰはＡを出発して、毎秒１cmの速さで辺ＡＢをＢまで動き、その後は停止する。また、点ＱはＢを出発して、毎秒２cmの速さで正方形の辺上をＣ、Ｄを通ってＡまで動く。点Ｐ、Ｑが同時に出発してｘ秒後の△ＡＰＱの面積をｙcm²とするとき、あとの問いに答えなさい。 1）ｘ＝３のとき、ｙの値を求めなさい。 2）ｘの変域が４≦ｘ≦６のとき、ｙをｘの式で表しなさい。 3）点ＱがＤを通過したあとｙ＝６を満たすｘの値を求めなさい。 1） 点Ｐの動いた距離 毎秒１cmで３秒動いた距離は １×３＝３cm よって、ＡＰ＝３cm 点Ｑの動いた距離 毎秒２cmで３秒動いた距離は ２×３＝６cm よって、点ＱはＣＤ上にある △ＡＰＱの底辺をＡＰとすると、高さはＱからＡＢへの垂線で４cm したがって、 ｙ＝（1/2）×３×４ ｙ＝６ 2） 点Ｐの４秒以降はＢで止まったままだから、ＡＰ＝４cm 点Ｑの動いた距離 ４秒後は２×４＝８cm⇒Ｄにある ６秒後は２×６＝12cm⇒Ａにある よって、点ＱはＤＡ上を動く △ＡＰＱの底辺をＡＰとすると、高さはＱＡ 点Ｑが毎秒２cmでｘ秒動いた距離は ２×ｘ＝２ｘcm ＢからＡまで４×３＝12cm動くから ＱＡ＝12－２ｘ cm よって、 ｙ＝（1/2）×４×（12－２ｘ） ｙ＝－４ｘ＋24 3） 点ＱがＤを通過した後は４≦ｘ≦６ ｙ＝－４ｘ＋24にｙ＝６を代入 ６＝－４ｘ＋24 ４ｘ＝18 ｘ＝９/２ 問題 下の図のように、原点をＯとし、４点Ａ（１，４）、Ｂ（１，２）、Ｃ（５，２）、Ｄ（５，４）がある。ｘ軸上にｘ座標が正である点Ｐをとり、△ＯＡＰの面積が△ＯＡＤの面積と等しくなるようにする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）点Ｐの座標を求めなさい。 2）２点Ａ、Ｐを通る直線と２点Ｂ、Ｃを通る直線との交点をＥとする。このとき、△ＯＡＥの面積を求めなさい。 1） △ＯＡＰと△ＯＡＤは高さが同じ △ＯＡＰ＝△ＯＡＤとなるには、底辺の長さも同じ よって、ＯＰ＝ＡＤ 点Ａはｘ＝１、点Ｄはｘ＝５だから ＡＤ＝５－１＝４＝ＯＰ 点Ｏのｘ座標は０だから 点Ｐのｘ座標は０＋４＝４ 点Ｐのｙ座標は０だから （４，０） 2） △ＯＡＰ－△ＯＥＰとして求める △ＯＡＰの底辺はＯＰ＝４ 高さはＡからｘ軸への垂線で４－０＝４ △ＯＡＰの面積は （1/2）×４×４＝８ △ＯＥＰの底辺は△ＯＡＰと同じ 高さはＥからｘ軸への垂線で２－０＝２ 高さは△ＯＡＰの半分だから △ＯＥＰの面積は８÷２＝４ よって、△ＯＡＥの面積は ８－４＝４ 2026年・青森県立高校入試 👉2026 高校入試解説 👉一次関数 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.22 一次関数 入試対策問題12 👉ブログ TOP

三角比 高校数学 高校数学では三角比の単元に入っています。単元の入り口では、直角三角形の性質を利用したsin、cos、tanの値について学習します。これらの間に成り立つ公式を押さえることも大切になります。 問題 下の図の直角三角形について、あとの問いに答えよ。 1） sinθ、cosθ、tanθの値を示せ。 2） 　 　 sinθ tanθ＝━━ 　 　 cosθ となることを示せ。 3） sin²θ＋cos²θ＝１ となることを示せ。 4） 　　　　　　 １ １＋tan²θ＝━━━ 　　　　　 cos²θ となることを示せ。 1） 　　 ｙ sinθ＝━ 　　 ｒ 　　　ｘ cosθ＝━ 　　　ｒ 　　　ｙ tanθ＝━ 　　　ｘ 2） sinθ＝ｙ/ｒ、cosθ＝ｘ/ｒより sinθ/cosθ ＝（ｙ/ｒ）÷（ｘ/ｒ） ＝ｙ/ｘ tanθ＝ｙ/ｘより tanθ＝sinθ/cosθ 3） sinθ＝ｙ/ｒより ｙ＝ｒsinθ cosθ＝ｘ/ｒより ｘ＝ｒcosθ 三平方の定理より ｘ²＋ｙ²＝ｒ²だから （ｒcosθ）²＋（ｒsinθ）²＝ｒ² ｒ²cos²θ＋ｒ²sin²θ＝ｒ² 両辺をｒ²で割って cos²θ＋sin²θ＝１ よって、 sin²θ＋cos²θ＝１ 4） sin²θ＋cos²θ＝１より 両辺をcos²θで割ると （sin²θ/cos²θ）＋１＝１/cos²θ sinθ/cosθ＝tanθより sin²θ/cos²θ＝tan²θ よって、 tan²θ＋１＝１/cos²θ すなわち １＋tan²θ＝１/cos²θ 問題 θは鋭角とする。sinθ＝2/3のとき、cosθとtanθの値を求めよ。 sin²θ＋cos²θ＝１より （2/3）²＋cos²θ＝１ cos²θ＝（9/9）－（4/9）＝5/9 ０°＜θ＜90°より cosθ＝√5/3 tanθ＝sinθ/cosθより tanθ＝（2/3）÷（√5/3）＝2/√5 よって、 cosθ＝√5/3 tanθ＝2/√5 θが鈍角（90°＜θ＜180°）のとき 👉ｘの値は負になる cosθ＝ｒ/ｘだから、cosθの値は負（ｒは斜辺） tanθ＝ｙ/ｘだから、tanθの値は負 問題 地点Ａから塔の先端Ｐを見上げた角度は45°であった。次に塔へ向かって水平に10m近づいた地点ＢからＰを見上げた角度は60°であった。下の図のようにＰの真下の地点をＨとする。目の高さを無視するとき、次のものを求めよ。 1）Ｂ、Ｈ間の距離 2）塔の高さＰＨ 1） ＢＨ＝ｘmとする △ＰＡＨは直角二等辺三角形だから ＰＨ＝ＡＨ＝ｘ＋10 m △ＰＢＨにおいて直角三角形の辺の比より ＢＨ：ＰＨ＝１：√３ ｘ：（ｘ＋10）＝１：√３ √３ｘ＝ｘ＋10 √３ｘ－ｘ＝10 （√３－１）ｘ＝10 ｘ＝10/（√３－１） ＝10（√３＋１）/（√３－１）（√３＋１） ＝10（√３＋１）/２ ＝５（√３＋１） よって、５（√３＋１）m 2） ＰＨ＝ｘ＋10より ＰＨ＝５（√３＋１）＋10 ＝５（√３＋３）m 👉三角関数 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.21 三角比 高校数学 👉ブログ TOP

二次方程式 高校入試対策② 二次方程式は解が２つ出てくる方程式で、そのしくみを利用した応用問題があります。因数分解やルートの計算など、これまでに学習したことも使います。 問題 直線ℓの式はｙ＝ｘ＋５である。ℓ上の点Ｐからｘ軸にひいた垂線とｘ軸との交点をＱ、ｙ軸との交点をＲとする。台形ＰＲＯＱの面積が72cm²のとき、点Ｐのｘ座標を求めなさい。ただし、点Ｐのｘ座標は正で、座標の１目もりは１cmとする。 点Ｐのｘ座標をｔとする（ｔ＞０） ｙ＝ｘ＋５上にあるから ｙ座標は、ｔ＋５ 点Ｑのｙ座標は０だから ＰＱ＝ｔ＋５－０＝ｔ＋５cm 点Ｒはｙ＝ｘ＋５の切片でｙ座標は５だから ＲＯ＝５－０＝５ これらを上底と下底にすると、高さはＯＱ 点Ｑのｘ座標はＰと同じｔだから ＯＱ＝ｔ－０＝ｔ よって、 （1/2）（ｔ＋５＋５）×ｔ＝72 （ｔ＋10）ｔ＝144 ｔ²＋10ｔ－144＝０ （ｔ＋18）（ｔ－８）＝０ ｔ＞０だから ｔ＝８ よって、８ 問題 ２直線ｙ＝２ｘ・・①、ｙ＝－ｘ＋ａ・・②が、点Ｐ（２，４）で交わっている。直線②とｘ軸との交点をＡ、線分ＡＰ上の点Ｑを通りｙ軸に平行な直線がｘ軸、直線①と交わる点をそれぞれＲ、Ｓとして、あとの問いに答えなさい。 1）ａの値を求めなさい。 2）点Ｑのｘ座標をｍとして ア △ＯＲＳの面積をｍを使って表しなさい。 イ △ＡＱＲの面積をｍを使って表しなさい。 ウ △ＯＲＳ：△ＡＱＲ＝８：１となるときの点Ｑの座標を求めなさい。 1） ｙ＝－ｘ＋ａは（２，４）を通るから ４＝－２＋ａ ａ＝６ 2）ア 点Ｒを通る直線はｙ軸に平行だから ∠ＯＲＳ＝90° △ＯＲＳの底辺をＯＲ、高さをＳＲとする 点Ｒのｘ座標はＱと同じｍだから ＯＲ＝ｍ－０＝ｍ 点Ｓのｘ座標はＱと同じｍで、ｙ＝２ｘ上にあるから、ｙ座標は２ｍ 点Ｒのｙ座標は０だから ＳＲ＝２ｍ－０＝２ｍ よって、 （1/2）×ｍ×２ｍ ＝ｍ² 2）イ ∠ＡＲＱ＝90°だから △ＡＱＲの底辺をＲＡ、高さをＱＲとする 点Ａはｙ＝－ｘ＋６上にあり、ｙ＝０だから ０＝－ｘ＋６　ｘ＝６ 点Ａのｘ座標は６で、点Ｒのｘ座標はｍだから ＲＡ＝６－ｍ 点Ｑはｙ＝－ｘ＋６上にあり、ｘ＝ｍだから ｙ＝－ｍ＋６ 点Ｑのｙ座標は－ｍ＋６で、点Ｒのｙ座標は０だから ＱＲ＝－ｍ＋６－０＝－ｍ＋６ よって、 （1/2）（６－ｍ）（－ｍ＋６） ＝（1/2）（６－ｍ）² 2）ウ △ＯＲＳ＝ｍ² △ＡＱＲ＝（1/2）（６－ｍ）² △ＯＲＳ：△ＡＱＲ＝８：１より ｍ²：（1/2）（６－ｍ）²＝８：１ ４（６－ｍ）²＝ｍ² ４（36－12ｍ＋ｍ²）＝ｍ² 144－48ｍ＋４ｍ²＝ｍ² ３ｍ²－48ｍ＋144＝０ ｍ²－16ｍ＋48＝０ （ｍ－４）（ｍ－12）＝０ ｍ＝４，12 Ｑ（ｍ，－ｍ＋６）だから ｍ＝４のとき、（４，２） ｍ＝12のとき、（12，－６） 点Ｑは線分ＡＰ上の点だから ｍは２＜ｘ＜６の範囲にある よって、（４，２） 問題 ２次方程式ｘ²－ａｘ＋ｂ＝０の解の１つが１＋√５のとき、有理数ａ、ｂの値を求めなさい。 ｘ＝１＋√５より ｘ－１＝√５ 両辺を２乗して ｘ²－２ｘ＋１＝５ ｘ²－２ｘ－４＝０ 係数を比較して ａ＝２、ｂ＝－４ 👉もう１つの解ｘ＝１－√５から考えても同じ結果になる 問題 ２次方程式ｘ²－９ｘ＋ａ＝０の１つの解がｘ＝－２で、他のもう１つの解がｘ²－２ｂｘ－（２ｂ＋１）＝０の解になっているとき、ａ、ｂの値を求めなさい。 ｘ²－９ｘ＋ａ＝０にｘ＝－２を代入 ４＋18＋ａ＝０ ａ＝－22 ｘ²－９ｘ＋ａ＝０にａ＝－22を代入 ｘ²－９ｘ－22＝０ （ｘ－11）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝11，－２ よって、もう１つの解は11 ｘ²－２ｂｘ－（２ｂ＋１）＝０にｘ＝11を代入 121－22ｂ－２ｂ－１＝０ －24ｂ＝－120 ｂ＝５ したがって、 ａ＝－22、ｂ＝５ 問題 ｘについての２次方程式 （３ａ－２）ｘ²＋（ａ²－６）ｘ＋６＝０の１つの解は３である。ａ＞０とするとき、ａの値を求めなさい。また、そのときの３以外の解を求めなさい。 方程式にｘ＝３を代入 27ａ－18＋３ａ²－18＋６＝０ ３ａ²＋27ａ－30＝０ ａ²＋９ａ－10＝０ （ａ＋10）（ａ－１）＝０ ａ＝－10，１ ａ＞０だから、ａ＝１ 方程式にａ＝１を代入 ｘ²－５ｘ＋６＝０ （ｘ－２）（ｘ－３）＝０ ｘ＝２，３ よって、３以外の解は２ 問題 ２次方程式ｘ²－２ｘ－１＝０の負の解をａとするとき、ａ³－２ａ²＋ａ＋１の値を求めなさい。 解の公式より ｘ＝１±√２ 負の解がａ、√２＝1.4...だから ａ＝１－√２ ａ³－２ａ²＋ａ＋１ ＝ａ（ａ²－２ａ＋１）＋１ ＝ａ（ａ－１）²＋１ ＝（１－√２）×（－√２）²＋１ ＝２－２√２＋１ ＝３－２√２ 2025年・青森県立高校入試 👉2025 高校入試解説 👉2026 高校入試解説 👉二次方程式 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.20 二次方程式 高校入試対策② 👉ブログ TOP

円の方程式 高校数学では、図形と方程式の単元に入っています。円の方程式では、左辺のｘとｙの平方で表されている式が中心の座標を表します。また、右辺は半径の２乗を表します。 問題 次の円の方程式を求めよ。 1）中心が原点、半径が３の円 2）中心が点（２，－１）、半径が１の円 3）点（２，３）を中心とし、点（４，６）を通る円 4）２点（６，２）、（２，４）を直径の両端とする円 5）中心が点（３，１）、ｘ軸に接する円 円の方程式 中心（ａ，ｂ）、半径ｒ （ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ² 1） 中心（０，０）、ｒ＝３ （ｘ－０）²＋（ｙ－０）²＝３² ｘ²＋ｙ²＝９ 2） 中心（２，－１）、ｒ＝１ （ｘ－２）²＋（ｙ＋１）²＝１ 3） ２点の距離が半径だから ｒ＝√｛（４－２）²＋（６－３）²｝ ＝√（４＋９） ＝√13 よって、 （ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝13 ※別解 （ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝ｒ²とする （４，６）を通るから （４－２）²＋（６－３）²＝ｒ² 13＝ｒ² よって、 （ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝13 4） 直径の両端（６，２）、（２，４） ２点の距離の半分が半径だから ｒ＝√｛（６－２）²＋（２－４）²｝/２ ＝√20/２ ＝２√５/２ ＝√５ ２点の中点が円の中心だから ｘ座標　（６＋２）÷２＝４ ｙ座標　（２＋４）÷２＝３ 中心は（４，３） よって、 （ｘ－４）²＋（ｙ－３）²＝５ 5） 中心（３，１）、ｘ軸に接する 中心はｙ＝１、ｘ軸はｙ＝０だから ｒ＝１－０＝１ よって、 （ｘ－３）²＋（ｙ－１）²＝１ 問題 次の方程式が表す円の中心の座標と半径を求めよ。 1）ｘ²＋ｙ²＋２ｘ＝０ 2）ｘ²＋ｙ²－６ｙ＝０ 3）ｘ²＋ｙ²－４ｘ－６ｙ－３＝０ 4）ｘ²＋ｙ²＋２ｘ－４ｙ－４＝０ 1） ｘ²＋ｙ²＋２ｘ＝０ ｘ²＋２ｘ＋ｙ²＝０ （ｘ＋１）²－１＋ｙ²＝０ （ｘ＋１）²＋ｙ²＝１ よって、 中心（－１，０）、半径１ 2） ｘ²＋ｙ²－６ｙ＝０ ｘ²＋（ｙ－３）²－９＝０ ｘ²＋（ｙ－３）²＝９ よって、 中心（０，３）、半径３ 3） ｘ²＋ｙ²－４ｘ－６ｙ－３＝０ ｘ²－４ｘ＋ｙ²－６ｙ－３＝０ （ｘ－２）²－４＋（ｙ－３）²－９－３＝０ （ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝16 よって、 中心（２，３）、半径４ 4） ｘ²＋ｙ²＋２ｘ－４ｙ－４＝０ ｘ²＋２ｘ＋ｙ²－４ｙ－４＝０ （ｘ＋１）²－１＋（ｙ－２）²－４－４＝０ （ｘ＋１）²＋（ｙ－２）²＝９ よって、 中心（－１，２）、半径３ 5）ｘ²＋ｙ²＋８ｘ＋２ｙ－８＝０ 6）ｘ²＋ｙ²＋10ｘ＋６ｙ－１＝０ 7）ｘ²＋ｙ²－３ｘ＋２ｙ＋１＝０ 8）ｘ²＋ｙ²－ｘ＋３ｙ＋２＝０ 5） ｘ²＋ｙ²＋８ｘ＋２ｙ－８＝０ （ｘ＋４）²－16＋（ｙ＋１）²－１－８＝０ （ｘ＋４）²＋（ｙ＋１）²＝25 よって、 中心（－４，－１）、半径５ 6） ｘ²＋ｙ²＋10ｘ＋６ｙ－１＝０ （ｘ＋５）²－25＋（ｙ＋３）²－９－１＝０ （ｘ＋５）²＋（ｙ＋３）²＝35 よって、 中心（－５，－３）、半径√35 7） ｘ²＋ｙ²－３ｘ＋２ｙ＋１＝０ ｛ｘ－（3/2）｝²－（9/4）＋（ｙ＋１）²－１＋１＝０ ｛ｘ－（3/2）｝²＋（ｙ＋１）²＝9/4 よって、 中心（3/2，－１）、半径3/2 8） ｘ²＋ｙ²－ｘ＋３ｙ＋２＝０ ｛ｘ－（1/2）｝²－（1/4）＋｛ｙ＋（3/2）｝²－（9/4）＋（8/4）＝０ ｛ｘ－（1/2）｝²＋｛ｙ＋（3/2）｝²＝1/2 よって、 中心（1/2，－3/2）、半径√2/2 問題 次の方程式が表す円の中心の座標と半径を求めよ。 1）ｘ²＋ｙ²－２ｘ＝０ 2）ｘ²＋ｙ²＋４ｙ＝０ 3）ｘ²＋ｙ²－２ｘ－２ｙ－２＝０ 4）ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋２ｙ－４＝０ 1） ｘ²＋ｙ²－２ｘ＝０ （ｘ－１）²－１＋ｙ²＝０ （ｘ－１）²＋ｙ²＝１ よって、 中心（１，０）、半径１ 2） ｘ²＋ｙ²＋４ｙ＝０ ｘ²＋（ｙ＋２）²－４＝０ ｘ²＋（ｙ＋２）²＝４ よって、 中心（０，－２）、半径２ 3） ｘ²＋ｙ²－２ｘ－２ｙ－２＝０ （ｘ－１）²－１＋（ｙ－１）²－１－２＝０ （ｘ－１）²＋（ｙ－１）²＝４ よって、 中心（１，１）、半径２ 4） ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋２ｙ－４＝０ （ｘ－２）²－４＋（ｙ＋１）²－１－４＝０ （ｘ－２）²＋（ｙ＋１）²＝９ よって、 中心（２，－１）、半径３ 5）ｘ²＋ｙ²＋６ｘ＋６ｙ－７＝０ 6）ｘ²＋ｙ²＋４ｘ＋12ｙ－10＝０ 7）ｘ²＋ｙ²＋10ｘ－３ｙ＋10＝０ 8）ｘ²＋ｙ²－３ｘ＋５ｙ＝０ 5） ｘ²＋ｙ²＋６ｘ＋６ｙ－７＝０ （ｘ＋３）²－９＋（ｙ＋３）²－９－７＝０ （ｘ＋３）²＋（ｙ＋３）²＝25 よって、 中心（－３，－３）、半径５ 6） ｘ²＋ｙ²＋４ｘ＋12ｙ－10＝０ （ｘ＋２）²－４＋（ｙ＋６）²－36－10＝０ （ｘ＋２）²＋（ｙ＋６）²＝50 よって、 中心（－２，－６）、半径５√２ 7） ｘ²＋ｙ²＋10ｘ－３ｙ＋10＝０ （ｘ＋５）²－25＋｛ｙ－（3/2）｝²－（9/4）＋10＝０ （ｘ＋５）²＋｛ｙ－（3/2）｝²＝69/4 よって、 中心（－５，3/2）、半径√69/2 8） ｘ²＋ｙ²－３ｘ＋５ｙ＝０ ｛ｘ－（3/2）｝²－（9/4）＋｛ｙ＋（5/2）｝²－25/4＝０ ｛ｘ－（3/2）｝²＋｛ｙ＋（5/2）｝²＝34/4 よって、 中心（3/2，－5/2）、半径√34/2 問題 円（ｘ＋２）²＋（ｙ－３）²＝２と直線ｙ＝ａｘ＋５が異なる２点で交わるとき、定数ａの値の範囲を求めよ。 中心（－２，３）と直線の距離が、半径√２より小さいときになる （－２，３）とａｘ－ｙ＋５の距離 ｜－２ａ－３＋５｜/√（ａ²＋１）＜√２ ｜－２ａ＋２｜/√（ａ²＋１）＜√２ √｛２（ａ²＋１）｝＞｜－２ａ＋２｜ ２（ａ²＋１）＞（－２ａ＋２）² ２ａ²＋２＞４ａ²－８ａ＋４ ２ａ²－８ａ＋２＜０ ａ²－４ａ＋１＜０ ａ²－４ａ＋１＝０とする ａ＝２±√３ よって、 ２－√３＜ａ＜２＋√３ ※別解 （ｘ＋２）²＋（ｙ－３）²＝２に、ｙ＝ａｘ＋５を代入 （ｘ＋２）²＋（ａｘ＋２）²＝２ ｘ²＋４ｘ＋４＋ａ²ｘ²＋４ａｘ＋４＝２ （ａ²＋１）ｘ²＋４（ａ＋１）ｘ＋６＝０ 異なる２点で交わるから、Ｄ＞０ Ｄ/４＝｛２（ａ＋１）｝²－６（ａ²＋１） ＝４ａ²＋８ａ＋４－６ａ²－６ ＝－２ａ²＋８ａ－２＞０ ａ²－４ａ＋１＜０ ａ²－４ａ＋１＝０とする ａ＝２±√３ よって、 ２－√３＜ａ＜２＋√３ 問題 点Ｐ（２，１）を通り、円ｘ²＋ｙ²＝１に接する直線の方程式を求めよ。 直線と円の接点を（ａ，ｂ）とする 円の接線の公式より ａｘ＋ｂｙ＝１ この直線は（２，１）を通るから ２ａ＋ｂ＝１　① 円は（ａ、ｂ）を通るから ａ²＋ｂ²＝１　② ①より ｂ＝１－２ａ ②に代入 ａ²＋（１－２ａ）²＝１ ａ²＋１－４ａ＋４ａ²＝１ ５ａ²－４ａ＝０ ａ（５ａ－４）＝０ ａ＝０，4/5 ａ＝０のとき　①より、ｂ＝１ ａｘ＋ｂｙ＝１に代入して ｙ＝１ ａ＝4/5のとき　①より、ｂ＝－3/5 ａｘ＋ｂｙ＝１に代入して （4/5）ｘ－（3/5）ｙ＝１ ４ｘ－３ｙ－５＝０ よって、 ｙ＝１ ４ｘ－３ｙ－５＝０ 問題 ２つの円ｘ²＋ｙ²－10＝０、ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０について 1）２つの円は異なる２点で交わることを示せ。 2）２円の２つの交点を通る直線の方程式を求めよ。 3）２円の２つの交点と点（２，３）を通る円の中心と半径を求めよ。 1） ｘ²＋ｙ²－10＝０より ｘ²＋ｙ²＝10 中心（０，０）、半径√10 ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０より （ｘ－１）²－１＋（ｙ－２）²－４＝０ （ｘ－１）²＋（ｙ－２）²＝５ 中心（１，２）、半径√５ 中心間の距離は √｛（１－０）²＋（２－０）²｝ ＝√５ 異なる２点で交わるには 半径の差が中心間の距離√５より小さくなるとき または 半径の和が中心間の距離√５より大きくなるとき よって、 √10－√５＝√５（√２－１）＜√５　① √10＋√５＝√５（√２＋１）＞√５　② ①、②より √10－√５＜√５＜√10＋√５ したがって、２つの円は異なる２点で交わる。 2） ｋを定数として ｋ（ｘ²＋ｙ²－10）＋ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０　③ ｋ＝－１のとき、③は －ｘ²－ｙ²＋10＋ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０ ２ｘ＋４ｙ－10＝０ ｘ＋２ｙ－５＝０ よって、求める直線の方程式は ｘ＋２ｙ－５＝０ 👉ｋ＝－１とする理由 ｘ²＋ｙ²－10＝０より ｘ²＋ｙ²＝10 ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０に代入 10－２ｘ－４ｙ＝０ ２ｘ＋４ｙ－10＝０ ｘ＋２ｙ－５＝０ ｘ²とｙ²を消去することによって、直線の方程式が得られる。 よって、ｋ＝－１を代入するとｘ²とｙ²が消去され、直線の方程式が得られる。 ※２つの円の交点を通るため、連立方程式として解くイメージ 3） ③が（２，３）を通るとして、 ｘ＝２、ｙ＝３を代入 ｋ（４＋９－10）＋４＋９－４－12＝０ ３ｋ－３＝０ ｋ＝１ ③にｋ＝１を代入 ｘ²＋ｙ²－10＋ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０ ２ｘ²＋２ｙ²－２ｘ－４ｙ－10＝０ ｘ²＋ｙ²－ｘ－２ｙ－５＝０ ｛ｘ－（1/2）｝²－（1/4）＋（ｙ－１）²－１－５＝０ ｛ｘ－（1/2）｝²＋（ｙ－１）²＝25/4 よって、 中心（1/2，１）、半径5/2 👉③の式に（２，３）を代入する理由 ｋ（ｘ²＋ｙ²－10）＋ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０ この式は、２つの円の交点を通る円の方程式を表している。 この円周上に（２，３）があるから ｘ＝２、ｙ＝３を代入する 問題 ｘ²＋ｙ²－４ａｘ＋６ａｙ＋14ａ²－４ａ＋３＝０が円を表すとき、定数ａの値の範囲を求めよ。 （ｘ－２ａ）²－４ａ²＋（ｙ＋３ａ）²－９ａ²＋14ａ²－４ａ＋３＝０ （ｘ－２ａ）²＋（ｙ＋３ａ）²＋ａ²－４ａ＋３＝０ （ｘ－２ａ）²＋（ｙ＋３ａ）²＋（ａ－１）（ａ－３）＝０ （ｘ－２ａ）²＋（ｙ＋３ａ）²＝－（ａ－１）（ａ－３） 半径は０より大きいから －（ａ－１）（ａ－３）＞０ （ａ－１）（ａ－３）＜０ よって、 １＜ａ＜３ ※別解 方程式ｘ²＋ｙ²＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０は、ｌ²＋ｍ²－４ｎ＞０のとき、円を表すから 16ａ²＋36ａ²－56ａ²＋16ａ－12＞０ －４ａ²＋16ａ－12＞０ ａ²－４ａ＋３＜０ （ａ－１）（ａ－３）＜０ よって、 １＜ａ＜３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 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数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.19 円の方程式 👉ブログ TOP

一次関数 入試対策問題11 高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。 問題 図１で、①は関数ｙ＝－２ｘ＋12、②は関数ｙ＝ａｘ＋６のグラフである。点Ａは①と②との交点であり、ｘ座標が２である。また、点Ｂは②とｙ軸との交点とする。あとの問いに答えなさい。 1）関数ｙ＝－２ｘ＋12について、ｘの増加量が４のときのｙの増加量を求めなさい。 2）ａの値を求めなさい。 1） 変化の割合は－２ ｙの増加量は （ｘの増加量）×（変化の割合） よって、 ４×（－２）＝－８ 2） 点Ａはｙ＝－２ｘ＋12上にある ｘ＝２だから ｙ＝－４＋12＝８ ｙ＝ａｘ＋６は（２，８）を通るから ８＝２ａ＋６ ａ＝１ 図２は、図１に③をかき加えたもので、③は点Ｂを通る直線である。また、①と③との交点をＣとする。このとき、あとの問いに答えなさい。 3）点Ｃのｙ座標が３のとき、直線③の式を求めなさい。ただし、式はかっこをはずした最も簡単な形で表すこと。 4）直線③の傾きが－1/2のとき、△ＡＢＣの周上または内部で、ｘ座標とｙ座標がともに整数となる点は何個あるか求めなさい。 3） 直線③は（０，６）を通るから ｙ＝ｂｘ＋６とする 点Ｃはｙ＝－２ｘ＋12上にある ｙ＝３だから ３＝－２ｘ＋12 ２ｘ＝９　ｘ＝9/2 ｙ＝ｂｘ＋６は、（9/2，３）を通るから ３＝（9/2）ｂ＋６ ６＝９ｂ＋12　ｂ＝－2/3 よって、 ｙ＝（－2/3）ｘ＋６ 4） 直線③は（０，６）を通るから ｙ＝（－1/2）ｘ＋６ 点Ｃはこの直線とｙ＝－２ｘ＋12との交点だから （－1/2）ｘ＋６＝－２ｘ＋12 －ｘ＋12＝－４ｘ＋24 ３ｘ＝12　ｘ＝４ ｙ＝－２ｘ＋12に代入して、ｙ＝４ △ＡＢＣの頂点は Ａ（２，８）、Ｂ（０，６）、Ｃ（４，４） 直線ｙ＝７とｙ＝ｘ＋６の交点 ７＝ｘ＋６　ｘ＝１ 直線ｙ＝７とｙ＝－２ｘ＋12の交点 ７＝－２ｘ＋12　ｘ＝5/2 よって、直線ｙ＝７上にあるのは （１，７）、（２，７） 直線ｙ＝６とｙ＝－２ｘ＋12の交点 ６＝－２ｘ＋12　ｘ＝３ よって、直線ｙ＝６上にあるのは （１，６）、（２，６）、（３，６） ※（０，６）は点Ｂ 直線ｙ＝５とｙ＝（－1/2）ｘ＋６の交点 ５＝（－1/2）ｘ＋６ 10＝－ｘ＋12　ｘ＝２ 直線ｙ＝５とｙ＝－２ｘ＋12の交点 ５＝－２ｘ＋12　ｘ＝7/2 よって、直線ｙ＝５上にあるのは （２，５）、（３，５） したがって、10個 問題 ２種類のロボットＡ、Ｂがあり、それぞれ次のように前進する。 ロボットＡ 「分速40mで５分間歩いたあと、その場で２分間停止する」という動きをくり返す。 ロボットＢ 「最初の１分間は分速100mで歩き、その次の１分間は分速40mで歩き、その次の１分間は分速20mで歩いたあと、その場で２分間停止する」という動きをくり返す。 このロボットＡ、ＢがＰ地点を同時に出発し、400mはなれたＱ地点まで歩いた。下の図は、ロボットＡがＰ地点を出発してからの時間と距離の関係をグラフで表したものである。 1）Ｐ地点を出発してから、ロボットＡがロボットＢに最初に追いつくのは、Ｐ地点から何 mの地点か求めなさい。 2）ロボットＡがＱ地点に着くのは、ロボットＢがＱ地点に着いてから何分何秒後か求めなさい。 1） ロボットＢの直線の式 最初の１分間　ｙ＝100ｘ ｘ＝１のとき、ｙ＝100 よって、１分間で100mの地点にいる 次の１分間 ｙ＝40ｘ＋ｂとする （１，100）を通るから 100＝40＋ｂ　ｂ＝60 ｙ＝40ｘ＋60 ｘ＝２のとき、ｙ＝140 よって、２分間で140mの地点にいる 次の１分間 ｙ＝20ｘ＋ｃとする （２，140）を通るから 140＝40＋ｃ　ｃ＝100 ｙ＝20ｘ＋100 ｘ＝３のとき、ｙ＝160 よって、３分間で160mの地点にいる また、その場で２分停止するから 出発後３分から５分までは160mの地点にいる グラフからＡが160mの地点にいるのは４分後だから、停止中のロボットＢに追いつくことになる。 したがって、160m 2） ロボットＡがＱ地点に着くのは12分後 ロボットＢは５分で160mの地点にいるから、10分後は320mの地点にいる。 そこから、分速100mで進み始めるから ｙ＝100ｘ＋ｄとする （10，320）を通るから 320＝1000＋ｄ　ｄ＝－680 ｙ＝100ｘ－680 ＢがＱ地点に着くのはｙ＝400のときだから 400＝100ｘ－680 1080＝100ｘ ｘ＝54/5 54/5分＝10分と4/5分 4/5分×60＝48秒だから ＢがＱ地点に着くのは10分48秒後 よって、 12分00秒－10分48秒 ＝１分12秒後 2026年・青森県立高校入試 👉2026 高校入試解説 👉一次関数 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.18 一次関数 入試対策問題11 👉ブログ TOP

高次方程式の因数分解 高校数学では高次方程式の単元に入っています。高次方程式はｘが３次以上の方程式のことで、因数分解をして解を求める場合には、因数定理と組立除法を利用します。また、３次式の解と係数の関係を利用する問題もあります。 問題 次の方程式を解け。 1） （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝４・３・２ 2） ２ｘ³－９ｘ²＋２＝０ 3） （ｘ²－４ｘ）²－（ｘ²－４ｘ）－６＝０ 4） ｘ⁴＋４＝０ 1） （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝４・３・２ ｘ＝５を代入すると 左辺＝４・３・２ ４・３・２－４・３・２＝０となるから ｘ＝５を解にもつ （ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝４・３・２ （ｘ²－３ｘ＋２）（ｘ－３）＝24 ｘ³－３ｘ²－３ｘ²＋９ｘ＋２ｘ－６－24＝０ ｘ³－６ｘ²＋11ｘ－30＝０ １　－６　　11　－30　【５ 　　　５　－５　　30 １　－１　　６　　０ （ｘ－５）（ｘ²－ｘ＋６）＝０ ｘ＝５，（１±√23ｉ）/２ 2） ２ｘ³－９ｘ²＋２＝０ Ｐ（ｘ）＝２ｘ³－９ｘ²＋２ Ｐ（1/2）＝０ ２　－９　　０　　２　【1/2 　　　１　－４　－２ ２　－８　－４　　０ ｛ｘ－（1/2）｝（２ｘ²－８ｘ－４）＝０ ２｛ｘ－（1/2）｝（ｘ²－４ｘ－２）＝０ （２ｘ－１）（ｘ²－４ｘ－２）＝０ ｘ＝1/2、２±√６ 3） （ｘ²－４ｘ）²－（ｘ²－４ｘ）－６＝０ ｘ²－４ｘ＝ｔとおく ｔ²－ｔ－６＝０ （ｔ－３）（ｔ＋２）＝０ ｔ＝３，－２ ｔ＝３のとき ｘ²－４ｘ＝３ ｘ²－４ｘ－３＝０ ｘ＝２±√７ ｔ＝－２のとき ｘ²－４ｘ＝－２ ｘ²－４ｘ＋２＝０ ｘ＝２±√２ よって、 ｘ＝２±√２、２±√７ 4） ｘ⁴＋４＝０ （ｘ²）²＋２²＝０ （ｘ²＋２）²－４ｘ²＝０ （ｘ²＋２）²－（２ｘ）²＝０ （ｘ²＋２－２ｘ）（ｘ²＋２＋２ｘ）＝０ （ｘ²－２ｘ＋２）（ｘ²＋２ｘ＋２）＝０ ｘ＝１±ｉ、－１±ｉ 問題 ３次方程式ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４＝０の３つの解をα、β、γとするとき、次の式の値を求めよ。 1）α²＋β²＋γ² 2）α³＋β³＋γ³ 3）（１－α）（１－β）（１－γ） 4）（α＋β）（β＋γ）（γ＋α） 1） 解と係数の関係より α＋β＋γ＝３ αβ＋βγ＋γα＝２ αβγ＝－４ α²＋β²＋γ² ＝（α＋β＋γ）²－２（αβ＋βγ＋γα） ＝３²－２・２ ＝５ 2） α³＋β³＋γ³ ＝（α＋β＋γ）（α²＋β²＋γ²－αβ－βγ－γα）＋３αβγ ＝（α＋β＋γ）｛（α²＋β²＋γ²）－（αβ＋βγ＋γα）｝＋３αβγ ＝３・（５－２）＋３・（－４） ＝９－12 ＝－３ 3） （１－α）（１－β）（１－γ） ｘ＝α、β、γだから ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４＝（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ） ｘ＝１のとき １－３＋２＋４＝（１－α）（１－β）（１－γ） よって、 （１－α）（１－β）（１－γ）＝４ 4） （α＋β）（β＋γ）（γ＋α） α＋β＋γ＝３より α＋β＝３－γ β＋γ＝３－α γ＋α＝３－β よって、 （α＋β）（β＋γ）（γ＋α） ＝（３－γ）（３－α）（３－β） ｘ＝α、β、γだから ｘ³－３ｘ²＋２ｘ＋４＝（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ） ｘ＝３のとき 27－27＋６＋４＝（３－α）（３－β）（３－γ） （３－α）（３－β）（３－γ）＝10 したがって、 （α＋β）（β＋γ）（γ＋α）＝10 問題 ３次方程式ｘ³＋２ｘ²＋（ｍ－１）ｘ－ｍ－２＝０の解がすべて実数であるとき、実数の定数ｍの値の範囲を求めよ。 Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋２ｘ²＋（ｍ－１）ｘ－ｍ－２ Ｐ（１）＝１＋２＋ｍ－１－ｍ－２＝０ １　２　ｍ－１　－ｍ－２　【１ 　　１　　　３　　ｍ＋２ １　３　ｍ＋２　　　　０ （ｘ－１）（ｘ²＋３ｘ＋ｍ＋２）＝０ ｘ²＋３ｘ＋ｍ＋２＝０が異なる２つの実数解または重解をもてばよいから Ｄ＝９－４ｍ－８≧０ １－４ｍ≧０ ４ｍ≦１ ｍ≦1/4 問題 ３次方程式ｘ³＋ｘ²＋（ｍ－２）ｘ－ｍ＝０の解が２重解をもつとき、定数ｍの値を求めよ。 Ｐ（ｘ）＝ｘ³＋ｘ²＋（ｍ－２）ｘ－ｍ Ｐ（１）＝１＋１＋ｍ－２－ｍ＝０ １　１　ｍ－２　－ｍ　【１ 　　１　　　２　　ｍ １　２　　　ｍ　　０ （ｘ－１）（ｘ²＋２ｘ＋ｍ）＝０ ｘ²＋２ｘ＋ｍ＝０が重解をもつとき Ｄ/４＝１－ｍ＝０ ｍ＝１ ｍ＝１を代入すると ｘ²＋２ｘ＋１＝０ （ｘ＋１）²＝０となり適する ｘ²＋２ｘ＋ｍ＝０がｘ＝１を解にもつとき ｘ＝１を代入して １＋２＋ｍ＝０ ｍ＝－３ ｍ＝－３を代入すると ｘ²＋２ｘ－３＝０ （ｘ＋３）（ｘ－１）＝０となり、ｘ＝１が解になるから適する。 よって、 ｍ＝－３，１ ※別解 方程式の解を、α、α、β（α≠β）とする ｘ³＋ｘ²＋（ｍ－２）ｘ－ｍ＝０より 解と係数の関係から α＋α＋β ＝２α＋β＝－１　① α²＋αβ＋βα ＝α²＋２αβ＝ｍ－２　②　 α・α・β ＝α²β＝ｍ　③ ①より β＝－２α－１ ③に代入して α²（－２α－１）＝ｍ －２α³－α²＝ｍ ②に代入して α²＋２α（－２α－１）＝－２α³－α²－２ α²－４α²－２α＋２α³＋α²＝０ ２α³－２α²－２α＋２＝０ α³－α²－α＋１＝０ １　－１　－１　　１　【１ 　　　１　　０　－１ １　　０　－１　　０ （α－１）（α²－１）＝０ （α－１）²（α＋１）＝０ α＝±１ α＝１のとき、 －２α³－α²＝ｍより ｍ＝－２－１＝－３ α＝－１のとき、 ｍ＝２－１＝１ よって、 ｍ＝－３，１ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.17 高次方程式の因数分解 👉ブログ TOP

二次方程式 高校入試対策① ２学期がスタートしました。夏休みから受験生は入試対策を進めています。二次方程式は解が２つ出てくる方程式で、そのしくみを利用した応用問題があります。因数分解やルートの計算など、これまでに学習したことも使います。 問題 次の条件を満たすｋの値をすべて求めなさい。 【条件】 ２次方程式（ｘ－３）²＝ｋの解が２つあり、どちらも正の整数である。 （ｘ－３）²＝ｋより ｘ－３＝±√ｋ ｘ＝３±√ｋ ２つの解は正の整数だから、ｋは０以上の整数で平方数である。 ｋ＝０のとき ｘ＝３（重解）となり、問題に合わない ｋ＝１のとき ｘ＝３＋√ｋで、 ｘ＝３＋√１＝３＋１＝４ ｘ＝３－√ｋで、 ｘ＝３－√１＝３－１＝２ ｋ＝４のとき ｘ＝３＋√ｋで、 ｘ＝３＋√４＝３＋２＝５ ｘ＝３－√ｋで、 ｘ＝３－√４＝３－２＝１ ｋ＝９のとき ｘ＝３－√ｋで、ｘ＝０となるから、ｋ＜９ よって、 ｋ＝１、４ 問題 ２次方程式ｘ²－６ｘ＋７＝０を（ｘ－●）²＝■の形にしてから解きなさい。 ｘ²－６ｘ＋７＝０ ｘ²－６ｘ＋９－２＝０ ｘ²－６ｘ＋９＝２ （ｘ－３）²＝２ ｘ－３＝±√２ ｘ＝３±√２ 問題 ２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解は 　　－ｂ±√（ｂ²－４ａｃ） ｘ＝━━━━━━━━━━ 　　　　　　２ａ であり、ｂ²－４ａｃの値が０のとき、この方程式の解は１つになる。４ｘ²＋ｍｘ＋９＝０の解が１つになるときのｍの値をすべて求めなさい。 ２次方程式の解が１つのとき 左辺は、平方の形（ｘ－●）²になる ４ｘ²＋ｍｘ＋９が平方の形になるのは （２ｘ＋３）²と（２ｘ－３）²のとき （２ｘ＋３）² ＝４ｘ²＋12ｘ＋９ （２ｘ－３）² ＝４ｘ²－12ｘ＋９ よって、 ｍ＝±12 ※別解 ４ｘ²＋ｍｘ＋９＝０より ａ＝４、ｂ＝ｍ、ｃ＝９ ｂ²－４ａｃ＝０だから ｍ²－４×４×９＝０ ｍ²－144＝０ （ｍ＋12）（ｍ－12）＝０ ｍ＝±12 問題 ２次方程式ｘ²－16ｘ＋３ａ＝０の解がともに１より大きい奇数となるような正の整数ａの値をすべて求めなさい。 解がともに１より大きいから ｘ²－16ｘ＋３ａ＝（ｘ－ｍ）（ｘ－ｎ） と因数分解できる（ｍ≠ｎ） ｍ、ｎは奇数で、ｘの１次の係数が－16だから ｍ＝３、ｎ＝13のとき （ｘ－３）（ｘ－13）＝０ ｘ²－16ｘ＋39＝０ ３ａ＝39より、ａ＝13 ｍ＝５、ｎ＝11のとき （ｘ－５）（ｘ－11）＝０ ｘ²－16ｘ＋55＝０ ３ａ＝55より、ａ＝55/3で問題に合わない ｍ＝７、ｎ＝９のとき （ｘ－７）（ｘ－９）＝０ ｘ²－16ｘ＋63＝０ ３ａ＝63より、ａ＝21 よって、 ａ＝13、21 問題 方程式ｘ²＋ａｘ＋８＝０の解の１つが４のとき、ａの値を求めなさい。また、もう１つの解も求めなさい。 解の１つがｘ＝４より （ｘ－４）（ｘ－ｍ）＝０とする ｘ²＋ａｘ＋８＝０より ４×ｍ＝８　ｍ＝２ よって、もう１つの解は２ （ｘ－４）（ｘ－２）＝０だから ｘ²－６ｘ＋８＝０ よって、ａ＝－６ ※別解 方程式にｘ＝４を代入 16＋４ａ＋８＝０ ４ａ＝－24 ａ＝－６ 方程式にａ＝－６を代入 ｘ²－６ｘ＋８＝０ （ｘ－２）（ｘ－４）＝０ ｘ＝２，４ よって、もう１つの解は２ 問題 ２次方程式ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０の解が８、９のとき、ａとｂの値をそれぞれ求めなさい。 ｘ＝８、９より （ｘ－８）（ｘ－９）＝０となるから ｘ²－17ｘ＋72＝０ 係数を比較して ａ＝－17、ｂ＝72 ※別解 方程式にｘ＝８を代入 64＋８ａ＋ｂ＝０ ８ａ＋ｂ＝－64　① 方程式にｘ＝９を代入 81＋９ａ＋ｂ＝０ ９ａ＋ｂ＝－81　② ①－② －ａ＝17　ａ＝－17 ①に代入 －136＋ｂ＝－64　ｂ＝72 ｘ²－17ｘ＋72＝０ （ｘ－８）（ｘ－９）＝０ ｘ＝８，９となるから問題に合っている よって、 ａ＝－17、ｂ＝72 問題 次の方程式の解き方はまちがっている。㋐～㋒で、いちばんはじめにまちがえて書いた式を選びなさい。また、どのようにまちがえているのかを説明し、正しい答えを求めなさい。 まちがっているのは㋑ ㋐は両辺を５で割った式だが、 ㋑は両辺をｘで割った式 解がｘ＝０の場合もあるから、両辺をｘで割ることができない したがって、 ｘ²－４ｘ＝０ ｘ（ｘ－４）＝０ ｘ＝０，４ 👉方程式を０で割れない理由 ｘ－１＝０ 左辺を０で割ると ｘ÷０－１÷０ １÷０は成り立たない（商が立たない） 2025年・青森県立高校入試 👉2025 高校入試解説 👉2026 高校入試解説 👉二次方程式 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.16 二次方程式 高校入試対策① 👉ブログ TOP

定数aを含む不等式 文字定数を含む不等式では、文字定数の場合分け（正・負・０）が必要になります。また、解ｘの値や範囲が指定されているときには、グラフや数直線を作図しながら、文字定数の範囲を視覚的に捉えるようにします。 問題 次の不等式を解け。ただし、ａは定数とする。 1）ａｘ＞２ａ 2）ａｘ＋１≦ｘ＋ａ² 1） ａ＞０のとき 両辺を正の数ａで割って ｘ＞２ ａ＝０のとき ０・ｘ＞２・０だから、満たす実数ｘはない よって、解なし ａ＜０のとき 両辺を負の数ａで割って ｘ＜２ したがって、 ａ＞０のとき、ｘ＞２ ａ＝０のとき、解なし ａ＜０のとき、ｘ＜２ 2） ａｘ＋１≦ｘ＋ａ²　より ａｘ－ｘ≦ａ²－１ （ａ－１）ｘ≦（ａ－１）（ａ＋１） ａ－１＞０　すなわちａ＞１のとき 両辺を正の数（ａ－１）で割って ｘ≦ａ＋１ ａ－１＝０　すなわちａ＝１のとき ０・ｘ≦０・２だから これを満たすｘの値はすべての実数　※ ａ－１＜０　すなわちａ＜１のとき 両辺を負の数（ａ－１）で割って ｘ≧ａ＋１ したがって、 ａ＞１のとき、ｘ≦ａ＋１ ａ＝１のとき、すべての実数 ａ＜１のとき、ｘ≧ａ＋１ ※０＝０が成り立っている 問題 ａは正の定数とし、集合Ｐを次のように定める。 Ｐ＝｛ｘ｜ｘ²－（ａ－１）ｘ－ａ≦０、ｘは整数｝ 1）ａ＝４のとき、集合Ｐの要素をすべて求めよ。 2）集合Ｐの要素の個数が５個であるようなａの値の範囲を求めよ。 1） ｘ²－（４－１）ｘ－４≦０ ｘ²－３ｘ－４≦０ （ｘ－４）（ｘ＋１）≦０ －１≦ｘ≦４ よって、 Ｐ＝｛－１，０，１，２，３，４｝ 2） ｘ²－（ａ－１）ｘ－ａ≦０より （ｘ－ａ）（ｘ＋１）≦０ ａは正の定数だから －１≦ｘ≦ａ　① ｘは整数だから －１，０，１，２，３の場合である これを満たす実数ａは ①に３が含まれ４が含まれないから ３≦ａ＜４ 問題 不等式２ｘ－３＞ａ＋８ｘについて、次の問いに答えよ。 1）解がｘ＜１となるように、定数ａの値を定めよ。 2）解がｘ＝０を含むように、定数ａの値の範囲を定めよ。 1） ２ｘ－３＞ａ＋８ｘ　より ６ｘ＜－ａ－３ ｘ＜（－ａ－３）/６ ｘ＜１だから （－ａ－３）/６＝１ －ａ－３＝６ ａ＝－９ 2） 不等式にｘ＝０を代入 ２・０－３＞ａ＋８・０ ａ＜－３ 問題 不等式ｘ－ａ≦２（５－ｘ）を満たすｘのうちで、最大の整数が５であるとき、定数ａの値の範囲を求めよ。 ｘ－ａ≦２（５－ｘ） ｘ－ａ≦10－２ｘ ３ｘ≦ａ＋10 ｘ≦（ａ＋10）/３ よって、 ５≦（ａ＋10）/３＜６ 15≦ａ＋10＜18 ５≦ａ＜８ 問題 ａを定数とするとき、次の不等式を解け。 1）ａｘ≦１ 2）ａｘ＋６＞３ｘ＋２ａ 1） ａ＞０のとき 両辺を正の数ａで割って ｘ≦１/ａ ａ＝０のとき ０・ｘ≦１より 満たすｘはすべての実数 ａ＜０のとき 両辺を負の数ａで割って ｘ≧１/ａ よって、 ａ＞０のとき、ｘ≦１/ａ ａ＝０のとき、すべての実数 ａ＜０のとき、ｘ≧１/ａ 2） ａｘ＋６＞３ｘ＋２ａ ａｘ－３ｘ＞２ａ－６ （ａ－３）ｘ＞２（ａ－３） ａ－３＞０　すなわちａ＞３のとき 両辺を正の数ａ－３で割って ｘ＞２ ａ－３＝０　すなわちａ＝３のとき ０・ｘ＞２・０より 満たすｘはないから解なし ａ－３＜０　すなわちａ＜３のとき 両辺を負の数ａ－３で割って ｘ＜２ よって、 ａ＞３のとき、ｘ＞２ ａ＝３のとき、解なし ａ＜３のとき、ｘ＜２ 問題 ａ、ｂは定数でａ＞０、ｂ＞０とする。 不等式ａｘ≦－２ｘ＋３≦ｂｘ＋２の解が 1/10≦ｘ≦1/5 であるとき、ａ、ｂの値を求めよ。 ａｘ≦－２ｘ＋３　より ａｘ＋２ｘ≦３ （ａ＋２）ｘ≦３ ａ＞０より、ａ＋２＞０だから ｘ≦３/（ａ＋２）　① －２ｘ＋３≦ｂｘ＋２　より －ｂｘ－２ｘ≦－１ －（ｂ＋２）ｘ≦－１ （ｂ＋２）ｘ≧１ ｂ＞０より、ｂ＋２＞０だから ｘ≧１/（ｂ＋２）　② ①、②より １/（ｂ＋２）≦ｘ≦３/（ａ＋２） よって、 １/（ｂ＋２）＝1/10 ｂ＋２＝10　ｂ＝８ ３/（ａ＋２）＝1/5 ａ＋２＝15　ａ＝13 したがって、 ａ＝13、ｂ＝８ 問題 不等式ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋４＜０・・①について、 1）不等式①が解をもたないように、定数ａの値の範囲を求めよ。 2）１≦ｘ≦２のすべてのｘについて、不等式①が成り立つように、定数ａの値の範囲を求めよ。 1） ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋４＝０とする Ｄ＝（ａ－１）²－16 ＝ａ²－２ａ＋１－16 ＝ａ²－２ａ－15 Ｄ≦０より ａ²－２ａ－15≦０ （ａ－５）（ａ＋３）≦０ －３≦ａ≦５ 2） ｆ（ｘ）＝ｘ²＋（ａ－１）ｘ＋４＜０とする ｆ（ｘ）＜０となるのは ｆ（１）＜０かつｆ（２）＜０ ｆ（１）＝１＋ａ－１＋４ ＝ａ＋４＜０ ａ＜－４　① ｆ（２）＝４＋２ａ－２＋４ ＝２ａ＋６＜０ ａ＜－３　② ①、②より ａ＜－４ 👉不等式 練習問題 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生38名（2026年8月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中　軽米町立軽米中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.9.15 定数aを含む不等式 👉ブログ TOP