文字で表す座標
（中学数学 1/8解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
冬休みの特別講習も後半に入っています。中学の受験生から特に多い質問が、数学のグラフに関する問題です。問題の演習を通して、座標の関係を正しくおさえたり、補助線をひくポイントをつかんでいくことが大切になります。
★反比例、一次・二次関数の融合問題
問題
図１で、①は関数ｙ＝１６／ｘのグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれー４、８である。点Ｐはｙ軸上にあり、ｙ座標は点Ｂのｙ座標と同じである。②は２点Ａ、Ｂを通る直線であり、②とｙ軸との交点をＱとする。あとの各問いに答えなさい。
１）点Ａのｙ座標を求めなさい。
２）点Ｐを通り、直線②に平行な直線の式を求めなさい。
１）
点Ａはｙ＝１６／ｘ上にあるから、ｘ＝ー４を代入
ｙ＝１６／ー４
ｙ＝ー４
２）
点Ｂのｙ座標を求める
ｙ＝１６／ｘに、ｘ＝８を代入
ｙ＝２
Ａ（ー４，－４）とＢ（８，２）から変化の割合を求める
ｘの増加量：８－（－４）＝１２
ｙの増加量：２ー（ー４）＝６
変化の割合は、
６／１２
＝１／２（直線②の傾き）
求める式は②の傾きと同じで、切片は点Ｂのｙの値と同じだから、
ｙ＝１ｘ／２＋２
３）図２は、図１に③、④を書き加えたもので、③は関数ｙ＝１ｘ²／４のグラフであり、④は直線ｘ＝ｔである。また、④と②、③の交点をそれぞれＲ、Ｓとする。このとき、次のア、イに答えなさい。
ア 点Ｓのｙ座標をｔを用いた式で表しなさい。
点Ｓはｙ＝１ｘ²／４上にあるから、ｘ＝ｔを代入
ｙ＝１ｔ²／４
イ 四角形ＰＱＲＳが平行四辺形となるとき、ｔの値をすべて求めなさい。
点ＰとＱは固定
点ＳとＲを移動させる
↓
点ＳとＲのｙ座標間（ＳＲの長さ）と点ＰとＱのｙ座標間（ＰＱの長さ）が等しくなるときのｔを求める。
※ｙ軸と直線ｘ＝ｔは平行。平行四辺形は対辺の長さが等しく平行。
３）より、
点Ｓのｙ座標は１ｔ²／４
点Ｒは直線ＡＢ上の点だから、ＡＢの式を求める。
直線ＡＢはＰＳと平行だから、傾き１／２。
切片をｂとしてｙ＝１ｘ／２＋ｂに、Ｂ（８，２）代入
２＝４＋ｂ
ｂ＝ー２
直線ＡＢは、ｙ＝１ｘ／２ー２
これにｘ＝ｔを代入
ｙ＝１ｔ／２ー２（点Ｒのｙ座標）
ＳＲの長さ
１ｔ²／４ー（１ｔ／２ー２）
ＰＱの長さ
２ー（ー２）＝４
ＳＲ＝ＰＱより、
１ｔ²／４ー（１ｔ／２ー２）＝４
ｔ²ー４（１ｔ／２－２）＝１６
ｔ²ー２ｔ＋８＝１６
ｔ²ー２ｔー８＝０
（ｔ＋２）（ｔ－４）＝０
ｔ＝ー２，４
★長さの表し方★
大きい値から小さい値を引く
★面積を２等分する問題
問題
図１で、①は関数ｙ＝ー４ｘ²／９のグラフであり、点Ａの座標は（２，－４）、点Ｂは①上の点でｘ座標が負の値をとり、ｙ座標はー４である。あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
１）点Ｂのｘ座標を求めなさい。
２）①の関数について、ｘの値が３から６まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
３）点Ｐをｘ軸上にとり、ＡＢ＝ＡＰとなる二等辺三角形ＡＢＰをつくる。点Ｐのｘ座標が正の値をとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。
１）
点Ｂはｙ＝ー４ｘ²／９上にあるから、ｙ＝ー４を代入
ー４＝ー４ｘ²／９
４ｘ²＝３６
ｘ²＝９
ｘ＝±３
ｘ＜０より、ｘ＝ー３
２）
ｘ＝６のとき、
ｙ＝ー４×６²／９＝ー１６
ｘ＝３のとき、
ｙ＝ー４×３²／９＝ー４
ｘの増加量：６－３＝３
ｙの増加量：ー１６－（ー４）＝ー１２
変化の割合は、
ー１２／３＝ー４
３）
点ＡとＢのｙ座標が同じ
↓
ｘ軸と平行
↓
点ＡとＢのｘ座標間がＡＢの長さ
ＡＢ：２－（－３）＝５cm
点Ａからｘ軸に垂線をひき、交点をＨとする。
△ＡＨＰで三平方の定理より、
ＡＨ²＋ＨＰ²＝ＡＰ²
ＡＨ＝４cm、ＡＢ＝ＡＰ＝５cmより
４²＋ＨＰ²＝５²
ＨＰ＝３cm（ＨＰ＞０）
点Ｈのｘ座標は、点Ａと同じ２
点Ｐのｘ座標は、点Ｈから正の方向へ３cm移動した点となるから、２＋３＝５
よって、（５，０）
４）図２は、図１の①上にｘ座標が６である点Ｃをとり、四角形ＯＢＣＡをかき加えたものである。点Ａを通り、四角形ＯＢＣＡの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
四角形ＯＢＣＡの面積の２等分を求める
↓
ＢＣの式と、Ａを通り２等分する式との交点（Ｑ）を求める。
↓
△ＯＡＢ＋△ＱＡＢ＝ＯＢＣＡ÷２
四角形ＯＢＣＡの面積
線分ＡＢで分ける（補助線をひく）
△ＯＡＢ
底辺５cm、高さ４cm
１／２×５×４＝10cm²
△ＡＢＣ
底辺５cm、高さ12cm
１／２×５×12＝30cm²
△ＯＡＢ＋△ＡＢＣ＝ＯＢＣＡ
10＋30＝40cm²
２等分の面積は、40÷２＝20cm²
ＢＣの式と、Ａを通り２等分する式との交点をＱとする。
点Ｃのｘ座標が６だから、ｙ＝ー４ｘ²／９にｘ＝６を代入
ｙ＝ー４×６²／９＝ー16
点Ｂ（ー３，－４）、点Ｃ（６，－16）
ｘの増加量：６－（－３）＝９
ｙの増加量：ー16－（－４）＝ー１２
変化の割合
ー12／９＝ー４／３
ＢＣの式の切片をｂとする
ｙ＝ー４ｘ／３＋ｂに、Ｂ（ー３，－４）代入
ー４＝４＋ｂ
ｂ＝ー８
ＢＣの式は、ｙ＝ー４ｘ／３ー８
点Ｑのｘ座標をｔとすると、ｙ座標はー４ｔ／３ー８
△ＱＡＢ
底辺：５cm
高さ：ー４ー（ー４ｔ／３ー８）
＝（４ｔ／３＋４）cm
面積
１／２×５×（４ｔ／３＋４）
＝（10ｔ／３＋10）cm²
△ＯＡＢ＋△ＱＡＢ＝20だから、
10＋（10ｔ／３＋10）＝20
ｔ＝０
点Ｑは（０，－８）
２等分する式の切片はー８となるから、傾きをａとして、
ｙ＝ａｘー８
この式にＡ（２，－４）を代入
ー４＝２ａー８
ａ＝２
よって、ｙ＝２ｘ－８
問題
図１で、①は関数ｙ＝３６／ｘのグラフであり、点Ａは①上の点でｘ座標が６である。また、②は点Ａを通る直線である。あとの各問いに答えなさい。
１）ｙ軸上にｙ座標が３である点Ｂをとる。直線②が点Ｂを通るとき、直線②の式を求めなさい。
点Ａはｙ＝３６／ｘ上にあるから、ｘ＝６を代入
ｙ＝３６／６
ｙ＝６
②の式の切片は３、傾きをａとする。
ｙ＝ａｘ＋３に、Ａ（６，６）代入
６＝６ａ＋３
ａ＝１／２
よって、ｙ＝１ｘ／２＋３
２）図２は、図１に③をかき加えたもので、③は点Ａを通るｙ＝ａｘ²のグラフである。また、②と③の交点のうち、Ａとは異なる点をＣとする。点Ｃのｘ座標がー４のとき、次のア～ウに答えなさい。
ア ａの値を求めなさい。
イ 点Ｃの座標を求めなさい。
ウ ｙ軸上にｙ座標が正である点Ｄをとる。△ＡＯＣ＝△ＡＯＤになるとき、点Ｄのｙ座標を求めなさい。
ア
ｙ＝ａｘ²は点Ａを通るから、Ａ（６，６）を代入
６＝ａ×６²
３６ａ＝６
ａ＝１／６
イ
点Ｃはｙ＝１ｘ²／６上にあるから、ｘ＝ー４を代入
ｙ＝１×（ー４）²／６
ｙ＝８／３
よって、（ー４，８／３）
ウ
△ＡＯＣ＝△ＡＯＤより、共通の底辺をＡＯとする。
２つの三角形の高さが等しいとき面積が等しくなるから、ＡＯとＣＤは平行になる（等積変形）。
※ＡＯの傾きとＡＤの傾きが同じ
ＡＯの傾き
Ｏ（０，０）、Ａ（６，６）
ｘの増加量：６－０＝６
ｙの増加量：６－０＝６
変化の割合：６／６＝１
直線ＣＤの式
傾きが１、切片をｂとする
ｙ＝ｘ＋ｂ
この式に、Ｃ（ー４，８／３）を代入
８／３＝ー４＋ｂ
ｂ＝20／３
切片はｙ軸上の点だから、20／３
関数グラフの練習問題
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2025.1.9 文字で表す座標（中学数学 1/8解説）