２次関数のグラフとｘ軸 ２次関数のグラフは放物線で、ｘ軸と交わる場合と接する場合があります。この交点または接点のことをｘ軸との共有点といい、ｙ＝０のときに、方程式に実数解があることを意味します。 問題 次の２次関数のグラフとｘ軸の共有点の座標を求めよ。 1）ｙ＝ｘ²－６ｘ－４ 2）ｙ＝－４ｘ²＋４ｘ－１ 3）ｙ＝ｘ²＋７ｘ－18 4）ｙ＝３ｘ²＋８ｘ＋２ 5）ｙ＝ｘ²－６ｘ＋２ 6）ｙ＝－６ｘ²－５ｘ＋６ 7）ｙ＝９ｘ²－24ｘ＋16 1） ｙ＝ｘ²－６ｘ－４ ｙ＝０のとき ｘ²－６ｘ－４＝０ ｘ＝３±√13 よって、 （３＋√13，０）（３－√13，０） 2） ｙ＝－４ｘ²＋４ｘ－１ －４ｘ²＋４ｘ－１＝０ ４ｘ²－４ｘ＋１＝０ （２ｘ－１）²＝０ ｘ＝1/2 よって、 （1/2，０） 3） ｙ＝ｘ²＋７ｘ－18 ｘ²＋７ｘ－18＝０ （ｘ＋９）（ｘ－２）＝０ ｘ＝－９，２ よって、 （－９，０）（２，０） 4） ｙ＝３ｘ²＋８ｘ＋２ ３ｘ²＋８ｘ＋２＝０ ｘ＝（－４±√10）/３ よって、 （（－４＋√10）/３，０） （（－４－√10）/３，０） 5） ｙ＝ｘ²－６ｘ＋２ ｘ²－６ｘ＋２＝０ ｘ＝３±√７ よって、 （３＋√７，０）（３－√７，０） 6） ｙ＝－６ｘ²－５ｘ＋６ －６ｘ²－５ｘ＋６＝０ ６ｘ²＋５ｘ－６＝０ ３　－２　－４ 　× ２　　３　　９ 　　　　　＋５ （３ｘ－２）（２ｘ＋３）＝０ ｘ＝2/3，－3/2 よって、 （2/3，０）（－3/2，０） 7） ｙ＝９ｘ²－24ｘ＋16 ９ｘ²－24ｘ＋16＝０ （３ｘ－４）²＝０ ｘ＝4/3 よって、 （4/3，０） 問題 次の２次関数のグラフとｘ軸の共有点の個数を求めよ。 1）ｙ＝ｘ²－ｘ－３ 2）ｙ＝４ｘ²＋12ｘ＋９ 3）ｙ＝－ｘ²＋２ｘ－３ 4）ｙ＝３ｘ²＋ｘ－２ 5）ｙ＝－５ｘ²＋３ｘ－１ 6）ｙ＝２ｘ²－16ｘ＋32 1） ｙ＝ｘ²－ｘ－３ ｘ²－ｘ－３＝０ Ｄ＝１＋12＝13＞０ よって、２個 ※別解 ｙ＝｛ｘ－（1/2）｝²－（1/4）－３ ＝｛ｘ－（1/2）｝²－（13/4） 下に凸で、 ｘ＝1/2のとき、ｙ＜０ ｘ軸と２点で交わるから、２個 2） ｙ＝４ｘ²＋12ｘ＋９ ４ｘ²＋12ｘ＋９＝０ （２ｘ＋３）²＝０ ｙ＝０のとき、ｘ＝－3/2 よって、１個 ※別解 Ｄ/４＝36－36＝０ よって、１個 ※別解 ｙ＝４（ｘ²＋３ｘ）＋９ ＝４［｛ｘ＋（3/2）｝²－（9/4）］＋９ ＝４｛ｘ＋（3/2）｝² 下に凸で、 ｘ＝－3/2のとき、ｙ＝０ 頂点がｘ軸と接するから、１個 3） ｙ＝－ｘ²＋２ｘ－３ －ｘ²＋２ｘ－３＝０ ｘ²－２ｘ＋３＝０ Ｄ/４＝１－３＝－２＜０ よって、０個 ※別解 ｙ＝－（ｘ²－２ｘ）－３ ＝－｛（ｘ－１）²－１｝－３ ＝－（ｘ－１）²－２ 上に凸で、 ｘ＝１のとき、ｙ＜０ ｘ軸と交わらないから、０個 4） ｙ＝３ｘ²＋ｘ－２ ３ｘ²＋ｘ－２＝０ Ｄ＝１＋24＝25＞０ よって、２個 ※別解 ３ｘ²＋ｘ－２＝０ ３　－２　－２ 　× １　　１　　３ 　　　　　＋１ （３ｘ－２）（ｘ＋１）＝０ ｙ＝０のとき、ｘ＝2/3，－１ よって、２個 ※別解 ｙ＝３｛ｘ²＋（1/3）ｘ｝－２ ＝３［｛ｘ＋（1/6）｝²－（1/36）］－２ ＝３｛ｘ＋（1/6）｝²－25/12 下に凸で、 ｘ＝－1/6のとき、ｙ＜０ ｘ軸と２点で交わるから、２個 5） ｙ＝－５ｘ²＋３ｘ－１ －５ｘ²＋３ｘ－１＝０ ５ｘ²－３ｘ＋１＝０ Ｄ＝９－20＝－11＜０ よって、０個 ※別解 ｙ＝－５｛ｘ²－（3/5）ｘ｝－１ ＝－５［｛ｘ－（3/10）｝²－（9/100）］－１ ＝－５｛ｘ－（3/10）｝²－（11/20） 上に凸で、 ｘ＝3/10のとき、ｙ＜０ ｘ軸と交わらないから、０個 6） ｙ＝２ｘ²－16ｘ＋32 ２ｘ²－16ｘ＋32＝０ ｘ²－８ｘ＋16＝０ （ｘ－４）²＝０ ｙ＝０のとき、ｘ＝４ よって、１個 ※別解 ｘ²－８ｘ＋16＝０ Ｄ/４＝16－16＝０ よって、１個 ※別解 ｙ＝２（ｘ²－８ｘ）＋32 ＝２｛（ｘ－４）²－16｝＋32 ＝２（ｘ－４）² 下に凸で、 ｘ＝４のとき、ｙ＝０ 頂点がｘ軸と接するから、１個 問題 ２次関数ｙ＝ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²－ｋ＋３のグラフについて、次の問いに答えよ。 1）ｘ軸と異なる２点で交わるとき、定数ｋの値の範囲を求めよ。 2）ｘ軸と接するとき、定数ｋの値とそのときの接点の座標を求めよ。 1） ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²－ｋ＋３＝０ Ｄ/４＝ｋ²－ｋ²＋ｋ－３ ＝ｋ－３＞０ ｋ＞３ ※別解 ｙ＝ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²－ｋ＋３ ＝（ｘ－ｋ）²－ｋ²＋ｋ²－ｋ＋３ ＝（ｘ－ｋ）²－ｋ＋３ 下に凸で、 ｘ＝ｋのとき、ｙ＜０だから －ｋ＋３＜０ ｋ＞３ 2） Ｄ/４＝ｋ－３＝０ ｋ＝３ ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²－ｋ＋３＝０に代入 ｘ²－６ｘ＋９＝０ （ｘ－３）²＝０　ｘ＝３ よって、 ｋ＝３、接点（３，０） ※別解 ｙ＝（ｘ－ｋ）²－ｋ＋３ 下に凸で、 ｘ＝ｋのとき、ｙ＝０だから －ｋ＋３＝０　ｋ＝３ ｘ＝ｋ＝３だから、頂点（３，０） よって、 ｋ＝３、接点（３，０） ※別解 ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²－ｋ＋３＝０が重解をもつから 解と係数の関係より ｘ＝ｋ　※ｘ＝－ｂ/（２ａ） 代入して ｋ²－２ｋ²＋ｋ²－ｋ＋３＝０ －ｋ＋３＝０　ｋ＝３ ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²－ｋ＋３＝０に代入 ｘ²－６ｘ＋９＝０ （ｘ－３）²＝０　ｘ＝３ よって、 ｋ＝３、接点（３，０） 問題 ２次関数ｙ＝ｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋ｋ²－３のグラフについて、次の問いに答えよ。 1）ｘ軸と共有点をもたないとき、定数ｋの値の範囲を求めよ。 2）ｘ軸に接するとき、定数ｋの値とそのときの接点の座標を求めよ。 1） ｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋ｋ²－３＝０ Ｄ/４＝（ｋ－１）²－ｋ²＋３ ＝ｋ²－２ｋ＋１－ｋ²＋３ ＝－２ｋ＋４＜０ －２ｋ＜－４ ｋ＞２ ※別解 ｙ＝ｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋ｋ²－３ ＝｛ｘ＋（ｋ－１）｝²－（ｋ－１）²＋ｋ²－３ ＝｛ｘ＋（ｋ－１）｝²－（ｋ²－２ｋ＋１）＋ｋ²－３ ＝｛ｘ＋（ｋ－１）｝²－ｋ²＋２ｋ－１＋ｋ²－３ ＝｛ｘ＋（ｋ－１）｝²＋２ｋ－４ 下に凸で、 ｘ＝－（ｋ－１）のとき、ｙ＞０だから ２ｋ－４＞０ ２ｋ＞４ ｋ＞２ 2） Ｄ/４＝－２ｋ＋４＝０ －２ｋ＝－４　ｋ＝２ ｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋ｋ²－３＝０に代入 ｘ²＋２ｘ＋１＝０ （ｘ＋１）²＝０　ｘ＝－１ よって、 ｋ＝２、接点（－１，０） ※別解 ｙ＝｛ｘ＋（ｋ－１）｝²＋２ｋ－４ 下に凸で、 ｘ＝－（ｋ－１）のとき、ｙ＝０だから ２ｋ－４＝０　ｋ＝２ ｘ＝－（ｋ－１）＝－１だから、頂点（－１，０） よって、 ｋ＝２、接点（－１，０） ※別解 ｘ²＋２（ｋ－１）ｘ＋ｋ²－３＝０が重解をもつから 解と係数の関係より ｘ＝－（ｋ－１） 代入して （ｋ－１）²－２（ｋ－１）²＋ｋ²－３＝０ －（ｋ²－２ｋ＋１）＋ｋ²－３＝０ －ｋ²＋２ｋ－１＋ｋ²－３＝０ ２ｋ－４＝０　ｋ＝２ ｘ＝－（ｋ－１）より ｘ＝－１ よって、 ｋ＝２、接点（－１，０） 問題 次の２次関数のグラフがｘ軸から切り取る線分の長さを求めよ。 1） ｙ＝－ｘ²＋３ｘ＋１ 2） ｙ＝ｘ²－２ａｘ＋ａ²－４（ａは定数） 1） －ｘ²＋３ｘ＋１＝０ ｘ²－３ｘ－１＝０ ｘ＝（３±√13）/２ よって、ｘ軸との交点は （（３＋√13）/２，０） （（３－√13）/２，０） ｘの値の差だから ｜｛（３＋√13）/２｝－｛（３－√13）/２｝｜ ＝｜√13｜ ＝√13 ※別解 ｘ²－３ｘ－１＝０ 解と係数の関係より α＋β＝３ αβ＝－１ （α－β）²　👉解の差が距離 ＝（α＋β）²－４αβ ＝３²－４・（－１） ＝９＋４ ＝13 （α－β）²＝13 α－β＞０より α－β＝√13 よって、√13 2） ｘ軸から切り取るから ｘ²－２ａｘ＋ａ²－４＝０は、Ｄ＞０ Ｄ/４＝ａ²－ａ²＋４＝４で適する ｘ²－２ａｘ＋ａ²－４＝０ ｘ²－２ａｘ＋（ａ＋２）（ａ－２）＝０ １　－（ａ＋２）　－ａ－２　 　× １　－（ａ－２）　－ａ＋２ 　　　　　　　　　－２ａ （ｘ－ａ－２）（ｘ－ａ＋２）＝０ ｘ＝ａ＋２，ａ－２ よって、ｘ軸との交点は （ａ＋２，０）（ａ－２，０） ｜（ａ＋２）－（ａ－２）｜ ＝｜４｜ ＝４ ※別解 ｘ²－２ａｘ＋ａ²－４＝０ 解と係数の関係より α＋β＝２ａ αβ＝ａ²－４ （α－β）²　👉解の差が距離 ＝（α＋β）²－４αβ ＝（２ａ）²－４（ａ²－４） ＝４ａ²－４ａ²＋16 ＝16 （α－β）²＝16 α－β＞０より α－β＝４ よって、４ 👉ｘ²の係数が１のとき、（α－β）²＝Ｄ 問題 放物線ｙ＝ｘ²－（ｋ＋２）ｘ＋２ｋがｘ軸から切り取る線分の長さが３であるとき、定数ｋの値を求めよ。 ｘ軸から切り取るから ｘ²－（ｋ＋２）ｘ＋２ｋ＝０は、Ｄ＞０ Ｄ＝（ｋ＋２）²－４・２ｋ ＝ｋ²＋４ｋ＋４－８ｋ ＝ｋ²－４ｘ＋４ ＝（ｋ－２）²＞０ よって、 ｋの値は、ｋ≠２のすべての実数 ｘ²－（ｋ＋２）ｘ＋２ｋ＝０ （ｘ－ｋ）（ｘ－２）＝０ ｘ＝ｋ、２ ｘ軸との交点は （ｋ，０）（２，０） よって、 ｜ｋ－２｜＝３ ｋ－２＜０　すなわちｋ＜２のとき －（ｋ－２）＝３ ｋ－２＝－３　ｋ＝－１ ｋ－２＞０　すなわちｋ＞２のとき ｋ－２＝３ ｋ＝５ したがって、 ｋ＝－１、５ ※別解 ｘ²－（ｋ＋２）ｘ＋２ｋ＝０ ｘ²の係数は１次、（α－β）²はＤだから （α－β）²＝（ｋ－２）² （α－β）²＝３²＝９より （ｋ－２）²＝９ ｋ－２＝±３ よって、 ｋ＝５，－１ 問題 次の２次関数のグラフがｘ軸から切り取る線分の長さを求めよ。 1） ｙ＝２ｘ²－８ｘ－15 2） ｙ＝ｘ²－（２ａ＋１）ｘ＋ａ（ａ＋１） （ａは定数） 1） ２ｘ²－８ｘ－15＝０ ｘ＝（４±√46）/２ ｜｛（４＋√46）/２｝－｛（４－√46）/２｝｜ ＝｜√46｜ ＝√46 ※別解 ２ｘ²－８ｘ－15＝０ 解と係数の関係より α＋β＝４、αβ＝－15/2 （α－β）² ＝（α＋β）²－４αβ ＝４²－４・（－15/2） ＝16＋30 ＝46 α－β＞０より α－β＝√46 よって、√46 2） ｘ²－（２ａ＋１）ｘ＋ａ（ａ＋１）＝０ Ｄ＝（２ａ＋１）²－４ａ（ａ＋１） ＝４ａ²＋４ａ＋１－４ａ²－４ａ ＝１ Ｄ＞０で適する ｘ²－（２ａ＋１）ｘ＋ａ（ａ＋１）＝０ （ｘ－ａ）（ｘ－ａ－１）＝０ ｘ＝ａ、ａ＋１ よって、 ｜ａ－（ａ＋１）｜ ＝｜－１｜ ＝１ ※別解 ｘ²－（２ａ＋１）ｘ＋ａ（ａ＋１）＝０ ｘ²の係数は１次、（α－β）²はＤだから （α－β）²＝１ α－β＞０より α－β＝１ よって、１ 問題 放物線ｙ＝ｘ²＋（２ｋ－３）ｘ－６ｋがｘ軸から切り取る線分の長さが５であるとき、定数ｋの値を求めよ。 ｘ²＋（２ｋ－３）ｘ－６ｋ＝０ Ｄ＝（２ｋ－３）²－４・（－６ｋ） ＝４ｋ²－12ｋ＋９＋24ｋ ＝４ｋ²＋12ｋ＋９ ＝（２ｋ＋３）²＞０ ｋの値は、ｋ≠－3/2のすべての実数 ｘ²＋（２ｋ－３）ｘ－６ｋ＝０ （ｘ＋２ｋ）（ｘ－３）＝０ ｘ＝－２ｋ、３ よって、 ｜３＋２ｋ｜＝５ ３＋２ｋ＜０ すなわち　ｋ＜－3/2のとき －（３＋２ｋ）＝５ ３＋２ｋ＝－５ ２ｋ＝－８　ｋ＝－４ ３＋２ｋ＞０ すなわち　ｋ＞－3/2のとき ３＋２ｋ＝５ ２ｋ＝２　ｋ＝１ よって、 ｋ＝－４，１ ※別解 ｘ²＋（２ｋ－３）ｘ－６ｋ＝０ ｘ²の係数は１次、（α－β）²はＤだから （α－β）²＝（２ｋ＋３）² （α－β）²＝５²＝25より （２ｋ＋３）²＝25 ２ｋ＋３＝±５ ２ｋ＋３＝５のとき　ｋ＝１ ２ｋ＋３＝－５のとき　ｋ＝－４ よって、 ｋ＝１，－４ 問題 放物線ｙ＝ｘ²－４ａｘ＋４ａ²－４ａ－３ｂ＋９の頂点の座標を求めよ。また、この放物線がｘ軸と共有点をもたないような自然数ａ、ｂを求めよ。 ｙ＝ｘ²－４ａｘ＋４ａ²－４ａ－３ｂ＋９ ＝（ｘ－２ａ）²－４ａ²＋４ａ²－４ａ－３ｂ＋９ ＝（ｘ－２ａ）²－４ａ－３ｂ＋９ よって、頂点は （２ａ，－４ａ－３ｂ＋９） 下に凸で、 ｘ＝２ａのとき、ｙ＞０ よって、 －４ａ－３ｂ＋９＞０ ４ａ＋３ｂ＜９ したがって、 ａ＝１，ｂ＝１ 問題 1）２次関数ｙ＝－２ｘ²＋ａｘ＋ｂのグラフが点（３，－８）を通るとする。このグラフがｘ軸と接するとき、定数ａの値を求めよ。 2）放物線ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋３がｘ軸と異なる２点で交わるような自然数ａの値の中で、ａ＜９を満たすものは何個あるか。 1） グラフが（３，－８）を通るから －８＝－18＋３ａ＋ｂ ３ａ＋ｂ＝10　① －２ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０ Ｄ＝ａ²＋８ｂ＝０　② ①より ｂ＝10－３ａ ②に代入 ａ²＋８（10－３ａ）＝０ ａ²－24ａ＋80＝０ （ａ－４）（ａ－20）＝０ ａ＝４，20 2） ｘ²＋ａｘ＋３＝０ Ｄ＝ａ²－12＞０ ａ＜－２√３、ａ＞２√３ ａ＜９との共通範囲は ２√３＜ａ＜９ よって、 ａ＝４，５，６，７，８ したがって、 ５個 問題 ２次関数ｙ＝ａｘ²＋２ａｘ＋ａ＋６（ａ≠０）のグラフがｘ軸と２点Ｐ、Ｑで交わり、線分ＰＱの長さが２√６になるように、定数ａの値を定めよ。 ａｘ²＋２ａｘ＋ａ＋６＝０ Ｄ/４＝ａ²－ａ（ａ＋６） ＝ａ²－ａ²－６ａ ＝－６ａ＞０ ａ＜０ ａｘ²＋２ａｘ＋ａ＋６＝０ ａ≠０だから 解と係数の関係より α＋β＝－２、 αβ＝（ａ＋６）/ａ （α－β）² ＝（α＋β）²－４αβ ＝４－４（ａ＋６）/ａ （α－β）²＝（２√６）²だから ４－４（ａ＋６）/ａ＝24 ４ａ－４ａ－24＝24ａ ａ＝－１（ａ＜０に適する） ※別解 ｙ＝ａｘ²＋２ａｘ＋ａ＋６ ＝ａ（ｘ²＋２ｘ）＋ａ＋６ ＝ａ｛（ｘ＋１）²－１｝＋ａ＋６ ＝ａ（ｘ＋１）²＋６ ａ＜０より、上に凸 軸ｘ＝－１、頂点（－１，６） 放物線は軸について対称、軸とＰの距離、軸とＱの距離はそれぞれ等しい。 ＰＱ＝２√６だから Ｐ（－１－√６，０） Ｑ（－１＋√６，０） ｙ＝ａ（ｘ＋１）²＋６に （－１－√６，０）を代入 ０＝ａ（－√６）²＋６ －６ａ＝６ ａ＝－１ または ｘ＝－１－√６より ｘ＋１＝－√６ 両辺を２乗する ｘ²＋２ｘ＋１＝６ ｘ²＋２ｘ－５＝０　① ａｘ²＋２ａｘ＋ａ＋６＝０ ａ≠０だから 両辺をａで割る ｘ²＋２ｘ＋１＋（６/ａ）＝０ ①より １＋（６/ａ）＝－５ ａ＝－１ 問題 ａを実数とするとき、放物線ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋ａ－４・・①について 1）放物線①は、定数ａの値に関係なく常にｘ軸と異なる２つの共有点をもつことを示せ。 2）1）の共有点のｘ座標をα、βとするとき、（α－β）²＜28が成り立つような定数ａの値の範囲を求めよ。 1） ｙ＝０、すなわち ｘ²＋ａｘ＋ａ－４＝０の判別式をＤとする Ｄ＝ａ²－４ａ＋16 ＝（ａ－２）²－４＋16 ＝（ａ－２）²＋12＞０ すべての実数ａに対して常にＤ＞０が成り立つため、放物線①は定数ａの値に関係なく、常にｘ軸と異なる２つの共有点をもつ。 2） ｘ²の係数が１次のとき （α－β）²＝Ｄだから （α－β）² ＝ａ²－４ａ＋16＜28 ａ²－４ａ－12＜０ （ａ－６）（ａ＋２）＜０ －２＜ａ＜６ 問題 ａ、ｂを定数とし、２次関数ｙ＝ｘ²＋ａｘ＋ｂのグラフをＦとする。Ｆについて述べた文として正しいものを正しいものを次の①～➅の中から２つ選べ。 ①　Ｆは、上に凸の放物線である。 ②　Ｆは、下に凸の放物線である。 ③　ａ²＞４ｂのとき、Ｆとｘ軸は共有点をもたない。 ④　ａ²＜４ｂのとき、Ｆとｘ軸は共有点をもたない。 ⑤　ａ²＞４ｂのとき、Ｆとｙ軸は共有点をもたない。 ➅　ａ²＜４ｂのとき、Ｆとｙ軸は共有点をもたない。 ｘ²の係数が正だから、下に凸 よって、② ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０の判別式をＤとする Ｄ＝ａ²－４ｂ Ｄ＜０のときｘ軸と共有点をもたないから ａ²－４ｂ＜０ ａ²＜４ｂ よって、④ ｙ切片は定数のｂだから、Ｆは必ずｙ軸と共有点をもつ。 したがって、 ②と④ 問題 ２次関数ｙ＝ａ（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）のグラフをＧとする。ただし、ａ、ｂ、ｃは定数であり、ａ≠０とする。 1） Ｇがｘ軸と接するための必要十分条件は、ｂ［　ア　］ｃである。 また、Ｇがｘ軸と異なる２点で交わるための必要十分条件は、ｂ［　イ　］ｃである。 2） Ｇがｙ軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、［　ウ　］＞０である。 3） ａ＝２、ｂｃ＝１、０＜ｂ＜１のとき、Ｇとｙ軸の交点をＡ、Ｇとｘ軸の交点をＢ、Ｃとする。△ＡＢＣの面積をｂを用いて表せ。 1）ア ｙ＝０、すなわち ａ（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）＝０が重解をもつから ｂ＝ｃまたはｃ＝ｂ よって、＝ 1）イ ａ（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）＝０が異なる２つの実数解をもつから ｂ＞ｃまたはｃ＞ｂ すなわち、ｂ≠ｃ よって、≠ 2） ｙ＝ａ（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）がｙ軸と交わるのは、ｘ＝０のとき よって、 ｙ＝ａ（０－ｂ）（０－ｃ） ＝ａｂｃ これが正の部分だから ａｂｃ＞０ よって、ａｂｃ 3） Ａ（０，ａｂｃ） ａ＝２、ｂｃ＝１だから ａｂｃ＝２・１＝２ Ａ（０，２）だから ＡＯ＝２ Ｂ（ｂ，０）　Ｃ（ｃ，０） ｂｃ＝１より ｃ＝１/ｂ Ｃ（１/ｂ，０） ０＜ｂ＜１だから ｂ＜１/ｂ よって、 ＢＣ＝（１/ｂ）－ｂ したがって、△ＡＢＣの面積は、 （1/2）・２｛（１/ｂ）－ｂ｝ ＝（１/ｂ）－ｂ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 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　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.7.1 ２次関数のグラフとｘ軸 👉ブログ TOP

一次関数のしくみ 一次関数は、ｙ＝ａｘ＋ｂの式で表します。ａは変化の割合といい、ｘが決まった数だけ増えると、ｙも決まった数だけ増えることを意味しています。ｂは切片といい、増え始める前のスタート時点の数のことをいいます。 問題 次のア～エのうち、ｙがｘの１次関数であるものをすべて選びなさい。 ア　ｙ＝－２ｘ イ　ｙ＝４/ｘ ウ　ｙ＝２ｘ＋５ エ　ｘｙ＝８ 関数 👉ｘの値が１つに決まるとｙの値も１つに決まる 比例 👉ｘの値が決まると、ｙ＝ａｘでｙの値が決まる １次関数 👉ｘの値が決まると、ｙ＝ａｘ＋ｂでｙの値が決まる ・どちらも決まった割合（一定の割合）で増え続ける（減り続ける） ・グラフにすると「直線」になる 比例も１次関数である（ｙ＝ａｘ＋０） 答え　ア・ウ ※イとエは反比例 問題 直方体の形をした水そうに、13Ｌの水が入っている。この水そうに、１分間に５Ｌずつ増加するように水を入れる。水を入れ始めてからｘ分後の水の量をｙＬとして、次の問いに答えなさい。 1）ｙをｘの式で表しなさい。 2）ｙはｘの１次関数であるといえますか。 1） はじめに13Ｌ入っている 👉ｙ＝ａｘ＋13 １分間に５Ｌずつ増える 👉ｘ分後には５ｘＬ増えている　ａ＝５ ｙ＝５ｘ＋13 2） ｙ＝ａｘ＋ｂで表されるから 一次関数であるといえる 問題 長さ８cmのろうそくに火をつけると、１分間に0.2cmずつ短くなった。火をつけてからｘ分後のろうそくの長さをｙcmとして、次の問いに答えなさい。 1）ｙをｘの式で表しなさい。 2）ｙはｘの１次関数であるといえますか。 1） はじめは８cmある 👉ｙ＝ａｘ＋８ １分間に0.2cmずつ短くなる 👉ｘ分後には0.2ｘcm短くなっている　ａ＝－0.2 ｙ＝－0.2ｘ＋８ 2） 一次関数であるといえる 問題 面積が８cm²の三角形の底辺をｘcm、高さをｙcmとして、次の問いに答えなさい。 1）ｙをｘの式で表しなさい。 2）ｙはｘの１次関数であるといえますか。 1） （1/2）×ｘ×ｙ＝８ ｘｙ＝16 2） ｘとｙの積が一定になるのは反比例 一次関数であるといえない 問題 280ｇのびんに、１cm³の重さが0.9ｇの油をｘcm³入れたときの全体の重さをｙｇとして、次の問いに答えなさい。 1）ｙをｘの式で表しなさい。 2）油を80cm³入れたときの全体の重さは何ｇですか。 1） はじめに280ｇある 👉ｙ＝ａｘ＋280 １cm³入れるごとに0.9ｇ増える 👉ｘcm³入れると0.9ｘｇ増えている　ａ＝0.9 ｙ＝0.9ｘ＋280 2） ｘ＝80のときだから ｙ＝0.9×80＋280＝352 よって、352ｇ 問題 60km走るのに５Ｌのガソリンを使う自動車がある。この自動車で、30Ｌのガソリンを入れて出発した。ｘkm走ったときの残りのガソリンの量をｙＬとして、次の問いに答えなさい。 1）ガソリンの量は一定の割合で使うと考えると、１km走るごとにガソリンは何Ｌ使いますか。 2）ｙをｘの式で表しなさい。 3）出発してからガソリンがなくなるまでに、何km走ることができますか。 1） はじめに30Ｌある 👉ｙ＝ａｘ＋30 60kmで５Ｌ使う 👉５÷60＝1/12で、１kmにつき1/12Ｌ使う　ａ＝－1/12 1/12Ｌ使う 2） ｙ＝（－1/12）ｘ＋30 3） ｙ＝０のときだから ０＝（－1/12）ｘ＋30 ｘ＝360 よって、360km 問題 次のア～エの中から、ｙがｘの１次関数であるものをすべて選びなさい。 ア １辺がｘcmの正三角形の周の長さｙcm イ 面積30cm²の長方形の縦の長さｘcmと横の長さｙcm ウ 底面の円の半径がｘcm、高さが５cmの円錐の体積ｙcm³ エ 水が10Ｌ入っている水そうに、毎分２Ｌの割合でｘ分間水を入れるときの水そうの水の量ｙＬ ア ｘ×３＝ｙ ｙ＝３ｘ　比例（１次関数） イ ｘｙ＝30　反比例 ウ （1/3）×πｘ²×５＝ｙ ｙ＝（5/3）πｘ²　２次関数 エ ｙ＝２ｘ＋10　１次関数 よって、ア・エ 問題 １次関数ｙ＝２ｘ＋５で、ｘの値が４から８まで増加したとき、次の問いに答えなさい。 1）ｘの増加量を求めなさい。 2）ｙの増加量を求めなさい。 3）変化の割合を求めなさい。 1） ８－４＝４ 2） ｘ＝８のとき ｙ＝２×８＋５＝21 ｘ＝４のとき ｙ＝２×４＋５＝13 よって、 21－13＝８ 3） （ｙの増加量） （ｘの増加量） で求められるから ８/４＝２ 変化の割合 👉ｙ＝ａｘ＋ｂのａの値 問題 １次関数ｙ＝－３ｘ－４について、次の問いに答えなさい。 1）変化の割合を答えなさい。 2）ｘの増加量が５のときのｙの増加量を求めなさい。 1） －３ 2） （ｘの増加量）×（変化の割合） で求められるから ５×（－３）＝－15 問題 反比例ｙ＝12/ｘで、ｘの値が次のように増加したときの変化の割合を、それぞれ求めなさい。 1）１から３まで 2）２から６まで 1） ｘの増加量　３－１＝２ ｘ＝３のとき ｙ＝12/３＝４ ｘ＝１のとき ｙ＝12/１＝12 ｙの増加量　４－12＝－８ よって、変化の割合は －８/２＝－４ 2） ｘの増加量　６－２＝４ ｘ＝６のとき ｙ＝12/６＝２ ｘ＝２のとき ｙ＝12/２＝６ ｙの増加量　２－６＝－４ よって、変化の割合は －４/４＝－１ 問題 １次関数ｙ＝－４ｘ－３で、ｘの値が－２から３まで増加したとき、次の問いに答えなさい。 1）ｘの増加量を求めなさい。 2）ｙの増加量を求めなさい。 3）変化の割合を求めなさい。 1） ３－（－２）＝５ 2） ｘ＝３のとき ｙ＝－４×３－３＝－15 ｘ＝－２のとき ｙ＝－４×（－２）－３ 　＝８－３ 　＝５ よって、ｙの増加量は －15－５＝－20 3） ｙ＝－４ｘ－３より －４ 問題 次の１次関数について、ｘの増加量が６のときのｙの増加量を求めなさい。 1）ｙ＝５ｘ－２ 2）ｙ＝－ｘ＋３ 3）ｙ＝（－3/2）ｘ＋５ 1） 変化の割合は５だから ６×５＝30 2） 変化の割合は－１だから ６×（－１）＝－６ 3） 変化の割合は－3/2だから ６×（－3/2）＝－９ 問題 ｘの値が１増加するときｙの値が３増加し、ｘ＝６のときｙ＝12となる１次関数の式を、次のア～エから１つ選びなさい。 ア　ｙ＝（1/3）ｘ＋10 イ　ｙ＝（1/3）ｘ＋２ ウ　ｙ＝３ｘ－６ エ　ｙ＝３ｘ－30 変化の割合は　3/1＝３ ｙ＝３ｘ＋ｂとする ｘ＝６、ｙ＝12を代入 12＝18＋ｂ ｂ＝－６ ｙ＝３ｘ－６となるから　ウ 問題 １次関数ｙ＝５ｘ－１で、ｘの値がａから６まで増加したときのｙの増加量は20である。このとき、ａの値を求めなさい。 グラフは右上がりの直線 ｘの増加量を（６－ａ）としたとき、 ｙの増加量は20である。※ 変化の割合は５だから ５（６－ａ）＝20 ６－ａ＝４ ａ＝２ ※ ｘの増加量を（ａ－６）としたとき、ｙの増加量は－20。 問題 下の①、②のグラフは、下のア～カのいずれかのグラフである。それぞれどの関数のグラフか答えなさい。 ア　ｙ＝３ｘ＋２ イ　ｙ＝ｘ＋５ ウ　ｙ＝ｘ＋２ エ　ｙ＝２ｘ－３ オ　ｙ＝－ｘ＋３ カ　ｙ＝－２ｘ＋３ ① ｙ＝２ｘ＋３の傾きより小さく、切片も小さい。 よって、 ウ　ｙ＝ｘ＋２ ② ｙ＝２ｘ＋３の切片と同じ ２つの直線との間に二等辺三角形ができるから 傾きは－２ よって、 カ　ｙ＝－２ｘ＋３ 問題 １次関数ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ、ｂは定数）のグラフが下の図のようになるとき、あとのア～エの式のうち、その値がいつでも正の数となるものはどれですか。 ア　ａ＋ｂ イ　ａ－ｂ ウ　ｂ－ａ エ　ａｂ 右下がりの直線だからａは負の数 切片は０より小さいからｂは負の数 負の数×負の数＝正の数だから、エ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.30 一次関数のしくみ 👉ブログ TOP

２次方程式の解と定数の範囲 文字定数を含む２次方程式では、判別式Ｄを使って、実数解または虚数解が出てくるときの定数の範囲を求めます。共通部分や和集合、補集合といった集合の考え方で解く問題もあります。 問題 ｋは定数とする。次の２つの２次方程式 ｘ²－ｋｘ＋ｋ²－３ｋ＝０　① （ｋ＋８）ｘ²－６ｘ＋ｋ＝０　② について、次の条件を満たすｋの値の範囲をそれぞれ求めよ。 1）①、②のうち、少なくとも一方が虚数解をもつ。 2）①、②のうち、一方だけが虚数解をもつ。 1） 少なくとも一方だけが虚数解 👉両方実数解の補集合 先に実数解をもつ場合を求める ｘ²－ｋｘ＋ｋ²－３ｋ＝０ Ｄ＝ｋ²－４ｋ²＋12ｋ ＝－３ｋ²＋12ｋ Ｄ≧０より －３ｋ²＋12ｋ≧０ ｋ²－４ｋ≦０ ｋ（ｋ－４）≦０ ０≦ｋ≦４　③ （ｋ＋８）ｘ²－６ｘ＋ｋ＝０ ２次方程式だから、ｋ≠－８ すなわち、ｋ＜－８、ｋ＞－８　④ Ｄ/４＝９－ｋ²－８ｋ Ｄ≧０より ９－ｋ²－８ｋ≧０ ｋ²＋８ｋ－９≦０ （ｋ＋９）（ｋ－１）≦０ －９≦ｋ≦１　⑤ ③、④、⑤の共通範囲は ０≦ｋ≦１ この補集合は　ｋ＜０、ｋ＞１ ｋ＜－８、ｋ＞－８を含むから ｋ＜－８、－８＜ｋ＜０、ｋ＞１ 2） 一方だけが虚数解 👉少なくとも一方が虚数解をもつ範囲から、両方が虚数解をもつ範囲を除く。 両方が虚数解をもつ場合を求める ①が虚数解をもつときは ｘ²－ｋｘ＋ｋ²－３ｋ＝０が Ｄ＜０のとき Ｄ＝ｋ²－４ｋ²＋12ｋ ＝－３ｋ²＋12ｋ －３ｋ²＋12ｋ＜０ ｋ（ｋ－４）＞０ ｋ＜０、ｋ＞４　➅ ②が虚数解をもつときは （ｋ＋８）ｘ²－６ｘ＋ｋ＝０が ｋ≠－８、Ｄ＜０のとき Ｄ/４＝９－ｋ²－８ｋ ９－ｋ²－８ｋ＜０ ｋ²＋８ｋ－９＞０ （ｋ＋９）（ｋ－１）＞０ ｋ＜－９、ｋ＞１ ｋ≠－８　すなわちｋ＜－８、ｋ＞－８を含むから ｋ＜－９、ｋ＞１　⑦ ➅、⑦より ｋ＜－９、ｋ＞４　⑧ 少なくとも一方が虚数解をもつのは ｋ＜－８、－８＜ｋ＜０、ｋ＞１ ｋ＜－８からｋ＜－９を除くと －９≦ｋ＜－８ ｋ＞１からｋ＞４を除くと １＜ｋ≦４ よって、 －９≦ｋ＜－８、－８＜ｋ＜０、１＜ｋ≦４ ※別解 ①が実数解、②が虚数解をもつとき ①が実数解をもつときは ③より、０≦ｋ≦４ ②が虚数解をもつときは （ｋ＋８）ｘ²－６ｘ＋ｋ＝０が ｋ≠－８、Ｄ＜０のとき Ｄ/４＝９－ｋ²－８ｋ ９－ｋ²－８ｋ＜０ ｋ²＋８ｋ－９＞０ （ｋ＋９）（ｋ－１）＞０ ｋ＜－９、ｋ＞１ ｋ≠－８　すなわちｋ＜－８、ｋ＞－８を含むから ｋ＜－９、ｋ＞１　➅ ③、➅より １＜ｋ≦４　⑦ ①が虚数解、②が実数解をもつとき ①が虚数解をもつときは ｘ²－ｋｘ＋ｋ²－３ｋ＝０が Ｄ＜０のとき Ｄ＝ｋ²－４ｋ²＋12ｋ ＝－３ｋ²＋12ｋ －３ｋ²＋12ｋ＜０ ｋ（ｋ－４）＞０ ｋ＜０、ｋ＞４　⑧ ②が実数解をもつときは （ｋ＋８）ｘ²－６ｘ＋ｋ＝０が ｋ≠－８、Ｄ≧０のとき Ｄ/４＝９－ｋ²－８ｋ ９－ｋ²－８ｋ≧０ ｋ²＋８ｋ－９≦０ （ｋ＋９）（ｋ－１）≦０ －９≦ｋ≦１ ｋ＜－８、ｋ＞－８を含むから －９≦ｋ＜－８、－８＜ｋ≦１　⑨ ⑧、⑨より －９≦ｋ＜－８、－８＜ｋ＜０　⑩ ⑦、⑩より －９≦ｋ＜－８、－８＜ｋ＜０、１＜ｋ≦４ 問題 ２次方程式ｘ²＋４ａｘ＋５－ａ＝０・・①、ｘ²＋３ｘ＋３ａ²＝０・・②について、次の条件を満たす定数ａの値の範囲を求めよ。 1）①、②がどちらも実数解をもたない。 2）①、②の一方だけが虚数解をもつ。 1） どちらも実数解をもたない 👉どちらも虚数解をもつ ①が虚数解をもつとき ｘ²＋４ａｘ＋５－ａ＝０ Ｄ/４＝４ａ²－５＋ａ Ｄ＜０より ４ａ²＋ａ－５＜０ ４　　５　　５ 　× １　－１　－４ 　　　　　＋１ （４ａ＋５）（ａ－１）＜０ －5/4＜ａ＜１　③ ②が虚数解をもつとき ｘ²＋３ｘ＋３ａ²＝０ Ｄ＝９－12ａ² Ｄ＜０より －12ａ²＋９＜０ ４ａ²－３＞０ （２ａ＋√３）（２ａ－√３）＞０ ａ＜－√3/2、ａ＞√3/2　④ －√3/2＝0.87... √3/2＝0.87... ③、④より －5/4＜ａ＜－√3/2、√3/2＜ａ＜１ 2） 一方だけが虚数解をもつ 👉①が実数解かつ②が虚数解、①が虚数解かつ②が実数解 ①が実数解かつ②が虚数解 ｘ²＋４ａｘ＋５－ａ＝０・・① ｘ²＋３ｘ＋３ａ²＝０・・② ①より Ｄ/４＝４ａ²－５＋ａ ＝４ａ²＋ａ－５≧０ （４ａ＋５）（ａ－１）≧０ ａ≦－5/4、ａ≧１　③ ②より Ｄ＝９－12ａ² ＝－12ａ²＋９＜０ ４ａ²－３＞０ （２ａ＋√３）（２ａ－√３）＞０ ａ＜－√3/2、ａ＞√3/2　④ ③、④より ａ≦－5/4、ａ≧１　⑤ ①が虚数解かつ②が実数解 ①より Ｄ＝（４ａ＋５）（ａ－１）＜０ －5/4＜ａ＜１　➅ ②より Ｄ＝－12ａ²＋９≧０ 12ａ²－９≦０ （２ａ＋√３）（２ａ－√３）≦０ －√3/2≦ａ≦√3/2　⑦ ➅、⑦より －√3/2≦ａ≦√3/2　⑧ ⑤または⑧の和集合だから ａ≦－5/4、－√3/2≦ａ≦√3/2、ａ≧１ 問題 ２つの２次方程式ｘ²＋２ａｘ＋４ａ－３＝０、５ｘ²－４ａｘ＋ａ＝０のうち、少なくとも一方の２次方程式が実数解をもたないとき、定数ａの値の範囲を求めよ。 少なくとも一方が実数解をもたない（少なくとも一方が虚数解をもつ） 👉両方実数解の補集合 ｘ²＋２ａｘ＋４ａ－３＝０　① ５ｘ²－４ａｘ＋ａ＝０　② ①より Ｄ/４＝ａ²－４ａ＋３≧０ （ａ－１）（ａ－３）≧０ ａ≦１、ａ≧３　③ ②より Ｄ/４＝４ａ²－５ａ≧０ ａ（４ａ－５）≧０ ａ≦０、ａ≧5/4　④ 両方実数解になるのは ③、④の共通部分より ａ≦０、ａ≧３ この補集合だから ０＜ａ＜３ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.30 ２次方程式の解と定数の範囲 👉ブログ TOP

文字係数の連立方程式 １学期も後半に入り、中高生はテスト対策を進めています。 係数がａやｂなどの文字になっている連立方程式では、ｘとｙの解を代入することで係数の値を求めることができます。方程式のしくみを正しくつかんでおくと、応用問題にもしっかりと対応できます。 問題 次の２組のｘ、ｙについての連立方程式が同じ解をもつとき、ａ、ｂの値を求めなさい。 ６＋２（ｘ－ｙ）＝ｘ　① ａｘ－ｂｙ＝－６　② ３ｘ－２ｙ＝２　③ ｂｘ＋２ｙ＝２　④ ①より ６＋２ｘ－２ｙ＝ｘ ｘ－２ｙ＝－６　①’ ①’－③ 　　　ｘ－２ｙ＝－６ －）３ｘ－２ｙ＝　２ 　－２ｘ　　　＝－８ 　　　　　　ｘ＝４ ①’に代入 ４－２ｙ＝－６ －２ｙ＝－10　ｙ＝５ ④にｘ＝４、ｙ＝５を代入 ４ｂ＋10＝２ ４ｂ＝－８　ｂ＝－２ ②にｘ＝４、ｙ＝５、ｂ＝－２を代入 ４ａ＋10＝－６ ４ａ＝－16　ａ＝－４ よって、 ａ＝－４、ｂ＝－２ 問題 連立方程式 ａｘ－ｂｙ＝30 ２ｂｙ－ａｘ＝－10 の解がｘ＝－５、ｙ＝４のとき、ａ、ｂの値を求めなさい。 ａｘ－ｂｙ＝30　① ２ｂｙ－ａｘ＝－10　② ①にｘ＝－５、ｙ＝４を代入 －５ａ－４ｂ＝30　③ ②にｘ＝－５、ｙ＝４を代入 ５ａ＋８ｂ＝－10　④ ③＋④ ４ｂ＝20　ｂ＝５ ④に代入 ５ａ＋40＝－10 ５ａ＝－50　ａ＝－10 よって、 ａ＝－10、ｂ＝５ 問題 連立方程式 ３ｘ－ｙ＝１ ａｘ＋ｂｙ＝19 の解がｘ＝２、ｙ＝５であり、ａ、ｂの値が１けたの自然数であるとき、考えられるａ、ｂの値の組をすべて答えなさい。 ａｘ＋ｂｙ＝19 ｘ＝２、ｙ＝５を代入 ２ａ＋５ｂ＝19 ２ａ＝19－５ｂ ｂ＝１のとき ２ａ＝19－５ ２ａ＝14　ａ＝７ ａ＝７、ｂ＝１だから問題に合う ｂ＝２のとき ２ａ＝19－10 ２ａ＝９　ａ＝9/2 ａは自然数でないから合わない ｂ＝３のとき ２ａ＝19－15 ２ａ＝４　ａ＝２ ａ＝２、ｂ＝３だから合う ｂ＝４のとき ２ａ＝19－20 ２ａ＝－１　ａ＝－1/2 ａは自然数でないから合わない また、 ｂが４以上９以下では、ａは負の数になり合わない。 よって、 ａ＝７、ｂ＝１ ａ＝２、ｂ＝３ 文章問題 問題 りんご２個となし３個を買うと840円、りんご１個となし２個を買うと510円である。りんご１個、なし１個の値段をそれぞれ求めなさい。 りんご１個をｘ円、なし１個をｙ円とする。 りんご２個で２ｘ円 なし３個で３ｙ円 合わせて840円だから ２ｘ＋３ｙ＝840　① りんご１個でｘ円 なし２個で２ｙ円 合わせて510円だから ｘ＋２ｙ＝510　② ②より ｘ＝510－２ｙ　②’ ①に代入 ２（510－２ｙ）＋３ｙ＝840 1020－４ｙ＋３ｙ＝840 ｙ＝180 ②’に代入 ｘ＝510－360＝150 よって、 りんご　150円 なし　180円 問題 ある店で、昨日は、お茶とジュースがあわせて180本売れた。今日は、昨日に比べて売れた本数が、お茶は110％、ジュースが95％になったので、あわせて183本になった。昨日売れたお茶とジュースの本数をそれぞれ求めなさい。 昨日売れた本数 お茶：ｘ本　　ジュース：ｙ本 合わせて180本だから ｘ＋ｙ＝180　① 今日売れた本数 お茶　昨日の110/100 👉ｘ×（110/100）本 ジュース　昨日の95/100 👉ｙ×（95/100）本 合わせて183本だから （110/100）ｘ＋（95/100）ｙ＝183　② ②×100 110ｘ＋95ｙ＝18300　②’ ①×110－②’ 　　110ｘ＋110ｙ＝19800 －）110ｘ＋ 95ｙ＝18300 　　　　　　15ｙ＝1500 　　　　　　　ｙ＝100 ①に代入 ｘ＋100＝180　ｘ＝80 よって、 お茶　80本 ジュース　100本 ※別解 昨日と比べて 全体で、183－180＝３本多く売れた お茶は、昨日の＋10％分だから 昨日と比べて ｘ×（＋10/100）本売れた ジュースは、昨日の－５％分だから 昨日と比べて ｙ×（－5/100）本売れた 合わせて＋３本だから （10/100）ｘ＋（－5/100）ｙ＝３ 10ｘ－５ｙ＝300 ２ｘ－ｙ＝60　② ①＋② 　　　ｘ＋ｙ＝180 ＋）２ｘ－ｙ＝60 　　３ｘ　　＝240 　　　　　　ｘ＝80 ①に代入 80＋ｙ＝180　ｙ＝100 問題 家から1400mはなれた駅へ向かった。はじめは分速50mで歩いていたが、途中から分速180mで走ると、15分で着いた。歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。 歩いた道のりｘm、走った道のりｙmとする 合わせて1400mだから ｘ＋ｙ＝1400　① ｘmを分速50mで歩くから 歩いた時間は、ｘ/50（分） ｙmを分速180mで走るから 走った時間は、ｙ/180（分） 合わせて15分だから （ｘ/50）＋（ｙ/180）＝15　② ②×900 18ｘ＋５ｙ＝13500　②’ ②’－①×５ 　　18ｘ＋５ｙ＝13500 －）５ｘ＋５ｙ＝7000 　　13ｘ　　　＝6500 　　　　　　ｘ＝500 ①に代入 500＋ｙ＝1400　ｙ＝900 よって、 歩いた道のり　500m 走った道のり　900m 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.29 文字係数の連立方程式 👉ブログ TOP

２次方程式の解 応用問題 ２次方程式の解を利用した応用問題では、解と係数の関係や判別式を用いて、方程式の中にある文字定数の値を求めます。定数の範囲を求める場合には、２次関数のグラフをもとにして考えます。 解と係数の基本 問題 ｘ²－２ｘ＋３＝０の２つの解をα、βとする。次の式の値を求めよ。 1）（α＋１）（β＋１） 2）α²＋β² 3）α³＋β³ 4） 　β　　　 α ━━━＋━━━ α－１ 　β－１ 解と係数の関係より α＋β＝２、αβ＝３ 1） （α＋１）（β＋１） ＝αβ＋（α＋β）＋１ ＝３＋２＋１ ＝６ 2） α²＋β² ＝（α＋β）²－２αβ ＝２²－２・３ ＝－２ 3） α³＋β³ ＝（α＋β）³－３αβ（α＋β） ＝２³－３・３・２ ＝－10 4） 　β　　　 α ━━━＋━━━ α－１ 　β－１ 　β（β－１）＋α（α－１） ＝━━━━━━━━━━━ 　　 （α－１）（β－１） 　　β²－β＋α²－α ＝━━━━━━━━━ 　 αβ－（α＋β）＋１ 　　α²＋β²－（α＋β） ＝━━━━━━━━━ 　 αβ－（α＋β）＋１ 　　α²＋β²－（α＋β） ＝━━━━━━━━━ 　 αβ－（α＋β）＋１ 　 －２－２ ＝━━━━━ 　３－２＋１ ＝－２ 問題 ２ｘ²＋８ｘ－３＝０の２つの解をα、βとする。次の式の値を求めよ。 1）α²β＋αβ² 2）２（３－α）（３－β） 3）α³＋β³ 4）α⁴＋β⁴ 5） １　１ ━＋━ α　 β 6） β　 α ━＋━ α　 β 解と係数の関係より α＋β＝－４、αβ＝－3/2 1） α²β＋αβ² ＝αβ（α＋β） ＝（－3/2）・（－４） ＝６ 2） ２（３－α）（３－β） ＝２｛９－３（α＋β）＋αβ｝ ＝２｛９－３・（－４）＋（－3/2）｝ ＝２｛21－（3/2）｝ ＝２・（39/2） ＝39 3） α³＋β³ ＝（α＋β）³－３αβ（α＋β） ＝（－４）³－３（－3/2）（－４） ＝－64－18 ＝－82 4） α⁴＋β⁴ ＝（α²）²＋（β²）² ＝（α²＋β²）²－２（αβ）² ＝｛（α＋β）²－２αβ｝²－２（αβ）² ＝｛（－４）²－２・（－3/2）｝²－２・（－3/2）² ＝（16＋３）²－（9/2） ＝361－（9/2） ＝（722－9）/2 ＝713/2 5） １　１ ━＋━ α　 β 　α＋β ＝━━━ 　 αβ ＝－４÷（－3/2） ＝４×（2/3） ＝8/3 6） β　 α ━＋━ α　 β 　α²＋β² ＝━━━ 　 αβ 　（α＋β）²－２αβ ＝━━━━━━━━ 　 　　 αβ ＝｛（－４）²－２（－3/2）｝÷（－3/2） ＝（16＋３）×（－2/3） ＝－38/3 解と係数の応用 問題 ２次方程式２ｘ²＋４ｘ＋３＝０の２つの解をα、βとする。次の式の値を求めよ。 1）（α－１）（β－１） 2）（α－１）⁴＋（β－１）⁴ 1） 解と係数の関係より α＋β＝－２、αβ＝3/2 （α－１）（β－１） ＝αβ－（α＋β）＋１ ＝（3/2）－（－２）＋１ ＝（３＋４＋２）/２ ＝９/２ 2） （α－１）⁴＋（β－１）⁴ ＝Ａ⁴＋Ｂ⁴ ＝（Ａ²）²＋（Ｂ²）² ＝（Ａ²＋Ｂ²）²－２（ＡＢ）² ＝｛（Ａ＋Ｂ）²－２ＡＢ｝²－２（ＡＢ）² Ａ＋Ｂ ＝（α－１）＋（β－１） ＝α＋β－２ ＝－２－２ ＝－４ よって、 ｛（－４）²－２・（9/2）｝²－２・（9/2）² ＝（16－９）²－（81/2） ＝49－（81/2） ＝（98－81）/2 ＝17/2 問題 ２次方程式ｘ²－３ｘ＋７＝０の２つの解をα、βとする。次の式の値を求めよ。 1）（２－α）（２－β） 2）（α－２）³＋（β－２）³ 1） 解と係数の関係より α＋β＝３、αβ＝７ （２－α）（２－β） ＝４－２（α＋β）＋αβ ＝４－２・３＋７ ＝５ 2） （α－２）³＋（β－２）³ ＝Ａ³＋Ｂ³ ＝（Ａ＋Ｂ）³－３ＡＢ（Ａ＋Ｂ） （２－α）（２－β） ＝｛－（α－２）｝｛－（β－２）｝ ＝（α－２）（β－２） ＝５＝ＡＢ （α－２）＋（β－２） ＝α＋β－４ ＝３－４ ＝－１＝Ａ＋Ｂ （Ａ＋Ｂ）³－３ＡＢ（Ａ＋Ｂ） ＝（－１）³－３・５・（－１） ＝－１＋15 ＝14 問題 ２次方程式ｘ²－６ｘ＋ｋ＝０について、次の条件を満たすように、定数ｋの値を定めよ。 1）１つの解が他の解の２倍 2）１つの解が他の解の２乗 1） ２つの解をα、２αとする 解と係数の関係より α＋２α＝３α＝６ α＝２ よって、 ｘ²－６ｘ＋ｋ＝（ｘ－２）（ｘ－４） ｘ²－６ｘ＋ｋ＝ｘ²－６ｘ＋８ したがって、 ｋ＝８ 2） ２つの解をα、α²とする 解と係数の関係より α・α²＝α³＝ｋ ｘ＝αを代入 α²－６α＋α³＝０ α（α²＋α－６）＝０ α≠０だから α²＋α－６＝０ （α＋３）（α－２）＝０ α＝－３，２ ｋ＝α³より α＝－３のとき ｋ＝－27 α＝２のとき ｋ＝８ よって、 ｋ＝－27、８ ２次方程式の作成 問題 次の２数を解とする２次方程式を１つ作れ。 1）３，－５ 2）２＋√５，２－√５ 3）３＋４ｉ，３－４ｉ 1） ｘ＝３、－５だから （ｘ－３）（ｘ＋５）＝０ ｘ²＋２ｘ－15＝０ 2） ｘ＝２＋√５より ｘ－２＝√５ 両辺を２乗して ｘ²－４ｘ＋４＝５ ｘ²－４ｘ－１＝０ 3） ｘ＝３＋４ｉより ｘ－３＝４ｉ 両辺を２乗して ｘ²－６ｘ＋９＝16ｉ² ｘ²－６ｘ＋25＝０ 問題 和と積が次のようになる２数を求めよ。 1）和が７、積が３ 2）和が－１、積が１ 1） ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０とする 和が７だから －ａ＝７　ａ＝－７ 積が３だから ｂ＝３ よって、 ｘ²－７ｘ＋３＝０ ｘ＝（７±√37）/２ したがって、 （７＋√37）/２ （７－√37）/２ 2） ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０とする 和が－１だから －ａ＝－１　ａ＝１ 積が１だから ｂ＝１ よって、 ｘ²＋ｘ＋１＝０ ｘ＝（－１±√３ｉ）/２ したがって、 （－１＋√３ｉ）/２ （－１－√３ｉ）/２ 問題 ２次方程式ｘ²－２ｘ＋３＝０の２つの解をα、βとするとき、α＋（1/β）、β＋（1/α）を解とする２次方程式を１つ作れ。 解と係数の関係より α＋β＝２、αβ＝３ ｛α＋（1/β）｝＋｛β＋（1/α）｝ ＝α＋β＋｛（α＋β）/αβ｝ ＝２＋（2/3） ＝8/3 ｛α＋（1/β）｝｛β＋（1/α）｝ ＝αβ＋１＋１＋（1/αβ） ＝３＋２＋（1/3） ＝16/3 よって、 ｘ²－（8/3）ｘ＋（16/3）＝０ ３ｘ²－８ｘ＋16＝０ 問題 ２次方程式２ｘ²－４ｘ＋１＝０の２つの解をα、βとするとき、α－（１/α）、β－（１/β）を解とする２次方程式を１つ作れ。 解と係数の関係より α＋β＝２、αβ＝1/2 ｛α－（１/α）｝＋｛β－（１/β）｝ ＝α＋β－｛（α＋β）/αβ｝ ＝２－｛２÷（1/2）｝ ＝２－４ ＝－２ ｛α－（１/α）｝｛β－（１/β）｝ ＝αβ－（α/β）－（β/α）＋（1/αβ） ＝αβ－｛（α²＋β²）/αβ｝＋（1/αβ） α²＋β² ＝（α＋β）²－２αβ ＝２²－２・（1/2） ＝３ αβ－｛（α²＋β²）/αβ｝＋（1/αβ） ＝（1/2）－｛３÷（1/2）｝＋１÷（1/2） ＝（1/2）－６＋２ ＝（－11/2）＋（4/2） ＝－7/2 よって、 ｘ²＋２ｘ－（7/2）＝０ ２ｘ²＋４ｘ－７＝０ 実数解の符号 問題 ２次方程式ｘ²－（ａ－10）ｘ＋ａ＋14＝０が次のような解をもつように、定数ａの値の範囲を定めよ。 1）異なる２つの正の解 2）異符号の解 1） 判別式をＤとする Ｄ＝（ａ－10）²－４ａ－56 ＝ａ²－20ａ＋100－４ａ－56 ＝ａ²－24ａ＋44 異なる２つの実数解をもつからＤ＞０ ａ²－24ａ＋44＞０ （ａ－２）（ａ－22）＞０ ａ＜２、ａ＞22　① ２つの解をα、βとする 解と係数の関係より α＋β＝ａ－10 α＋β＞０だから ａ－10＞０ ａ＞10　② αβ＝ａ＋14 αβ＞０だから ａ＋14＞０ ａ＞－14　③ ①、②、③より ａ＞22 2） αβ＜０だから ａ＋14＜０ ａ＜－14 👉ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の積は、ｃ/ａ ｃ/ａ＝αβ＜０で、解の公式の√（ｂ²－４ａｃ）は正になる。 必ずＤ＞０になるから、判別式の検証は不要。 解が異符号👉ともに必ず実数解 ※放物線のｘ軸との共有点が必ず１つずつある 問題 ２次方程式ｘ²－２（ｋ＋１）ｘ＋２（ｋ²＋３ｋ－10）＝０の解が次の条件を満たすような定数ｋの値の範囲を求めよ。 1）異符号の解をもつ 2）正でない実数解のみをもつ 1） 解の積は０より小さく、実数解となるから 解と係数の関係より ２（ｋ²＋３ｋ－10）＜０ （ｋ＋５）（ｋ－２）＜０ －５＜ｋ＜２ 2） ０または負の解 かつ 重解を含む実数解をもつ 👉共通範囲を求める ０または負の解をもつとき 解の和は０以下だから 解と係数の関係より ２（ｋ＋１）≦０ ｋ≦－１　① 解の積は０以上だから ２（ｋ²＋３ｋ－10）≧０ （ｋ＋５）（ｋ－２）≧０ ｋ≦－５、ｋ≧２　② 重解を含む実数解をもつとき 判別式をＤとする Ｄ/４＝（ｋ＋１）²－２（ｋ²＋３ｋ－10） ＝ｋ²＋２ｋ＋１－２ｋ²－６ｋ＋20 ＝－ｋ²－４ｋ＋21 Ｄ≧０より －ｋ²－４ｋ＋21≧０ ｋ²＋４ｋ－21≦０ （ｋ＋７）（ｋ－３）≦０ －７≦ｋ≦３　③ ①、②、③より －７≦ｋ≦－５ 解の範囲 問題 ２次方程式ｘ²－２ｐｘ＋ｐ＋２＝０が次の条件を満たす解をもつように、定数ｐの値の範囲を定めよ。 1）２つの解がともに１より大きい。 2）１つの解は３より大きく、他の解は３より小さい。 1） ｘ²－２ｐｘ＋ｐ＋２＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝ｐ²－ｐ－２ 重解を含む実数解をもつから Ｄ≧０より ｐ²－ｐ－２≧０ （ｐ－２）（ｐ＋１）≧０ ｐ≦－１、ｐ≧２　① ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ｐｘ＋ｐ＋２とする ｆ（ｘ） ＝（ｘ－ｐ）²－ｐ²＋ｐ＋２ 下に凸、軸ｘ＝ｐ 軸が１より大きいときだから ｐ＞１　② ｘ＝１のとき、ｙ座標は正だから ｆ（１）＞０ １－２ｐ＋ｐ＋２＞０ －ｐ＞－３ ｐ＜３　③ ①、②、③より ２≦ｐ＜３ 2） ｆ（ｘ）は下に凸 ｘ＝３のとき、ｙ座標は負だから ｆ（３）＜０ ９－６ｐ＋ｐ＋２＜０ －５ｐ＜－11 ｐ＞11/5 問題 ２次方程式ｘ²－２（ａ－４）ｘ＋２ａ＝０が次の条件を満たす解をもつように、定数ａの値の範囲を定めよ。 1）２つの解がともに２より大きい。 2）２つの解がともに２より小さい。 3）１つの解が４より大きく、他の解は４より小さい。 1） ｘ²－２（ａ－４）ｘ＋２ａ＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝（ａ－４）²－２ａ ＝ａ²－８ａ＋16－２ａ ＝ａ²－10ａ＋16 重解を含む実数解をもつから Ｄ≧０より ａ²－10ａ＋16≧０ （ａ－２）（ａ－８）≧０ ａ≦２、ａ≧８　① ｆ（ｘ）＝ｘ²－２（ａ－４）ｘ＋２ａとする ｆ（ｘ） ＝｛ｘ－（ａ－４）｝²－（ａ－４）²＋２ａ 下に凸、軸ｘ＝ａ－４ 軸が２より大きいときだから ａ－４＞２ ａ＞６　② ｘ＝２のとき、ｙ座標は正だから ｆ（２）＞０ ｆ（２） ＝４－４ａ＋16＋２ａ ＝－２ａ＋20＞０ ａ＜10　③ ①、②、③より ８≦ａ＜10 2） 重解を含む実数解をもつから ａ≦２、ａ≧８　① 軸が２より小さいときだから ａ－４＜２ ａ＜６　④ ｘ＝２のとき、ｙ座標は正だから ａ＜10　③ ①、③、④より ａ≦２ 3） ｆ（ｘ）は下に凸 ｘ＝４のとき、ｙ座標は負だから ｆ（４）＜０ ｆ（４） ＝16－８ａ＋32＋２ａ ＝－６ａ＋48＜０ ａ＞８ 整数解をすべて求める 問題 ２次方程式ｘ²－ｍｘ＋３ｍ＝０が整数解のみをもつような定数ｍの値とそのときの整数の解をすべて求めよ。 ２つの整数解をα、β（α≦β）とする 解と係数の関係より α＋β＝ｍ、αβ＝３ｍ αβは（α＋β）の３倍だから αβ＝３（α＋β） よって、 αβ＝３α＋３β αβ－３α－３β＝０ α（β－３）－３（β－３）－９＝０ （α－３）（β－３）＝９ α－３、β－３は整数 α≦βより、α－３≦β－３だから α－３＝－９、β－３＝－１ α＝－６、β＝２　① α－３＝－３、β－３＝－３ α＝０、β＝０　② α－３＝３、β－３＝３ α＝６、β＝６　③ α－３＝１、β－３＝９ α＝４、β＝12　④ α＋β＝ｍより ①のとき －６＋２＝ｍ　ｍ＝－４ ②のとき ０＋０＝ｍ　ｍ＝０ ③のとき ６＋６＝ｍ　ｍ＝12 ④のとき ４＋12＝ｍ　ｍ＝16 したがって、 ｍ＝－４のとき、ｘ＝－６，２ ｍ＝０のとき、ｘ＝０ ｍ＝12のとき、ｘ＝６ ｍ＝16のとき、ｘ＝４，12 問題 ２次方程式ｘ²－（ｋ＋６）ｘ＋６＝０の解がすべて整数となるような定数ｋの値とそのときの整数解をすべて求めよ。 ２つの整数解をα、β（α≦β）とする 解と係数の関係より α＋β＝ｋ＋６、αβ＝６ 解の積が６だから α＝－６、β＝－１　① α＝－３、β＝－２　② α＝２、β＝３　③ α＝１、β＝６　④ ①のとき －６－１＝ｋ＋６　ｋ＝－13 ②のとき －３－２＝ｋ＋６　ｋ＝－11 ③のとき ２＋３＝ｋ＋６　ｋ＝－１ ④のとき １＋６＝ｋ＋６　ｋ＝１ よって、 ｋ＝－13のとき、ｘ＝－６，－１ ｋ＝－11のとき、ｘ＝－３，－２ ｋ＝－１のとき、ｘ＝２，３ ｋ＝１のとき、ｘ＝１，６ 問題 ｐを正の定数とする。ｘ²＋ｐｘ＋２ｐ＝０の２つの解α、βがともに整数となるとき、組（α、β、ｐ）をすべて求めよ。 ２つの整数解をα、βとする 解と係数の関係より α＋β＝－ｐ、αβ＝２ｐ αβは（α＋β）の－２倍だから αβ＝－２（α＋β） αβ＋２α＋２β＝０ α（β＋２）＋２（β＋２）－４＝０ （α＋２）（β＋２）＝４ ｐ＞０だから α＋β＜０、αβ＞０ よって、α＜０、β＜０だから α＋２＜２、β＋２＜２ α＋２、β＋２ともに整数だから （α＋２）（β＋２）＝４ －４×（－１） －２×（－２） －１×（－４） α＋２＝－４、β＋２＝－１ 👉α＝－６、β＝－３ α＋２＝－２、β＋２＝－２ 👉α＝－４、β＝－４ α＋２＝－１、β＋２＝－４ 👉α＝－３、β＝－６ ｐ＝－（α＋β）より α＝－６、β＝－３またはα＝－３、β＝－６のとき ｐ＝－（－９）＝９ α＝－４、β＝－４のとき ｐ＝－（－８）＝８ よって、（α、β、ｐ）は （－６，－３，９） （－３，－６，９） （－４，－４，８） 実戦テスト 問題 ａは実数とし、ｘに関する２次方程式ｘ²＋ａｘ＋（ａ－１）²＝０は異なる２つの実数解をもつ。２つの解の差が整数であるとき、ａの値を求めよ。 ｘ²＋ａｘ＋（ａ－１）²＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝ａ²－４（ａ－１）² ＝ａ²－４ａ²＋８ａ－４ ＝－３ａ²＋８ａ－４ Ｄ＞０より －３ａ²＋８ａ－４＞０ ３ａ²－８ａ＋４＜０ ３　－２　－２ 　× １　－２　－６ 　　　　　－８ （３ａ－２）（ａ－２）＜０ 2/3＜ａ＜２　① 解の差は ｛（－ａ＋√Ｄ）/２｝－｛（－ａ－√Ｄ）/２｝ ＝２√Ｄ/２ ＝√Ｄ よって、Ｄが平方数になるとき Ｄ＝－３ａ²＋８ａ－４ ＝－３｛（ａ²－（8/3）ａ｝－４ ＝－３［｛ａ－（4/3）｝²－（16/9）］－４ ＝－３｛ａ－（4/3）｝²＋（4/3） 上に凸、頂点（4/3、4/3） ①より、最大値は4/3 ０＜Ｄ≦4/3だから 満たすＤの値は、１ よって、 －３ａ²＋８ａ－４＝１ ３ａ²－８ａ＋５＝０ ３　－５　－５ 　× １　－１　－３ 　　　　　－８ （３ａ－５）（ａ－１）＝０ ａ＝5/3、１ ※検算 ａ＝5/3のとき ｘ²＋ａｘ＋（ａ－１）²＝０ ｘ²＋（5/3）ｘ＋（4/9）＝０ ９ｘ²＋15ｘ＋４＝０ （３ｘ＋４）（３ｘ＋１）＝０ ｘ＝4/3、1/3 解の差は （4/3）－（1/3）＝１ （1/3）－（4/3）＝－１ ａ＝１のとき ｘ²＋ｘ＝０ ｘ（ｘ＋１）＝０ ｘ＝０、１ 解の差は ０－１＝－１ １－０＝１ 問題 実数の定数ｐに対し、２次方程式ｘ²＋ｐｘ＋ｐ²＋ｐ－１＝０が異なる２つの実数解α、βをもつとき、ｔ＝（α＋１）（β＋１）のとりうる値の範囲を求めよ。 ｘ²＋ｐｘ＋ｐ²＋ｐ－１＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝ｐ²－４ｐ²－４ｐ＋４ ＝－３ｐ²－４ｐ＋４ Ｄ＞０より －３ｐ²－４ｐ＋４＞０ ３ｐ²＋４ｐ－４＜０ ３　－２　－２ 　× １　　２　　６ 　　　　　＋４ （３ｐ－２）（ｐ＋２）＜０ －２＜ｐ＜2/3　① 解と係数の関係より α＋β＝－ｐ αβ＝ｐ²＋ｐ－１ （α＋１）（β＋１） ＝αβ＋（α＋β）＋１ ＝－ｐ＋ｐ²＋ｐ－１＋１ ＝ｐ²＝ｔ ｔ＝ｐ² 放物線は下に凸、頂点（０，０） ①より ｔの最小値は０ ｔの最大値はｐ＝－２のとき（－２は含まない） ｐ＝－２のとき ｔ＝（－２）²＝４ よって、 ０≦ｔ＜４ 問題 ｘについての２次方程式ｘ²－２（cosθ）ｘ－sin²θ＝０の２つの解のうち、一方の解が他方の解の－３倍であるθの値をすべて求めよ。ただし、０°≦θ≦180°とする。 ２つの解をα、－３αとする 解と係数の関係より α－３α ＝－２α＝２cosθ α＝－cosθ 両辺を２乗して α²＝cos²θ α・（－３α） ＝－３α²＝－sin²θ ３α²＝sin²θ sin²θ＋cos²θ＝１より ３α²＋α²＝１ α²＝1/4 α＝±1/2 α＝－cosθより －cosθ＝±1/2 よって、 cosθ＝±1/2 ０°≦θ≦180°だから θ＝60°、120° 問題 ａ、ｂを実数とする。２次関数ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ａｘ＋ｂについて、次の問いに答えよ。 1）実数α、βがｆ（α）＝β、ｆ（β）＝α、α≠βを満たすとき、α＋βとαβをａ、ｂを用いて表せ。 2）ｆ（α）＝β、ｆ（β）＝α、α≠βを満たす実数α、βが存在するための、ａ、ｂについての条件を求めよ。 1） ｆ（α） ＝α²＋ａα＋ｂ＝β ｆ（β） ＝β²＋ａβ＋ｂ＝α β－α ＝（α²＋ａα＋ｂ）－（β²＋ａβ＋ｂ） ＝α²－β²＋ａ（α－β） ＝（α＋β）（α－β）＋ａ（α－β） ＝（α＋β＋ａ）（α－β） よって、 （α＋β＋ａ）（α－β）＝－（α－β） α≠βより、両辺を（α－β）で割ると α＋β＋ａ＝－１ α＋β＝－ａ－１ β＋α ＝（α²＋ａα＋ｂ）＋（β²＋ａβ＋ｂ） ＝α²＋β²＋ａ（α＋β）＋２ｂ ＝（α＋β）²－２αβ＋ａ（α＋β）＋２ｂ よって、 （α＋β）²－２αβ＋ａ（α＋β）＋２ｂ＝α＋β α＋β ＝－ａ－１ ＝－（ａ＋１）を代入 （ａ＋１）²－２αβ－ａ（ａ＋１）＋２ｂ＝－（ａ＋１） ２αβ＝（ａ＋１）²－ａ（ａ＋１）＋（ａ＋１）＋２ｂ ２αβ＝ａ²＋２ａ＋１－ａ²－ａ＋ａ＋１＋２ｂ ２αβ＝２ａ＋２ｂ＋２ αβ＝ａ＋ｂ＋１ 2） αとβは異なる実数だから （ｘ－α）（ｘ－β）＝０とする ｘ²－（α＋β）ｘ＋αβ＝０ α＋β＝－（ａ＋１） αβ＝ａ＋ｂ＋１　だから ｘ²＋（ａ＋１）ｘ＋ａ＋ｂ＋１＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝（ａ＋１）²－４（ａ＋ｂ＋１） ＝ａ²＋２ａ＋１－４ａ－４ｂ－４ ＝ａ²－２ａ－４ｂ－３ 異なる２つの実数解をもつから Ｄ＞０より ａ²－２ａ－４ｂ－３＞０ 問題 ２次方程式ｘ²＋ａｘ＋ａ＝０が次の条件を満たす解をもつように、定数ａの値の範囲を定めよ。 1）２つの解がともに２以下である。 2）１つの解がａより大きく、他の解はａより小さい。 1） ｘ²＋ａｘ＋ａ＝０ 判別式をＤとする Ｄ＝ａ²－４ａ 重解を含む実数解をもつから Ｄ≧０より ａ²－４ａ≧０ ａ（ａ－４）≧０ ａ≦０、ａ≧４　① ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ａｘ＋ａとする ｆ（ｘ） ＝｛ｘ＋（1/2）ａ｝²－（1/4）ａ²＋ａ 下に凸、軸ｘ＝（－1/2）ａ 軸が２以下だから （－1/2）ａ≦２ ａ≧－４　② ｘ＝２のとき、ｙ座標は０または正だから ｆ（２）≧０ ｆ（２） ＝４＋２ａ＋ａ ＝４＋３ａ≧０ ａ≧－4/3　③ ①、②、③より －4/3≦ａ≦０、ａ≧４ 2） ２つの解の間にａがあるから ｘ＝ａのとき、ｆ（ｘ）＜０ ｆ（ａ）＝ａ²＋ａ²＋ａ ＝２ａ²＋ａ ＝ａ（２ａ＋１）＜０ よって、 －1/2＜ａ＜０ 問題 ａ、ｂが素数であって、ｘの２次方程式３ｘ²－12ａｘ＋ａｂ＝０が２つの整数解をもつとき、ａ、ｂの値とその整数解を求めよ。 ２つの整数解をα、β（α≦β）とする 解と係数の関係より α＋β＝－（－12ａ/3）＝４ａ αβ＝ａｂ/３ αとβは整数だから、ａｂ/３のａｂは３の倍数 よって、 ａ、ｂは素数だから、一方が３になる ａ＝３のとき、 α＋β＝４ａ＝12 ０＋12 １＋11 ２＋10 ３＋９ ４＋８ ５＋７ ６＋６ αβ＝３ｂ/３＝ｂ ０×12＝０ １×11＝11 ２×10＝20 ３×９＝27 ４×８＝32 ５×７＝35 ６×６＝36 このうち、ｂが素数になるのは積が11のとき よって、 ａ＝３、ｂ＝11 方程式に代入して ３ｘ²－36ｘ＋33＝０ ｘ²－12ｘ＋11＝０ （ｘ－１）（ｘ－11）＝０ ｘ＝１，11 ｂ＝３のとき αβ＝３ａ/３＝ａ 積が素数ａになる組み合わせは （α、β）＝（１，ａ） α＋β＝４ａだから １＋ａ＝４ａ ａ＝1/3で不適 したがって、 ａ＝３、ｂ＝11 ｘ＝１，11 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.29 ２次方程式の解 応用問題 👉ブログ TOP

連立方程式 定期テスト対策 連立方程式は２つの文字について解を出すため、一元方程式よりも処理作業が多くなります。そのため、「どうやったら一番楽に処理できるか」について工夫できると処理速度がぐっと上がります。 定期テストは限られた時間での勝負になるため、日ごろから「効率」を意識した計算練習も必要になります。この積み重ねが方程式に対する深い理解につながっていきます。 計算問題 加減法を使わない（筆算しない）手順で解説しています 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ｙ＝－４ｘ＋１ ２ｘ＋ｙ＝－３ 2） ３ｘ－５ｙ＝－３ ｘ＝ｙ－３ 3） ２ｘ－５ｙ＝９ ｙ＝７－４ｘ 1） ｙ＝－４ｘ＋１　① ２ｘ＋ｙ＝－３　② ①を②に代入 ２ｘ－４ｘ＋１＝－３ －２ｘ＝－４　ｘ＝２ ①に代入 ｙ＝－８＋１＝－７ よって、 ｘ＝２、ｙ＝－７ 2） ３ｘ－５ｙ＝－３　① ｘ＝ｙ－３　② ②を①に代入 ３ｙ－９－５ｙ＝－３ －２ｙ＝６　ｙ＝－３ ②に代入 ｘ＝－３－３＝－６ よって、 ｘ＝－６、ｙ＝－３ 3） ２ｘ－５ｙ＝９　① ｙ＝７－４ｘ　② ②を①に代入 ２ｘ－35＋20ｘ＝９ 22ｘ＝44　ｘ＝２ ②に代入 ｙ＝７－８＝－１ よって、 ｘ＝２、ｙ＝－１ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ３ｘ＋２ｙ＝－８ ｙ＝２ｘ＋10 2） ２ｘ－５ｙ＝７ ２ｘ＝３ｙ＋１ 3） ２ｘ－３ｙ＝４ ３ｘ－５ｙ＝６ 1） ３ｘ＋２ｙ＝－８　① ｙ＝２ｘ＋10　② ②を①に代入 ３ｘ＋４ｘ＋20＝－８ ７ｘ＝－28　ｘ＝－４ ②に代入 ｙ＝－８＋10＝２ よって、 ｘ＝－４、ｙ＝２ 2） ２ｘ－５ｙ＝７　① ２ｘ＝３ｙ＋１　② ②を①に代入 ３ｙ＋１－５ｙ＝７ －２ｙ＝６　ｙ＝－３ ②に代入 ２ｘ＝－９＋１ ２ｘ＝－８　ｘ＝－４ よって、 ｘ＝－４、ｙ＝－３ 3） ２ｘ－３ｙ＝４　① ３ｘ－５ｙ＝６　② ①×３ ６ｘ＝９ｙ＋12　①’ ②×２ ６ｘ＝10ｙ＋12　②’ ①’＝②’で定数が０になるから ｙ＝０ ①’に代入 ６ｘ＝12　ｘ＝２ よって、 ｘ＝２、ｙ＝０ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ｘ－２（ｙ－１）＝９ ３ｘ＋２ｙ＝５ 2） ４ｘ－５ｙ＝４ １　　１ ━ｘ＋━ｙ＝３ ３　　４ 3） ２　　１ ━ｘ＋━ｙ＝０ ９　　６ ２ｘ－３ｙ＝－18 1） ｘ－２（ｙ－１）＝９　① ３ｘ＋２ｙ＝５　② ①より ｘ－２ｙ＋２＝９ ２ｙ＝ｘ－７　①’ ②より ２ｙ＝５－３ｘ　②’ ①’＝②’ ｘ－７＝５－３ｘ ４ｘ＝12　ｘ＝３ ①’に代入 ２ｙ＝３－７ ２ｙ＝－４　ｙ＝－２ よって、 ｘ＝３、ｙ＝－２ 2） ４ｘ－５ｙ＝４　① １　　１ ━ｘ＋━ｙ＝３　② ３　　４ ②×12 ４ｘ＋３ｙ＝36 ４ｘ＝36－３ｙ　②’ ①より ４ｘ＝４＋５ｙ　①’ ①’＝②’ ４＋５ｙ＝36－３ｙ ８ｙ＝32　ｙ＝４ ①’に代入 ４ｘ＝４＋20 ４ｘ＝24　ｘ＝６ よって、 ｘ＝６、ｙ＝４ 3） ２　　１ ━ｘ＋━ｙ＝０　① ９　　６ ２ｘ－３ｙ＝－18　② ①×18 ４ｘ＋３ｙ＝０ －３ｙ＝４ｘ　①’ ②より －３ｙ＝－18－２ｘ　②’ ①’＝②’ ４ｘ＝－18－２ｘ ６ｘ＝－18　ｘ＝－３ ①’に代入 －３ｙ＝－12　ｙ＝４ よって、 ｘ＝－３、ｙ＝４ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ｘ＋ｙ　ｘ ━━━－━＝１ 　２　　３ ｘ＋２ｙ＝２ 2） ２ｘ＋ｙ＝－２ｘ＋５ｙ＝12 3） ｘ－２ｙ＝－４ｘ－ｙ＋１＝－２ｘ－３ｙ－１ 1） ｘ＋ｙ　ｘ ━━━－━＝１　① 　２　　３ ｘ＋２ｙ＝２　② ①×６ ３ｘ＋３ｙ－２ｘ＝６ ｘ＝６－３ｙ　①’ ②より ｘ＝２－２ｙ　②’ ②’＝①’ ２－２ｙ＝６－３ｙ ｙ＝４ ②’に代入 ｘ＝２－８＝－６ よって、 ｘ＝－６、ｙ＝４ 2） ２ｘ＋ｙ＝－２ｘ＋５ｙ＝12 ２ｘ＋ｙ＝12　① －２ｘ＋５ｙ＝12　② ①より ２ｘ＝12－ｙ　①’ ②より ２ｘ＝５ｙ－12　②’ ②’＝①’ ５ｙ－12＝12－ｙ ６ｙ＝24　ｙ＝４ ①’に代入 ２ｘ＝12－４ ２ｘ＝８　ｘ＝４ よって、 ｘ＝４、ｙ＝４ 3） ｘ－２ｙ＝－４ｘ－ｙ＋１＝－２ｘ－３ｙ－１ ｘ－２ｙ＝－４ｘ－ｙ＋１　① ｘ－２ｙ＝－２ｘ－３ｙ－１　② ①より ５ｘ－１＝ｙ　①’ ②より ｙ＝－３ｘ－１　②’ ①’＝②’で定数が０になるから ｘ＝０ ②’に代入 ｙ＝－１ よって、 ｘ＝０、ｙ＝－１ 文章問題 問題 家から1400m離れた公園に行った。はじめは分速60mで歩き、途中から分速130mで走ったところ、公園に着くまでに14分かかった。歩いた時間と走った時間をそれぞれ求めなさい。 歩いた時間をｘ分、走った時間をｙ分とする。 合わせて14分だから ｘ＋ｙ＝14　① 分速60mでｘ分歩くから 進む道のりは 60×ｘ＝60ｘ（m） 分速130mでｙ分歩くから 進む道のりは 130×ｙ＝130ｙ（m） 合わせて1400mだから 60ｘ＋130ｙ＝1400　② ②÷10 ６ｘ＋13ｙ＝140 ６ｘ＝140－13ｙ　②’ ①×６ ６ｘ＝84－６ｙ　①’ ①’＝②’ 84－６ｙ＝140－13ｙ ７ｙ＝56　ｙ＝８ ①に代入 ｘ＋８＝14　ｘ＝６ よって、 歩いた時間　６分 走った時間　８分 問題 ある中学校の昨年度の生徒数は180人だった。今年度は、男子が５％増え、女子が３％減ったため、全体では昨年度より１人増えた。今年度の男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。 昨年度の男子をｘ人、女子をｙ人とする。 合わせて180人だから ｘ＋ｙ＝180　① 今年度はｘ人の５％分増えたから 男子の増えた分の人数は ｘ×（5/100）人 女子の減った分の人数は ｙ×（－3/100）人 合わせて＋１人だから （5/100）ｘ－（3/100）ｙ＝１　② ②×100 ５ｘ－３ｙ＝100 ３ｙ＝５ｘ－100　②’ ①×３ ３ｘ＋３ｙ＝540 ３ｙ＝540－３ｘ　①’ ②’＝①’ ５ｘ－100＝540－３ｘ ８ｘ＝640　ｘ＝80 ①に代入 80＋ｙ＝180　ｙ＝100 昨年度の男子は80人だから （5/100）×80＝４ ４人増えたから、今年度は84人 昨年度の女子は100人だから （－3/100）×100＝－３ ３人減ったから、今年度は97人 よって、 男子　84人 女子　97人 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.28 連立方程式 定期テスト対策 👉ブログ TOP

２次方程式の解と係数 ２次方程式には解が２つ出てきます。２つの解には、ｘの係数や定数項との間に決まった法則があり、ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の場合、解の和が－ｂ/ａ、解の積がｃ/ａになります。 問題 次の２次方程式について、２つの解の和と積を求めよ。 1）ｘ²＋３ｘ＋２＝０ 2）２ｘ²－５ｘ＋６＝０ 3）４ｘ²＋３ｘ－９＝０ 1） ｘ²＋３ｘ＋２＝０ 和　－3/1＝－３ 積　2/1＝２ 2） ２ｘ²－５ｘ＋６＝０ 和　－（－5/2）＝5/2 積　6/2＝３ 3） ４ｘ²＋３ｘ－９＝０ 和　－3/4 積　－9/4 問題 ２次方程式ｘ²－２ｘ＋３＝０の２つの解をα、βとするとき、次の式の値を求めよ。 1）α²＋β² 2）（α－β）² 3）α²β＋αβ² 4）α³＋β³ 5）（α＋１）（β＋１） 6） β　 α ━＋━ α　 β 1） α＋β＝２、αβ＝３ α²＋β² ＝（α＋β）²－２αβ ＝２²－２・３ ＝－２ 2） （α－β）² ＝α²－２αβ＋β² ＝α²＋β²－２αβ α²＋β²＝－２より ＝－２－２・３ ＝－８ 3） α²β＋αβ² ＝αβ（α＋β） ＝３・２ ＝６ 4） α³＋β³ ＝（α＋β）³－３αβ（α＋β） ＝２³－３・３・２ ＝－10 5） （α＋１）（β＋１） ＝αβ＋（α＋β）＋１ ＝３＋２＋１ ＝６ 6） β　 α ━＋━ α　 β 　α²＋β² ＝━━━ 　 αβ 　　２ ＝－━ 　　３ 問題 次の２次方程式の２つの解の間に［　］内の関係があるとき、定数ｍの値と２つの解を、それぞれ求めよ。 1） ｘ²＋ｍｘ＋27＝０ ［１つの解が他の解の３倍］ 2） ｘ²－14ｘ＋２ｍ＝０ ［２つの解の比が３：４］ 3） ｘ²－（ｍ＋１）ｘ＋２＝０ ［２つの解の差が１］ 4） ｘ²－６ｘ＋ｍ＝０ ［１つの解が他の解の２乗］ 1） ｘ²＋ｍｘ＋27＝０ ［１つの解が他の解の３倍］ １つの解をαとする ２つの解はα、３α 和 α＋３α＝－ｍ 　４α＝－ｍ　① 積 α・３α＝27 　３α²＝27　② ②より α²＝９　α＝±３ α＝３のとき、①より ｍ＝－12 α＝－３のとき、①より ｍ＝12 ｍ＝－12のとき、α＝３ ２つの解をα、３αとしたから ２つの解は、３，９ ｍ＝12のとき、α＝－３ ２つの解は、－３，－９ よって、 ｍ＝－12のとき、２つの解３，９ ｍ＝12のとき、２つの解－３，－９ ※ ｍ＝－12のとき ｘ²－12ｘ＋27＝０ （ｘ－３）（ｘ－９）＝０ ｘ＝３，９ ｍ＝12のとき ｘ²＋12ｘ＋27＝０ （ｘ＋３）（ｘ＋９）＝０ ｘ＝－３，－９ 2） ｘ²－14ｘ＋２ｍ＝０ ［２つの解の比が３：４］ ２つの解を３α、４αとする 和 ３α＋４α＝14 ７α＝14　α＝２ ２つの解は、 ３α＝３・２＝６ ４α＝４・２＝８ 積 ３α・４α＝２ｍ 12α²＝２ｍ α²＝（1/6）ｍ α＝２を代入 ２²＝（1/6）ｍ ｍ＝24 よって、 ｍ＝24、２つの解は６，８ 3） ｘ²－（ｍ＋１）ｘ＋２＝０ ［２つの解の差が１］ ２つの解をα、（α＋１）とする 和 α＋（α＋1）＝ｍ＋１ ２α＋１＝ｍ＋１ ｍ＝２α 積 α（α＋１）＝２ α²＋α－２＝０ （α＋２）（α－１）＝０ α＝－２，１ α＝－２のとき、ｍ＝２αより ｍ＝－４ ２つの解は、－２，－１ α＝１のとき、ｍ＝２αより ｍ＝２ ２つの解は、１，２ よって、 ｍ＝－４のとき、２つの解は－２，－１ ｍ＝２のとき、２つの解は１，２ 4） ｘ²－６ｘ＋ｍ＝０ ［１つの解が他の解の２乗］ ２つの解をα、α²とする 和 α＋α²＝６ α²＋α－６＝０ （α＋３）（α－２）＝０ α＝－３，２ 積 α・α²＝ｍ ｍ＝α³ α＝－３のとき、ｍ＝－27 このとき、２つの解は－３，９ α＝２のとき、ｍ＝８ このとき、２つの解は２，４ よって、 ｍ＝－27のとき、２つの解は－３，９ ｍ＝８のとき、２つの解は２，４ 問題 ｘについての異なる２つの２次方程式ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０・・①、ｘ²＋ｂｘ＋ａ＝０・・②がただ１つの共通解をもつとする。 1）その共通解を求めよ。 2）ａ、ｂが満たすべき条件を求めよ。 3）①、②のもう１つの解はそれぞれｂ、ａに等しいことを示せ。 1） 共通解をαとする ①、②に代入 α²＋ａα＋ｂ＝０　①’ α²＋ｂα＋ａ＝０　②’ ①’－②’ ａα－ｂα＋ｂ－ａ＝０ （ａ－ｂ）α－（ａ－ｂ）＝０ （ａ－ｂ）（α－１）＝０ 異なる２次方程式だからａ－ｂ≠０ 両辺を（ａ－ｂ）で割って α＝１ よって、 共通解は、ｘ＝１ 2） ｘ＝１を①に代入 ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０ ａ＋ｂ＋１＝０ 異なる２次方程式だから ａ－ｂ≠０　すなわちａ≠ｂ よって、 ａ＋ｂ＋１＝０、ａ≠ｂ 3） ①のもう１つの解をβ₁、②のもう１つの解をβ₂とする。 ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０　①より 解と係数の関係から １×β₁＝ｂ ｘ²＋ｂｘ＋ａ＝０　②より １×β₂＝ａ よって、 ①、②のもう１つの解はそれぞれｂ、ａに等しい。 問題 次の２次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。 1）ｘ²－６ｘ＋４ 2）ｘ²＋５ｘ－１ 3）ｘ²＋４ 4）３ｘ²＋４ｘ＋２ 1） ｘ²－６ｘ＋４＝０とする 解の公式より ｘ＝３±√５ よって、 ｛ｘ－（３＋√５）｝｛ｘ－（３－√５）｝ したがって、 （ｘ－３－√５）（ｘ－３＋√５） 2） ｘ²＋５ｘ－１＝０とする 解の公式より 　　－５±√29 ｘ＝━━━━ 　　　２ よって、 　　　－５－√29　　　　－５＋√29 （ｘ－━━━━━）（ｘ－━━━━━） 　　　　 ２　　　　　　　 ２ 3） ｘ²＋４＝０とする ｘ²＝－４ ｘ＝±２ｉ ｘ－２ｉ＝０ ｘ＋２ｉ＝０ よって、 （ｘ－２ｉ）（ｘ＋２ｉ） 4） ３ｘ²＋４ｘ＋２＝０とする 解の公式より 　　 －２±√２ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　 ３ よって、 　　　 　－２－√２ｉ　　　 －２＋√２ｉ ３（ｘ－ ━━━━━）（ｘ－ ━━━━━） 　　　　 　 ３　　　　　　 　 ３ 問題 和と積が次のようになる２数を求めよ。 1）和が５、積が３ 2）和が－１、積が１ 1） ｘ²－５ｘ＋３＝０ 解の公式より 　　５±√13 ｘ＝━━━ 　　　２ よって、 ５＋√13 ━━━━ 　２ ５－√13 ━━━━ 　２ 2） ｘ²＋ｘ＋１＝０ 解の公式より 　　－１±√３ｉ ｘ＝━━━━━ 　　　　２ よって、 －１＋√３ｉ ━━━━━ 　 ２ －１－√３ｉ ━━━━━ 　 ２ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.28 ２次方程式の解と係数 👉ブログ TOP

平方根 テスト対策② １学期も後半に入り、中高生はテスト対策を進めています。 平方根は「２乗する前の数」で、１つの数に対して「正負の２つ」あり、例えば４の平方根は±２になります。５の平方根のように整数で表せない数には、ルートをつけて±√５と表します。 問題 次の数の値を求めなさい。 1）（－√３）² 2）（－√0.1）² 3）｛√（1/2）｝² 1） （－√３）² ＝（－√３）×（－√３） ＝３ 2） （－√0.1）² ＝（－√0.1）×（－√0.1） ＝0.1 3） ｛√（1/2）｝² ＝1/2 問題 次の数の平方根をいいなさい。 1）900 2）0.49 3）4.9 4）1/121 1） 900 （＋30）×（＋30） （－30）×（－30） ±30 2） 0.49 （＋0.7）×（＋0.7） （－0.7）×（－0.7） ±0.7 3） 4.9 （＋√4.9）×（＋√4.9） （－√4.9）×（－√4.9） ±√4.9 4） 1/121 （＋1/11）×（＋1/11） （－1/11）×（－1/11） ±1/11 問題 √10より小さい自然数をすべて答えなさい。 √９＜√10＜√16 👉３＜√10＜４ ３以下の自然数だから １，２，３ 問題 次の大小関係にあてはまる自然数ｎは何個ありますか。 √10＜ｎ＜√38 √９＜√10＜√16👉３＜√10＜４ √36＜√38＜√49👉６＜√38＜７ ４以上６以下の自然数だから ４，５，６ ３個 問題 次の数の、√　の中をできるだけ簡単な数にしなさい。 1）√28 2）√（5/16） 3）√500 4）√0.03 5）√450 6）√0.49 1） √28 ＝√（２²×７） ＝２√７ 2） √（5/16） ＝√５/√16 ＝√５/４ 3） √500 ＝√５×√100 ＝√５×10 ＝10√５ 4） √0.03 ＝√（3/100） ＝√３/√100 ＝√３/10 5） √450 ＝√10×√５×√９ ＝√２×√５×√５×３ ＝√２×５×３ ＝15√２ 6） √0.49 ＝√（49/100） ＝√49/√100 ＝７/10 問題 次の計算をしなさい。 1）√２×２√６ 2）５√６×√３ 3）５√２×√６ 4）（－２√10）×２√５ 5）10√３÷√５ 6）√12×√２÷√６ 1） √２×２√６ ＝√２×２√２×√３ ＝４×√３ ＝４√３ 2） ５√６×√３ ＝５√２×√３×√３ ＝５√２×３ ＝15√２ 3） ５√２×√６ ＝５√２×√２×√３ ＝10×√３ ＝10√３ 4） （－２√10）×２√５ ＝－２√５×２√５×√２ ＝－４×５×√２ ＝－20√２ 5） 10√３÷√５ ＝10√３/√５ ＝10√15/５ ＝２√15 6） √12×√２÷√６ ＝２√３×√２÷√６ ＝２√６÷√６ ＝２ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.27 平方根 テスト対策② 👉ブログ TOP

２次方程式 高校数学Ⅰ ２次方程式の解き方には、因数分解、平方完成、解の公式があります。方程式に実数解があるかどうかは、解の公式を応用した判別式Ｄで確かめます。解の公式や判別式では、偶数公式も利用すると計算手順を簡単にできます。 問題 次の２次方程式を解け。 1）ｘ（ｘ－９）＝０ 2）ｘ²－５ｘ＋４＝０ 3）ｘ²－４ｘ＝０ 4）２ｘ²－ｘ－１＝０ 5）４ｘ²＋７ｘ－２＝０ 6）８ｘ²＋２ｘ－３＝０ 1） ｘ（ｘ－９）＝０ ｘ＝０，９ 2） ｘ²－５ｘ＋４＝０ （ｘ－１）（ｘ－４）＝０ ｘ＝１，４ 3） ｘ²－４ｘ＝０ ｘ（ｘ－４）＝０ ｘ＝０，４ 4） ２ｘ²－ｘ－１＝０ ２　　１　　１ 　× １　－１　－２ 　　　　　－１ （２ｘ＋１）（ｘ－１）＝０ ｘ＝－1/2，１ 5） ４ｘ²＋７ｘ－２＝０ ４　－１　－１ 　× １　　２　　８ 　　　　　＋７ （４ｘ－１）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝1/4，－２ 6） ８ｘ²＋２ｘ－３＝０ ４　　３　　６ 　× ２　－１　－４ 　　　　　＋２ （４ｘ＋３）（２ｘ－１）＝０ ｘ＝－3/4，1/2 問題 次の２次方程式を解け。 1）16ｘ²＝25 2）４ｘ²－１＝０ 3）（２ｘ＋５）²－７＝０ 1） 16ｘ²＝25 （４ｘ）²＝５² ４ｘ＝±５ ｘ＝±5/4 2） ４ｘ²－１＝０ （２ｘ＋１）（２ｘ－１）＝０ ｘ＝±1/2 3） （２ｘ＋５）²－７＝０ （２ｘ＋５）²＝７ ２ｘ＋５＝±√７ ２ｘ＝－５±√７ 　　－５±√７ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 問題 次の２次方程式を解け。 1）ｘ²＋５ｘ＋５＝０ 2）２ｘ²－５ｘ－１＝０ 3）ｘ²＋２ｘ－４＝０ 4）３ｘ²＋６ｘ＋２＝０ 5）９ｘ²＋12ｘ＋４＝０ 6）ｘ²＋２√２ｘ－３＝０ 1） ｘ²＋５ｘ＋５＝０ 　　－５±√（25－20） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　　２ 　　－５±√５ ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 2） ２ｘ²－５ｘ－１＝０ 　　５±√（25＋８） ｘ＝━━━━━━━ 　　　　 ４ 　　５±√33 ｘ＝━━━━ 　　　 ４ 3） ｘ²＋２ｘ－４＝０ ｘ＝－１±√（１＋４） ｘ＝－１±√５ 4） ３ｘ²＋６ｘ＋２＝０ 　　－３±√（９－６） ｘ＝━━━━━━━━ 　　　　 ３ 　　－３±√３ ｘ＝━━━━ 　　　 ３ 5） ９ｘ²＋12ｘ＋４＝０ （３ｘ＋２）²＝０ ｘ＝－2/3 6） ｘ²＋２√２ｘ－３＝０ ｘ＝－√２±√（２＋３） ｘ＝－√２±√５ 問題 次の２次方程式を解け。 1） ２ｘ²－３ｘ＝ｘ²－２ 2） （ｘ＋４）（ｘ＋５）＝３（ｘ＋１）（ｘ＋２）－４ 3） １　　 １　　 ３ ━ｘ²＋━ｘ－━＝０ ６　　 ４　　 ４ 4） （ｘ－２）²＋２（ｘ－２）－３＝０ 5） （ｘ－１）²＋３（ｘ－１）－１＝０ 1） ２ｘ²－３ｘ＝ｘ²－２ ｘ²－３ｘ＋２＝０ （ｘ－１）（ｘ－２）＝０ ｘ＝１，２ 2） （ｘ＋４）（ｘ＋５）＝３（ｘ＋１）（ｘ＋２）－４ ｘ²＋９ｘ＋20＝３ｘ²＋９ｘ＋６－４ ２ｘ²＝18 ｘ²＝９ ｘ＝±３ 3） １　　 １　　 ３ ━ｘ²＋━ｘ－━＝０ ６　　 ４　　 ４ ２ｘ²＋３ｘ－９＝０ ２　－３　－３ 　×　　　 １　　３　　６ 　　　　　＋３ （２ｘ－３）（ｘ＋３）＝０ ｘ＝3/2，－３ 4） （ｘ－２）²＋２（ｘ－２）－３＝０ ｘ－２＝Ａ Ａ²＋２Ａ－３＝０ （Ａ＋３）（Ａ－１）＝０ （ｘ－２＋３）（ｘ－２－１）＝０ （ｘ＋１）（ｘ－３）＝０ ｘ＝－１，３ 5） （ｘ－１）²＋３（ｘ－１）－１＝０ ｘ－１＝Ａ Ａ²＋３Ａ－１＝０ 　　－３±√13 Ａ＝━━━━ 　　　 ２ 　　　　－３±√13 ｘ－１＝━━━━ 　　　 　　２ 　　－１±√13 ｘ＝━━━━ 　　　 ２ 問題 次の２次方程式の実数解の個数を求めよ。 1）ｘ²＋４ｘ＋１＝０ 2）ｘ²＋２ｘ－１＝０ 3）６ｘ²－７ｘ＋３＝０ 4）９ｘ²＋24ｘ＋16＝０ 5）２ｘ²－３ｘ＋２＝０ 6） ３ ━ｘ²－√３ｘ＋１＝０ ４ 1） ｘ²＋４ｘ＋１＝０ 判別式をＤとする Ｄ/４＝４－１＝３ Ｄ＞０より、２個 2） ｘ²＋２ｘ－１＝０ Ｄ/４＝１＋１＝２ Ｄ＞０より、２個 3） ６ｘ²－７ｘ＋３＝０ Ｄ＝49－72＝－23 Ｄ＜０より、０個 4） ９ｘ²＋24ｘ＋16＝０ （３ｘ＋４）²＝０ 重解となるから、１個 5） ２ｘ²－３ｘ＋２＝０ Ｄ＝９－16＝－７ Ｄ＜０より、０個 6） ３ ━ｘ²－√３ｘ＋１＝０ ４ ３ｘ²－４√３ｘ＋４＝０ Ｄ/４＝12－12＝０ Ｄ＝０より、１個 ※ ３ｘ²－４√３ｘ＋４＝０ （√３ｘ）²－√３ｘ・２・２＋（－２）²＝０ （√３ｘ－２）²＝０ 問題 次の２次方程式の解がそれぞれ［　］内の条件を満たすとき、定数ｍの値の範囲を求めよ。 1） ｘ²＋４ｘ＋ｍ＝０ ［異なる２つの実数解をもつ］ 2） ３ｘ²－ｘ＋ｍ＝０ ［実数解をもたない］ 3） ２ｘ²＋ｘ－ｍ＋１＝０ ［実数解をもつ］ 1） ｘ²＋４ｘ＋ｍ＝０ ［異なる２つの実数解をもつ］ Ｄ/４＝４－ｍ Ｄ＞０より ４－ｍ＞０ ｍ＜４ 2） ３ｘ²－ｘ＋ｍ＝０ ［実数解をもたない］ Ｄ＝１－12ｍ Ｄ＜０より １－12ｍ＜０ ｍ＞1/12 3） ２ｘ²＋ｘ－ｍ＋１＝０ ［実数解をもつ］ Ｄ＝１＋８ｍ－４ 　＝８ｍ－３ Ｄ≧０より ８ｍ－３≧０ ｍ≧3/8 問題 次の２次方程式が重解をもつとき、定数ｍの値を求めよ。また、そのときの重解を求めよ。 1） ｘ²＋２ｘ＋ｍ－３＝０ 2） ｘ²＋４ｍｘ＋25＝０ 3） ４ｘ²＋（ｍ＋２）ｘ＋ｍ－１＝０ 1） ｘ²＋２ｘ＋ｍ－３＝０ Ｄ/４＝１－ｍ＋３ ＝４－ｍ Ｄ＝０より ４－ｍ＝０　ｍ＝４ ｍ＝４のとき ｘ²＋２ｘ＋１＝０ （ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－１ よって、 ｍ＝４、重解ｘ＝－１ 2） ｘ²＋４ｍｘ＋25＝０ Ｄ/４＝４ｍ²－25 Ｄ＝０より ４ｍ²－25＝０ （２ｍ＋５）（２ｍ－５）＝０ ｍ＝±5/2 ｍ＝5/2のとき ｘ²＋10ｘ＋25＝０ （ｘ＋５）²＝０ ｘ＝－５ ｍ＝－5/2のとき ｘ²－10ｘ＋25＝０ （ｘ－５）²＝０ ｘ＝５ よって、 ｍ＝5/2のとき、重解ｘ＝－５ ｍ＝－5/2のとき、重解ｘ＝５ 3） ４ｘ²＋（ｍ＋２）ｘ＋ｍ－１＝０ Ｄ＝（ｍ＋２）²－16（ｍ－１） ＝ｍ²＋４ｍ＋４－16ｍ＋16 ＝ｍ²－12ｍ＋20 Ｄ＝０より ｍ²－12ｍ＋20＝０ （ｍ－２）（ｍ－10）＝０ ｍ＝２，10 ｍ＝２のとき ４ｘ²＋４ｘ＋１＝０ （２ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－1/2 ｍ＝10のとき ４ｘ²＋12ｘ＋９＝０ （２ｘ＋３）²＝０ ｘ＝－3/2 よって、 ｍ＝２のとき、重解ｘ＝－1/2 ｍ＝10のとき、重解ｘ＝－3/2 問題 次の２次方程式がそれぞれ［　］内の解をもつとき、定数ｍの値を求めよ。また、そのときの他の解も求めよ。 1） ｘ²＋ｍｘ－ｍ＋３＝０ ［ｘ＝５］ 2） ３ｘ²－２ｍｘ－ｍ²＝０ ［ｘ＝１］ 3） ｘ²－３（ｍ＋１）ｘ＋ｍ²－２＝０ ［ｘ＝－１］ 1） ｘ²＋ｍｘ－ｍ＋３＝０ ［ｘ＝５］ ｘ＝５を代入 25＋５ｍ－ｍ＋３＝０ ４ｍ＝－28 ｍ＝－７ このとき、 ｘ²－７ｘ＋10＝０ （ｘ－２）（ｘ－５）＝０ ｘ＝２，５ よって、 ｍ＝－７、他の解ｘ＝２ 2） ３ｘ²－２ｍｘ－ｍ²＝０ ［ｘ＝１］ ｘ＝１を代入 ３－２ｍ－ｍ²＝０ ｍ²＋２ｍ－３＝０ （ｍ＋３）（ｍ－１）＝０ ｍ＝－３，１ ｍ＝－３のとき ３ｘ²＋６ｘ－９＝０ ｘ²＋２ｘ－３＝０ （ｘ＋３）（ｘ－１）＝０ ｘ＝－３，１ ｍ＝１のとき ３ｘ²－２ｘ－１＝０ ３　　１　　１ 　× １　－１　－３ 　　　　　－２ （３ｘ＋１）（ｘ－１）＝０ ｘ＝－1/3，１ よって、 ｍ＝－３のとき、他の解ｘ＝－３ ｍ＝１のとき、他の解ｘ＝－1/3 3） ｘ²－３（ｍ＋１）ｘ＋ｍ²－２＝０ ［ｘ＝－１］ ｘ＝－１を代入 １＋３ｍ＋３＋ｍ²－２＝０ ｍ²＋３ｍ＋２＝０ （ｍ＋１）（ｍ＋２）＝０ ｍ＝－１，－２ ｍ＝－１のとき ｘ²－１＝０　ｘ＝±１ ｍ＝－２のとき ｘ²＋３ｘ＋２＝０ （ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０ ｘ＝－１，－２ よって、 ｍ＝－１のとき、他の解ｘ＝１ ｍ＝－２のとき、他の解ｘ＝－２ 問題 ２次方程式ｘ²＋ａｘ＋ａ－ｂ＝０の解が－２と３であるとき、定数ａ、ｂの値を求めよ。 ｘ＝－２を代入 ４－２ａ＋ａ－ｂ＝０ －ａ－ｂ＝－４ ａ＋ｂ＝４　① ｘ＝３を代入 ９＋３ａ＋ａ－ｂ＝０ ４ａ－ｂ＝－９　② ①＋②より ５ａ＝－５ ａ＝－１ ①に代入 －１＋ｂ＝４ ｂ＝５ よって、 ａ＝－１、ｂ＝５ ※解と係数の関係（高校数学Ⅱ） ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０ 解の和　－ｂ/ａ 解の積　ｃ/ａ ｘ²＋ａｘ＋ａ－ｂ＝０ ２つの解が－２と３ 和　－ａ/１＝－２＋３ －ａ＝１ ａ＝－１ 積　（ａ－ｂ）/１＝－２・３ ａ－ｂ＝－６ －１－ｂ＝－６ ｂ＝５ 問題 ２次方程式ｘ²－２ｘ－１＝０の２つの解のうちの大きい方をａとするとき、２ａ²－３ａ＋１の値を求めよ。 ｘ²－２ｘ－１＝０ ｘ＝１±√２ よって、 ａ＝１＋√２ ｘ²－２ｘ－１＝０に ｘ＝ａを代入 ａ²－２ａ－１＝０ ａ²＝２ａ＋１ これを２ａ²－３ａ＋１に代入 ２（２ａ＋１）－３ａ＋１ ＝４ａ＋２－３ａ＋１ ＝ａ＋３ ＝１＋√２＋３ ＝４＋√２ ※別解 ｘ²－２ｘ－１＝０ ｘ＝１±√２ よって、 ａ＝１＋√２ ２ａ²－３ａ＋１ ２　－１　－１ 　× １　－１　－２ 　　　　　－３ （２ａ－１）（ａ－１） ＝（２＋２√２－１）（１＋√２－１） ＝√２（２√２＋１） ＝４＋√２ 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.4.6 ２次方程式 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平方根 テスト対策 １学期も後半に入り、中高生はテスト対策を進めています。 平方根は「２乗する前の数」で、１つの数に対して「正負の２つ」あり、例えば４の平方根は±２になります。５の平方根のように整数で表せない数には、ルートをつけて±√５と表します。 問題 次の条件にあてはまる自然数ａの値を求めなさい。 【条件】 ・ａは奇数である ・ａの正のほうの平方根は４以上５以下である ・ａを５でわったときの余りは４である ａの正のほうの平方根は√ａ よって、 ４≦√ａ≦５ それぞれを２乗して 16≦ａ≦25 このうち奇数は、17,19,21,23,25 19÷５＝３あまり４だから ａ＝19 問題 次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。 1）－６，－√40 2）－0.5，－√0.5 3）２，√３，√５ 4）－７，－√47，－√51 1） －６＝－√36 よって、 －√40＜－６ 2） －0.5＝－√0.25 よって、 －√0.5＜－0.5 3） ２＝√４ よって、 √３＜２＜√５ 4） －７＝－√49 よって、 －√51＜－７＜－√47 問題 ５＜√ｎ＜６をみたす自然数ｎの個数を求めなさい。 ５＝√25、６＝√36だから √25＜√ｎ＜√36 26以上35以下の自然数だから 求める個数は （35－26）＋１＝10個 問題 次の数は有理数、無理数のどちらか答えなさい。 1）√144 2）π 3）√0.7 4）－√0.09 5）√（1/16） 6）－√23 1） √144 ＝√12² ＝12　有理数 2） π＝3.141516... 無理数 3） √0.7　無理数 4） －√0.09 ＝－√0.3² ＝－0.3　有理数 5） √（1/16） ＝√（1/4）² ＝1/4　有理数 6） －√23　無理数 問題 次の分数を小数で表すと、有限小数、無限小数のどちらになるか答えなさい。 1）3/8 2）5/6 1） 3/8 ＝３÷８ ＝0.375　有限小数 2） 5/6 ＝５÷６ ＝0.8333...　無限小数 問題 14/111を小数で表すと循環小数になる。小数第20位の数を求めなさい。 14÷111 ＝0.126126... 小数の位から「126」をくり返す 20÷３＝６あまり２ 小数18位までに、「126」が６セットあるから 小数20位は、２ ※循環小数の表し方 0.126126... 　　 ・　・ ＝０.１２６ 👉くり返す数列の初めと終わりに点をつける 0.8333... 　　　 ・ ＝０.８３ 👉同じ数が続く場合は初めに点をつける 問題 次の計算をしなさい。 1）√６×√７ 2）（－√２）×√３ 3）√27×√３ 4）√24/√６ 5）√35÷（－√７） 1） √６×√７ ＝√42 2） （－√２）×√３ ＝－√６ 3） √27×√３ ＝３√３×√３ ＝３×３ ＝９ 4） √24/√６ ＝２√６/√６ ＝２ 5） √35÷（－√７） ＝－√５ 問題 次の数を√ａの形に表しなさい。 1）２√６ 2）３√５ 外を２乗して中にかける 1） ２√６ ＝√（２²×６） ＝√24 2） ３√５ ＝√（３²×５） ＝√45 問題 次の数をａ√ｂの形に表しなさい。 1）√20 2）√75 ２乗の数を外に出す 1） √20 ＝√（２²×５） ＝２√５ 2） √75 ＝√５²×３ ＝５√３ 問題 次の数を√ａ/ｂの形に表しなさい。 1）√（5/4） 2）√0.06 1） √（5/4） ＝√５/√４ ＝√５/２ 2） √0.06 ＝√６/√100 ＝√６/10 問題 次の計算をしなさい。 1）√７×√11 2）（－√32）×√２ 3）√84/√12 4）√56÷（－√２）÷√14 1） √７×√11 ＝√77 2） （－√32）×√２ ＝－４√２×√２ ＝－４×２ ＝－８ 3） √84/√12 ＝√７ 4） √56÷（－√２）÷√14 ＝－√28÷√14 ＝－√２ 問題 次の数を√ａの形に表しなさい。 1）４√２ 2）７√３ 1） ４√２ ＝√（16×２） ＝√32 2） ７√３ ＝√（49×３） ＝√147 問題 次の数をａ√ｂの形に表しなさい。 1）√125 2）√176 1） √125 ＝√（５²×５） ＝５√５ 2） √176 ＝√（４²×11） ＝４√11 問題 次の数を√ａ/ｂやａ/ｂの形に表しなさい。 1）√（5/81） 2）√0.49 1） √（5/81） ＝√５/√81 ＝√５/９ 2） √0.49 ＝√49/√100 ＝７/10 問題 ａ、ｂ、ｃは正の整数で、１≦ｂ≦９、√ａｂ＝ｃ√ａが成り立つとき、考えられるｃの値をすべて求めなさい。 √ａｂ＝ｃ√ａ より √ａｂ＝√ａｃ² 両辺を２乗して ａｂ＝ａｃ² ａは正の整数（ａ＞０）だから　※ ｂ＝ｃ² １≦ｂ≦９だから １＝１² ４＝２² ９＝３² よって、 ｃ＝１，２，３ ※文字係数は「≠０」のときに割れる ａｂ＝ａｃ² ａが０の場合は、０で割れないので、下の式は成り立たない。 ｂ　ｃ² ━＝━ ０　０ 問題 √６＝2.449、√60＝7.746として、次の値を求めなさい。 1）√600 2）√6000 3）√0.06 4）√24 1） √600 ＝√６×√100 ＝√６×10 ＝2.449×10 ＝24.49 2） √6000 ＝√60×√100 ＝7.746×10 ＝77.46 3） √0.06 ＝√６×√0.01 ＝√６×0.1 ＝2.449×0.1 ＝0.2449 4） √24 ＝√６×√４ ＝√６×２ ＝2.449×２ ＝4.898 問題 次の数の分母を有理化しなさい。 1）１/√６ 2）√５/√２ 3）７/２√７ 4）４/√12 5）３/√５ 6）√３/√８ 有理化👉「×１」をする 1） １/√６ ＝（１/√６）×（√６/√６） ＝√６/６ 2） √５/√２ ＝（√５/√２）×（√２/√２） ＝√10/２ 3） ７/２√７ ＝（７/２√７）×（√７/√７） ＝７√７/14 ＝√７/２ 4） ４/√12 ＝（４/２√３）×（√３/√３） ＝４√３/６ ＝２√３/３ 5） ３/√５ ＝（３/√５）×（√５/√５） ＝３√５/５ 6） √３/√８ ＝（√３/２√２）×（√２/√２） ＝√６/４ 👉2026 高校入試解説 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.26 平方根 テスト対策 👉ブログ TOP

絶対値を含む不等式 絶対値を含む不等式では、絶対値記号の中が「正か０」または「負」になる場合に分けて考えることから始めます。この場合分けではｘの範囲の「共通部分」を考え、最終的に解を求めるときにはｘの範囲の「和集合」を考えます。 問題 次の不等式を解け。 1） ２｜ｘ＋４｜＜ｘ＋10 2） ３｜ｘ＋１｜≧ｘ＋５ 1） ２｜ｘ＋４｜＜ｘ＋10 ｘ＋４≧０ すなわち　ｘ≧－４のとき ２（ｘ＋４）＜ｘ＋10 ２ｘ＋８＜ｘ＋10 ｘ＜２ よって、 －４≦ｘ＜２　① ｘ＋４＜０ すなわち　ｘ＜－４のとき －２（ｘ＋４）＜ｘ＋10 －２ｘ－８＜ｘ＋10 －３ｘ＜18 ｘ＞－６ よって、 －６＜ｘ＜－４　② ①、②より －６＜ｘ＜２ 2） ３｜ｘ＋１｜≧ｘ＋５ ｘ＋１≧０ すなわち　ｘ≧－１のとき ３（ｘ＋１）≧ｘ＋５ ３ｘ＋３≧ｘ＋５ ２ｘ≧２ ｘ≧１ よって、 ｘ≧１　① ｘ＋１＜０ すなわち　ｘ＜－１のとき －３（ｘ＋１）≧ｘ＋５ －３ｘ－３≧ｘ＋５ －４ｘ≧８ ｘ≦－２ よって、 ｘ≦－２　② ①、②より ｘ≦－２、ｘ≧１ 問題 次の不等式を解け。 1） ｜２ｘ｜＋｜ｘ－５｜≧８ 2） ｜ｘ＋２｜＋｜２ｘ－３｜＜10 1） ｜２ｘ｜＋｜ｘ－５｜≧８ ２ｘ≧０、ｘ－５≧０ ｘ≧０、ｘ≧５ すなわち、ｘ≧５のとき ２ｘ＋ｘ－５≧８ ３ｘ≧13 ｘ≧13/3 よって、 ｘ≧５　① ２ｘ≧０、ｘ－５＜０ ｘ≧０、ｘ＜５ すなわち、０≦ｘ＜５のとき ２ｘ－（ｘ－５）≧８ ２ｘ－ｘ＋５≧８ ｘ≧３ よって、 ３≦ｘ＜５　② ２ｘ＜０、ｘ－５＜０ ｘ＜０、ｘ＜５ すなわち　ｘ＜０のとき －２ｘ－（ｘ－５）≧８ －２ｘ－ｘ＋５≧８ －３ｘ≧３ ｘ≦－１ よって、 ｘ≦－１　③ ①、②、③より ｘ≦－１、ｘ≧３ 2） ｜ｘ＋２｜＋｜２ｘ－３｜＜10 ｘ＋２≧０、２ｘ－３≧０ ｘ≧－２、ｘ≧3/2 すなわち、ｘ≧3/2のとき ｘ＋２＋２ｘ－３＜10 ３ｘ＜11 ｘ＜11/3 よって、 3/2≦ｘ＜11/3　① ｘ＋２≧０、２ｘ－３＜０ ｘ≧－２、ｘ＜3/2 すなわち －２≦ｘ＜3/2のとき ｘ＋２－（２ｘ－３）＜10 ｘ＋２－２ｘ＋３＜10 －ｘ＜５ ｘ＞－５ よって、 －２≦ｘ＜3/2　② ｘ＋２＜０、２ｘ－３＜０ ｘ＜－２、ｘ＜3/2 すなわち、ｘ＜－２のとき －（ｘ＋２）－（２ｘ－３）＜10 －ｘ－２－２ｘ＋３＜10 －３ｘ＜９ ｘ＞－３ よって、 －３＜ｘ＜－２　③ ①、②、③より －３＜ｘ＜11/3 問題 連立不等式 ｘ＜６　① ２ｘ＋３≧ｘ＋ａ　② の解について、次の条件を満たす定数ａの値の範囲を求めよ。 1）解をもつ。 2）解に整数がちょうど２個含まれる。 1） ②より ２ｘ＋３≧ｘ＋ａ ｘ≧ａ－３　②’ ①、②’より ａ－３≦ｘ＜６ （ａ－３）が６よりも小さいときだから ａ－３＜６ ａ＜９ 2） ｘ＜６より ｘ＝４，５が含まれるときだから ３＜ａ－３≦４　※ よって、 ６＜ａ≦７ ※ ａ－３＝３のとき ３≦ｘ＜６ ｘ＝３，４，５の３つで不適 ａ－３＝４のとき ４≦ｘ＜６ ｘ＝４，５の２つ 問題 連立不等式 ３ｘ－７≦５ｘ－３　① ２ｘ－６＜３ａ－ｘ　② の解について、次の条件を満たす定数ａの値の範囲を求めよ。 1）解をもつ。 2）解に整数がちょうど３個含まれる。 1） ①より ３ｘ－７≦５ｘ－３ －２ｘ≦４ ｘ≧－２ ②より ２ｘ－６＜３ａ－ｘ ３ｘ＜３ａ＋６ ｘ＜ａ＋２ ｘ≧－２だから －２＜ａ＋２ ａ＞－４ 2） ｘ≧－２、ｘ＜ａ＋２より －２≦ｘ＜ａ＋２ 解は ｘ＝－２，－１，０ ０＜ａ＋２≦１だから －２＜ａ≦－１ ａ＋２≦０のとき 👉ｘ＝０を含まず、整数が２個以下になる。 ａ＋２＞１のとき 👉ｘ＝１を含み、整数が４個以上になる。 ａ＋２＝１のとき 👉ｘ＜１となり、整数がちょうど３個になる。 問題 連立不等式 ｘ＞３ａ＋１　① ２ｘ－１＞６（ｘ－２）　② の解について、次の条件を満たす定数ａの値の範囲を求めよ。 1）解が存在しない。 2）解に２が含まれる。 3）解に含まれる整数が３つだけとなる。 1） ②より ２ｘ－１＞６（ｘ－２） ２ｘ－１＞６ｘ－12 －４ｘ＞－11 ｘ＜11/4 ①より ３ａ＋１＜ｘ＜11/4 ３ａ＋１≧11/4となるから ３ａ≧7/4 ａ≧7/12 2） ｘ＝２は、ｘ＜11/4 ②に含まれる ①にも含まれるから ３ａ＋１＜２ ３ａ＜１ ａ＜1/3 3） ｘ＜11/4 より 満たす整数はｘ＝０，１，２ よって、 －１≦３ａ＋１＜０ －２≦３ａ＜－１ －2/3≦ａ＜－1/3 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.26 絶対値を含む不等式 👉ブログ TOP

文字式の計算 テスト対策 １学期も後半に入り、中高生は期末テスト対策を進めています。数学の文字式では、分配法則や除法（割り算）の計算と、文章題からの式の作り方がポイントになります。 問題 次の計算をしなさい。 1） （２ｘ²－６ｘ）－（３ｘ²－ｘ＋１） 2） （12ｘ－８ｙ）÷（－４） 3） ５（ｘ＋２ｙ）－３（２ｘ－３ｙ） 4） （－２ａ）²×３ａ 5） 　　　　１ ２ｘ²ｙ÷━ｘｙ 　　　　２ 6） 18ｘ²ｙ÷（－２ｙ）÷３ｘ 1） （２ｘ²－６ｘ）－（３ｘ²－ｘ＋１） ＝２ｘ²－６ｘ－３ｘ²＋ｘ－１ ＝－ｘ²－５ｘ－１ 2） （12ｘ－８ｙ）÷（－４） ＝－３ｘ＋２ｙ 3） ５（ｘ＋２ｙ）－３（２ｘ－３ｙ） ＝５ｘ＋10ｙ－６ｘ＋９ｙ ＝－ｘ＋19ｙ 4） （－２ａ）²×３ａ ＝４ａ²×３ａ ＝12ａ³ 5） 　　　　１ ２ｘ²ｙ÷━ｘｙ 　　　　２ 　　　　　 ２ ＝２ｘ²ｙ×━━ 　　　　　ｘｙ ＝４ｘ 6） 18ｘ²ｙ÷（－２ｙ）÷３ｘ ＝－９ｘ²÷３ｘ ＝－３ｘ 問題 ｘ＝1/5、ｙ＝７のとき、 ｘ＋ｙ　ｘ－ｙ ━━━＋━━━ 　３　　　２ の値を求めなさい。 ２（ｘ＋ｙ）＋３（ｘ－ｙ） ━━━━━━━━━━━━━ 　　　　　　６ 　２ｘ＋２ｙ＋３ｘ－３ｙ ＝━━━━━━━━━━━ 　　　　　　６ 　５ｘ－ｙ ＝━━━━ 　　 ６ 　　　　　　　 １ ＝（５ｘ－ｙ）× ━ 　　　　　　　 ６ 　　　　１　　　 １ ＝（５× ━－７）×━ 　　　　５　　　 ６ 　　　 １ ＝－６×━ 　　　 ６ ＝－１ 問題 等式２ａ－ｂ＝３をｂについて解きなさい。 ２ａ－ｂ＝３ －ｂ＝３－２ａ 両辺×（－１） ｂ＝－３＋２ａ 問題 奇数と奇数の差は偶数になることを説明しなさい。 〔説明〕 ｍ、ｎを整数とすると、２つの奇数は、 ２ｍ＋１、２ｎ＋１と表せる。 この２数の差は （２ｍ＋１）－（２ｎ＋１） ＝２ｍ＋２ｎ ＝２（ｍ＋ｎ） ｍ＋ｎは整数だから、２（ｍ＋ｎ）は偶数である。 問題 底面の半径がｒcm、高さがｈcmの円柱Ｐと、底面の半径はＰの底面の半径の２倍で、高さはＰの1/2の円柱Ｑがある。円柱Ｑの体積は円柱Ｐの体積の何倍ですか。 Ｐの体積 底面積×高さ ＝πｒ²×ｈ ＝πｒ²ｈ（cm²） Ｑの半径　２ｒ Ｑの高さ　（1/2）ｈ 円柱Ｑの体積 π×（２ｒ）²×（1/2）ｈ ＝２πｒ²ｈ（cm²） Ｑの体積÷Ｐの体積 ２πｒ²ｈ÷πｒ²ｈ＝２ よって、２倍 問題 横の長さが縦の長さの３倍である長方形の紙がある。この紙８枚を、下の図のように重なりなく並べたとき、紙で囲まれた内側の四角形の面積が２番目に大きいのはどれですか。 長さを縦ａ、横３ａとする ア 縦　６ａ－ａ＝５ａ 横　６ａ－ａ＝５ａ 面積　（５ａ）²＝25ａ² イ 縦　３ａ－ａ＝２ａ 横　９ａ－ａ＝８ａ 面積　２ａ×８ａ＝16ａ² ウ 縦　３ａ 横　９ａ－ａ×２＝７ａ 面積　３ａ×７ａ＝21ａ² エ 縦　６ａ－ａ×２＝４ａ 横　３ａ×２＝６ａ 面積　４ａ×６ａ＝24ａ² よって、エ 問題 一の位の数字が０でない３けたの自然数がある。この自然数から、百の位の数字と一の位の数字を入れかえた数をひくと、答えは99の倍数になる。このことを、はじめに考えた数の百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとして説明しなさい。 〔説明〕 はじめの数は、100ａ＋10ｂ＋ｃ 百の位と一の位の数を入れかえた数は、100ｃ＋10ｂ＋ｃと表せる。 はじめの数から入れかえた数をひくと （100ａ＋10ｂ＋ｃ）－（100ｃ＋10ｂ＋ａ） ＝99ａ－99ｃ ＝99（ａ－ｃ） ａ－ｃは整数だから、99（ａ－ｃ）は99の倍数である。 したがって、 ３けたの自然数から、その百の位の数字と一の位の数字を入れかえた数をひくと、答えは99の倍数になる。 当塾のご案内 【 たむかい学習教室 】 八戸市田向（イオン近く）にある完全個別指導の学習塾・進学塾です。 集団指導や少人数指導の塾にはない、「完全個別」の強みを生かした授業スタイルで、多数の生徒さんを成績アップと受験合格に導いております。 指導実績・合格実績豊富なベテラン講師が、お子様の学習を本格サポートいたします。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★苦手の克服に最適★ ★受験に強い個別指導★ ★経験豊富な講師の一貫指導★ ★安心の授業料で全力サポート★ ★苦手の克服に最適 　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。 ★受験に強い個別指導 　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。 ★経験豊富な講師の一貫指導 　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★安心の授業料で全力サポート 　入塾費や高額な教材費は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。 ＜定期講習 １か月授業料 (税込)＞ 90分授業：14,800円（月4回） 120分授業：17,600円（月4回） （例）週1回・90分授業の場合 一回につき3名の少人数指導 ↓ 1人あたり実質30分の授業 指導時間３分の１、料金は割高に この教室では 一回につき 生徒1名の完全個別指導 ↓ 毎回 100％の指導時間 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績　塾生33名（2026年5月） 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　八戸聖ウルスラ学院高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 「体験学習」を実施しています 通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習（60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談（40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・お申し込みはこちら 塾生の声 苦手が自信に。 受験で大きく伸びました！ 　この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。 数学を克服して テストの得点は右肩上がり！ 　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。 やり方が分かり 勉強の習慣がついた！ 　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。 英語に自信がつき 入試で大幅アップ！ 　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。 英語と数学は これからもこの塾で！ 　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。 この塾で本当に良かった！ 　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！ 理数への意識が変わり 自分から進んで勉強しています！ 　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。 目標の中学受験 苦手を克服して志望校合格！ 　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 教室ホームページ 2026.6.25 文字式の計算 テスト対策 👉ブログ TOP