高校入試対策 数学②
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
中３受験生は私立入試を終えて、今週から３月の県立高入試に向けた対策を始めています。
★一次関数
下の図のように、直線ｙ＝ーｘ－２と直線ｙ＝１ｘ／２＋ｂがある。この２直線とｘ軸との交点をそれぞれＡ、Ｂ（ー14，０）とする。あとの各問いに答えなさい。
１）直線ｙ＝１ｘ／２＋ｂの切片ｂの値を求めなさい。
２）直線ｙ＝ーｘ－２と直線ｙ＝１ｘ／２＋ｂの交点Ｃの座標を求めなさい。
３）点Ｃを通り、切片が正の数となる直線をℓとする。直線ℓと直線ｙ＝ーｘ－２とｙ軸で囲まれた三角形の面積が、△ＡＢＣと等しくなるように、直線ℓの式を求めなさい。
１）
点Ｂを通るから、ｙ＝１ｘ／２＋ｂに、（ー14，０）を代入
ー14／２＋ｂ＝０
ｂ＝７
２）
連立方程式の代入法により求める
ーｘ－２＝１ｘ／２＋７
ー２ｘー４＝ｘ＋14
ー３ｘ＝18
ｘ＝ー６
ｙ＝ーｘー２に、ｘ＝ー６を代入
ｙ＝ー（－６）ー２＝４
よって、（ー６，４）
３）
点Ａはｙの値が０だから、ｙ＝ーｘ－２にｙ＝０を代入
ーｘー２＝０
ｘ＝ー２
△ＡＢＣの底辺をＡＢ、高さを点Ｃから辺ＡＢまでの距離とする。
ＡＢ＝ー２－（－14）＝12
点Ｃのｙ座標は４だから、高さは４
△ＡＢＣ
＝12×４×１／２＝24 ①
直線ｙ＝ーｘ－２とｙ軸との交点をＤとする。また、直線ℓとｙ軸との交点をＥ、切片の値をｔとする。
△ＣＤＥの底辺をＤＥ、高さを点Ｃから辺ＤＥまでの距離とする。
ＤＥ＝ｔ－（－２）＝ｔ＋２
点Ｃのｘ座標はー６だから、高さは６
△ＣＤＥ
＝（ｔ＋２）×６×１／２
＝３ｔ＋６ ②
②＝①より、
３ｔ＋６＝24
ｔ＝６
直線ℓは点Ｃを通るから、ｙ＝ａｘ＋６に（ー６，４）を代入
ー６ａ＋６＝４
ａ＝１／３
よって、ｙ＝１ｘ／３＋６
★角度・平行の利用
下の図のように、∠ＡＢＣ＝60°の平行四辺形ＡＢＣＤがある。辺ＢＣ上に∠ＡＥＢ＝40°となるように点Ｅをとり、∠ＤＡＥの二等分線と辺ＣＤとの交点をＦとする。∠ＡＦＤの大きさを求めなさい。
∠ＢＡＤ
＝180°ー60°
＝120°
∠ＢＡＥ
＝180°ー（60°＋40°）
＝80°
∠ＤＡＦ
＝（∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ）÷２
＝（120°ー80°）÷２
＝20°
∠Ｄ＝∠Ｂ＝60°
△ＡＤＦで内角の和より、
∠ＡＦＤ
＝180°ー20°ー60°
＝100°
★立体・三平方の定理
下の図は、１辺の長さが２cmの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨである。この立方体を３点Ａ、Ｆ、Ｈを通る平面で２つに分けるとき、点Ｃをふくむ側の立体の体積を求めなさい。
立方体の体積から三角錐ＡーＥＦＨの体積を引いて求める
立方体の体積
２³＝８cm³ ①
三角錐ＡーＥＦＨの体積
底面積
２×２×１／２＝２cm²
高さ ２cm
体積は、
２×２×１／３＝４／３cm³ ②
①ー②より、
８－４／３＝20／３cm³
下の図は、点Ｏを頂点とする四角すいである。この四角すいにおいて、底面の四角形ＡＢＣＤは１辺の長さが６cmの正方形で、４つの側面はすべて正三角形である。この立体において、点Ｅは辺ＯＡ上にあり、ＯＥ＝４cmである。
この立体において、ＢＦ＝４cmとなる辺ＢＣ上の点Ｆとする。図のように、点Ｅから辺ＯＢ上を通って点Ｆまで、立体の側面に糸をかける。かける糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さを求めなさい。
糸の長さがもっとも短くなる
↓
展開図上で直線になる
下図の通り、辺ＯＢと糸が交わる点をＧとする。
△ＥＧＯと△ＦＧＢで、
∠ＥＯＧ＝∠ＦＢＧ＝60° ①
①より、ＥＯ//ＦＢ
平行線の錯角は等しいから、
∠ＯＥＧ＝ＢＦＧ ②
ＥＯ＝ＦＢ＝４cm ③
①、②、③より、１組の辺とその両端の角が等しいから、
△ＥＧＯ≡△ＦＧＢ
対応する辺の長さは等しいから、ＯＧ＝ＢＧ
よって、ＢＧ＝ＯＢ÷２＝６÷２＝３
点Ｇからの垂線と辺ＢＦとの交点をＨとする
△ＧＢＨで、直角三角形の辺の比より、
ＧＨ：ＢＧ＝√３：２
ＧＨ：３cm＝√３：２
ＧＨ＝３√３／２cm
ＢＨ：ＢＧ＝１：２
ＢＨ：３cm＝１：２
ＢＨ＝３／２cm
ＨＦ＝ＢＦ－ＢＨ
ＨＦ＝４－３／２＝５／２cm
△ＧＨＦで、三平方の定理より、
ＧＦ²＝ＧＨ²＋ＨＦ²
ＧＦ²＝（３√３／２）²＋（５／２）²
ＧＦ²＝52／４
ＧＦ＝√13cm（ＧＦ＞０）
△ＥＧＯ≡△ＦＧＢより、ＧＥ＝ＧＦ
ＥＦ＝ＧＥ＋ＧＦだから、
ＥＦ＝√13＋√13＝２√13cm
★数の規則性
ｎ段ｎ列のマス目に、下の規則にしたがって黒い碁石を置いていく。図１は、３段３列のマス目に、図２は、４段４列のマス目に、この規則にしたがって黒い碁石を置いたものである。ｎ段ｎ列のマス目に、この規則にしたがって黒い碁石を置き、黒い碁石が置かれていない残りのすべてのマスには白い碁石を１つずつ置く。白い碁石の個数が、黒い碁石の個数より41個多くなるときのｎの値を求めなさい。
黒い碁石の個数
３段３列 ８個
４段４列 12個
５段５列 16個 ・・・
となり、ｎ段ｎ列では（４ｎー４）個
白い碁石の個数
３段３列 １個
４段４列 ４個
５段５列 ９個 ・・・
となり、ｎ段ｎ列では（ｎー２）²個
問題より、
（ｎー２）²＝（４ｎー４）＋41
ｎ²ー４ｎ＋４＝４ｎ＋37
ｎ²ー８ｎー33＝０
（ｎー11）（ｎ＋３）＝０
ｎ＞０より、ｎ＝11
入試対策・練習問題
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2025.2.13 高校入試対策 数学②