三平方の定理 空間図形 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 三平方の定理 では、空間図形を利用した問題があります。直角三角形をもとに立体の対角線や高さ、立体の周りにかける糸の長さなどを求めます。補助線の引き方は、いろいろな問題の演習を通してつかむようにします。 問題 底面の半径が４cm、母線の長さが５cmの円錐について、あとの問いに答えなさい。 1）高さを求めなさい。 2）体積を求めなさい。 1） 高さをｘcmとする 三平方の定理より ｘ²＝５²－４² ｘ²＝９ ｘ＝３（ｘ＞０） よって、 ３cm 2） 円錐の体積の公式より （1/3）×π×４²×３ ＝16π よって、 16π cm³ 問題 下の図のような直方体の対角線の長さを求めなさい。 底面の対角線の長さをｘcm とする ｘ²＝４²＋５² ｘ²＝41 直方体の対角線の長さをｙcm とする ｙ²＝２²＋41 ｙ²＝45 ｙ＝３√５（ｙ＞０） よって、 ３√５cm 問題 下の図は、直方体に、頂点Ａから辺ＢＦを通って、頂点Ｇまで糸をかけたようすを示している。かけた糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さを求めなさい。 点ＡからＢＦを通るから 面ＡＥＦＢとＢＦＧＣを通る直線で、 直角三角形ＡＧＥの斜辺ＡＧの長さ になる。 △ＡＧＥにおいて ＡＥ＝６cm ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝４＋３＝７cm 三平方の定理より ＡＧ²＝ＡＥ²＋ＥＧ² ＡＧ²＝６²＋７² ＡＧ²＝85 ＡＧ＝√85（ＡＧ＞０） よって、 √85cm 問題 図１のように、地中に半分以上埋まっている丸太がある。図２のように、この丸太の切り口は円であり、地上に出ている部分を測ると、高さが９cm、弦の長さが42cmだった。この丸太の切り口の半径を求めなさい。ただし、丸太の切り口は地面と垂直であるものとする。 下図の通り 円の半径をｘcm とする △ＯＡＢは二等辺三角形だから ＡＭ＝（1/2）ＡＢ＝21cm ∠ＯＭＡ＝90° 半径をｘcmとするから ＯＭ＝（ｘ－９）cm △ＡＯＭにおいて 三平方の定理より ＡＯ²＝ＡＭ²＋ＯＭ² ｘ²＝21²＋（ｘ－９）² ｘ²＝441＋ｘ²－18ｘ＋81 18ｘ＝522 ｘ＝29 よって、 29cm 問題 下の図の立体は、１辺が６cmの立方体で、Ｍ、Ｎはそれぞれ辺ＢＦ、ＤＨの中点である。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）線分ＢＮの長さを求めなさい。 2）４点Ａ、M、G、Nを頂点とする四角形の周の長さと面積を求めなさい 。 1） ＭＮは１辺６cmの正方形の対角線になる。 直角二等辺三角形の辺の比より ＭＮ：６＝√２：１ ＭＮ＝６√２cm ＭはＢＦの中点だから ＢＭ＝６÷２＝３cm ＭＮは底面と平行だから ∠ＢＭＮ＝90° △ＢＮＭにおいて 三平方の定理より ＢＮ²＝ＢＭ²＋ＭＮ² ＢＮ²＝３²＋（６√２）² ＢＮ²＝81 ＢＮ＝９（ＢＮ＞０） よって、 ９cm 2） ＡとＧは、ＢＦとＤＨの中点をつなぐから ＡＭ＝ＭＧ＝ＧＮ＝ＮＡ △ＭＧＦにおいて 三平方の定理より ＭＧ²＝ＭＦ²＋ＦＧ² ＭＦ＝３cm、ＦＧ＝６cmだから ＭＧ²＝３²＋６² ＭＧ²＝45 ＭＧ＝３√５cm（ＭＧ＞０） よって、周の長さは、 ３√５×４＝ 12√５cm ∠ＭＧＦと∠ＮＧＨは45°より小さい角だから ∠ＭＧＮは、90°より大きい鈍角になる。 よって、 四角形ＡＭＢＮは、ひし形である。 ひし形の対角線ＭＮは、 1）より、６√２cm 点ＭからＡＧへの垂線をＭＩとする △ＭＧＩにおいて 三平方の定理より ＧＩ²＝ＧＭ²－ＭＩ² ＧＭ＝３√５cm、 ＭＩ＝（1/2）ＭＮ＝３√２cmだから ＧＩ²＝（３√５）²－（３√２）²＝27 ＧＩ＝３√３cm（ＧＩ＞０） ひし形の対角線ＡＧは、 ２ＧＩ＝２×３√３＝６√３cm ひし形の面積は、 （６√２）×（６√３）×（1/2） ＝18√６cm² よって、 求める面積は、 18√６cm² 問題 下の図のように、円錐上の点Ａから円錐の側面にそって、１周するようにひもをかける。このひもがもっとも短くなるときの長さを求めなさい。 下図の通り、線分ＡＡの長さになる。 ＡＡに垂線ＯＨをひく おうぎ形の中心角は 360°×（3/9）＝120°　 ※ ＯＨは中心角の二等分線だから ∠ＡＯＨ＝60° ∠ＯＡＨ＝30° 直角三角形の辺の比より ＡＨ：ＯＡ＝√３：２ ＡＨ：９＝√３：２ ＡＨ＝９√３/２cm ＡＡ＝２ＡＨだから ２×（９√３/２）＝ ９√３cm ※ おうぎ形の中心角 360°×（底面の半径/母線の長さ） ★平方数 （２乗の数） 　 11²＝121　12²＝144　13²＝169 　14²＝196　15²＝225　16²＝256 　17²＝289　18²＝324　19²＝361 　21²＝441　25²＝625 ★ピタゴラス数 　直角三角形の辺 　 ３cm、４cm、５cm 　 ３²＋４²＝５² 　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。 　 ５cm、12cm、13cm 　 ５²＋12²＝13² 　 ８cm、15cm、17cm 　 ８²＋15²＝17² 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.28 三平方の定理 空間図形 👉 ブログ TOP

図形の角度 高校入試対策③ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試では「 図形の角度 」を求める出題があります。三角形の内角と外角の関係のほか、おうぎ形の公式、平行線の角の関係、円周角の定理などを利用します。 問題 次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。 1）　2）　3） 1） 同位角114° 隣り合う角は、 180°－114°＝66° 121°と隣り合う角は、 180°－121°＝59° 三角形の内角と外角の関係より ｘ＝66°＋59°＝ 125° 2） 112°の外角は、 180°－112°＝68° ｘの外角は、外角の和が360°より 360°－（68°＋70°＋60°＋55°＋30°） ＝360°－283° ＝77° よって、 ｘ＝180°－77°＝ 103° 3） 頂角を123°とする三角形をつくる 底角の和は、 180°－123°＝57° 四角形の内角の和360°より 57°＋54°＋67°＋90°＋ｘ＝360° ｘ＝ 92° 問題 下の図の四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ//ＢＣの台形であり、線分ＡＣとＤＢの交点をＥとする。ＡＢ＝ＡＤ、∠ＢＡＣ＝80°、∠ＡＣＢ＝30°のとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 ＡＤ//ＢＣより 平行線の錯角は等しいから ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ＝30° ∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＣだから ∠ＢＡＤ＝80°＋30°＝110° ＡＢ＝ＡＤより 二等辺三角形の底角は等しいから ∠ＡＤＢ＝（180°－∠ＢＡＤ）÷２ ∠ＡＤＢ ＝（180°－110°）÷２＝35° △ＡＤＥの内角と外角の関係より ｘ＝∠ＤＡＥ＋∠ＡＤＥ ∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＣ＝30° ∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＢ＝35°だから ｘ＝30°＋35°＝ 65° 問題 下の図において、ℓ//mのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 下図の通り線分ＢＣをひく ℓ//mより 平行線の錯角は等しいから ∠ＤＣＢ＝∠ＡＢＣ＝39° △ＣＤＥの内角と外角の関係より ∠ＣＥＤ＝127°－39°＝88° △ＧＦＥの内角と外角の関係より ｘ＝88°－38°＝ 50° 問題 下の図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。ＥＦ//ＡＤのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 ＥＦ//ＡＤより、ＥＦ//ＢＣ 同位角は等しいから ∠ＡＥＦ＝∠ＡＢＣ＝42° ＡＤ//ＢＣより 平行線の錯角は等しいから ∠ＣＡＥ＝∠ＡＣＤ＝59° 三角形の内角の和は180°だから ｘ＝180°－（42°＋59°）＝ 79° 問題 下の図で、△ＰＱＣは△ＡＢＣを、点Ｃを中心として回転移動させたものである。∠ＢＡＣ＝30°、ＡＢ＝ＡＣ、ＰＣ//ＡＢのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 ＡＢ＝ＡＣより △ＡＢＣの底角は等しいから ∠ＡＣＢ ＝（180°－30°）÷２＝75° ＰＣ//ＡＢより 平行線の錯角は等しいから ∠ＰＣＡ＝∠ＢＡＣ＝30° △ＡＢＣ≡△ＰＱＣだから ∠ＰＣＱ＝∠ＡＣＢ＝75° よって、 ｘ＝∠ＰＣＱ－∠ＰＣＡ ｘ＝75°－30°＝ 45° 問題 下の図は、円錐の投影図である。この立体の表面積を求めなさい。 母線が７cm、底面の半径が３cmの円錐 おうぎ形の面積 は、 （1/2）×母線×弧の長さ で求められる。 弧の長さは、底面の円周に等しいから ２π×３＝６π cm よって、 おうぎ形の面積は、 （1/2）×７×６π＝21π cm² 底面の面積は、 π×３²＝９π cm² よって、 求める表面積は、 21π＋９π＝ 30π cm² 👉 おうぎ形の面積は、中心角を使わずに求めることもできる。 問題 下の図は、円錐の展開図である。おうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。 おうぎ形の中心角 は、 360°×（底面の半径／母線） で求められる。 360°×（4/12）＝ 120° ※ 半径12cmの円の円周は、 ２π×12＝24π cm 弧の長さは底面の円周だから ２π×４＝８π cm 半径12cm円の一部であるおうぎ形の弧は、 円全体24πのうちの８πの部分 おうぎ形は、 半径12cmの円の1/3の部分になる よって、 360°×1/3＝120° 問題 下の図は、底面の半径が√２cm、母線ＯＡの長さが６√２cmの円錐で、線分ＡＢは直径である。点Ａから円錐の側面にそって母線ＯＢを通り、再び点Ａまで糸をかける。糸の長さが最短になるとき、あとの問いに答えなさい。 1）この円錐の展開図をかいたとき、側面になるおうぎ形の面積を求めなさい。 2）糸の長さを求めなさい。 1） おうぎ形の面積 （1/2）×母線×弧の長さ 弧の長さは、底面の円周に等しいから ２π×√２＝２√２π cm よって、 （1/2）×６√２×２√２π ＝ 12π cm² 2） 最短の長さになる糸は、 おうぎの頂点ＡとＡ’を結ぶ直線になる。 △ＯＡＡ’において ＯＡ＝ＯＡ’＝６√２cm おうぎ形の中心角 は、 360°×（底面の半径／母線） で求められるから 360°×（√２／６√２） ＝360°×（1/6） ＝60° よって、 ∠ＡＯＡ’＝60° 頂角60°の二等辺三角形だから △ＯＡＡ’は正三角形である。 ＡＡ’＝ＯＡ＝ＯＡ’だから 最短の長さは、 ６√２cm 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.28 図形の角度 高校入試対策③ 👉 ブログ TOP

相似 高校入試対策⑤ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の「 相似 」の問題では、相似条件を利用したり、相似をもとにした平行線の比や中点連結定理を利用します。また、円周角の定理を利用した出題もあります。 相似比 問題 下の図のように、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢである鈍角三角形ＡＢＣがある。辺ＢＣ上に∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢとなる点Ｄをとると、△ＡＢＣ∽△ＤＢＡとなる。ＢＤ＝３cm、ＣＤ＝５cmとするとき、あとの問いに答えなさい。 1）線分ＡＤの長さを求めなさい。 2）辺ＡＢの長さをを求めなさい。 1） △ＡＢＣ∽△ＤＢＡより ＣＡ：ＡＤ＝ＡＢ：ＤＢ ＣＡ＝ＡＢ＝ｘcmとする ｘ：ＡＤ＝ｘ：３ １：ＡＤ＝１：３ ＡＤ＝３ よって、 ３cm 2） △ＡＢＣ∽△ＤＢＡより ＡＢ：ＤＢ＝ＢＣ：ＢＡ ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＣ＝８cmだから ＡＢ：３＝８：ＢＡ ＡＢ²＝24 ＡＢ＝２√６（ＡＢ＞０） よって、 ２√６cm 問題 下の図で、ｘの値を求めなさい。 △ＡＢＣと△ＡＣＤにおいて ＡＢ：ＡＣ＝25：20＝５：４　① ＡＤ＝25－９＝16cmより ＡＣ：ＡＤ＝20：16＝５：４　② 共通な角だから ∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ　③ ①、②、③より ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＣ∽△ＡＣＤ 対応する辺の比は等しいから ＡＢ：ＡＣ＝ＢＣ：ＣＤ ５：４＝30：ｘ １：４＝６：ｘ よって、 ｘ＝24 平行線の比 問題 下の図のように、平行な３つの直線ℓ、m、nに半直線ＡＢ、ＡＣが交わっている。ＡＲ：ＲＢ＝３：２、ＡＱ：ＱＣ＝２：５であるとき、ＡＱ：ＱＳを求めなさい。 ＡＲ：ＲＢ＝３：２より ＡＳ：ＳＣ＝３：２ ＡＱの比をｘとすると ＡＳ＝３より、ＱＳ＝３－ｘ よって、 ＱＣ＝ＱＳ＋ＳＣ 　　＝（３－ｘ）＋２ 　　＝５－ｘ ＡＱ：ＱＣ＝２：５だから ｘ：（５－ｘ）＝２：５ ５ｘ＝10－２ｘ ｘ＝10/7 よって、 ＱＳ＝３－（10/7）＝11/7 以上から ＡＱ：ＱＳ＝10/7：11/7 ＡＱ：ＱＳ＝10：11 問題 下の図の四角形ＡＢＣＤは平行四辺形、点Ｆは辺ＡＤを２：３に分ける点で、点Ｅは直線ＡＢと直線ＦＣの交点である。このとき、台形ＡＢＣＦの面積は△ＣＤＦの面積の何倍か、求めなさい。 △ＥＡＦと△ＣＤＦにおいて ＡＥ//ＤＣより 平行線の錯角は等しいから ∠ＥＡＦ＝∠ＣＤＦ ∠ＡＥＦ＝∠ＤＣＦ ２組の角が等しいから △ＥＡＦ∽△ＣＤＦ ＡＦ：ＤＦ＝２：３より 面積比は、 △ＥＡＦ：△ＣＤＦ＝４：９ △ＥＡＦと△ＥＢＣにおいて 同位角は等しいから ∠ＥＡＦ＝∠ＥＢＣ ∠ＥＦＡ＝∠ＥＣＢ ２組の角が等しいから △ＥＡＦ∽△ＥＢＣ ＡＦ：ＢＣ＝２：５より 面積比は、 △ＥＡＦ：△ＥＢＣ＝４：25 よって、 台形ＡＢＣＦの面積比は、 △ＥＢＣ－△ＥＡＦ＝21 よって、 台形ＡＢＣＦ÷△ＣＤＦ ＝21÷９＝ 7/3倍 中点連結定理 問題 下の図の△ＡＢＣで、２点Ｄ、Ｅは辺ＢＣを３等分した点で、Ｂに近いほうから順にＤ、Ｅとする。また、点Ｆは辺ＡＢの中点で、点Ｇは２つの線分ＡＥとＣＦの交点である。このとき、ＡＧの長さを求めなさい。 ＢＦ＝ＦＡ、ＢＤ＝ＤＥだから ＦＤ//ＡＥ 中点連結定理より ＡＥ＝２ＦＤ 　　＝２×12＝24cm ＦＤ//ＡＥより、ＦＤ//ＧＥ ＦＤ//ＧＥ、ＣＥ＝ＥＤだから ＣＧ＝ＧＦ 中点連結定理より ＧＥ＝（1/2）ＦＤ 　　＝（1/2）×12＝６ ＡＧ＝ＡＥ－ＧＥ 　　＝24－６＝18 よって、 18cm 合同と相似 問題 下の図で、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは円Ｏの周上にあり、ＡＢ＝ＡＣ、∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤである。また、線分ＡＣと線分ＢＤとの交点をＥとする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＥ≡△ＡＣＤであることを証明しなさい。 2）ＡＢ＝10cm、ＡＤ＝８cmのとき、線分ＣＤの長さを求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＥと△ＡＣＤにおいて 仮定より ＡＢ＝ＡＣ　① ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ　② Ａ⌒Ｄに対する円周角は等しいから ∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ　③ ①、②、③より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから △ＡＢＥ≡△ＡＣＤ 2） △ＡＣＤと△ＤＣＥにおいて ∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＥ（共通）　④ Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから ∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ 1）より ∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ、 ∠ＣＤＢ＝∠ＣＤＥだから ∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＥ　⑤ ④、⑤より ２組の角が等しいから △ＡＣＤ≡△ＤＣＥ 対応する辺の比は等しいから ＡＣ：ＣＤ＝ＣＤ：ＣＥ ＡＣ＝ＡＢ＝10cm ＡＤ＝ＡＥ＝８cmより ＣＥ＝ＡＣ－ＡＥ＝２cm よって、 10：ＣＤ＝ＣＤ：２ ＣＤ²＝20 ＣＤ＝２√５（ＣＤ＞０） よって、 ２√５cm 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.27 相似 高校入試対策⑤ 👉 ブログ TOP

相似 高校入試対策④ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の「 相似 」の問題では、相似比をもとに辺の長さを求めたり、面積や体積を求める出題があります。 相似比は辺の長さの比 のことで、相似比の２乗が面積比、相似比の３乗が体積比になります。 問題 下の図の平行四辺形ＡＢＣＤで、点Ｅは辺ＡＤ上にあり、ＢＤとＣＥの交点をＰとする。ＡＥ：ＥＤ＝３：２、平行四辺形ＡＢＣＤの面積を70cm²とするとき、あとの問いに答えなさい。 1）ＢＰ：ＤＰを求めなさい。 2）次の三角形の面積を求めなさい。 ① △ＣＤＰ　② △ＥＰＤ 1） △ＰＢＣと△ＰＤＥにおいて ＢＣ//ＥＤより 平行線の錯角は等しいから ∠ＰＢＣ＝∠ＰＤＥ ∠ＰＣＢ＝∠ＰＥＤ ２組の角が等しいから △ＰＢＣ∽△ＰＤＥ 対応する辺の比は等しいから ＢＰ：ＤＰ＝ＢＣ：ＤＥ ＢＣ＝ＡＥ＋ＥＤだから ＡＥ：ＥＤ＝３：２より ＢＣ：ＤＥ＝５：２ よって、 ＢＰ：ＤＰ＝５：２ 2）① △ＰＢＣと△ＣＤＰは高さが同じだから 底辺ＢＰ：底辺ＤＰが面積比になる。 △ＰＢＣ：△ＣＤＰ＝５：２だから △ＣＤＰ＝（2/7）△ＢＣＤ △ＢＣＤ ＝（1/2）▱ＡＢＣＤ＝35cm²だから △ＣＤＰ ＝（2/7）×35＝ 10cm² 2）② △ＰＢＣ＝△ＢＣＤ－△ＣＤＰだから △ＰＢＣ＝35－10＝25cm² △ＰＢＣ∽△ＰＤＥより ＢＰ：ＤＰ＝５：２だから △ＰＢＣ：△ＥＰＤ＝25：４ よって、 25cm²：△ＥＰＤ＝25：４ △ＥＰＤ＝ ４cm² 問題 Ａさんは、高さ634mのタワーまでの距離を、高さ12.5mの電柱を目印にして求めようと考えた。Ａさんは、電柱の先端とタワーの先端が一致して見える位置に立ち、その位置から電柱までの距離を測ったら、ちょうど10mだった。このとき、Ａさんが立っている位置からタワーまでの距離は何mかを求めなさい。ただし、Ａさんの目の高さを1.5mとする。また、Ａさん、電柱、タワーは、同じ平面上に垂直に立っており、それぞれの幅や厚みは考えないものとする。 下図の通り ＡＣの長さが求める距離になる。 タワーの先端ＢとＡＣの距離は 634－1.5＝632.5m 電柱の先端ＤとＡＣの距離は 12.5－1.5＝11m △ＡＢＣと△ＡＤＥにおいて ＢＣ//ＤＥより 同位角は等しいから ∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ ２組の角が等しいので △ＡＢＣ∽△ＡＤＥ 対応する辺の比は等しいから ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥ ＡＣ：10＝632.5：11 ＡＣ＝575 よって、 575m 問題 下の図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形、ＡＥ＝（1/2）ＥＢ、ＢＦ＝ＦＣ、ＥＧ//ＢＣである。ＡＤ＝６cmのとき、あとの問いに答えなさい。 1）線分ＨＧの長さを求めなさい。 2）四角形ＨＦＣＧの面積は△ＡＥＨの面積の何倍か、求めなさい。 1） △ＡＥＨと△ＡＢＦにおいて ＥＧ//ＢＣより 同位角は等しいから ∠ＡＥＨ＝∠ＡＢＦ ∠ＡＨＥ＝∠ＡＦＢ ２組の角が等しいから △ＡＥＨ∽△ＡＢＦ ＡＥ＝（1/2）ＥＢより ＡＥ：ＥＢ＝１：２だから ＡＥ：ＡＢ＝ＥＨ：ＢＦ＝１：３ ＢＦ＝（1/2）ＡＤだから ＢＦ＝（1/2）×６cm＝３cm ＥＨ：ＢＦ＝１：３より ＥＨ：３＝１：３ ＥＨ＝１cm ＨＧ＝ＥＧ－ＥＨだから ＥＧ＝ＡＤ＝６cmより ＨＧ＝６－１＝５cm よって、 ５cm 2） 下図の通り ＡＥ、ＧＣに平行なＩＦをひく △ＡＥＨと△ＦＩＨにおいて 平行線の錯角は等しいから ∠ＡＥＨ＝∠ＦＩＨ ∠ＥＡＨ＝∠ＩＦＨ ２組の角が等しいから △ＡＥＨ∽△ＦＩＨ ＥＧ//ＢＣ、ＢＦ＝ＦＣだから ＥＩ＝ＩＧ＝３cm ＥＨ＝１cmより、ＩＨ＝２cm ＥＨ：ＩＨ＝１：２だから 面積比は、 △ＡＥＨ：△ＦＩＨ＝１：４ よって、 △ＦＩＨ＝４△ＡＥＨ　① ＩＦ//ＧＣ、ＩＧ//ＦＣより 四角形ＩＦＣＧは平行四辺形である。 △ＦＩＨと▱ＩＦＣＧは高さが同じだから 面積比は、 底辺ＩＨ×1/2：底辺ＩＧ ＝２cm×（1/2）：３cm ＝１：３ よって、 ▱ＩＦＣＧ＝３△ＦＩＨ　② ①、②より ▱ＩＦＣＧ＝12△ＡＥＨ ①、③より 四角形ＨＦＣＧ ＝△ＦＩＨ＋▱ＩＦＣＧ ＝４△ＡＥＨ＋12△ＡＥＨ ＝16△ＡＥＨ よって、 16倍 問題 相似な円柱ＰとＱがあり、ＰとＱの相似比は４：３である。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）ＰとＱの表面積の比を求めなさい。 2）Ｐの体積が320πcm³のとき、Ｑの体積を求めなさい。 1） 相似比👉辺の長さの比 ＰとＱの辺の長さの比は４：３だから 面積比は、 ４²：３²＝ 16：９ 2） ＰとＱの体積比は、 ４³：３³＝64：27 Ｑの体積をｘcm³とする 64：27＝320π：ｘ １：27＝５π：ｘ ｘ＝135π よって、 135π cm³ 問題 下の図の２つの四角錐ＰとＱは相似である。Ｑの体積が192cm³のとき、Ｐの体積を求めなさい。 ＰとＱの辺の長さの比は 15cm：12cm＝５：４ 体積比は、 ５³：４³＝125：64 Ｐの体積をｘcm³とする 125：64＝ｘ：192 125：１＝ｘ：３ ｘ＝375 よって、 375cm³ 問題 下の図で、立体Ａは、半径３cmの球を、中心を通る平面で切った半球であり、立体Ｂは、底面が半径３cmの円で、高さが９cmの円錐を、底面から高さ３cmのところで、底面に平行な平面で切ったときの下側の立体である。立体Ａと立体Ｂの体積を比べたとき、どちらの立体のほうが何cm³大きいかを求めなさい。 立体Ａの体積は、 球の体積の公式より （4/3）×π×３³×（1/2） ＝18π cm³　① 立体Ｂ切断前の円錐をＣ、 切断後の上側の円錐をＤとする。 ＣとＤの体積比は、 相似比が高さ９：６＝３：２だから ３³：２³＝27：８ よって、 Ｂの体積比は、 27－８＝19 切断前の円錐Ｃは、 錐の体積の公式より （1/3）×π×３²×９ ＝27π cm³ よって、 Ｂの体積ｘは、 27：19＝27πcm³：ｘcm³ ｘ＝19π cm³　② ①、②より Ｂのほうが、π cm³大きい。 問題 下の図で、点Ｅ、Ｆは三角錐ＡＢＣＤの辺ＡＢを３等分した点である。点Ｅ、Ｆをそれぞれ通り底面ＢＣＤに平行な平面で切り、３つの立体Ｐ、Ｑ、Ｒに分ける。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）ＱとＲの体積比を求めなさい。 2）Ｑの体積が35cm³のとき、Ｒの体積を求めなさい。 1） Ｑ＝（Ｐ＋Ｑ）－Ｐ　① Ｒ＝（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）－（Ｐ＋Ｑ）　② Ｐと（Ｐ＋Ｑ）の体積比は、 ＡＥ：ＡＦ＝１：２より １³：２³＝１：８ ①より Ｑ＝８－１＝７ （Ｐ＋Ｑ）と（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）の体積比は、 ＡＦ：ＡＢ＝２：３より ２³：３³＝８：27 ②より Ｒ＝27－８＝19 よって、 ７：19 2） Ｒの体積をｘcm³とする Ｑの体積：Ｒの体積＝７：19より ７：19＝35cm³：ｘcm³ １：19＝５cm³：ｘcm³ ｘ＝95cm³ よって、 95cm³ 問題 下の図のように、１辺の長さが４cmの立方体があり、辺ＡＢの中点をＭ、辺ＢＣの中点をＮとする。この立方体を４点Ｍ、Ｅ、Ｇ、Ｎを通る平面で２つの立体に切る。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）線分ＥＭの延長線と辺ＦＢの延長線との交点をＰとするとき、ＰＢの長さを求めなさい。 2）２つの立体のうち、頂点Ｂをふくむ立体の体積を求めなさい。 1） ＭＢ//ＥＦ、 ＭＢ＝（1/2）ＥＦだから 中点連結定理より ＰＢ＝ＢＦ＝４cm よって、 ４cm 2） 頂点Ｂを含む立体の体積 ＝三角錐ＰＥＦＧの体積－三角錐ＰＭＢＮの体積 ＰＦ：ＰＢ ＝８：４＝２：１だから 三角錐ＰＥＦＧとＰＭＢＮの体積比は ２³：１³＝８：１ 三角錐のＰＭＢＮ体積は、 ＭＢ＝ＮＢ＝２cm、ＰＢ＝４cmより （1/3）×２²×（1/2）×４＝8/3cm³ よって、 三角錐ＰＥＦＧの体積ｘcm³は、 ８：１＝ｘ：8/3cm³ ｘ＝64/3cm³ よって、求める体積は、 （64/3）－（8/3）＝ 56/3cm³ 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.27 相似 高校入試対策④ 👉 ブログ TOP

三平方の定理 高校入試対策④ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の 三平方の定理 では、平面図形のほかに、空間図形ヘの応用問題があります。すべては平面の直角三角形でとらえることが基本ですが、補助線の引き方にはポイントがあります。 問題 次の1）、2）について、２点Ａ、Ｂの間の距離を求めなさい 。 1） Ａ（１，２）　Ｂ（５，６） 2） Ａ（－３，２）　Ｂ（１，－４） 1） 点Ｃを（５，２）とする △ＡＢＣにおいて ＡＣ＝５－１＝４ ＣＢ＝６－２＝４ ∠ＡＣＢ＝90° よって、 直角二等辺三角形の辺の比より ＡＣ：ＡＢ＝１：√２ ４：ＡＢ＝１：√２ ＡＢ＝４√２ 2） 点Ｄを（－３，－４）とする △ＡＢＤにおいて ＡＤ＝２－（－４）＝６ ＤＢ＝１－（－３）＝４ ∠ＡＤＢ＝90° よって、 三平方の定理より ＡＢ²＝ＡＤ²＋ＤＢ² ＡＢ²＝６²＋４² ＡＢ²＝52 ＡＢ＝２√13 （ＡＢ＞０） 問題 下の図のように、１辺の長さが３cmの正方形ＡＢＣＤと、１辺の長さが５cmの正方形ＥＣＦＧがあり、点Ｄは辺ＥＣ上にある。７つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇから２点を選び、その２点を結んでできる線分の中で、長さが√73cmになるものを答えなさい。 直角三角形の斜辺をなす２点を選ぶ ＡＣ、ＢＤ、ＥＦ、ＣＧ、ＡＦ、ＤＦ、ＧＤ、ＧＢ △ＡＦＢにおいて ∠ＡＢＦ＝90° ＡＢ＝３cm ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＦ＝８cm 三平方の定理より ＡＦ²＝ＡＢ²＋ＢＦ² ＡＦ²＝３²＋８²＝73 ＡＦ＝√73cm（ＡＦ＞０） よって、 線分ＡＦ 問題 半径７cmの球Ｏを、中心Ｏとの距離が３cmの平面で切ったとき、切り口の円Ｏ’の面積を求めなさい。 切り口円Ｏ’の端をＡとする △ＯＡＯ’において ∠ＯＯ’Ａ＝90° ＯＡ＝７cm、ＯＯ’＝３cmだから 三平方の定理より ＡＯ’²＝ＯＡ²－ＯＯ’² ＡＯ’²＝７²－３²＝40 よって、円Ｏ’の面積は、 π×40＝ 40π cm² 問題 下の図のように、１辺の長さが２cmの正方形ＡＢＣＤがある。あとの問いに答えなさい。 1）対角線ＡＣの長さを求めなさい。 2）正方形ＡＢＣＤを、直線ＡＣを軸として回転させてできる立体の体積を求めなさい。 1） △ＡＢＣにおいて ∠Ｂ＝90° ＡＢ＝ＢＣより、 ∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝45° 直角二等辺三角形の辺の比より ＡＣ：ＡＢ＝√２：１ ＡＢ＝２cmより ＡＣ：２＝√２：１ ＡＣ＝２√２cm 2） 直径ＢＤの円を底面とする円錐が２つできる 円錐１つ分の体積を求める ＢＤ＝ＡＣ＝２√２cm 底面の半径は、 ２√２÷２＝√２cm 高さもＡＣの半分だから、√２cm よって、 円錐１つ分の体積は （1/3）×π×（√２）²×√２ ＝（２√２/３）π cm³ 求める体積は２つ分だから （２√２/３）π×２＝ （４√２/３）π cm³ 問題 下の図のように、点Ａ（５，０）と、関数ｙ＝（1/2）ｘのグラフ上に点Ｐがある。△ＯＡＰがＯＡ＝ＯＰの二等辺三角形になるとき、点Ｐの座標を求めなさい。ただし、点Ｐのｘ座標は正とする。 ＯＡ＝５－０＝５だから ＯＰ＝５ 点ＰからＯＡへの垂線をＰＨとする また、 点Ｐのｘ座標をｔとする ＯＨ＝ｔ－０＝ｔ 点Ｐは、 ｙ＝（1/2）ｘ上にあり、ｘ＝ｔだから ｙ＝（1/2）ｔ よって、 ＰＨ＝（1/2）ｔ－０＝（1/2）ｔ △ＯＰＨにおいて 三平方の定理より ＯＨ²＋ＰＨ²＝ＯＰ² ｔ²＋（1/2）²ｔ²＝５² （5/4）ｔ²＝25 ｔ²＝20 ｔ＝２√５（ｔ＞０） ｙ＝（1/2）ｔだから ｙ＝（1/2）×２√５＝√５ よって、求める座標は、 （２√５，√５） 問題 下の図のように、ＡＢを直径とする半円と、その周上の点Ｐを通る接線がある。また、Ａ、Ｂを通る直径ＡＢの垂線と接線との交点をそれぞれＣ、Ｄとする。ＡＣ＝16cm、ＢＤ＝25cmのとき、直径ＡＢの長さを求めなさい。 円の接線の性質より ＣＰ＝ＣＡ＝16cm ＤＰ＝ＤＢ＝25cm よって、 ＣＤ＝ＣＰ＋ＤＰ＝41cm 点Ｃを通り、ＡＢに平行な線分ＣＥをひく。 ＣＥ//ＡＥより 同位角は等しいから ∠ＣＥＤ＝∠ＡＢＤ＝90° △ＣＤＥにおいて 三平方の定理より ＣＥ²＝ＣＤ²－ＤＥ² ＤＥ＝ＤＢ－ＥＢ＝９cmだから ＣＥ²＝41²－９² ＣＥ²＝（41＋９）（41－９） ＣＥ²＝50×32＝1600 ＣＥ＝40（ＣＥ＞０） ＡＢ＝ＣＥだから ＡＢ＝40cm ★平方数 （２乗の数） 　 11²＝121　12²＝144　13²＝169 　14²＝196　15²＝225　16²＝256 　17²＝289　18²＝324　19²＝361 　21²＝441　25²＝625 ★ピタゴラス数 　直角三角形の辺 　 ３cm、４cm、５cm 　 ３²＋４²＝５² 　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。 　 ５cm、12cm、13cm 　 ５²＋12²＝13² 　 ８cm、15cm、17cm 　 ８²＋15²＝17² 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.26 三平方の定理 高校入試対策④ 👉 ブログ TOP

相似 高校入試対策③ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の「 相似 」の問題では、平行線や円と組み合わせた図形の場合、等しい角度を見つけることがポイントになります。また、辺の長さが与えられている場合には、相似比にも着目します。 問題 下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがある。点Ａから辺ＢＣに垂線をひき、辺ＢＣとの交点をＥ、点Ａから辺ＣＤに垂線をひき、辺ＣＤとの交点をＦとする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＥ∽△ＡＤＦであることを証明しなさい。 2）ＡＢ＝６cm、ＡＤ＝９cm、点Ｆが辺ＣＤの中点であるとき、次の問いに答えなさい。 ア 線分ＢＥの長さを求めなさい。 イ 四角形ＡＥＣＦの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍か、求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＥと△ＡＤＦにおいて 仮定より ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ　① 平行四辺形の対角は等しいから ∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＦ　② ①、②より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＥ∽△ＡＤＦ 2）ア △ＡＢＥ∽△ＡＤＦより ＢＥ：ＤＦ＝ＡＢ：ＡＤ ＤＦ＝（1/2）ＣＤ＝（1/2）ＡＢだから ＤＦ＝（1/2）×６＝３cm よって、 ＢＥ：３＝６：９ ＢＥ：３＝２：３ ＢＥ：１＝２：１ ＢＥ＝２cm 2）イ 四角形ＡＥＣＦの面積比を △ＡＣＥ＋△ＡＣＦとして求める。 ※対角線ＡＣをひく △ＡＢＣにおいて △ＡＢＥ：△ＡＣＥ＝ＢＥ：ＣＥ ＢＣ＝ＡＤ＝９cm、ＢＥ＝２cmより ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝７cmだから △ＡＢＥ：△ＡＣＥ＝２：７ 👉ともに高さが等しい三角形 △ＡＢＣ＝（1/2）▱ＡＢＣＤ △ＡＣＥ＝（7/9）△ＡＢＣだから △ＡＣＥ ＝（7/9）×（1/2）▱ＡＢＣＤ ＝（7/18）▱ＡＢＣＤ △ＡＣＤにおいて △ＡＦＤ：△ＡＣＦ＝ＤＦ：ＦＣ ＤＦ＝ＦＣだから △ＡＦＤ：△ＡＣＦ＝１：１ △ＡＣＤ＝（1/2）▱ＡＢＣＤ △ＡＣＦ＝（1/2）△ＡＣＤだから △ＡＣＦ ＝（1/2）×（1/2）▱ＡＢＣＤ ＝（1/4）▱ＡＢＣＤ よって、 四角形ＡＥＣＦの面積比は △ＡＣＥ＋△ＡＣＦ ＝（7/18）▱ＡＢＣＤ＋（1/4）▱ＡＢＣＤ ＝（23/36）▱ＡＢＣＤ よって、 23/36倍 問題 下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがある。点Ｅは辺ＡＤ上の点であり、∠ＤＣＥ＝∠ＡＥＢである。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＥＢＣと△ＤＣＥが相似になることを証明しなさい。 2）ＡＤ＝４cm、ＥＣ＝２cmのとき、線分ＡＥの長さを求めなさい 。 1） 〔証明〕 △ＥＢＣと△ＤＣＥにおいて 仮定より ∠ＤＣＥ＝∠ＡＥＢ　① ＡＤ//ＢＣより 平行線の錯角は等しいから ∠ＥＢＣ＝∠ＡＥＢ　② ①、②より ∠ＥＢＣ＝∠ＤＣＥ　③ 平行線の錯角は等しいから ∠ＢＣＥ＝∠ＣＥＤ　④ ③、④より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＥＢＣ∽△ＤＣＥ 2） △ＥＢＣ∽△ＤＣＥより 対応する辺の比が等しいので ＢＣ：ＣＥ＝ＥＣ：ＤＥ ＡＥ＝ｘcmとすると、 ＤＥ＝（４－ｘ）cmで、 ＢＣ＝ＡＤ＝４cmだから ４：２＝２：（４－ｘ） ２：１＝２：（４－ｘ） １：１＝１：（４－ｘ） ４－ｘ＝１ ｘ＝３ よって、 ３cm 問題 下の図のような、長方形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝２cm、ＡＤ＝６cmである。この長方形の中に、１辺の長さが２cmの正方形ＡＢＦＥ、ＥＦＨＧ、ＧＨＣＤをつくる。点Ｉは線分ＡＨと線分ＤＦとの交点、点Ｊは線分ＡＣと線分ＤＦとの交点である。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）∠ＡＦＣの大きさを求めなさい。 2）線分ＡＦと線分ＣＦの長さの比ＡＦ：ＣＦは、１：（　）である。このとき、（　）にあてはまる数を求めなさい。 3）△ＡＦＨ∽△ＣＦＡであることを証明しなさい。 1） ＡＦは正方形の対角線だから ∠ＡＦＢ＝45° よって、 ∠ＡＦＣ＝180°－45°＝ 135° 2） △ＡＦＢにおいて 直角二等辺三角形の辺の比より ＡＦ：ＡＢ＝√２：１ ＡＢ＝２cmだから ＡＦ：２＝√２：１ ＡＦ＝２√２ ＣＦ＝ＣＨ＋ＨＦ＝４cmだから ＡＦ：ＣＦ ＝２√２：４ ２乗 ＝８：16 ８で約分 ＝１：２ よって、 ２ 3） △ＡＦＨと△ＣＦＡにおいて 共通な角だから ∠ＡＦＨ＝∠ＣＦＡ　① 2）より ＡＦ：ＣＦ＝１：２　② また、 ＦＨ：ＦＡ＝２：２√２だから ＦＨ：ＦＡ＝１：２　③ ①、②、③より ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＦＨ∽△ＣＦＡ 問題 下の図の四角形ＡＢＣＤは正方形である。辺ＣＤ上に点Ｅをとり、線分ＡＥの延長と辺ＢＣの延長との交点をＦとし、線分ＡＦと対角線ＢＤの交点をＧとする。点ＣとＧを結ぶとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＧと△ＥＤＧが相似になることを証明しなさい。 2）ＣＥ：ＥＤ＝１：３、ＡＦ＝28cmのとき、線分ＥＧの長さを求めなさい。 3）∠ＧＡＤ＝37°のとき、∠ＣＧＥの大きさを求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＧと△ＥＤＧにおいて ＡＢ//ＤＥより 平行線の錯角は等しいから ∠ＡＢＧ＝∠ＥＤＧ　① 対頂角は等しいから ∠ＡＧＢ＝∠ＥＧＤ　② ①、②より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＧ∽△ＥＤＧ 2） △ＡＤＥと△ＦＣＥにおいて ＡＤ//ＣＦより ∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ ∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ ２組の角が等しいから △ＡＤＥ∽△ＦＣＥ ＣＥ：ＥＤ＝１：３より ＡＥ：ＦＥ＝３：１ ＡＥ：ＡＦ＝３：４だから ＡＥ：28＝３：４ ＡＥ：７＝３：１ ＡＥ＝21cm △ＡＢＧ∽△ＥＤＧより ＡＢ：ＥＤ＝４：３ ＡＧ：ＥＧ＝４：３ ＡＥ：ＥＧ＝７：３だから 21：ＥＧ＝７：３ ３：ＥＧ＝１：３ ＥＧ＝９cm 3） △ＡＢＧと△ＣＢＧにおいて ＢＧは∠Ｂの二等分線だから ∠ＡＢＧ＝∠ＣＢＧ 四角形ＡＢＣＤは正方形だから ＡＢ＝ＣＢ 共通な辺だから ＢＧ＝ＢＧ ２組の辺とその間の角が等しいので △ＡＢＧ≡△ＣＢＧ よって、 ∠ＡＧＢ＝∠ＣＧＢ △ＡＤＧにおいて 三角形の内角と外角の関係より ∠ＡＧＢ＝∠ＧＡＤ＋∠ＡＤＧ ∠ＧＡＤ＝37°、∠ＡＤＧ＝45°だから ∠ＡＧＢ＝37°＋45°＝82° よって、 ∠ＣＧＢ＝82° △ＧＢＦにおいて ∠ＢＧＦ＋∠ＧＢＦ＋∠ＧＦＢ＝180° ∠ＧＢＦ＝45°、 ∠ＧＦＢ＝∠ＧＡＤ＝37°だから ∠ＢＧＦ＋45°＋37°＝180° ∠ＢＧＦ＝98° ∠ＣＧＥ＝∠ＢＧＦ－∠ＣＧＢだから ∠ＣＧＥ＝98°－82°＝16° よって、 16° 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.26 相似 高校入試対策③ 👉 ブログ TOP

関数 高校入試対策10 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試では 比例 や 一次関数 の出題があります。問題文やグラフにあるｘの値とｙの値を手がかりに式を立てます。変化の割合は一定になるため、グラフは直線で表されます。 問題 下の図のような長方形ＡＢＣＤで、点Ｐは辺ＢＣ上をＢからＣまで動く。ＢＰをｘcm、三角形ＡＢＰの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。ただし、点ＰがＢの位置にあるときのｙの値は０とする。 1）ｙをｘの式で表しなさい。 2）ｘの変域、ｙの変域をそれぞれ求めなさい。 1） △ＡＢＰの底辺をＢＰ、高さをＡＢとする。 点Ｐが動いても、高さは４cmのままだから 面積ｙは、底辺の長さｘに比例する。 求める式を、ｙ＝ａｘとする ｘ＝５のとき、 ｙ＝（1/2）×５×４＝10 ｙ＝ａｘに代入 10＝ａ×５ ａ＝２ よって、求める式は、 ｙ＝２ｘ 2） 点ＰがＢにあるとき ｘ＝０、ｙ＝０ 点ＰがＣにあるとき ｘ＝５、ｙ＝10 よって、 ｘの変域　 ０≦ｘ≦５ ｙの変域　 ０≦ｙ≦10 問題 下の図のような直角三角形ＡＢＣで、点ＰはＢから出発して辺ＢＣ上をＣまで進む。Ｂからｘcm進んだときの三角形ＡＢＰの面積をｙcm²とするとき、あとの問いに答えなさい。 1）ｙをｘの式で表しなさい。 2）ｘとｙの関係を表すグラフをかきなさい。 1） △ＡＢＰの底辺をＢＰ、高さをＡＣとする。 点Ｐが動いても、高さは５cmのままだから 面積ｙは、底辺の長さｘに比例する。 求める式を、ｙ＝ａｘとする。 ｘ＝８のとき、 ｙ＝（1/2）×８×５＝20 ｙ＝ａｘに代入 20＝ａ×８ ａ＝5/2 よって、求める式は、 ｙ＝（5/2）ｘ 2） ｘ＝０のとき、ｙ＝０ ｘ＝８のとき、ｙ＝20 ｙはｘに比例するから 原点と（８，20）を通る直線 問題 あるカセットコンロの火力は強火と弱火の２段階に切りかえることができ、それぞれの火力において毎分一定の割合でガスを消費する。このカセットコンロに250ｇのガスが入ったガスボンベを取りつけ、カセットコンロを点火し、はじめは強火で燃焼させ、点火してから40分後に弱火に切りかえて燃焼させると、点火してから90分後にガスが切れ、火が消えた。下の図は、点火してからｘ分後のガスボンベ内のガスの質量をｙｇとして、点火してから弱火に切りかえるまでについて、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）次の㋐～㋒にあてはまる数や式を求めなさい。 ・点火してから20分後のガスボンベ内のガスの質量は（㋐）ｇである。 ・強火のとき、毎分（㋑）ｇの一定の割合でガスを消費する。 ・０≦ｘ≦40のとき、ｘとｙの関係はｙ＝（㋒）と表せる。 2）弱火に切りかえてから火が消えるまでについて、次の①、②に答えなさい。 ①　ｘとｙの関係を表すグラフを図にかき加えなさい。 ②　ｘとｙの関係を式に表しなさい。 3）ガスボンベ内のガスの質量が25ｇとなるのは、点火してから何分後か、求めなさい。 1） ｘ＝20のとき、ｙ＝150だから 150ｇ　㋐ ｘの増加量が10のとき、 ｙの増加量は－50だから －50／10＝－５ 毎分５ｇの割合で消費する　㋑ 切片の値が250、傾き－５だから ｙ＝－５ｘ＋250　㋒ ㋐ 150　㋑ ５　㋒ －５ｘ＋250　 2）① 90分後に０ｇになるから （40，50）と（90，０）を通る直線 2）② ｘの増加量　90－40＝50 ｙの増加量　０－50＝－50 傾き　－50／50＝－１ 切片の値をｂとする ｙ＝－ｘ＋ｂ （90，０）を通るから ０＝－90＋ｂ ｂ＝90 よって、求める式は、 ｙ＝－ｘ＋90 3） ０≦ｙ≦50のとき、ｙ＝－ｘ＋90だから 式にｙ＝25を代入 25＝－ｘ＋90 ｘ＝65 よって、 65分後 問題 マミさんは、数学の授業で出された〔問題〕について、下のように考えノートにまとめた。あとの問いに答えなさい。 〔問題〕 ＡＢ＝６cm、ＡＤ＝12cmの長方形ＡＢＣＤがある。点Ｐは辺ＡＤ上を毎秒２cmの速さで動き、点Ｄに到着すると止まる。点Ｑは辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ上を毎秒３cmの速さで動き、点Ｄに到着すると止まる。点Ｐ、Ｑが点Ａを同時に出発してからｘ秒後の△ＡＰＱの面積をｙcm²とするとき、ｙをｘの式で表しなさい。ただし、ｘの変域も求め、考えられるすべてのパターンを答えなさい。また、ｘとｙの関係をグラフに表しなさい。 〔解答〕 ｘとｙの関係は点Ｑがどの辺上にあるかで変わってくるので、下のように分けて考える。 よって、考えられるパターンは３つで、また、この関係をグラフに表すと、（う）になる。 1）（あ）、（い）にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。 2）点Ｑが辺ＣＤ上にあるときのｙをｘの式で表す計算は間違っているところがある。□の部分で、どのような間違いがあるのかを説明しなさい。また、正しい関係式を求めなさい。 3）（う）にあてはまるグラフを、次のア～エの中から１つ選び、記号で答えなさい。 4）△ＡＰＱの面積が６cm²になるのは何秒後か、すべて求めなさい。 1） 点ＱがＡにあるとき、ｘ＝０ Ｂにあるときは、 ６cmの距離を毎秒３cmで動くから ｘ＝６÷３＝２ よって、ＡＢ上にあるときは ０≦ｘ≦２ 点ＱがＣにあるときは、 18cmの距離を毎秒３cmで動くから ｘ＝18÷３＝６ よって、ＢＣ上にあるときは ２≦ｘ≦６ あ：２　い：６ 2） ＡからＤまでの距離は ６＋12＋６＝24cm ＡからＱまでの距離は 毎秒３cmでｘ秒間動いたから ３×ｘ＝３ｘcm よって、 ＤＱ＝ＰＱ＝（24－３ｘ）cm ※点ＰはＤに止まったまま △ＡＰＱの底辺をＡＰ、高さをＰＱとする。 ｘ≧６のとき、 点ＰはＤに止まったままだから ＡＰ＝12cm よって、面積を求める式は、 ｙ＝（1/2）×12×（24－３ｘ） ｙ＝－18ｘ＋144 間違い ｘ≧６のとき、ＡＰ＝12cmだが、 ＡＰ＝２ｘcmとしている。 式 ｙ＝－18ｘ＋144 3） ０≦ｘ≦２のとき、 ｙ＝３ｘ²だから グラフは放物線になる。 ２≦ｘ≦６のとき、 ｙ＝６ｘだから グラフは右上がりの直線になる。 ６≦ｘ≦８のとき、 ｙ＝－18ｘ＋144だから グラフは右下がりの直線になる。 これらにあてはまるのは、 イ 4） ｙ＝３ｘ²（０≦ｘ≦２） ｙ＝６を代入 ６＝３ｘ² ｘ＝±√２ ０≦ｘ≦２より、ｘ＝√２ ｙ＝６ｘ（２≦ｘ≦６） ｙ＝６を代入 ６＝６ｘ ｘ＝１ ２≦ｘ≦６にあてはまらない ｙ＝－18ｘ＋144（６≦ｘ≦８） ｙ＝６を代入 ６＝－18ｘ＋144 ｘ＝23/3 ６≦ｘ≦８にあてはまる よって、 √２秒後、23/3秒後 👉 動点 👉 一次関数 練習問題 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.25 関数 高校入試対策10 👉 ブログ TOP

関数 高校入試対策9 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の 関数 では、グラフ上の図形を利用した出題があります。ｘ軸やｙ軸と平行な直線、または一次関数の直線と平行な直線を引いて、面積を求める式を立てます。 グラフ上の四角形 問題 図１で、①は関数ｙ＝（2/3）ｘ²のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点である。点Ａの座標は（６，24）であり、点Ｂのｘ座標は負の値をとり、ｙ座標は６である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。 1）点Ｂのｘ座標を求めなさい。 2）①の関数について、ｘの変域が－３≦ｘ≦６のときのｙの変域を求めなさい。 1） 点Ｂは、 ｙ＝（2/3）ｘ²上にあり、ｙ＝６だから ６＝（2/3）ｘ² ｘ²＝９ ｘ＝±３ 負の値をとるから、 －３ 2） グラフは上に開くから ｘの絶対値が大きいほうがｙは最大になる。 ｘ＝６のとき ｙ＝（2/3）×６²＝24 ｘ＝０のとき ｙ＝（2/3）×０＝０で最小 よって、 ０≦ｙ≦24 3）図２は、図１に②と四角形ＡＢＤＣをかき加えたものである。②は関数ｙ＝ａｘ²（ａ＜０）のグラフであり、２点Ｃ、ＤはＡ、Ｂそれぞれからｘ軸に垂直な直線をひいたときの、②との交点である。四角形ＡＢＤＣの面積が180cm²であるとき、ア、イに答えなさい。 ア ａの値を求めなさい。 イ 点Ｄを通り、直線ＡＢに平行な直線の式を求めなさい。 ア ＢＤ、ＡＣはｘ軸に垂直だから 四角形ＡＢＤＣは、ＢＤ//ＡＣの台形である。 点Ｄは、ｙ＝ａｘ²上にあり、 ｘ座標は点Ｂと同じ－３だから ｙ＝ａ×（－３）²＝９ａ よって、 ＢＤ＝６－９ａ 点Ｃは、ｙ＝ａｘ²上にあり、 ｘ座標は点Ａと同じ６だから ｙ＝ａ×６²＝36ａ よって、 ＡＣ＝６－36ａ 高さは、 ＢＤがｘ＝－３、ＡＣがｘ＝６、 ２つの直線はｘ軸に垂直だから ６－（－３）＝９ 台形ＡＢＤＣの面積は180cm²だから （ＢＤ＋ＡＣ）×９×（1/2）＝180 （30－45ａ）×（9/2）＝180 両辺×（2/9） 30－45ａ＝40 両辺×（1/5） ６－９ａ＝８ ａ＝－2/9 イ 点Ｄのｙ座標は、 ９ａ＝９×（－2/9）＝－２ 求める直線の傾きはＡＢと同じ Ａ（６，24）　Ｂ（－３，６） ｘの増加量　６－（－３）＝９ ｙの増加量　24－６＝18 ＡＢの傾きは、18／９＝２ 求める式の切片の値をｂとする ｙ＝２ｘ＋ｂ Ｄ（－３，－２）を通るから －２＝２×（－３）＋ｂ ｂ＝４ よって、求める式は、 ｙ＝２ｘ＋４ 青森県立高入試・過去問 問題 図1で、①は関数ｙ＝（－4/9）ｘ²のグラフであり、点Ａの座標は（２，－４）、点Ｂは①上の点でｘ座標が負の値をとり、ｙ座標は－４である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。 1）点Ｂのｘ座標を求めなさい。 2）①の関数について、ｘの値が３から６まで増加するときの変化の割合を求めなさい。 3）点Ｐをｘ軸上にとり、ＡＢ＝ＡＰとなる二等辺三角形ＡＢＰをつくる。点Ｐのｘ座標が正の値をとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。 1） 点Ｂは、 ｙ＝（－4/9）ｘ²上にあり、ｙ＝－４だから －４＝（－4/9）ｘ² ｘ²＝９ ｘ＝±３ 負の値をとるから、 －３ 2） ｘ＝３のとき、 ｙ＝（－4/9）×３²＝－４ ｘ＝６のとき、 ｙ＝（－4/9）×６²＝－16 ｘの増加量　６－３＝３ ｙの増加量　－16－（－４）＝－12 よって、変化の割合は、 －12／３＝ －４ 3） ＡＢの長さは２点のｘの値の差だから ＡＢ＝２－（－３）＝５cm よって、 ＡＢ＝ＡＰ＝５cm 半直線ＢＡと点Ｐからの垂線との交点をＱとする ＰＱの長さは２点のｙの値の差だから ＰＱ＝０－（－４）＝４ △ＰＡＱにおいて、三平方の定理より ＡＱ²＝ＡＰ²－ＰＱ² ＡＱ²＝５²－４² ＡＱ＝３（ＡＱ＞０） 点Ａがｘ＝２だから、点Ｐはｘ＝５ 点Ｐはｘ軸上だから、ｙ＝０ よって、 （５，０） 4）図２は、図１の①上にｘ座標が６である点Ｃをとり、四角形ＯＢＣＡをかき加えたものである。点Ａを通り、四角形ＯＢＣＡの面積を２等分する直線の式を求めなさい。 点Ｃは、 ｙ＝（－4/9）ｘ²上にあり、ｘ＝６だから ｙ＝（－4/9）×６²＝－16 四角形ＯＢＣＡの面積を、 △ＯＢＡ＋△ＣＢＡとして求める。 △ＯＢＡの底辺ＡＢ＝５cm 高さはＯからＡＢへの垂線４cm △ＯＢＡ＝（1/2）×５×４＝10cm² △ＣＢＡの底辺ＡＢ＝５cm 高さは点ＡとＣのｙの値の差だから －４－（－16）＝12cm 高さは△ＯＢＡの３倍だから △ＣＢＡ＝10cm²×３＝30cm² よって、 四角形ＯＢＣＡ ＝△ＯＢＡ＋△ＣＢＡ ＝10＋30＝40cm² 直線ＢＣとｙ軸との交点をＤとする △ＯＢＡ＝△ＤＢＡ＝10cm²となるから △ＤＢＡの高さｈcmは、 （1/2）×ＡＢ×ｈ＝10 （1/2）×５×ｈ＝10 ｈ＝４cm 点ＡとＢのｙ座標が－４だから 点Ｄのｙ座標は－８ よって、 四角形ＯＢＣＡを２等分する直線は、 Ａ（２，－４）とＤ（０，－８）を通る。 切片の値が－８だから 求める式を、ｙ＝ａｘ－８とする。 （２，－４）を通るから －４＝ａ×２－８ ａ＝２ よって、求める式は、 ｙ＝２ｘ－８ 👉 １次関数 練習問題 👉 ２次関数 練習問題 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.25 関数 高校入試対策9 👉 ブログ TOP

直角三角形の合同 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 直角三角形の合同 では、 斜辺の長さが等しい ことと、 他の１辺または１つの鋭角が等しい ことを見つけて証明します。また、他の３つの合同条件を使って証明する場合もあります。 直角三角形の合同条件 ★斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい ★斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい 問題 下の図について、次の合同条件によって合同であるといえる三角形の組を、記号≡を使って表しなさい。 1）斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい 2）斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい 1） ∠ＥＤＦ＝∠ＫＬＪ＝90° ＥＦ＝ＫＪ ∠ＬＪＫ ＝180°－（90°＋50°）＝40° ∠ＤＦＥ＝∠ＬＪＫ 直角三角形の斜辺と１つの鋭角が等しいから △ＤＥＦ≡△ＬＫＪ 2） ∠ＢＡＣ＝∠ＯＮＭ＝90° ＢＣ＝ＯＭ ＡＣ＝ＮＭ 直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいから △ＡＢＣ≡△ＮＯＭ 問題 下の図で、ＯＰは∠ＸＯＹの二等分線である。点ＰからＯＸ、ＯＹに垂線ＰＡ、ＰＢをひくと、ＯＡ＝ＯＢになることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＯＰと△ＢＯＰにおいて ＯＰは∠ＸＯＹの二等分線だから ∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ　① ＯＸ⊥ＰＡ、ＯＹ⊥ＰＢより ∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ＝90°　② 共通な辺だから ＯＰ＝ＯＰ　③ ①、②、③より 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので △ＡＯＰ≡△ＢＯＰ 問題 下の図で、△ＡＢＣは∠Ｃ＝90°の直角三角形である。斜辺ＡＢ上にＢＣ＝ＢＤとなる点Ｄをとり、Ｄを通り辺ＡＢに垂直な直線と辺ＡＣとの交点をＥとする。このとき、線分ＢＥは∠Ｂの二等分線になることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＢＣＥと△ＢＤＥにおいて ＡＢ⊥ＥＤより、∠ＢＤＥ＝90° ∠ＢＣＥ＝∠ＢＤＥ＝90°　① ＢＣ＝ＢＤ　② 共通な辺だから ＢＥ＝ＢＥ　③ ①、②、③より 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので △ＢＣＥ≡△ＢＤＥ 合同な図形の対応する角は等しいから ∠ＣＢＥ＝∠ＤＢＥ よって、 線分ＢＥは∠Ｂの二等分線になる 問題 下の図のように、∠ＸＯＹの二等分線上に点Ａをとり、点Ａを通り直線ＯＡに垂直な直線をひき、辺ＯＸ、ＯＹとの交点をそれぞれＢ、Ｃとする。このとき、ＢＯ＝ＣＯとなることを、△ＯＡＢと△ＯＡＣが合同であることを用いて証明しなさい。 〔証明〕 △ＯＡＢと△ＯＡＣにおいて 仮定より ∠ＢＯＡ＝∠ＣＯＡ　① ∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＣ　② 共通な辺だから ＯＡ＝ＯＡ　③ ①、②、③より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ＯＡＢ≡△ＯＡＣ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＢＯ＝ＣＯ 問題 下の図の△ＡＢＣで、ＡＢ＝ＡＣ、線分ＡＤが∠Ａの二等分線のとき、ＡＤ⊥ＢＣ、ＢＤ＝ＣＤである。あとの問いに答えなさい。 1）逆を答えなさい。 2）逆が正しいことを証明しなさい。 1） △ＡＢＣで、ＡＤ⊥ＢＣ、ＢＤ＝ＣＤならば、ＡＢ＝ＡＣ、線分ＡＤが∠Ａの二等分線である。 2） 〔証明〕 △ＡＢＤと△ＡＣＤにおいて 仮定より ∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝90°　① ＢＤ＝ＣＤ　② 共通な辺だから ＡＤ＝ＡＤ　③ ①、②、③より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＤ≡△ＡＣＤ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＡＢ＝ＡＣ また、 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤだから 線分ＡＤは∠Ａの二等分線である 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.24 直角三角形の合同 👉 ブログ TOP

合同の証明 練習問題③ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 三角形の合同 を 証明 する問題 では、対応する辺や角が等しい理由を加えながら、２組の三角形が合同であることを結論づけます。問題文にある情報をていねいに読み取って、図に正しく書き込むことが基本になります。 問題 下の図で、∠Ａ＝∠Ｄ、∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢである。このとき、ＡＢ＝ＤＣであることを証明したい。あとの問いに答えなさい。 1）どの三角形とどの三角形の合同を示せばよいか。記号≡を使って表しなさい。 2）1）のときに使う三角形の合同条件を答えなさい。 1） △ＡＢＣと△ＤＣＢにおいて ∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ ＡＢ＝ＤＣ よって、 △ＡＢＣ≡△ＤＣＢ 2） 1）より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい 問題 下の図で、∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ、∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣならば、ＡＢ＝ＤＣであることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＢＣと△ＤＣＢにおいて 仮定より ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ　① ∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ　② 共通な辺だから ＢＣ＝ＣＢ　③ ①、②、③より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＣ≡△ＤＣＢ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＡＢ＝ＤＣ 問題 下の図で、ＡＤとＢＣのそれぞれの中点をＯとするとき、△ＡＯＢ≡△ＤＯＣとなることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＯＢと△ＤＯＣにおいて 仮定より ＡＯ＝ＤＯ　① ＢＯ＝ＣＯ　② 対頂角は等しいから ∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ　③ ①、②、③より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＯＢ≡△ＤＯＣ 問題 下の図のように、△ＡＢＣの辺ＡＣ上にＡＤ＝ＣＥとなる点Ｄ、Ｅをとる。頂点Ｃを通り辺ＡＢに平行な直線をひき、直線ＢＥとの交点をＦとする。また、点Ｄを通りＢＦに平行な直線をひき、辺ＡＢとの交点をＧとする。このとき、ＡＧ＝ＣＦであることを、△ＡＧＤと△ＣＦＥが合同であることを用いて証明しなさい。 △ＡＧＤと△ＣＦＥにおいて 仮定より ＡＤ＝ＣＥ　① ＡＧ//ＦＣより 平行線の錯角は等しいから ∠ＧＡＣ＝∠ＦＣＡ すなわち ∠ＧＡＤ＝∠ＦＣＥ　② ＧＤ//ＢＦより 同位角は等しいから ∠ＡＤＧ＝∠ＡＥＢ　③ 対頂角は等しいから ∠ＣＥＦ＝∠ＡＥＢ　④ ③、④より ∠ＡＤＧ＝∠ＣＥＦ　⑤ ①、②、⑤より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ＡＧＤ≡△ＣＦＥ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＡＧ＝ＣＦ 問題 下の図のように、∠ＢＣＡ＝90°の直角三角形ＡＢＣと、辺ＡＢを１辺とする正方形ＥＢＡＤ、辺ＢＣを１辺とする正方形ＢＦＧＣがある。線分ＡＦ、ＥＣをひき、ＡＦとＥＣの交点をＨとする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）∠ＡＢＣ＝35°のとき、∠ＤＡＧの大きさを求めなさい。 2）△ＡＢＦ≡△ＥＢＣであることを証明しなさい。 1） ＥＢＡＤは正方形だから ∠ＤＡＢ＝90° △ＡＢＣにおいて ∠ＣＡＢ ＝180°－（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ） ＝180°－（35°＋90°）＝55° ∠ＤＡＧ＝∠ＤＡＢ＋∠ＣＡＢだから ∠ＤＡＧ＝90°＋55°＝145° 2） △ＡＢＦと△ＥＢＣにおいて 仮定より ＡＢ＝ＥＢ　① ＢＦ＝ＢＣ　② ∠ＡＢＦ＝∠ＦＢＣ＋∠ＡＢＣ 　　　　＝90°＋∠ＡＢＣ　③ ∠ＥＢＣ＝∠ＥＢＡ＋∠ＡＢＣ 　　　　＝90°＋∠ＡＢＣ　④ ③、④より ∠ＡＢＦ＝∠ＥＢＣ　⑤ ①、②、⑤より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＦ≡△ＥＢＣ 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.24 合同の証明 練習問題③ 👉 ブログ TOP

合同の証明 練習問題② 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 三角形の合同 では、 証明 に関する問題があります。３つの合同条件に合うように、等しい辺や角の組を見つけていきます。また、等しい辺や角、合同な三角形は、対応する頂点をそろえて表す必要があります。 問題 下の図で、四角形ＡＢＣＤと四角形ＰＱＲＳが合同であるとき、あとの問いに答えなさい。 1）２つの四角形の合同を、記号≡を使って表しなさい。 2）∠Ｄに対応する角はどれですか。 3）辺ＰＳに対応する角はどれですか。 4）辺ＡＢの長さと∠Ｒの大きさをそれぞれ求めなさい。 1） 四角形ＡＢＣＤ≡四角形ＰＱＲＳ 2） ∠Ｓ 3） 辺ＡＤ 4） ＡＢ＝７cm　∠Ｒ＝85° 問題 次の合同な２つの三角形について、その合同条件を答えなさい。 1） 2） 1） １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい 2） ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい 問題 下の図で、合同な三角形の組を２組見つけ、記号≡を使って表しなさい。また、そのときに使った合同条件を答えなさい。 △ＡＢＣ≡△ＱＲＰ １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい △ＧＨＩ≡△ＯＭＮ ３組の辺がそれぞれ等しい 👉 対応する頂点の順に表す 問題 次のそれぞれの図形で、合同な三角形の組を見つけ、記号≡を使って表し、使った合同条件も答えなさい。ただし、それぞれの図で、同じ印をつけた辺は等しいとする。 1） △ＡＣＯと△ＢＤＯにおいて ＡＯ＝ＢＯ　① ＣＯ＝ＤＯ　② 対頂角は等しいから ∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ　③ ①、②、③より △ＡＣＯ≡△ＢＤＯ ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい 2） △ＡＢＤと△ＣＤＢにおいて ＡＢ＝ＣＤ　① ＡＤ＝ＣＢ　② 共通な辺だから ＢＤ＝ＤＢ　③ ①、②、③より △ＡＢＤ≡△ＣＤＢ ３組の辺がそれぞれ等しい ※ 四角形ＡＢＣＤは対辺が等しく、 対角が等しくなるから ∠ＢＡＤ＝∠ＤＣＢ　④ ①、②、④より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい ※ 四角形ＡＢＣＤは対辺が等しいから ＡＤ//ＢＣ、ＡＢ//ＤＣ 平行線の錯角は等しいから ∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ　⑤ ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ　➅ ③、⑤、➅より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい 問題 下の図で、ＡＤ＝ＡＥ、∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢであるとき、△ＡＣＤと合同な三角形を記号≡を使って表しなさい。また、それらが合同であることを証明するときに使う三角形の合同条件を答えなさい。 △ＡＣＤと△ＡＢＥにおいて ＡＤ＝ＡＥ　① ∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ　② 共通な角だから ∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＥ　③ ①、②、③より △ＡＣＤ≡△ＡＢＥ １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい 合同の証明 問題 下の図で、四角形ＡＢＣＤは正方形であり、△ＥＢＣは辺ＢＣを底辺とする二等辺三角形である。このとき、ＡＥ＝ＤＥであることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＥＢと△ＤＥＣにおいて 仮定より ＡＢ＝ＤＣ　① ＥＢ＝ＥＣ　② ∠ＡＢＥ＝90°－∠ＥＢＣ　③ ∠ＤＣＥ＝90°－∠ＥＣＢ　④ △ＥＢＣは辺ＢＣを底辺とする二等辺三角形だから ∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ　⑤ ③、④、⑤より ∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ　➅ ①、②、➅より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＥＢ≡△ＤＥＣ 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.23 合同の証明 練習問題② 👉 ブログ TOP

二等辺三角形の証明 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 二等辺三角形 の性質を利用する証明では、根拠となる「２辺と底角が等しいこと」や「頂角の二等分線が底辺を垂直に二等分すること」に注目します。 問題 下の図で、△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。∠Ｂ、∠Ｃのそれぞれの二等分線の交点をＰとすると、△ＰＢＣは二等辺三角形になることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形だから ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ　① ＰＢは∠ＡＢＣの二等分線だから ∠ＰＢＣ＝（1/2）∠ＡＢＣ　② ＰＣは∠ＡＣＢの二等分線だから ∠ＰＣＢ＝（1/2）∠ＡＣＢ　③ ①、②、③より ∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＢ △ＰＢＣの底角が等しいから △ＰＢＣは二等辺三角形である 問題 下の図で、△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形で、ＢＤ＝ＣＥである。このとき、△ＡＤＥが二等辺三角形になることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて 仮定より ＡＢ＝ＡＣ　① ＢＤ＝ＣＥ　② △ＡＢＣの底角は等しいから ∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ　③ ①、②、③より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＤ≡△ＡＣＥ よって、 ＡＤ＝ＡＥ ２辺が等しいから、△ＡＤＥは二等辺三角形である 。 問題 下の図で、∠Ｂの二等分線と辺ＡＣとの交点をＤ、Ｄを通り、辺ＢＣに平行な直線と辺ＡＢとの交点をＥとする。このとき、△ＥＢＤは二等辺三角形になることを証明しなさい。 〔証明〕 ＢＤは∠Ｂの二等分線だから ∠ＥＢＤ＝∠ＣＢＤ　① ＢＣ//ＥＤより 平行線の錯角は等しいから ∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ　② ①、②より ∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ △ＥＢＤの底角が等しいから △ＥＢＤは二等辺三角形である 問題 下の図で、ＣＡ＝ＣＢ、ＤＡ＝ＤＢとする。あとの問いに答えなさい。 1）∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤであることを証明しなさい。 2）1）の結果から、ＣＤが線分ＡＢの垂直二等分線であることを証明しなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＣＤと△ＢＣＤにおいて ＣＡ＝ＣＢ　① ＤＡ＝ＤＢ　② 共通な辺だから ＣＤ＝ＣＤ　③ ３組の辺がそれぞれ等しいので △ＡＣＤ≡△ＢＣＤ 合同な図形の対応する角は等しいから ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ 2） △ＣＡＥと△ＣＢＥにおいて ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤより ∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＥ　④ ＣＡ＝ＣＢ　⑤ 共通な辺だから ＣＥ＝ＣＥ　➅ ④、⑤、➅より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＣＡＥ≡△ＣＢＥ 合同な図形の対応する辺と角は等しいから ＡＥ＝ＢＥ　⑦ ∠ＣＥＡ＝∠ＣＥＢ＝90°　⑧ ⑦、⑧より ＣＤは線分ＡＢの垂直二等分線である 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中　大野中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2025年11月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.12.23 二等辺三角形の証明 👉 ブログ TOP