１学期末考査 中１数学 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 ７月がスタートしました。中学生は６月下旬に 期末考査 があり、テスト後の考査解説を行っています。ここ数年、１学期の中間考査をなくして期末のみを実施する学校が多くなりました。初めての考査を終えた１年生には、これからの勉強法についてアドバイスを行いました。 正負の計算・四則計算 問題 次の計算をしなさい。 1）（－13）＋（－8） 2）（－15）＋（＋7） 3）（－5）＋（＋5） 4）（－4）＋（＋2.1） 5）（－3）－（－7） 6）（＋10）－（－2） 1） （－13）＋（－8） ＝－13－8 ＝ －21 2） （－15）＋（＋7） ＝－15＋7 ＝ －8 3） （－5）＋（＋5） ＝－5＋5 ＝ ０ 4） （－4）＋（＋2.1） ＝－4.0＋2.1 ＝ －1.9 5） （－3）－（－7） ＝－3＋7 ＝ 4 6） （＋10）－（－2） ＝10＋2 ＝ 12 問題 次の計算をしなさい。 1）7×（5－13） 2）2－5×（2－5）² 3）5×（－3）－20÷（－2） 4）（－8²）÷16＋（－3） 5）（－9）²－5² 6） 27/4÷（－3/8）－（－12）×（－5/2） 1） 7×（5－13） ＝7×（－8） ＝ －56 2） 2－5×（2－5）² ＝2－5×（－3）² ＝2－5×9 ＝2－45 ＝ －43 3） 5×（－3）－20÷（－2） ＝－15＋10 ＝ －5 4） （－8²）÷16＋（－3） ＝－64÷16－3 ＝－4－3 ＝ －7 5） （－9）²－5² ＝81－25 ＝ 56 6） 27/4÷（－3/8）－（－12）×（－5/2） ＝－27/4×8/3－30 ＝－18－30 ＝ －48 数の範囲・加減乗除 問題 次の□と△にどんな自然数を入れても、計算の結果がつねに自然数になるものはどれか。㋐～㋓の中からあてはまるものをすべて答えなさい。 ㋐　□＋△ ㋑　□－△ ㋒　□ × △ ㋓　□ ÷ △ 自然数：正の整数 （+1,2,3...） ㋑は、１－２＝－１ ㋓は、１÷２＝1/2 となり、あてはまらない。 よって、 ㋐・㋒ 問題 下の表は、表の左にあげた数の集合で四則を考えるものである。計算がその集合でいつでもできる場合には○を、できるとは限らない場合には✖を書きなさい。ただし、０でわる除法は考えない。 自然数 減法　✖ 　１－２＝－１ 除法　✖ 　１÷２＝1/2 整数 除法　✖ 　１÷２＝1/2 これら３つ以外はすべて○ 絶対値 問題 絶対値が7/3より小さい整数をすべて答えなさい。 絶対値：０からの距離 絶対値が7/3だから、－7/3と＋7/3の間にある整数 7/3＝2.333... －２，－１，０，１，２ 素因数分解 問題 2023＝７×17×17である。2023を割り切ることができる自然数の中で、2023の次に大きな自然数を求めなさい。 2023の約数 1と2023 2023＝7×17×17だから 7と17と119（7×17）と289（17²） 2023の次に大きい約数だから、 289 問題 3780／□が自然数の平方となるような、もっとも小さい、□にあてはまる自然数を求めなさい。 平方数：２乗の形になる数 4＝2²、9＝3²、100＝10²　 「3780／□が自然数の平方となる」 →約分して□が１、分子が２乗の形になるとき 3780の約数 3780を素因数分解する 3780 ＝２²×３³×５×７　※ ＝２²×３²× ３×５×７ □が３×５×７のとき、約分すると２²×３²＝６²になる。 よって、３×５×７＝ 105 ※□が３³×５×７のとき、約分すると２²だが、３³×５×７＝315になる。 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.5 １学期末考査 中１数学 👉 ブログ TOP

確率 高校数学 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校数Ａでは、「 確率 」の学習があります。２個のさいころがゾロ目になる場合のように、起こり得るすべての場合（36通り）と特定の場合（6通り）をもとに確率（1/6）を求めます。集合、順列、組合せの学習が基本になります。 問題 1）Ａ、Ｂの２人を含む６人のリレー選手がいる。走る順番をくじ引きで決めるとき、Ａが１番目、Ｂが６番目になる確率を求めよ。 2）Ａ、Ｂの２人を含む４人が、くじ引きで順番を決めて横１列に並ぶとき、次の場合の確率を求めよ。 　①　Ａが左端に並ぶ。 　②　Ｂが左端、Ａが右端に並ぶ。 1） ６人全員の並び順 ₆Ｐ₆＝６！ 他の４人の並び順 ₄Ｐ₄＝４！ 求める確率 ４！/６！ ＝4・3・2・1 / 6・5・4・3・2・1 ＝ 1/30 2）① ４人全員の並び順　４！ 他の３人の並び順　３！ ３！/４！ ＝3・2・1 / 4・3・2・1 ＝ 1/4 ② 他の２人の並び順 ２！/４！ ＝2・1 / 4・3・2・1 ＝ 1/12 問題 1）赤玉４個、白玉５個の入った袋から、２個の玉を同時に取り出すとき、赤玉１個、白玉１個が出る確率を求めよ。 2）大人６人、子ども４人の合計10人の中から抽選で４人を選ぶとき、次のように選ばれる確率を求めよ。 　①　大人が２人、子どもが２人 　②　全員が子ども 1） 計９個から２個取り出す組合せ ₉Ｃ₂ ＝9・8 / 2・1 ＝36通り 赤玉４個から１個取り出す組合せ ₄Ｃ₁＝４通り 白玉５個から１個取り出す組合せ ₅Ｃ₁＝５通り 赤玉１個、白玉１個取り出す組合せ 積の法則より　４×５＝20通り 以上から 20/36＝ 5/9 2）① 計10人から４人選ぶ組合せ 10 Ｃ₄ ＝10・9・8・7 / 4・3・2・1 ＝210通り 大人６人から２人選ぶ組合せ ₆Ｃ₂ ＝6・5 / 2・1 ＝15通り 子ども４人から２人選ぶ組合せ ₄Ｃ₂ ＝4・3 / 2・1 ＝６通り 大人２人、子ども２人選ぶ組合せ 15×６＝90 以上から 90/210＝ 3/7 ② 子ども４人から４人選ぶ組合せ ₄Ｃ₄＝1通り 以上から 1/210 Ａ、Ｂの積事象　Ａ∩Ｂ ＡとＢがともに起こる Ａ、Ｂの和事象　Ａ∪Ｂ ＡまたはＢが起こる 問題 1から10までの番号札10枚から１枚引くとき、「奇数の番号を引く」という事象をＡ、「７以上の番号を引く」という事象をＢとする。積事象Ａ∩Ｂ、和事象Ａ∪Ｂを集合で表せ。 Ａ＝｛1,3,5,7,9｝ Ｂ＝｛7,8,9,10｝ Ａ∩Ｂ＝｛7,9｝ Ａ∪Ｂ＝｛1,3,5,7,8,9,10｝ 排反 事象Ａ、Ｂが同時に起こらない Ａ∩Ｂ＝∅（空事象） 問題 １個のさいころを投げるとき、「偶数の目が出る」という事象をＡ、「２以下の目が出る」という事象をＢ、「３の倍数の目が出る」という事象をＣとする。どの事象とどの事象が互いに排反であるか。 Ａ＝｛2,4,6｝　Ｂ＝｛1,2｝　Ｃ＝｛3,6｝ Ａ∩Ｂ＝｛2｝ Ａ∩Ｃ＝｛6｝ Ｂ∩Ｃ＝∅ よって、 ＢとＣ 加法定理 事象Ａ、Ｂが互いに 排反である とき Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ） 問題 １等から４等の当たる確率が、下のようなくじ引きがある。 １等　確率 2/100 ２等　確率 5/100 ３等　確率 10/100 ４等　確率 20/100 このくじ引きを１回行うとき、各等が当たる事象は互いに排反である。このとき、次の場合の確率を求めよ。 1）３等または４等が当たる。 2）２等から４等までのいずれかが当たる。 1） 加法定理より 10/100＋20/100 ＝30/100 ＝ 3/10 2） 5/100＋10/100＋20/100 ＝35/100 ＝ 7/20 問題 赤玉４個、白玉５個の入った袋から、２個の玉を同時に取り出すとき、２個が同じ色である確率を求めよ。 ２個とも同じ色 Ａ「２個とも赤玉が出る」 Ｂ「２個とも白玉が出る」 和事象Ａ∪Ｂ（ＡまたはＢ）、ＡとＢは互いに排反 計９個から２個取り出す組合せ ₉Ｃ₂＝36通り 赤玉４個から２個取り出す組合せ ₄Ｃ₂＝６通り 確率Ｐ（Ａ）＝6/36 白玉５個から２個取り出す組合せ ₅Ｃ₂＝10通り 確率Ｐ（Ｂ）＝10/36 加法定理より Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ） ＝6/36＋10/36 ＝16/36 ＝ 4/9 問題 赤玉２個、白玉３個、青玉４個の入った袋から、３個の玉を同時に取り出すとき、３個とも同じ色である確率を求めよ。 計９個から３個取り出す組合せ ₉Ｃ₃＝84通り 白玉３個から３個取り出す組合せ ₃Ｃ₃＝1通り 確率　1/84 青玉４個から３個取り出す組合せ ₄Ｃ₃＝4通り 確率　4/84 赤玉の場合なし よって、 1/84＋4/84 ＝ 5/84 余事象 事象Ａに対して「Ａが起こらない」（Ａ⁻・Ａバー） ＡとＡ⁻は互いに排反 加法定理から Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ａ⁻）＝１ Ｐ（Ａ⁻）＝１－Ｐ（Ａ） 問題 1）１から100までの100枚の番号札から１枚引くとき、５の倍数でない番号を引く確率を求めよ。 2）１から200までの200枚の番号札から１枚引くとき、３の倍数でない番号を引く確率を求めよ。 1） ５の倍数を引く確率 1から100までのうち、５の倍数は、 100÷5＝20枚 よって、求める確率は、 1－20/100 ＝80/100 ＝ 4/5 2） ３の倍数を引く確率 1から200までのうち、３の倍数は、 200÷3＝66.6..だから、66枚 よって、求める確率は、 1－66/200 ＝134/200 ＝ 67/100 問題 １から９までの番号札９枚から４枚を同時に引くとき、少なくとも１枚が偶数の番号である確率を求めよ。 「４枚とも奇数」の余事象である 計９枚から４枚引く組合せ ₉Ｃ₄＝126通り ５枚の奇数札から４枚引く組合せ ₅Ｃ₄＝5通り ４枚とも奇数を引く確率は、5/126 求めるのはこの余事象の確率だから 1－5/126 ＝ 121/126 問題 ２個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）少なくとも１個は２の目が出る。 2）異なる目が出る。 1） 「２個とも２以外の目が出る」の余事象 出る目は全部で、6×6＝36通り １個で２以外の目が出る確率は、5/6 ２個で、5/6×5/6＝25/36 求めるのはこの余事象の確率だから 1－25/36 ＝ 11/36 2） 「同じ目が出る」の余事象 同じ目が出るのは6通り、確率は6/36＝1/6 この余事象の確率だから 1－1/6 ＝ 5/6 一般の和事象の確率 事象Ａ、Ｂが互いに 排反でない とき Ｐ（Ａ∪Ｂ） ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ∩Ｂ） ※ＡとＢに重複している要素は除く 問題 1から30までの30枚の番号札から１枚引くとき、その番号が２の倍数または３の倍数である確率を求めよ。 Ａ「２の倍数」 Ｂ「３の倍数」 ＡまたはＢを引くときだから、Ｐ（Ａ∪Ｂ）を求める。 Ａ＝｛2・1, 2・2, 2・3 , ..., 2・15｝ 15通り Ｂ＝｛3・1, 3・2 , 3・3, ..., 3・10｝ 10通り Ａ∩Ｂ ＝｛ 6・1 , 6・2, 6・3, 6・4, 6・5｝ 5通り ２の倍数を引く確率　15/30 ３の倍数を引く確率　10/30 ２の倍数かつ３の倍数を引く確率　5/30 以上から 15/30＋10/30－5/30 ＝20/30 ＝ 2/3 問題 1から50までの50枚の番号札から１枚引くとき、その番号が次のような数である確率を求めよ。 1）３の倍数または４の倍数 2）３の倍数でも４の倍数でもない数 1） ３の倍数｛3・1, 3・2, 3・3, ..., 3・16｝ 16通り ４の倍数｛4・1, 4・2, 4・3, ..., 4・12｝ 12通り ３の倍数かつ４の倍数 ｛12・1, 12・2, 12・3, 12・4｝ 4通り ３の倍数を引く確率　16/50 ４の倍数を引く確率　12/50 ３の倍数かつ４の倍数を引く確率　4/50 以上から 16/50＋12/50－4/50 ＝24/50 ＝ 12/25 2） 1）の余事象であるから 1－12/25 ＝ 13/25 独立な試行の確率 ２つの試行ＳとＴが独立であるとき、Ｓで事象Ａが起こり、かつＴで事象Ｂが起こる確率ｐ ｐ＝Ｐ（Ａ）×Ｐ（Ｂ） 問題 １枚の硬貨と１個のさいころを投げるとき、硬貨は表が出て、さいころは５以上の目が出る確率を求めよ。 ２つの試行は独立である １枚の硬貨で表が出る 確率　1/2 １個のさいころで５以上の目が出る（５と６） 確率　2/6 以上から 1/2×2/6＝ 1/6 問題 ２枚の硬貨と１個のさいころを投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）硬貨は２枚とも表が出て、さいころは偶数の目が出る。 2）硬貨は１枚だけ表が出て、さいころは２以下の目が出る。 1） 硬貨 すべての組合せ　4通り ※表/表、裏/裏、表/裏、裏/表 ２枚とも表が出る組合せ　1通り 確率　1/4 さいころ 偶数の目が出る　3通り（2,4,6） 確率　3/6 以上から 1/4×3/6＝ 1/8 2） 硬貨 １枚だけ表が出る組合せ　2通り 確率　2/4 さいころ ２以下の目が出る　2通り（1,2） 確率　2/6 以上から 2/4×2/6＝ 1/6 問題 １個のさいころを３回続けて投げるとき、３回とも１以外の目が出る確率を求めよ。 １以外の目が出る確率　5/6 それぞれの試行は独立であるから （5/6）³ ＝ 125/216 問題 １枚の硬貨を３回続けて投げるとき、次の確率を求めよ。 1）３回とも表が出る確率 2）少なくとも１回は裏が出る確率 1） １回の試行で表が出る確率　1/2 それぞれの試行は独立であるから （1/2）³ ＝ 1/8 2） 「３回とも表が出る」の余事象 1－1/8 ＝ 7/8 問題 Ａの袋には赤玉３個と白玉２個、Ｂの袋には赤玉２個と白玉４個が入っている。Ａ、Ｂの袋から１個ずつ玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。 1）ともに赤玉を取り出す確率 2）同じ色の玉を取り出す確率 3）Ａから赤玉、Ｂから白玉を取り出す確率 4）Ａ、Ｂから取り出す玉の色が異なる確率 1） Ａの袋 赤玉を取り出す確率　3/5 Ｂの袋 赤玉を取り出す確率　2/6 それぞれの試行は独立であるから 3/5×2/6 ＝ 1/5 2） Ａの袋 白玉を取り出す確率　2/5 Ｂの袋 白玉を取り出す確率　4/6 ともに白玉を取り出す確率は 2/5×4/6 ＝4/15 「ともに赤玉を取り出す」「ともに白玉を取り出す」の２つの事象は排反だから、 加法定理より 1/5＋4/15 ＝ 7/15 反復試行の確率 １回の試行で事象Ａの起こる確率をｐ この試行をｎ回行う反復試行で、Ａがちょうどｒ回起こる確率 nＣr×ｐのｒ乗×（１－ｐ）のｎ－ｒ乗 問題 １枚の硬貨を５回投げて表がちょうど２回出る確率を求めよ。 １回の試行 表が出る確率　1/2 反復試行を５回行い、表が２回出るから ₅Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）⁵⁻² ＝10×1/4×1/8 ＝ 5/16 問題 １個のさいころを４回投げるとき、１の目がちょうど３回出る確率を求めよ。 １回の試行 １の目が出る確率　1/6 反復試行を４回行い、１の目が３回出るから ₄Ｃ₃×（1/6）³×（1－1/6）⁴⁻³ ＝4×1/216×5/6 ＝1/54×5/6 ＝ 5/324 問題 赤玉２個、白玉４個の入った袋から玉を１個取り出し、色を見てからもとにもどす。この試行を６回行うとき、次の確率を求めよ。 1）赤玉が５回以上出る確率 2）６回目に３度目の赤玉が出る確率 1） １回の試行 赤玉が出る確率　2/6＝1/3 ６回のうち赤玉が５回以上出るのは、 「赤玉が５回出る」または「赤玉が６回出る」確率 反復試行を６回行い、赤玉が５回出る確率は、 ₆Ｃ₅×（1/3）⁵×（1－1/3）⁶⁻⁵ ＝6×1/243×2/3 ＝4/243 反復試行を６回行い、赤玉が６回出る確率は、 （1/3）⁶ ＝1/729 ２つの事象は排反であるから、加法定理より、 4/243＋1/729 ＝12/729＋1/729 ＝ 13/729 2） 「５回目までに赤玉が２回出て、６回目にもう１回出る」確率 ５回目までに赤玉が２回出る確率は、 ₅Ｃ₂×（1/3）²×（1－1/3）⁵⁻² ＝10×1/9×8/27 ＝80/243 ６回目に赤玉が出る確率は、 2/6＝1/3 ２つの試行は独立であるから 80/243×1/3 ＝ 80/729 問題 赤玉６個、白玉４個の入った袋から玉を１個取り出し、色を見てからもとにもどす。この試行を５回行うとき、次の確率を求めよ。 1）赤玉が４回以上出る確率 2）５回目に２度目の赤玉が出る確率 1） １回の試行 赤玉が出る確率　6/10＝3/5 ５回のうち赤玉が４回以上出るのは、 「赤玉が４回出る」または「赤玉が５回出る」確率 反復試行を５回行い、赤玉が４回出る確率は、 ₅Ｃ₄×（3/5）⁴×（1－3/5）⁵⁻⁴ ＝5×81/625×2/5 ＝162/625 反復試行を５回行い、赤玉が５回出る確率は、 （3/5）⁵ ＝243/3125 ２つの事象は排反であるから、加法定理より、 162/625＋243/3125 ＝810/3125＋243/3125 ＝ 1053/3125 2） 「４回目までに赤玉が１回出て、５回目にもう１回出る」確率 ４回目までに赤玉が１回出る確率は、 ₄Ｃ₁×3/5×（1－3/5）⁴⁻¹ ＝4×3/5×8/125 ＝96/625 ５回目に赤玉が出る確率は3/5 ２つの試行は独立であるから 96/625×3/5 ＝ 288/3125 問題 数直線上を動く点Ｐが原点の位置にある。１枚の硬貨を投げて、表が出たときはＰを正の向きに２だけ進め、裏が出たときＰを負の向きに１だけ進める。硬貨を６回投げ終わったとき、Ｐが原点にもどっている確率を求めよ。 表の回数ｒ回とすると、裏の回数は（６－ｒ）回 表が出たとき ＋２×ｒ＝２ｒ　進む 裏が出たとき －１×（６－ｒ）＝ｒ－６　進む Ｐの位置はこれらの和だから、 ２ｒ＋（ｒ－６） ＝３ｒ－６ 原点の０の位置に戻るのは、 ３ｒ－６＝０ ｒ＝２ よって、Ｐが原点に戻るのは表が２回出たとき（反復試行を６回行い、表が２回出る確率） 表が出る確率　1/2 したがって、求める確率は ₆Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）⁶⁻² ＝15×1/4×1/16 ＝ 15/64 問題 数直線上を動く点Ｐが原点の位置にある。１枚の硬貨を投げて、表が出たときはＰを正の向きに２だけ進め、裏が出たときはＰを負の向きに３だけ進める。硬貨を５回投げ終わったとき、Ｐが原点にもどっている確率を求めよ。 表の回数ｒ回とすると、裏の回数は（５－ｒ）回 表が出たとき ＋２×ｒ＝２ｒ　進む 裏が出たとき －３×（５－ｒ）＝３ｒ－15　進む Ｐの位置はこれらの和だから、 ２ｒ＋（３ｒ－15） ＝５ｒ－15 原点の０の位置に戻るのは、 ５ｒ－15＝０ ｒ＝３ よって、Ｐが原点に戻るのは表が３回出たとき（反復試行を５回行い、表が３回出る確率） 表が出る確率　1/2 したがって、求める確率は ₅Ｃ₃×（1/2）³×（1－1/2）⁵⁻³ ＝10×1/8×1/4 ＝ 5/16 条件付き確率 １つの試行において、事象Ａが起こったとして、そのときに事象Ｂの起こる確率をＰ A （Ｂ）で表す。 　　　　　　Ｐ（Ａ∩Ｂ） Ｐ A （Ｂ）＝ ━━━━━━ 　　　　　　　Ｐ（Ａ） 問題 ある博物館の入館者のうち、全体の20％が高校生で、全体の15％が前売り券で入館した高校生である。入館した高校生の中から１人を選び出すとき、その人が前売り券で入館している確率を求めよ。 入館者全体から選ばれた１人が Ａ「高校生である」 Ｂ「前売り券で入館している」 Ｐ（Ａ）＝20/100 Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝15/100 よって、求める確率は Ｐ A （Ｂ） ＝15/100÷20/100 ＝15/20 ＝ 3/4 問題 大人と子どもの人数の比が３：２であるグループに、ある提案をしたところ、子どもで賛成した人数は全体の15％であった。このグループの子どもの中から１人を選び出すとき、その人が提案に賛成である確率を求めよ。 グループから選ばれた１人が Ａ「子どもである」 Ｂ「提案に賛成している」 Ｐ（Ａ）＝2/5 Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝15/100 よって、求める確率は Ｐ A （Ｂ） ＝15/100÷2/5 ＝ 3/8 乗法定理 事象Ａ、Ｂがともに起こる確率 Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝Ｐ（Ａ）ＰA（Ｂ） 問題 当たりくじ４本を含む10本のくじを、Ａ、Ｂの２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、引いたくじはもとにもどさない。このとき、次の確率を求めよ。 1）２人とも当たる確率 2）Ａが当たり、Ｂがはずれる確率 3）Ａがはずれ、Ｂが当たる確率 4）２人ともはずれる確率 1） Ａ「Ａが当たる」 Ｂ「Ｂが当たる」 Ａが当たる確率　4/10 Ａが当たったときに、残り９本で当たり３本を含むから、 条件付き確率 ＰA（Ｂ）＝3/9 求める確率は、乗法定理より Ｐ（Ａ∩Ｂ） ＝4/10×3/9 ＝ 2/15 2） Ａ「Ａが当たる」 Ｂ「Ｂがはずれる」 Ａが当たったときに、残り９本ではずれ６本を含むから、 条件付き確率 ＰA（Ｂ）＝6/9 求める確率は、乗法定理より Ｐ（Ａ∩Ｂ） ＝4/10×6/9 ＝ 4/15 3） Ａ「Ａがはずれる」 Ｂ「Ｂが当たる」 Ａがはずれる確率　6/10 Ａがはずれたときに、残り９本で当たり４本を含むから、 条件付き確率 ＰA（Ｂ）＝4/9 求める確率は、乗法定理より Ｐ（Ａ∩Ｂ） ＝6/10×4/9 ＝ 4/15 4） Ａ「Ａがはずれる」 Ｂ「Ｂがはずれる」 Ａがはずれたときに、残り９本ではずれ５本を含むから、 条件付き確率 ＰA（Ｂ）＝5/9 求める確率は、乗法定理より Ｐ（Ａ∩Ｂ） ＝6/10×5/9 ＝ 1/3 問題 赤玉３個、白玉10個の入った袋から、玉を１個ずつ３個取り出す。ただし、取り出した玉はもとにもどさない。このとき、取り出した玉がすべて赤玉である確率を求めよ。 １回目に赤玉を取り出す確率　3/13 ２回目に赤玉を取り出す確率　2/12 ３回目に赤玉を取り出す確率　1/11 求める確率は、乗法定理より 3/13×2/12×1/11 ＝ 1/286 問題 当たりくじを３本含む10本のくじを、Ａ、Ｂの２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、引いたくじはもとにもどさない。このとき、Ｂが当たる確率を求めよ。 事象① Ａが当たり、Ｂも当たる確率 Ａが当たる確率　3/10 Ｂが当たる確率　2/9 乗法定理より 3/10×2/9＝6/90 事象② Ａがはずれ、Ｂが当たる確率 Ａがはずれる確率　7/10 Ｂが当たる確率　3/9 乗法定理より 7/10×3/9＝21/90 ①、②は互いに排反であるから、 加法定理より 6/90＋21/90 ＝27/90 ＝ 3/10 問題 当たりくじ５本を含む12本のくじを、Ａ、Ｂの２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、引いたくじはもとにもどさない。このとき、Ｂが当たる確率を求めよ。 事象① Ａが当たり、Ｂも当たる確率 Ａが当たる確率　5/12 Ｂが当たる確率　4/11 乗法定理より 5/12×4/11＝20/132 事象② Ａがはずれ、Ｂが当たる確率 Ａがはずれる確率　7/12 Ｂが当たる確率　5/11 乗法定理より 7/12×5/11＝35/132 ①、②は互いに排反であるから、 加法定理より 20/132＋35/132 ＝55/132 ＝ 5/12 期待値 数量Ｘの値と確率 Ｘ　ｘ₁，ｘ₂，ｘ₃，...，ｘn 確率ｐ₁，ｐ₂，ｐ₃，...，ｐn Ｘの期待値は ｘ₁ｐ₁＋ｘ₂ｐ₂＋ｘ₃ｐ₃＋...＋ｘnｐn 問題 ５枚の硬貨を同時に投げて、表の出た硬貨の枚数が５、４、３の場合に、それぞれ得点40、16、４を得るが、それ以外の場合には得点は得られないとする。得点の期待値を求めよ。 ５枚の硬貨を同時に投げる 表と裏の出方　２⁵＝32通り 表が５枚出る確率 （1/2）⁵＝1/32 表が４枚出る確率 ₅Ｃ₄×（1/2）⁴×（1－1/2）⁵⁻⁴ ＝5×1/16×1/2 ＝5/32 表が３枚出る確率 ₅Ｃ₃×（1/2）³×（1－1/2）⁵⁻³ ＝10×1/8×1/4 ＝5/16 よって、求める期待値は 40×1/32＋5/32×16＋5/16×4 ＝20/4 ＝ 5 問題 次の①、②の２つの場合のいずれかが選べるとき、どちらを選んだ方が、得られる金額の期待値が大きいか。 ①　確実に30000円得られる場合 ②　40000円得られる確率が0.8で、何も得られない確率が0.2である場合 ②の期待値 40000×0.8＋0×0.2 ＝32000 よって、 ② 問題 次の①～③の３つの場合の中で、得られる金額の期待値が最も大きいのはどれか。 ①　確実に600円得られる場合 ②　硬貨を１枚投げて、表が出たら1000円、裏が出たら500円得られる場合 ③　さいころを１回投げて、200円に出た目を掛けた金額が得られる場合 ②の期待値 1000×1/2＋500×1/2 ＝750 ③の期待値 1/6×200×（1+2+3+4+5+6） ＝700 よって、 ② 問題 赤玉２個と白玉３個が入った袋から、３個の玉を同時に取り出し、出た赤玉１個につき100円もらえるゲームがある。このゲームの参加料が150円であるとき、このゲームに参加することは得であるといえるか。 計５個から３個を取り出す組合せ ₅Ｃ₃＝10通り 赤玉０個（白玉３個）の確率 白玉３個から３個取り出す組合せ ₃Ｃ₃＝1通り 確率　1/10 赤玉１個の確率 赤玉２個から１個、白玉３個から２個取り出す組合せ ₂Ｃ₁×₃Ｃ₂＝6通り 確率　6/10 赤玉２個の確率 赤玉２個から２個、白玉３個から１個取り出す組合せ ₂Ｃ₂×₃Ｃ₁＝3通り 確率　3/10 よって、期待値は 1/10×0＋6/10×100＋3/10×200 ＝60＋60 ＝120 期待値は120円だから、得であると いえない 問題 50円硬貨３枚を同時に投げて、表が出た硬貨を全部もらえるゲームがある。１回のゲームで、受け取る金額の期待値を求めよ。 また、このゲームの参加料が１回80円のとき、このゲームに参加することは得といえるか。 １枚投げたときの表が出る確率　1/2 表が３枚出る確率 （1/2）³＝1/8 表が２枚出る確率 ₃Ｃ₂×（1/2）²×（1－1/2）³⁻² ＝3×1/4×1/2 ＝3/8 表が１枚出る確率 ₃Ｃ₁×1/2×（1－1/2）³⁻¹ ＝3×1/2×1/4 ＝3/8 よって、期待値は 1/8×150＋3/8×100＋3/8×50 ＝600/8 ＝75 期待値は 75円 、得であると いえない 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 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を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.6 確率 高校数学 👉 ブログ TOP

１学期末考査 中２数学 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 ７月がスタートしました。中学生は６月下旬に 期末考査 があり、テスト後の考査解説を行っています。ここ数年、中間考査をなくして期末のみを実施する学校が多くなり、広いテスト範囲をどうやってカバーしていくか、中学生にとって大切な課題になっています。 式の項と次数 問題 下のア～オの数や式について、あとの問いに答えなさい。 ア　ｘ²＋1/2ｘ－２ イ　12 ウ　－ａ＋８ｂ エ　－２ｘｙ オ　－６ａ² 1）単項式をすべて選びなさい。 2）ウの式の項と次数を答えなさい。 3）２次式をすべて選びなさい。 1） 単項式 数と文字の乗法だけ で表される式 －２ｘｙ＝－２×ｘ×ｙ －６ａ²＝－６×ａ×ａ エ、オ 2） 項　－ａ、８ｂ 次数　１ 3） ２次式 単項式で、かけてある文字が２つまたは文字が２乗の形 多項式（単項式の和で表す式）の中で、いちばん高い次数の単項式が２次 ア　ｘ²が２次式　次数がいちばん高い イ　整数（次数なし） ウ　－ａと８ｂは１次式 エ　かけてある文字が２つ オ　かけてある文字が２つ（２乗の形） ア、エ、オ 式の展開 問題 次の計算をしなさい。 1） ２ｘ＋５ｙ＋３ｘ－７ｙ 2） ２（３ａ－８ｂ）－５（ａ＋２ｂ） 3） （0.2ａ²－0.6ａ）＋（0.6ａ²－0.1ａ） 4） 　　　４ａ－６ｂ＋５ －）－３ａ－９ｂ＋３ 5） 　　　　　 ｘ－６ｙ ｘ－２ｙ－ ━━━━ 　　　　　　 ３ 6） ２　　　　　 ５ ━ｂ²ｃ÷（－ ━ｂｃ²） ３　　　　　 ６ 1） ２ｘ＋５ｙ＋３ｘ－７ｙ ＝ ５ｘ－２ｙ 2） ２（３ａ－８ｂ）－５（ａ＋２ｂ） ＝６ａ－16ｂ－５ａ－10ｂ ＝ ａ－26ｂ 3） （0.2ａ²－0.6ａ）＋（0.6ａ²－0.1ａ） ＝0.2ａ²－0.6ａ＋0.6ａ²－0.1ａ ＝ 0.8ａ²－0.7ａ 4） 　　　４ａ－６ｂ＋５ －）－３ａ－９ｂ＋３ 　　　 ７ａ＋３ｂ＋２ 5） 　　　　　 ｘ－６ｙ ｘ－２ｙ－ ━━━━ 　　　　　　 ３ 　3(ｘ－2ｙ)　 　ｘ－6ｙ ＝━━━━━ － ━━━━ 　　　3　　　　 　3 　 3ｘ－6ｙ－ｘ＋6ｙ ＝━━━━━━━━━ 　　　　　3 　 ２ ＝ ━ｘ 　 ３ 6） ２　　　　　 ５ ━ｂ²ｃ÷（－ ━ｂｃ²） ３　　　　　 ６ ２　　　　　 　６ ━ｂ²ｃ×（－ ━━━） ３　　　　　 ５ｂｃ² 　 　 ４ｂ ＝ － ━━ 　　 ５ｃ 等式 問題 次の1）、2）の式が正しくなるように、㋐・㋑・㋒にあてはまる数や文字式を答えなさい。 1） ３（㋐ａ－ｂ）－㋑（３ａ－２ｂ）＝－６ａ＋５ｂ 2） ａｂ²÷㋒×12ｂ＝３ａｂ 1） ３（㋐ａ－ｂ）－㋑（３ａ－２ｂ） ＝３㋐ａ－３ｂ－３㋑ａ＋２㋑ｂ ＝３㋐ａ－３㋑ａ－３ｂ＋２㋑ｂ －３ｂ＋２㋑ｂ＝５ｂ より ２㋑ｂ＝８ｂ ㋑＝４ ３㋐ａ－３㋑ａ＝－６ａ より ３㋐ａ－３×４×ａ＝－６ａ ３㋐ａ＝６ａ ㋐＝２ 2） ａｂ²÷㋒×12ｂ＝３ａｂ 12ａｂ³／㋒＝３ａｂ ３ａｂ×㋒＝12ａｂ³ ㋒＝４ｂ² ㋐ ２ 　 ㋑ ４ 　 ㋒ ４ｂ² 回転体の体積と文字式 問題 下の図のような、ＡＢ＝２ａ、ＢＣ＝３ａの長方形ＡＢＣＤがある。 長方形ＡＢＣＤを、辺ＡＢを軸として１回転させてできる円柱の体積をＶ、辺ＢＣを軸として１回転させてできる円柱の体積をＷとする。あとの問いに答えなさい。 1）Ｖをａとπを使って表しなさい。 2）ＶとＷの関係について、次のア～ウから正しいものを選びなさい。 　ア Ｖ＞Ｗ　イ Ｖ＝Ｗ　ウ Ｖ＜Ｗ 1） ＡＢを軸として回転させた円柱 底面の半径３ａ、高さ２ａ Ｖ＝π×（３ａ）²×２ａ Ｖ＝18πａ³ 2） ＢＣを軸として回転させた円柱 底面の半径２ａ、高さ３ａ Ｗ＝π×（２ａ）²×３ａ 　＝12πａ³ よって、Ｖ＞Ｗ　 ア 文字式による説明 問題 連続する３つの整数の和は、３の倍数になる。このことについて、次の問いに答えなさい。 1） 「連続する３つの整数の和は、３の倍数になる。」このことを、次のように説明した。①～④にあてはまる文字式を答えなさい。 〔説明〕 連続する３つの整数のうち、いちばん小さい数をｎと表す と、 連続する３つの整数は、①、②、③と表される。 これらの和は、 ①＋（　②　）＋（　③　） ＝３ｎ＋３ ＝３（　④　） ④は整数だから、３（　④　）は３の倍数である。 したがって、連続する３つの整数の和は、３の倍数になる。 2） 1）の下線部で、真ん中の数をｎと表すと、いちばん小さい数といちばん大きい数をｎを用いて表しなさい。 3） 連続する３つの整数の和が123となるとき、いちばん小さい数を求めなさい。 1） 連続する３つの整数 いちばん小さい数をｎとするから、１大きい数はｎ＋１、２大きい数はｎ＋２となる。 これらの和は、 ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２） ＝３ｎ＋３ ＝３（ｎ＋１） ① ｎ　 ② ｎ＋１　 ③ ｎ＋２　 ④ ｎ＋１ 2） 真ん中の数より１小さい数はｎ－１、１大きい数はｎ＋１ よって、 いちばん小さい数 　ｎ－１ いちばん大きい数 　ｎ＋１ 3） 1）より、 ３（ｎ＋１）＝123 ｎ＋１＝41 ｎ＝40 ｎをいちばん小さい数としたから、 40 計算問題 文字式・連立方程式・等式の変形 問題 次の計算をしなさい。 1）7y×（－x/14） 2）5ａ×（－ａ²） 3）ａｂ×4ａｂ² 4）（－2ｘ）² 5）（－ａ）³×2ｂ 1） 7y×（－x/14） ＝ －xy/2 2） 5ａ×（－ａ²） ＝ －5ａ³ 3） ａｂ×4ａｂ² ＝ 4ａ²ｂ³ 4） （－2ｘ）² ＝ 4ｘ² 5） （－ａ）³×2ｂ ＝－ａ³×2ｂ ＝ －2ａ³ｂ 問題 次の式の値を求めなさい。 1） ａ＝－4、ｂ＝3のとき 2（6ａ－ｂ）－（5ａ－4ｂ） 2） ｘ＝4、ｙ＝2のとき  ｘ－5ｙ ━━━━＋（ｘ－3ｙ） 　 2 3） ｘ＝1/2、ｙ＝3のとき （4ｘ－3ｙ）－2（3ｘ－2ｙ） 1） 2（6ａ－ｂ）－（5ａ－4ｂ） ＝12ａ－2ｂ－5ａ＋4ｂ ＝7ａ＋2ｂ ＝－28＋6 ＝ －22 2）  ｘ－5ｙ ━━━━＋（ｘ－3ｙ） 　 2 　ｘ－5ｙ＋2ｘ－6ｙ ＝━━━━━━━━━ 　　　　　2 　 3ｘ－11ｙ ＝━━━━━ 　　 2 　12－22 ＝━━━ 　 2 ＝ －５ 3） （4ｘ－3ｙ）－2（3ｘ－2ｙ） ＝4ｘ－3ｙ－6ｘ＋4ｙ ＝－2ｘ＋ｙ ＝－１＋３ ＝ ２ 問題 次の連立方程式を解きなさい。 1） ９ｘ＋７ｙ＝13 ９ｘ＋５ｙ＝－１ 2） －３ｘ＋２ｙ＝－９ ５ｘ－８ｙ＝１ 3） ３ｘ－８ｙ＝24 ２ｘ－７ｙ＝16 1） ９ｘ＋７ｙ＝13　① ９ｘ＋５ｙ＝－１　② ①－② 　　９ｘ＋７ｙ＝13 －）９ｘ＋５ｙ＝－１ 　　　　　２ｙ＝14 　　　　　　ｙ＝７ ②に代入 ９ｘ＋35＝－１ ９ｘ＝－36 ｘ＝－４ （ｘ，ｙ）＝（－４，７） 2） －３ｘ＋２ｙ＝－９　① ５ｘ－８ｙ＝１　② ①×４＋② 　 －12ｘ＋８ｙ＝－36 ＋）　５ｘ－８ｙ＝１ 　　　　 －７ｘ＝－35 　　　　　　 ｘ＝５ ②に代入 25－８ｙ＝１ －８ｙ＝－24 ｙ＝３ （ｘ，ｙ）＝（５，３） 3） ３ｘ－８ｙ＝24　① ２ｘ－７ｙ＝16　② ①×２－②×３ 　　６ｘ－16ｙ＝48 －）６ｘ－21ｙ＝48 　　　　　 ５ｙ＝０ 　　　　　　 ｙ＝０ ②に代入 ２ｘ＝16 ｘ＝８ （ｘ，ｙ）＝（８，０） 4） ８ｘ－３ｙ＝－２ｘ－ｙ＝７ 5） ｙ＝ｘ－２ ３ｘ＋ｙ＝14 6） －５ｘ＋ｙ＝９ ｘ＝３ｙ＋１ 4） ８ｘ－３ｙ＝７　① －２ｘ－ｙ＝７　② ①－②×３ 　　　８ｘ－３ｙ＝７ －）－６ｘ－３ｙ＝21 　　　14ｘ　　　＝－14 　　　　　　　ｘ＝－１ ②に代入 ２－ｙ＝７ －ｙ＝５ ｙ＝－５ （ｘ，ｙ）＝（－１，－５） 5） ｙ＝ｘ－２　① ３ｘ＋ｙ＝14　② ①を②に代入 ３ｘ＋（ｘ－２）＝14 ４ｘ＝16 ｘ＝４ ①に代入 ｙ＝４－２ 　＝２ （ｘ，ｙ）＝（４，２） 6） －５ｘ＋ｙ＝９　① ｘ＝３ｙ＋１　② ②を①に代入 －５（３ｙ＋１）＋ｙ＝９ －15ｙ－５＋ｙ＝９ －14ｙ＝14 ｙ＝－１ ②に代入 ｘ＝－３＋１ 　＝－２ （ｘ，ｙ）＝（－２，－１） 7） ２ｘ－３ｙ＝５ 2/5ｘ＋ｙ＝－3/5 8） ３ｘ－ｙ ━━━━＝－２ 　 ４ ２ｘ＋３ｙ＝２ 9） ｘ/2－ｙ/4＝３ ｘ＋４ｙ＝－３ 7） ２ｘ－３ｙ＝５　① 2/5ｘ＋ｙ＝－3/5　② ②×５ ２ｘ＋５ｙ＝－３　②’ ①－②’ 　　２ｘ－３ｙ＝５ －）２ｘ＋５ｙ＝－３ 　　　　－８ｙ＝８ 　　　　　ｙ＝－１ ①に代入 ２ｘ＋３＝５ ２ｘ＝２ ｘ＝１ （ｘ，ｙ）＝（１，－１） 8） ３ｘ－ｙ ━━━━＝－２　① 　 ４ ２ｘ＋３ｙ＝２　② ①×４ ３ｘ－ｙ＝－８　①’ ①’×３＋② 　　９ｘ－３ｙ＝－24 ＋）２ｘ＋３ｙ＝２ 　　　　　11ｘ＝－22 　　　　　　ｘ＝－２ ①’に代入 －６－ｙ＝－８ －ｙ＝－２ ｙ＝２ （ｘ，ｙ）＝（－２，２） 9） ｘ/2－ｙ/4＝３　① ｘ＋４ｙ＝－３　② ①×４ ２ｘ－ｙ＝12　①’ ①’－②×２ 　　２ｘ－ｙ＝12 －）２ｘ＋８ｙ＝－６ 　　　　－９ｙ＝18 　　　　　　ｙ＝－２ ②に代入 ｘ－８＝－３ ｘ＝５ （ｘ，ｙ）＝（５，－２） 問題 次の式を〔　〕の文字について解きなさい。 1） ℓ＝1/2（ａ＋2ｂ）　〔ａ〕 2） Ｓ＝1/2ａｈ　〔ｈ〕 3） 1/2ｘ＋5＝3ｙ　〔ｘ〕 1） ℓ＝1/2（ａ＋2ｂ）　〔ａ〕 1/2（ａ＋2ｂ）＝ℓ 両辺×２ ａ＋２ｂ＝２ℓ ａ＝２ℓ－２ｂ 2） Ｓ＝1/2ａｈ　〔ｈ〕 1/2ａｈ＝Ｓ 両辺×２ ａｈ＝２Ｓ ｈ＝２Ｓ／ａ 3） 1/2ｘ＋5＝3ｙ　〔ｘ〕 両辺×２ ｘ＋10＝６ｙ ｘ＝６ｙ－10 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.4 １学期末考査 中２数学 👉 ブログ TOP

１学期末考査 中３数学 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 ７月がスタートしました。中学生は６月下旬に 期末考査 があり、テスト後の考査解説を行っています。ここ数年、中間考査をなくして期末のみを実施する学校が多くなり、広いテスト範囲をどうやってカバーしていくか、中学生にとって大切な課題になっています。 中２数学（３学期） 確率 問題 Ａ、Ｂ２つのさいころを同時に１回投げるとき、Ａのさいころの出た目の数をａ、Ｂのさいころの出た目の数をｂとする。 このとき、ａ－ｂの絶対値が２になる確率を求めなさい。ただし、どちらのさいころも１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。 ａ－ｂの絶対値が２ ａ－ｂ＝２またはａ－ｂ＝－２のとき ａ－ｂ＝２のとき ６－４＝２ ５－３＝２ ４－２＝２ ３－１＝２ ａ－ｂ＝－２のとき １－３＝－２ ２－４＝－２ ３－５＝－２ ４－６＝－２ 以上８通りだから 8/36＝ 2/9 ※２つのさいころを同時に投げるときは、全部で36通りある。 問題 下の図のように、座標平面上に２点Ａ（１，０）、Ｂ（５，０）がある。大小２つのさいころを１回投げ、大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとして、この座標平面上に点Ｐ（ａ，ｂ）をとる。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、どちらのさいころも１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。 1）点Ｐが直線ｙ＝－ｘ＋６上にくる確率を求めなさい。 2）点Ｐと２点Ａ、Ｂをそれぞれ結んで△ＰＡＢをつくるとき、△ＰＡＢが二等辺三角形になる確率を求めなさい。ただし、直角二等辺三角形になる場合もふくめるものとする。 1） ｘ＝１，２，３，４，５のとき それぞれｙ＝－ｘ＋６に代入 （１，５）（２，４）（３，３）（４，２）（５，１） 以上５通りだから、 5/36 2） ＰＡ＝ＰＢの二等辺三角形 ＰとＡＢの中点のｘ座標が同じ（Ｐから中点に垂線を引くとき） Ｐのｙ座標が１，２，３，４，５，６のとき ＡＢの中点のｘ座標は、 （５＋１）÷２＝３ Ｐ（３，１）（３，２）（３，３）（３，４）（３，５）（３，６） ＰＡ＝ＡＢ、∠ＰＡＢ＝90°の直角二等辺三角形 ＡＢの長さは、ＡとＢのｘ座標より ＡＢ＝５－１＝４ ＰＡ＝４だから、Ｐ（１，４） ＰＢ＝ＢＡ、∠ＰＢＡ＝90°の直角二等辺三角形 ＰＢ＝４だから、Ｐ（５，４） 以上８通りだから、 8/36＝ 2/9 中２数学（３学期） 四分位数 問題 Ａ市における１年間の月ごとの平均気温を調べた。下の図は、12個のデータを箱ひげ図に表したものである。あとの問いに答えなさい。 1）四分位範囲を求めなさい。 2）データの分布の範囲が21.9℃であるとき、図のアにあてはまる数を求めなさい。 3）４月の平均気温は14.7℃で、低いほうから数えて６番目である。このとき、平均気温が20℃以上の月はいくつあるか、求めなさい。 1） 四分位範囲：箱の左端から右端までの範囲（第３四分位数から第１四分位数をひく） 第１四分位数　10.2 第３四分位数　24.9 24.9－10.2＝14.7 四分位範囲は 14.7 2） 範囲（レンジ）：ひげの左端から右端までの範囲（最大値から最小値をひく） 最小値　6.6 最大値をｘとする ｘ－6.6＝21.9 ｘ＝28.5 範囲は 28.5 3） データは12個 ある 中央値は、低い方から数えて６番目と７番目の値の間 （６番目の値＋７番目の値）÷２＝中央値 ６番目の値は14.7、７番目の値をｘとする （14.7＋ｘ）／２＝17.4 14.7＋ｘ＝34.8 ｘ＝20.1 ７番目の月が20.1℃になるから、７番目から12番目の月が20℃以上になる よって、 ６つ 中３数学 乗法公式・因数分解 問題 次の各問いに答えなさい。 1）ｘ＝26、ｙ＝17のとき、次の式の値を求めなさい。 　 ｘ²＋４ｘｙ＋４ｙ² 乗法公式より ｘ²＋４ｘｙ＋４ｙ² ＝（ｘ＋２ｙ）² ｘとｙの値を代入 （26＋2×17）² ＝60² ＝ 3600 2）次の式をくふうして計算しなさい。 　 2.96×3.04－2.95×3.05 4つの数が「3.00」に近いことを利用する ｘ＝3.00とする （ｘ－0.04）（ｘ＋0.04）－（ｘ－0.05）（ｘ＋0.05） 乗法公式より ＝ｘ²－0.0016－（ｘ²－0.0025） ＝ 0.0009 問題 下のような図形（ｘは３以上の整数）と面積が等しく、横の長さが縦の長さより長い長方形をつくる。縦、横の長さを整数にするには、それぞれ何cmにすればよいか、ｘの１次式で表しなさい。 縦ｘcm、横（ｘ＋１）cmの長方形から、右上の欠けた部分をひく。 欠けた部分 縦　ｘ－（ｘ－２）＝２ 横　（ｘ＋１）－ｘ＝１ 面積は、２×１＝２cm² よって、 ｘ（ｘ＋１）－２ ＝ｘ²＋ｘ－２ cm² ｘの１次式で表すから因数分解して、 （ｘ＋２）（ｘ－１） cm² ｘは３以上の整数だから、 縦　ｘ－１ cm 横　ｘ＋２ cm 中３数学 考査に出題された計算問題 問題 次の式を展開しなさい。 1）（ｘ－４）（ｙ＋２） 2）（ｘ－６）（ｘ＋９） 3）（４ｘ＋ｙ）² 4）（ａ＋７ｂ）（ａ－７ｂ） 5）（ｘ－ｙ）（ｘ－ｙ＋３） 1） （ｘ－４）（ｙ＋２） ＝ ｘｙ＋２ｘ－４ｙ－８ 2） （ｘ－６）（ｘ＋９） ＝ ｘ²＋３ｘ－54 3） （４ｘ＋ｙ）² ＝ 16ｘ²＋８ｘｙ＋ｙ² 4） （ａ＋７ｂ）（ａ－７ｂ） ＝ ａ²－49ｂ² 5） ｘ－ｙ＝Ｍとする （ｘ－ｙ）（ｘ－ｙ＋３） ＝Ｍ（Ｍ＋３） ＝Ｍ²＋３Ｍ ＝（ｘ－ｙ）²＋３（ｘ－ｙ） ＝ ｘ²－２ｘｙ＋ｙ²＋３ｘ－３ｙ 問題 次の式を因数分解しなさい。 1）６ａ²ｂ＋18ａｂ² 2）３ｘ²ｙ＋６ｘｙ² 3）ｘ²－20ｘ＋75 4）ｘ²＋６ｘ－40 5）144－ｙ² 6）ｘ²－ｘ＋1/4 1） ６ａ²ｂ＋18ａｂ² ＝ ６ａｂ（ａ＋３ｂ） 2） ３ｘ²ｙ＋６ｘｙ² ＝ ３ｘｙ（ｘ＋２ｙ） 3） ｘ²－20ｘ＋75 ＝ （ｘ－15）（ｘ－５） 4） ｘ²＋６ｘ－40 ＝ （ｘ＋10）（ｘ－４） 5） 144－ｙ² ＝12²－ｙ² ＝ （12＋ｙ）（12－ｙ） 6） ｘ²－ｘ＋1/4 ＝ （ｘ－1/2）² 問題 次の計算をしなさい。 1）√12×√45 2）√30÷（－√5） 3）√96÷√12×√2 1） √12×√45 ＝2√3×3√5 ＝ 6√15 2） √30÷（－√5） ＝ －√6 3） √96÷√12×√2 ＝√8×√2 ＝ ４ 問題 次の数を√ａの形にしなさい。 1）10√3 2）√75 / 5 1） 10√3 ＝√10²×3 ＝ √300 2） √75 / 5 ＝5√3 / 5 ＝ √3 問題 次の数の√の中をできるだけ簡単な数にしなさい。 1）√0.07 2）√504 1） √0.07 ＝√7 / √100 ＝ √7 / 10 2） √504 ＝√6²×14 ＝ 6√14 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.3 １学期末考査 中３数学 👉 ブログ TOP

文字式による説明 考査解説 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 ７月がスタートしました。中学生は６月下旬に期末テストがあり、中２・中３数学では、 文字式 を使って説明する問題が各学校で出題されました。高校入試にもよく出題され、問題文にある用語の意味を押さえておくことや、式を作るために必要な情報を正しく読み取ることが大切になります。 中２数学 問題 1）３ａ－４ｂの４倍に、－２ａ+ｂの３倍を加えた和を求めなさい。 2）ｘ²－６ｘの２倍から、２ｘ²－３ｘの５倍を引いた差を求めなさい。 1） ３ａ－４ｂの４倍は、４（３ａ－４ｂ） －２ａ＋ｂの３倍は、３（－２ａ＋ｂ） これらの和は、 ４（３ａ－４ｂ）＋３（－２ａ＋ｂ） ＝12ａ－16ｂ－６ａ＋３ｂ ＝ ６ａ－13ｂ 2） ｘ²－６ｘの２倍は、２（ｘ²－６ｘ） ２ｘ²－３ｘの５倍は、５（２ｘ²－３ｘ） これらの差は、 ２（ｘ²－６ｘ）－５（２ｘ²－３ｘ） ＝２ｘ²－12ｘ－10ｘ²＋15ｘ ＝ －８ｘ²＋３ｘ 問題 次の整数を、文字を用いて表しなさい。 1）奇数（ｎを使って） 2）連続する２つの偶数（ｎを使って） 3）連続しない偶数と奇数（ｍ、ｎを使って） 4）百の位がａ、十の位がｂ、一の位がｃである３桁の数 1） 偶数は、２の倍数。 自然数ｎを使って表すと、偶数は２ｎ。 奇数はそれより１小さいまたは１大きい数だから、 ２ｎ－１ または ２ｎ＋１ 2） ある偶数を２ｎとすると、連続する偶数は２ｎより２大きい数だから、 ２ｎ と ２ｎ＋２ ※ 連続する偶数を２ｎより２小さい数とすると２ｎ－２だが、ｎ＝１のとき、２×１－２＝０となりあてはまらない。 3） 偶数を２ｍとする。 連続しない奇数は、ｍと同じ数にならないから２ｎ＋１。 よって、 ２ｍ と ２ｎ＋１ ※ ２ｍと２ｍ＋１とすると、ｍ＝１のとき２と３、ｍ＝２のとき４と５になり、連続する数になるからあてはまらない。 4） 百の位がａである数は、 100×ａ＝100ａ 十の位がｂである数は、 10×ｂ＝10ｂ 一の位がｃである数は、 1×ｃ＝ｃ ３桁の数は、これらの和だから、 100ａ＋10ｂ＋ｃ ※ 「234」であれば、100が２つ、10が３つ、1が４つでできている数だから、 100×２＋10×３＋1×４＝234 問題 一の位が０ではない２けたの自然数と、その自然数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の和は11の倍数になる。このことを、十の位の数をｘ、一の位の数をｙとして説明しなさい。 〔 説明 〕 もとの２けたの自然数を10ｘ＋ｙとすると、 位を入れかえた数は、10ｙ＋ｘと表される。 これらの和は、 （10ｘ＋ｙ）＋（10ｙ＋ｘ） ＝11ｘ＋11ｙ ＝11（ｘ＋ｙ） ｘ＋ｙは整数だから、11（ｘ＋ｙ）は11の倍数である。 したがって、一の位が０ではない２けたの自然数と、その自然数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の和は11の倍数になる。 問題 下の図のように、自然数を１から順に８個ずつ各行に並べる。図のように、４つの数を凸で囲む。 凸で囲む４つの数を、次のようにａ、ｂ、ｃ、ｄとするとき、 ①ａ、ｄを、それぞれｃを使って表しなさい。 ②ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄは４の倍数になる。このわけを説明しなさい。 ① ａはｃより８小さい数だから ａ＝ｃ－８ ｄはｃより１大きい数だから ｄ＝ｃ＋１ ②の解答 ｂはｃより１小さい数だから ｂ＝ｃ－１ それぞれを代入すると、 ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ ＝（ｃ－８）＋（ｃ－１）＋ｃ＋（ｃ＋１） ＝４ｃ－８ ＝４（ｃ－２） ｃ－２は整数だから、４（ｃ－２）は４の倍数である。 中３数学 問題 １，３，５や17，19，21のように、連続する３つの奇数がある。このとき、真ん中の奇数の２乗から他の２つの奇数の積をひいた差は、必ず４になる。このことを、文字を使って説明しなさい。 〔 説明 〕 ｎを整数とする。 連続する３つの奇数のうち、もっとも小さい奇数を２ｎ＋１とすると、他の２つの奇数は、小さい順に、２ｎ＋３、２ｎ＋５と表される。 真ん中の奇数の２乗から他の２つの奇数の積をひいた差は、 （２ｎ＋３）²－（２ｎ＋１）（２ｎ＋５） ＝４ｎ²＋12ｎ＋９－（４ｎ²＋12ｎ＋５） ＝４ｎ²＋12ｎ＋９－４ｎ²－12ｎ－５ ＝４ したがって、連続する３つの奇数で、真ん中の奇数の２乗から他の２つの奇数の積をひいた差は、必ず４になる。 問題 連続する２つの奇数の積に１を足した数は、４の倍数であることを説明しなさい。 〔 説明 〕 連続する２つの奇数は、整数ｎを使って ２ｎ－１、２ｎ＋１と表す。 連続する２つの奇数の積に１を足した数は、 （２ｎ－１）（２ｎ＋１）＋１ ＝４ｎ²－１＋１ ＝４ｎ² ｎは整数だから、４ｎ²は４の倍数になる。 したがって、連続する２つの奇数の積に１を足した数は、４の倍数である。 入試問題 （青森県立高校入試） 2025年 ２）解説 □の中の左上が一番小さい自然数 これをｎとすると、 右上　ｎ＋1 左下　ｎ＋14 右下　ｎ＋15 Ｐは右上×左下 Ｐ＝ （ｎ＋1）（ｎ＋14） Ｑは左上×右下 Ｑ＝ ｎ（ｎ＋15） ＰーＱ ＝（ｎ＋1）（ｎ＋14）－ｎ（ｎ＋15） ＝（ｎ²＋15ｎ＋14）－（ｎ²＋15ｎ） ＝14 あ： ｎ＋1 　い： ｎ＋14 　う： ｎ＋15 　え： ｎ²＋15ｎ 2024年 解説 1）ア 正五角形の対角線は５本 1）イ １つの頂点から引くことができる対角線は、 四角形　１本 五角形　２本 六角形　３本 ｎ角形　（ｎ－３） 仮に、ｎ個の頂点から（ｎ－３）本ずつ引くと、すべての対角線を２回ずつ数えることになる（往復して数えることになる）。 2）ア 選手４人　１名につき対戦相手３人 →４×３÷２＝６試合 選手５人　対戦相手４人 →５×４÷２＝10試合 選手６人　対戦相手５人 →６×５÷２＝15試合 選手ｎ人のとき、１名あたりの対戦相手（ｎ－１）人 ｎ（ｎ－１）÷２ 2）イ ｎ（ｎ－１）／２＝66 ｎ（ｎ－１）＝132 ｎ²－ｎ－132＝０ （ｎ－12）（ｎ＋11）＝０ ｎ＝12（ｎ＞０） 1）ア： ５ 　イ： すべての対角線を２回ずつ数える 2）ア： ｎ（ｎ－１） 　イ： 12人 👉 文字式による説明 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.2 文字式による説明 考査解説 👉 ブログ TOP

文字式 面積と体積 　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 　中２数学の 文字式 の単元では、文字を使って図形の面積や体積を表す学習があります。面積や体積の公式から、問題文の説明をもとに式を立てる学習です。また、平面図や立体図に表して、式の立て方を具体的にイメージすることも必要になります。 問題 １辺がａcmの正方形について、次の問いに答えなさい。 1）正方形の面積を、文字を使った式で表しなさい。 2）この正方形の１辺の長さを２倍にすると、面積は何倍になりますか。 3）もとの正方形の周の長さを、文字を使った式で表しなさい。 4）周の長さがもとの正方形の５倍である正方形について、１辺の長さを文字を使った式で表しなさい。 1） 正方形の面積 ＝１辺×１辺＝（１辺）² ａ×ａ＝ａ² よって、 ａ² cm² 2） １辺を２倍にした長さは、 ａ×２＝２ａcm 面積は、 ２ａ×２ａ＝４ａ² cm² 以上から ４ａ²÷ａ²＝４ よって、 ４倍 3） 正方形の周の長さ＝１辺×４ ａ×４＝４ａ よって、 ４ａ cm 4） もとの周の長さの５倍だから、 ４ａ×５＝20ａcm ４辺あるから、 20ａ÷４＝５ａ よって、 ５ａ cm 問題 半径がｒcmの球について、次の問いに答えなさい。 1）球の表面積を、文字を使った式で表しなさい。 2）この球の半径を３倍にすると、表面積は何倍になりますか。 3）もとの球の体積を、文字を使った式で表しなさい。 4）もとの球の半径を半分にすると、体積は何倍になりますか 。 1） 球の表面積の公式より、 ４πｒ² 2） 半径は３ｒだから、この球の表面積は ４π×（３ｒ）² ＝36πｒ² 以上から 36πｒ²÷４πｒ²＝９ よって、 ９倍 3） 球の体積の公式より、 4/3πｒ³ 4） 半径はｒ/ 2だから、この球の体積は、 4/3π×（ｒ/ 2）³ ＝4/3π×ｒ³/8 ＝1/6πｒ³ 以上から 1/6πｒ³÷4/3πｒ³ ＝1/8 よって、 1/8倍 球の表面積（ ４πｒ² ） 球の直径と、底面の直径・高さが等しい円柱の側面積と同じ ※球の上下左右の端が、円柱の内部でぴったり接するとき 円柱の底面の半径をｒとすると、高さは２ｒ 円柱の側面積 底面の円周×円柱の高さ ２πｒ×２ｒ ＝ ４πｒ² 球の体積（ 4/3 πｒ³ ） 球の直径と、底面の直径・高さが等しい円柱の体積の2/3 円柱の体積 底面積×高さ ＝πｒ²×２ｒ ＝２πｒ³ これを2/3倍する ２πｒ³×2/3 ＝ 4/3 πｒ³ ※ 球の表面積は、円柱の表面積の2/3倍でもある 円柱の表面積 ＝側面積＋底面積２つ分 ４πｒ²＋πｒ²×２ ＝６πｒ² これを2/3倍する ６πｒ²×2/3 ＝４πｒ² 問題 下の図のように、底面の直径と高さが等しい円柱の中に、直径が円柱の高さと等しい球が入っている。このとき、球の体積は円柱の体積の何倍か、求めなさい。 球の半径をｒ とする 球の体積の公式より、 4/3×π×ｒ³ ＝4/3πｒ³　① 円柱の底面の半径は、球と同じｒ 円柱の高さは、球の半径の２倍だから、２ｒ 円柱の体積の公式より、 πｒ²×２ｒ ＝２πｒ³　② ①÷②より、 4/3πｒ³÷２πｒ³ ＝4/3×1/2 ＝2/3 2/3倍 問題 底面の半径がｒcm、高さがｈcmの円柱Ａがある。円柱Ａの底面の半径を２倍にし、高さを半分にした円柱Ｂを作る。円周率をπとするとき、あとの問いに答えなさい。 1）円柱Ｂの体積は、円柱Ａの体積の何倍か求めなさい。 2）円柱Ｂの表面積は、円柱Ａの表面積より何cm²大きいか求めなさい。 1） 円柱Ａの体積 π×ｒ²×ｈ ＝πｒ²ｈ cm² 円柱Ｂの体積 半径２ｒ、高さｈ/２ ＝π×（２ｒ）²×ｈ/２ ＝２πｒ²ｈ cm² Ｂの体積÷Ａの体積 ２πｒ²ｈ÷πｒ²ｈ＝２ よって、 ２倍 2） 円柱の表面積 ＝側面積（長方形）＋底面積（２つ分） Ａの表面積 側面の縦の長さはｈ 横の長さは、底面の円周と同じだから、２πｒ 側面積は、 ｈ×２πｒ＝２πｒｈ 底面積は、 πｒ²×２＝２πｒ² Ａの表面積は、 ２πｒ²＋２πｒｈ　① Ｂの表面積 側面の縦の長さは、ｈ/２ 横の長さは、２π×２ｒ＝４πｒ 側面積は、 ｈ/２×４πｒ＝２πｒｈ 底面積は、 π×（２ｒ）²×２＝８πｒ² Ｂの側面積は、 ８πｒ²＋２πｒｈ　② ①－② より （８πｒ²＋２πｒｈ）－（２πｒ²＋２πｒｈ） ＝６πｒ² よって、 ６πｒ² cm² 問題 底辺がｘ、高さがｙの直角三角形がある。底辺を５／３倍、高さを４／５倍した図形について、あとの各問いに答えなさい。 1）この図形の面積を、文字を使った式で表しなさい。 2）この図形の面積は、もとの直角三角形の何倍ですか。 1） 底辺の長さ ｘ×５／３＝５ｘ／３ 高さ ｙ×４／５＝４ｙ／５ 面積は ５ｘ／３×４ｙ／５×１／２ ＝ ２ｘｙ／３ 2） もとの面積は ｘ×ｙ×１／２ ＝１ｘｙ／２ よって、 ２ｘｙ／３÷１ｘｙ／２ ＝ ４／３倍 問題 縦の長さがａ、横の長さがｂ、高さが２ｂの直方体がある。この直方体の表面積を、ａとｂの文字を使って表しなさい。 直方体の面は６つ 縦ａ、横ｂの面　２つ 縦２ｂ、横ａの面　２つ 縦２ｂ、横ｂの面　２つ ａ×ｂ×２＝２ａｂ ２ｂ×ａ×２＝４ａｂ ２ｂ×ｂ×２＝４ｂ² 以上から、 ２ａｂ＋４ａｂ＋４ｂ² ＝ ６ａｂ＋４ｂ² 問題 ともに高さがｈ、底面の半径がｒの円柱と円すいがある。あとの各問いに答えなさい。 1）円柱の側面積を文字を使った式で表しなさい。 2）円柱と円すいの体積の差を、文字を使った式で表しなさい。 1） 円柱の側面は「 長方形 」 たて＝円柱の高さ よこ＝底面の円周 たての長さは、ｈ よこの長さは、円の公式より、２πｒ 側面積は ｈ×２πｒ＝ ２πｒｈ 2） 円柱の体積＝底面積×高さ 底面積 円の公式より、πｒ² よって、体積は πｒ²×ｈ＝πｒ²ｈ　① 円すいの体積＝底面積×高さ×1／3 底面積 円の公式より、πｒ² よって、体積は πｒ²×ｈ×1／3 ＝πｒ²ｈ／３　② ①－②より πｒ²ｈ－πｒ²ｈ／３ ＝ ２πｒ²ｈ／３ 問題 下の図の長方形ＡＢＣＤについて、辺ＡＢを軸として１回転させてできる立体Ｐと、辺ＢＣを軸として１回転させてできる立体Ｑで、どちらの立体の体積がどれだけ大きいか、文字を使った式で表しなさい。 立体Ｐは、高さ３ａ、底面の半径４ａの円柱 体積は、 π×（４ａ）²×３ａ ＝π×16ａ²×３ａ ＝48πａ³　① 立体Ｑは、高さ４ａ、底面の半径３ａの円柱 体積は π×（３ａ）²×４ａ ＝π×９ａ²×４ａ ＝36πａ³　② ①－② 48πａ³－36πａ³ ＝12πａ³ よって、 立体Ｐが12πａ³大きい 問題 下の図で、四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ//ＢＣ、ＡＤ＝ａcm、ＢＣ＝ｂcmの台形であり、頂点Ａから辺ＢＣの距離はｈcmである。 四角形ＡＢＣＤの面積をＰcm²とするとき、Ｐをａ、ｂ、ｈを用いた式で表しなさい。 上底ａcm、下底ｂcm、高さｈcm 台形の公式より、 Ｐ＝（ａ＋ｂ）×ｈ×1/2 Ｐ＝1/2ａｈ＋1/2ｂｈ 問題 底辺の長さがａ、高さがｈの三角形の面積をＳとすると、Ｓ＝ａｈ／２である。次の問いに答えなさい。 1）ｈをａ、Ｓを使った式で表しなさい。 2）1）で求めた式を使って、底辺の長さが６cm、面積が27cm²のときの三角形の高さを求めなさい。 1） Ｓ＝ａｈ／２　〔ｈ〕 両辺を入れかえる ａｈ／２＝Ｓ 両辺×２ ａｈ＝２Ｓ 両辺×1/ａ ｈ＝２Ｓ／ａ 2） ａ＝６、Ｓ＝27を代入 ｈ＝２×27／６ ｈ＝９ よって、 ９cm 問題 下の図のような長方形について、あとの問いに答えなさい。 1）辺ＡＢを軸として１回転させてできる円柱Ｐの体積を、ｘ、ｙを使った式で表しなさい。 2）辺ＢＣを軸として１回転させてできる円柱Ｑの体積は、円柱Ｐの体積の何倍になるか求めなさい。 1） ＡＢを軸とするから、高さｘcm、半径２ｙcmの円柱である。 柱の体積の公式より、 π×（２ｙ）²×ｘ ＝ ４πｘｙ²（cm³） 2） 円柱Ｑは、ＢＣを軸とするから、高さ２ｙcm、半径ｘcmの円柱である。 π×ｘ²×２ｙ ＝２πｘ²ｙ（cm³） Ｑ÷Ｐより、 ２πｘ²ｙ÷４πｘｙ² ＝ｘ÷２ｙ ＝ ｘ／２ｙ 倍 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.1 文字式 面積と体積 👉 ブログ TOP

a√b 平方根の変形 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 中３数学では、平方根（√）の単元に入っています。√の計算には、√8＝2√2のように、√の中をできるだけ小さい整数で表す手順があります。√の中の数について、 ２乗の形になる約数 を見つけることが必要で、素因数分解を使って見つけることができます。また、48の約数に16（4²）、75の約数に25（5²）があるように、大きい数の約数を覚えておくと、素因数分解の手間が省けて、計算を速く進めることができます。 ａ√ｂへの変形 √12＝√2²×3＝2√3 √32＝√4²×2＝4√2 2乗の形になる数を√の外に出して表す 問題 次の数を√ａの形にしなさい。 1）3√2 2）4√5 1） √3²×2 ＝ √18 2） √4²×5 ＝ √80 問題 次の数をａ√ｂの形にしなさい。 1）√72 2）√500 1） √72 ＝√6²×2 ＝ 6√2 2） √500 ＝√10²×2 ＝ 10√2 問題 次の数を√ａ／ｂやａ／ｂの形にしなさい。 1）√3/16 2）√0.64 1） √3/√16 ＝ √3/4 2） √64/√100 ＝8/10 ＝ 4/5 問題 次の計算をしなさい。 1）3√7＋√7 2）4√2＋5√2 3）2√3－5√3 4）3√6－√6 5）4√5－3√5 1） 3√7＋√7 ＝ 4√7 2） 4√2＋5√2 ＝ 9√2 3） 2√3－5√3 ＝ －3√3 4） 3√6－√6 ＝ 2√6 5） 4√5－3√5 ＝ √5 問題 次の計算をしなさい。 1）√20＋√45 2）√27－√48 3）5√2＋ 6/√2 4）√24－√3/√2 5）3√10－6√10＋2√10 6）9√5＋1－5√5－6 7）6√2＋3√7－2√7－3√2 1） √20＋√45 ＝2√5＋3√5 ＝ 5√5 2） √27－√48 ＝3√3－4√3 ＝ －√3 3） 5√2＋ 6/√2 ＝5√2＋3√2 ＝ 8√2 4） √24－√3/√2 ＝2√6－√6/2 ＝4√6/2－√6/2 ＝ 3√6/2 5） 3√10－6√10＋2√10 ＝－3√10＋2√10 ＝ －√10 6） 9√5＋1－5√5－6 ＝ 4√5－5 7） 6√2＋3√7－2√7－3√2 ＝ 3√2＋√7 問題 次の計算をしなさい。 1）√20×√24 2）√28×√63 3）√35×√15 4）（－√11）×√22 5）√20÷√3 6）5√5÷（－√18） 1） √20×√24 ＝2√5×2√6 ＝ 4√30 2） √28×√63 ＝2√7×3√7 ＝6×7 ＝ 42 3） √35×√15 ＝√5×√7×√5×√3 ＝ 5√21 4） （－√11）×√22 ＝－√11×√11×√2 ＝ －11√2 5） √20÷√3 ＝2√5/√3 ＝ 2√15/3 6） 5√5÷（－√18） ＝－5√5/3√2 ＝ －5√10/6 問題 次の計算をしなさい。 1）√32÷√10 2）3√2×√8 3）√21×√7 4）√54×√108 5）（－√63）×√42 6）√27/7×√50/2 7）√45÷√35 8）√8÷（－3√6） 1） √32÷√10 ＝√32/√10 ＝√16/√5 ＝4/√5 ＝ 4√5/5 2） 3√2×√8 ＝3√16 ＝3×4 ＝ 12 3） √21×√7 ＝√3×√7×√7 ＝ 7√3 4） √54×√108 ＝√54×√54×√2 ＝ 54√2 5） （－√63）×√42 ＝－√21×√3×√21×√2 ＝ －21√6 6） √27/7×√50/2 ＝3√3/7×5√2/2 ＝ 15√6/14 7） √45÷√35 ＝√45/√35 ＝√9/√7 ＝ 3√7/7 8） √8÷（－3√6） ＝－√8/3√6 ＝－√4/3√3 ＝ －2√3/9 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.6.30 a√b 平方根の変形 👉 ブログ TOP

化学変化 質量を求める問題 　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 　中２理科では、酸化や分解などの「 化学変化 」の単元に、 物質の質量 を求める学習があります。結びつく物質どうしの質量は一定の割合（比例の関係）になるため、 比の計算 を使って求めます。本県の高校入試にもよく出題される内容で、ふだんから問題文をていねいに読み解くことや、情報を整理しながら計算することを心がけます。 問題 銅10.0ｇを十分に加熱すると、酸化銅12.5gができた。 1）銅の質量と、銅と結びつく酸素の質量の割合を、最も簡単な整数の比で表しなさい。 2）銅14.0ｇと結びつく酸素の質量は何ｇか、求めなさい。 1） 結びついた酸素の質量 12.5－10.0＝2.5ｇ 銅と酸素の質量比 10.0：2.5 ＝ ４：１ 2） 結びつく酸素の質量をｘｇとする 銅と酸素の質量比４：１より ４：１＝14.0：ｘ ４ｘ＝14 ｘ＝ 3.5ｇ 問題 酸化マグネシウム1.20ｇを十分に加熱すると、酸化マグネシウム2.00ｇができた。 1）酸化マグネシウム7.00ｇができたとき、酸素と結びついたマグネシウムの質量を求めなさい。 2）酸化マグネシウム3.80ｇができたとき、マグネシウムと結びついた酸素の質量を求めなさい。 1） 酸化前のマグネシウムと酸化後のマグネシウムの質量比 1.20：2.00 ＝３：５ 求める酸化前のマグネシウムの質量をｘｇとする ３：５＝ｘ：7.00 ５ｘ＝21 ｘ＝ 4.2ｇ 2） 酸化前のマグネシウムの質量をｙｇとする ３：５＝ｙ：3.80 ５ｙ＝11.4 ｙ＝2.28ｇ 2.28ｇのマグネシウムから、3.80ｇの酸化マグネシウムができたから、結びついた酸素の質量は 3.80－2.28＝1.52ｇ よって、 1.52ｇ 問題 マグネシウムが燃焼するとき、反応するマグネシウムと酸素の質量の比は３：２である。1.5ｇのマグネシウムが完全に反応したときにできる酸化マグネシウムの質量は何ｇか、求めなさい。 結びつく酸素の質量をｘｇとする ３：２＝1.5：ｘ ３ｘ＝３ ｘ＝1.0ｇ 結びつく酸素の質量が1.0ｇだから、 1.5＋1.0＝2.5 よって、 2.5ｇ 問題 酸化銅を得るために、Ａ～Ｃの班ごとに銅粉末をはかりとり、それぞれをステンレス皿全体にうすく広げてガスバーナーで十分に熱した。その後、よく冷やしてからできた酸化銅の質量を測定した。次の表は、班ごとの結果をまとめたものである。 同様の操作で3.0ｇの酸化銅を得るとき、銅と結びつく酸素の質量は何ｇか、求めなさい。 銅と酸化銅の質量比 Ａ班 1.40：1.75＝４：５ Ｂ班 0.80：1.00＝４：５ Ｃ班 0.40：0.50＝４：５ この結果から、3.0ｇの酸化銅を得るときの銅の質量を求める。 求める銅の質量をｘｇとする ４：５＝ｘ：3.0 ５ｘ＝12 ｘ＝2.4ｇ 2.4ｇの銅から、3.0ｇの酸化銅が得られたから、結びついた酸素の質量は 3.0－2.4＝0.6ｇ よって、 0.6ｇ 問題 Ａ）炭酸水素ナトリウムをはかりとり、図のようにステンレス皿に広げて一定の時間加熱し、冷ましてからステンレス皿上の物質の質量を測定した。その後、再び一定の時間加熱し、加熱後の物質の質量を測定する操作を繰り返した。 Ｂ）炭酸水素ナトリウムの質量を変えて、Ａと同じ実験を行った。表は、測定結果をまとめたものである。 炭酸水素ナトリウム7.00ｇを加熱し、加熱後の物質の質量に変化が見られなくなったとき、残った物質の質量は何ｇか。ただし、炭酸水素ナトリウムの加熱によって生じる水は、全て蒸発するものとする。 炭酸水素ナトリウムの熱分解 反応式 ２ＮａＨＣＯ₃ → Ｎａ₂ＣＯ₃＋Ｈ₂Ｏ＋ＣＯ₂ 炭酸ナトリウムと水と二酸化炭素が発生する 炭酸水素ナトリウムの質量が2.00ｇのとき、加熱後の物質（炭酸ナトリウム）の質量は３回目から変わらないから、加熱後の質量が1.26ｇになったとき完全に熱分解したことが分かる。 炭酸水素ナトリウムと炭酸ナトリウムの質量比は、2.00：1.26 求める炭酸ナトリウムの質量をｘｇとする 2.00：1.26＝7.00：ｘ ２ｘ＝8.82 ｘ＝4.41ｇ よって、 4.41 ※ 2.00：1.26　×２ →　4.00：2.52 2.00：1.26　×３ →　6.00：3.78 炭酸水素ナトリウム4.00ｇ、6.00ｇを加熱したときも同じ質量比 問題 下の図のような装置を組み立てたあと、注射器を用いて水素20cm³と酸素ｘcm³をチューブの下端にあけた穴から入れた。点火装置のスイッチを入れてチューブの中の気体に点火したところ、爆発して燃えた。このとき、チューブの中に気体は残らなかった。これについて、あとの問いに答えなさい。 1）ｘの値を求めなさい。 2）酸素17cm³と過不足なく反応する水素の体積は何cm³か、求めなさい。 1） ２Ｈ₂＋Ｏ₂→２Ｈ₂Ｏ ２ Ｈ₂＋ １ Ｏ₂ 水素と酸素の体積比は２：１ ２：１＝20：ｘ ２ｘ＝20 ｘ＝ 10 2） 求める水素の体積をｙcm³とする ２：１＝ｙ：17 ｙ＝34 よって、 34cm³ 問題 Ａ～Ｅ班の５つの班ごとに銅の粉末をはかりとり、各班で銅の粉末を下の図のようによくかき混ぜながら、黒くなるまで十分に加熱した。その後、冷えてからそれぞれの加熱後の質量をはかると、表のような結果になった。これについて、あとの問いに答えなさい。 新たに2.8ｇの銅の粉末をはかりとり、加熱した。途中で加熱をやめて、質量をはかったところ、3.2ｇだった。このとき、酸素と反応していない銅の粉末は何ｇか、求めなさい。 2.8ｇの銅と結びついた酸素の質量は、 3.2－2.8＝0.4ｇ 各班の結果から、銅と酸化銅の質量比は４：５ 銅と酸素の質量比も各班同じになる Ａ班の結果から、結びつく酸素の質量は 1.5－1.2＝0.3ｇ 銅と酸素の質量比は、 1.2：0.3＝４：１ 0.4ｇの酸素と結びつく銅の質量をｘｇとする ４：１＝ｘ：0.4 ｘ＝1.6ｇ 以上から、酸素と反応していない銅の質量は、 2.8－1.6＝ 1.2ｇ 問題 鉄を燃焼させると、鉄原子と酸素原子とが［鉄原子の個数］：［酸素原子の個数］＝２：３の割合で結びつくものとする。このとき、鉄の質量と結合する酸素の質量との比は７：３である。 1）鉄2.8ｇと結びつく酸素の質量は何ｇか、求めなさい。 2）鉄原子100個と結びつく酸素分子の個数は何個か、求めなさい。 3）鉄原子１個の質量は、酸素原子１個の質量の何倍か、求めなさい。 1） 求める酸素の質量をｘｇとする ７：３＝2.8：ｘ ７ｘ＝8.4 ｘ＝1.2　 1.2ｇ 2） 酸素原子の個数をｘ個とする ２：３＝100：ｘ ２ｘ＝300 ｘ＝150個 酸素原子２個が結びついて酸素分子になるから、 150÷２＝75　 75個 3） 鉄原子１個あたりの質量は、 ７÷２＝3.5 酸素原子１個あたりの質量は、 ３÷３＝１ 以上から 3.5÷１＝3.5　 3.5倍 入試問題 （青森県立高入試） 2025年 3）解説 混ざった物質をｙｇ とすると、 炭酸水素ナトリウムの質量は（5.97ーｙ）ｇ、加熱後の白い物質の質量は（3.93ーｙ）ｇ 1.60：1.00＝（5.97ーｙ）：（3.93ーｙ） ８：５＝（5.97ーｙ）：（3.93ーｙ） 29.85－5ｙ＝31.44－8ｙ 3ｙ＝1.59 ｙ＝0.53 加熱前の炭酸水素ナトリウムの質量は、 5.97ー0.53＝5.44g よって、 5.44÷5.97×100＝ 91.1％ 2023年 4）解説 混合物に含まれる銅の質量をｘｇとする マグネシウムの質量は（1.10－ｘ）ｇ 銅と酸素の質量比は４：１ 銅ｘｇと結びつく酸素の質量は、 ｘ×1/4＝1/4ｘｇ　① マグネシウムと酸素の質量比は３：２ マグネシウム（1.10－ｘ）ｇと結びつく酸素の質量は、 （1.10－ｘ）×2/3 ＝2（1.10－ｘ）/3 ｇ　② 加熱後の結びついた酸素の質量は、 1.50－1.10＝0.4ｇ ①＋②＝0.4だから 1/4ｘ＋2（1.10－ｘ）/3＝0.4 ｘ＝0.8　 0.80ｇ 👉 2025・青森県立高校入試 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 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ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.6.29 化学変化 質量を求める問題 👉 ブログ TOP

十分条件と必要条件 高校数学 　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 　６月も終盤を迎え、高校数学では、「命題」の単元に入っています。命題の真偽をもとに、 十分条件 や 必要条件 について判断する学習から始まります。条件に対して、「 ～であれば十分 」か、「 必ず～である 」かについて考えていきます。 十分条件・必要条件 ＰならばＱが真👉ＰはＱの十分条件 ＱならばＰが真👉ＱはＰの必要条件 両方とも真👉ＰはＱの必要十分条件 「偶数であるならば整数」 偶数であるならば整数　真 偶数であれば十分 整数であるならば偶数　偽 必ずしも整数ではない（反例　－1, ０, 1） 👉偶数は整数であるための十分条件 問題 ｘ、ｙは実数とする。次の（　）に「必要」、「十分」のうち、適する語を入れよ。 1）ｘ＝－２は、ｘ²＝４であるための（　）条件である。 2）ｘ＞０は、ｘ＞１であるための（　）条件である。 3）ｘ＝ｙは（ｘ－ｙ）ｘ＝０であるための（　）条件である。 1） ｘ＝－２ → ｘ²＝４　真 ｘ²＝４ → ｘ＝－２　偽 反例　ｘ²＝４ → ｘ＝±２　 Ａ． 十分 2） ｘ＞０ → ｘ＞１　偽 反例　ｘ＝1/2 ｘ＞１ → ｘ＞０　真 Ａ． 必要 3） ｘ＝ｙ→（ｘ－ｙ）ｘ＝０　真 （ｘ－ｙ）ｘ＝０→ｘ＝ｙ　偽 反例　ｘ＝０、ｙ＝１ Ａ． 十分 問題 ｘ、ｙは実数とする。次の（　）に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち、適する語を入れよ。 1）ｘ＝ｙ＝２は、２ｘ－ｙ＝２ｙ－ｘ＝２であるための（　）条件である。 2）ｘ＝２は、ｘ²－ｘ－２＝０であるための（　）条件である。 3）△ＡＢＣ∽△ＰＱＲは、△ＡＢＣ≡△ＰＱＲであるための（　）条件である。 1） ｘ＝ｙ＝２→２ｘ－ｙ＝２ｙ－ｘ＝２　真 ２ｘ－ｙ＝２ｙ－ｘ＝２→ｘ＝ｙ＝２　真 Ａ． 必要十分 2） ｘ＝２→ｘ²－ｘ－２＝０　真 ｘ²－ｘ－２＝０→ｘ＝２　偽 反例 ｘ²－ｘ－２＝０ （ｘ＋１）（ｘ－２）＝０ ｘ＝－１，２ Ａ． 十分 3） △ＡＢＣ∽△ＰＱＲ→△ＡＢＣ≡△ＰＱＲ　偽 反例 辺の長さが等しいとは限らない △ＡＢＣ≡△ＰＱＲ→△ＡＢＣ∽△ＰＱＲ　真 Ａ． 必要 4）|ｘ|＝０は、ｘ＝０であるための（　）条件である。 5）ｘ＜３は、－１＜ｘ＜１であるための（　）条件である。 6）|ｘ|＝|ｙ| は、ｘ²＝ｙ²であるための（　）条件である。 4） |ｘ|＝０→ｘ＝０　真 ｘ＝０→ |ｘ|＝０　真 Ａ． 必要十分 5） ｘ＜３ → －１＜ｘ＜１　偽 反例　ｘ＝２，－２ －１＜ｘ＜１ → ｘ＜３　真 Ａ． 必要 6） |ｘ|＝|ｙ| → ｘ²＝ｙ²　真 ｘ²＝ｙ² → |ｘ|＝|ｙ|　真 Ａ． 必要十分 ※ |ｘ|＝±ｘ　|ｙ|＝±ｙ 問題 ａ、ｂ、ｃは実数とする。次の中で、ａ＞ｂと同値な条件をすべて選べ。 ①　ａ² ＞ ｂ² ②　ａ－ｃ＞ｂ－ｃ ③　ａｃ＞ｂｃ ① ａ² ＞ ｂ²→ａ＞ｂ　偽 反例　ａ＝－２、ｂ＝－１ ａ＞ｂ→ａ² ＞ ｂ²　偽 反例　ａ＝１、ｂ＝－１ ② ａ－ｃ＞ｂ－ｃ→ａ＞ｂ　真 ａ＞ｂ→ａ－ｃ＞ｂ－ｃ　真 ｃにどんな実数を入れても成り立つ ③ ａｃ＞ｂｃ→ａ＞ｂ　偽 反例　ａ＝－２、ｂ＝－１、ｃ＝－１、 ａ＞ｂ→ａｃ＞ｂｃ　偽 反例　ａ＝１、ｂ＝－１、ｃ＝－１ Ａ． ② 問題 ａ、ｂは実数とする。次の条件の否定を述べよ。 1）ａは無理数である。 2）ａ²＋ｂ²＜４ 3）ａ≠－２ 1） ａは有理数である。 2） ａ²＋ｂ²≧４ ※ ａ²＋ｂ²＜４ ａ²＋ｂ²は４を含まない↔４を含む ａ²＋ｂ²は４より小さい↔４より大きい 3） ａ＝－２ ※ ａは－２ではない↔－２である 問題 ａ、ｂは実数、ｍ、ｎは自然数とする。次の条件の否定を述べよ。 1）ａ＜－１ 2）ｎは偶数または３の倍数 3）３≦ａ＜７ 4）ｂ≦－１または０＜ｂ 5）ｍ、ｎはともに５の倍数 6）ｍ、ｎの少なくとも一方は偶数 1） ａ≧－１ 2） ｎは奇数かつ３の倍数でない 3） ａ＜３またはａ≧７ ※ ３≦ａ＜７「ａは３以上かつ７未満」 ａ≧３↔ａ＜３ ａ＜７↔ａ≧７ 4） －１＜ｂ≦０ ｂ≦－１↔ｂ＞－１ ｂ＞０↔ｂ≦０ 5） ｍ、ｎの少なくとも一方は５の倍数でない 6） ｍ、ｎはともに奇数 問題 ａ、ｂは実数とする。次の（　）に、「必要条件であるが十分条件でない」、「十分条件であるが必要条件でない」、「必要十分条件である」のうち、適するものを入れよ。いずれでもない場合には✖印を入れよ。 1）ａ＝√ｂ²であることは、ａ＝ｂであるための（　）。 2）ａｂ＋１＝ａ＋ｂであることは、ａ＝１またはｂ＝１であるための（　）。 3）|ａ|＜１かつ|ｂ|＜１であることは、ａｂ＋１＞ａ＋ｂであるための（　）。 4）Ａ、Ｂを２つの集合とする。ａがＡ∪Ｂの要素であることは、ａがＡの要素であるための（　）。 1） ａ＝√ｂ² → ａ＝ｂ　偽 反例　ａ＝１、ｂ＝－１ ａ＝ｂ→ａ＝√ｂ² 　偽 反例　ａ＝ｂ＝－１ Ａ． ✖ 2） ａｂ＋１＝ａ＋ｂ→ａ＝１またはｂ＝１　真 ※ ａｂ＋１＝ａ＋ｂ ａｂ－ａ－ｂ＋１＝０ ａ（ｂ－１）－（ｂ－１）＝０ （ａ－１）（ｂ－１）＝０ ａ＝１またはｂ＝１→ａｂ＋１＝ａ＋ｂ　真 ※ ａｂ＋１＝ａ＋ｂ １×３＋１＝１＋３ １×（－３）＋１＝１＋（－３） ４×１＋１＝４＋１ （－４）×１＋１＝（－４）＋１ Ａ． 必要十分条件である 3） |ａ|＜１かつ|ｂ|＜１→ａｂ＋１＞ａ＋ｂ　真 ※ |ａ|＜１　－１＜ａ＜１ |ｂ|＜１　－１＜ｂ＜１ －１＜ａ＜１かつ－１＜ｂ＜１ ａｂ＋１＞ａ＋ｂ→|ａ|＜１かつ|ｂ|＜１　偽 反例　ａ＝－１、ｂ＝－１ Ａ． 十分条件であるが必要条件でない 4） ａがＡ∪Ｂの要素である→ａがＡの要素である　偽 反例　Ｂの要素のみに含まれる場合がある ａがＡの要素である→ａがＡ∪Ｂの要素である　真 Ａ． 必要条件であるが十分条件でない 問題 次の命題の否定を述べよ。また、もとの命題とその否定の真偽を調べよ。 1）すべての実数ｘについて（ｘ＋１）²＞０ 2）ある自然数ｎについてｎ²＝５ 1） 命題の否定 ある実数ｘについて（ｘ＋１）²≦０ もとの命題 ｘはすべての実数→（ｘ＋１）²＞０　 偽 反例　ｘ＝－１ 否定の真偽 ｘ＝－１のとき、成り立つ　 真 ※（－１＋１）² ≦０ ≦：「＝」または「＜」が成り立つの意味 ０≦０は成り立つ 2） 命題の否定 すべての自然数ｎについてｎ²≠５ もとの命題 ｎはある自然数→ｎ²＝５　 偽 反例　（±√5）²＝５だが、±√5は自然数ではない 否定の真偽　 真 ２乗して５となる自然数はない 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.6.28 十分条件と必要条件 高校数学 👉 ブログ TOP

√を含む計算 練習問題 　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 　６月も終盤となり、中学生は定期考査を控えています。このページでは √（根号）を含む計算 の練習問題を掲載しています。乗法公式や有理化を使って解く問題もあります。 問題 次の計算をしなさい。 1）2√2＋3√2 2）√3＋4√3 3）6√5－2√5 1） 2√2＋3√2 ＝ 5√2 2） √3＋4√3 ＝ 5√3 3） 6√5－2√5 ＝ 4√5 4）3√6－4√6＋5√6 5）2√2＋3√2＋4√3 4） 3√6－4√6＋5√6 ＝－√6＋5√6 ＝ 4√6 5） 2√2＋3√2＋4√3 ＝ 5√2＋4√3 6）√18＋√2 7）5√6－√24 6） √18＋√2 ＝3√2＋√2 ＝ 4√2 7） 5√6－√24 ＝5√6－2√6 ＝ 3√6 乗法公式 問題 次の式を展開しなさい。 1）（ｘ＋１）（ｙ＋３） 2）（ｘ＋２）（ｘ＋６） 3）（ｘ＋４）² 4）（ｘ＋３）（ｘ－３） 1） （ｘ＋１）（ｙ＋３） ＝ ｘｙ＋３ｘ＋ｙ＋３ 2） （ｘ＋２）（ｘ＋６） ＝ ｘ²＋８ｘ＋12 3） （ｘ＋４）² ＝ ｘ²＋８ｘ＋16 4） （ｘ＋３）（ｘ－３） ＝ ｘ²－９ 問題 次の計算をしなさい。 1）√5（√2＋√3） 2）（√15－√10）÷√5 1） √5（√2＋√3） ＝ √10＋√15 2） （√15－√10）÷√5 ＝ √3－√2 3）（√2＋1）（√3＋3） 4）（√5＋2）（√5＋6） 3） （√2＋1）（√3＋3） ＝ √6＋3√2＋√3＋3 4） （√5＋2）（√5＋6） ＝5＋8√5＋12 ＝ 17＋8√5 5）（√5＋4）² 6）（√5－√3）² 7）（√5＋3）（√5－3） 5） （√5＋4）² ＝5＋8√5＋16 ＝ 21＋8√5 6） （√5－√3）² ＝5－2√15＋3 ＝ 8－2√15 7） （√5＋3）（√5－3） ＝5－9 ＝ －4 問題 次の計算をしなさい。 1）√6（1－√6） 2）√2（√32＋7） 3）（√30＋√80）÷√5 1） √6（1－√6） ＝ √6－6 2） √2（√32＋7） ＝√64＋7√2 ＝ 8＋7√2 3） （√30＋√80）÷√5 ＝√6＋√16 ＝ √6＋4 4）（√3＋3）（√2－4） 5）（√5＋2）（2√5－3） 4） （√3＋3）（√2－4） ＝ √6－4√3＋3√2－12 5） （√5＋2）（2√5－3） ＝10－3√5＋4√5－6 ＝ 4＋√5 問題 次の計算をしなさい。 1）（√6＋4）（√6－2） 2）（√3＋√7）² 3）（√6－2）² 1） （√6＋4）（√6－2） ＝6＋2√6－8 ＝ －2＋2√6 2） （√3＋√7）² ＝3＋2√21＋7 ＝ 10＋2√21 3） （√6－2）² ＝6－4√6＋4 ＝ 10－4√6 4）（√7＋√2）（√7－√2） 5）（2－√6）（1＋√6） 6）（3√2＋1）（3√2－1） 7） （√3＋1）（√3＋5）－√48 4） （√7＋√2）（√7－√2） ＝7－2 ＝ 5 5） （2－√6）（1＋√6） ＝－（√6－2）（√6＋1） ＝－（6－√6－2） ＝ －4＋√6 6） （3√2＋1）（3√2－1） ＝18－1 ＝ 17 7） （√3＋1）（√3＋5）－√48 ＝3＋6√3＋5－4√3 ＝ 8－2√3 問題 ａ＝√5＋3のとき、ａ²－６ａ＋９の値を求めなさい。 ａ²－６ａ＋９ ＝（ａ－３）² ＝｛（√5＋3）－3｝² ＝（√5）² ＝ ５ 問題 ｘ＝√7＋√2、ｙ＝√7－√2のとき、ｘ²－ｙ²の値を求めなさい。 ｘ²－ｙ² ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） ＝｛（√7＋√2）＋（√7－√2）｝｛（√7＋√2）－（√7－√2）｝ ＝2√7×2√2 ＝ 4√14 問題 半径３cmの円と半径６cmの円がある。面積が、この２つの円の面積の和と等しくなるような円をつくるとき、その円の半径を求めなさい。 π×３²＋π×６² ＝45π 求める半径をｒとする πｒ²＝45πより、 ｒ²＝45 ｒ＝±√45 　＝ 3√5 （ｒ＞０） よって、 3√5cm 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 生徒のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.6.27 √を含む計算 練習問題 👉 ブログ TOP

受け身 be+過去分詞 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 中３英語では、 受け身 （受動態）の文の学習があります。「 be動詞＋過去分詞 」の形で、日本語では「 ～される 」の意味をもちます。現在完了の学習と同じく、過去と過去分詞のちがいや動詞の 不規則変化形 を押さえておくことも必要になります。 受け身の文👉be + 過去分詞 「 ～される 」 She made this cake. 彼女がこのケーキを作った 👇 This cake was made by her. このケーキは彼女によって作られた 疑問文 Was this cake made by her? Yes, it was. / No, it wasn't. 否定文 This cake wasn't made by her. be動詞＋過去分詞 の形で、何かによって「 ～される 」という意味をもちます。 動詞の 過去分詞形 は、 ~ed形 の他に、write→writtenなどのような 不規則変化形 があります。 be動詞は、現在の文でis・am・are、過去の文でwas・wereを使います。 Everyone likes this song. like：現在形 This song is liked by everyone. liked：過去分詞形 He gave his mother some flowers. gave：過去形 His mother was given some flowers. given：過去分詞形 受け身からできている文 be made of ~ で作られている ※材料が見た目で分かる This bench is made of wood. このベンチは木で作られている be made from ~ から作られている ※材料が見た目で分からない Wine is made from grapes. ワインはブドウから作られる be covered with ~ で覆われている Mt. Fuji is covered with snow. 富士山は雪で覆われている be filled with ~ で満たされている The glass is filled with water. そのコップは水でいっぱい be satisfied with ~ に満足している I’m satisfied with my job. 自分の仕事に満足している be known to ~ に知られている The site is known to many people. そのサイトは多くの人々に知られている be born 生まれる She was born on May last year. 彼女は昨年５月に生まれた ※born：bear（生む）の過去分詞 be surprised at ~ に驚く He was surprised at the news. 彼はその知らせに驚いた ※surprise：驚かせる be interested in ~ に興味がある I am interested in Japanese history. 日本史に興味がある ※interest：興味をもたせる 未来形 The event is going to be held next week. イベントは来週開催される予定 This shop will be closed soon. この店はまもなく閉店する 助動詞 Sky tree can be seen from here. ここからスカイツリーが見える 進行形 My car is being repaired now. 車が今修理されている 完了形 The book has been read by many people. その本は多くの人に読まれてきた It is 過去分詞 that ~ It is said that it will be hot this summer. この夏は暑くなると言われている（暑くなるそうだ） It is thought that ~ It is known that ~ It is believed that ~ 分詞修飾 前置修飾（形容詞） a boiled egg / boiled eggs ゆでられた卵（ゆで卵） a used car 使われた車（中古車） 後置修飾 I use a car made in Japan. 日本でつくられた車を使っている Cars made in Japan is popular. 日本でつくられた車は人気がある There is only one ticket left. 残されたチケットが１枚だけある 過去形と過去分詞形 過去形 I boiled  eggs. 卵をゆでた 過去分詞形 The eggs were boiled . 卵はゆでられた I ate   boiled  eggs. ゆで卵を食べた 日本語の表現 魚介類は食べられる I can eat seafood. 魚介類は食べられている Seafood is eaten by many people. 日本語の動詞の語尾につく「れる」「られる」は、受け身と可能（can）の両方の意味をもちます。 I can see Mt. Fuji from my house. 私の家から富士山が見える Mt. Fuji can be seen from here. ここから富士山が見える He gave her a book. 彼は彼女に本をあげた She was given a book by him. 彼女は彼に本をもらった 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.6.26 受け身 be+過去分詞 👉 ブログ TOP

接続詞 that 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 中２英語では、 接続詞"that" の使い方について学習します。"that"に続く文は、 目的語の「～を」 にあたる部分になります。また、"that"の 前後は「主語＋動詞」 の形になることも押さえておきます。 接続詞"that" 「～ということ」「～だと」 I know that he is a baseball player. 彼が野球選手だと知っている Do you know that he is a baseball player? I don't know that he is a baseball player. "that"以下は 「 主語＋動詞 」 I know that   he is a baseball player. I know that he likes baseball. "that"以下は目的語 I know him . I know a baseball player . 動詞の多くは 目的語 をとります。※日本語で「 ～を 」にあたる部分 上の文では、"him"や"player"の単語が目的語になります。接続詞の"that"では、 "that ～"の文が目的語 になります。 I know that   he is a baseball player . that~を目的語にとる動詞 know that ~ think that ~ と思う believe that ~ と信じている feel that ~ と感じている remember that ~ と覚えている say that ~ と言っている hear that ~ と聞いている hope that ~ と願っている I think that they will win the game. 彼らが試合に勝つと思う They say that they will win the game. 彼らは、自分たちが試合に勝つと言っている。 that~を目的語にとる形容詞 be sure that ~ be glad that ~ be happy that ~ be excited that ~ be sorry that ~ Are you sure that they will win the game? 彼らがきっと勝つと思いますか She was glad that they won the game. 彼らが試合に勝ってうれしかった（勝ったのでうれしい） He is happy that he can play in the game. 彼は試合に出場できて幸せ We were excited that he hit a homerun. 私たちは、彼がホームランを打って興奮した He was sorry that he couldn't hit a homerun. 彼はホームランを打てず残念に思った 👉"形容詞+that ~"は、「～して・・」（結果）、「～なので・・」（理由）の意味も表します。 接続詞"that"の省略 接続詞"that"は省略できる場合があります I think  that  they will win the game. ＝ I think they will win the game. I'm sure that   they will win the game. ＝ I'm sure they will win the game. so 形容詞/副詞 that ~ 形容詞または副詞の前に、程度を強める"so"を置くと、「 とても...なので～ 」の意味になります。 I was so tired that I went to bed early. とても疲れていたので早く寝た She ran so fast that she won the race. 彼女はとても速く走ったのでレースに勝った　※fast：副詞 so 形容詞 that ... can't ~ She ran so fast that I couldn’t catch up with her. 彼女はとても速く走ったので追いつくことができなかった 時制 She thinks that they will win the game. She thought that they would win the game. She doesn't know that they won the game. 👉読解や英作文をするときは、"that"前後の「 現在 」または「 過去 」にも注目します。 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.6.26 接続詞 that 👉 ブログ TOP