確率 高校入試対策② 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 「 確率 」の問題では、表や樹形図を使って場合の数を求める方法があります。図形の頂点を利用する出題では、１つの頂点を基準にしながら場合の数を求めていきます。 問題 500円硬貨、100円硬貨、50円硬貨がそれぞれ１枚ずつある。これらの３枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る硬貨の合計金額が100円以上600円以下となる確率を求めなさい。 500円が表 のとき 100表　　50表　　→650円 100表　　50うら　→600円〇 100うら　50表　　→550円〇 100うら　50うら　→500円〇 500円がうら のとき 100表　　50表　　→150円〇 100表　　50うら　→100円〇 100うら　50表　　→50円 100うら　50うら　→0円 計８通りのうち、５通りあるから ５／８ 問題 赤玉３個と白玉２個が入っている袋がある。この袋から玉を１個取り出して色を確認して、それを袋に戻してから、もう一度玉を１個取り出して色を確認する。このとき、２回とも同じ色の玉が出る確率を求めなさい。ただし、袋の中は見えないものとし、どの玉が出ることも同様に確からしいものとする。 赤　①　②　③ 白　Ａ　Ｂ 赤と赤 の組み合わせ （1回目・2回目）　 （①・①）（①・②）（①・③）（②・①）（②・②）（②・③）（③・①）（③・②）（③・③）　計９通り 白と白 の組み合わせ （1回目・2回目）　 （Ａ・Ａ）（Ａ・Ｂ）（Ｂ・Ａ）（Ｂ・Ｂ）　計４通り （1回目・2回目） 赤と白 の組み合わせ （①・Ａ）（①・Ｂ）（②・Ａ）（②・Ｂ）（③・Ａ）（③・Ｂ）（Ａ・①）（Ａ・②）（Ａ・③）（Ｂ・①）（Ｂ・②）（Ｂ・③）　計12通り すべての組み合わせは、25通り 同じ色の組み合わせは、９＋４＝13通り よって、 13／25 問題 箱の中に、数字を書いた５枚のカード１，１，２，２，３が入っている。これらをよくかき混ぜてから、２枚のカードを同時に取り出すとき、それぞれのカードに書かれている数の和が４となる確率を求めなさい。 １Ａ　１Ｂ　２Ａ　２Ｂ　３ すべての組み合わせ （１Ａ・１Ｂ）（１Ａ・２Ａ）（１Ａ・２Ｂ）（１Ａ・３） （１Ｂ・２Ａ）（１Ｂ・２Ｂ）（１Ｂ・３） （２Ａ・２Ｂ）（２Ａ・３） （２Ｂ・３）　計10通り 和が４となるのは、計３通り よって、 ３／10 問題 ＡさんとＢさんは、それぞれ自分の箱の中からカードを取り出して、得点を競うゲームをすることにした。次の図のように、Ａさんの箱には、２の数字が書いてある赤いカード１枚と４、６の数字が１つずつ書いてある白いカードが２枚入っている。また、Ｂさんの箱には、４の数字が書いてある赤いカード１枚と２、６の数字が１つずつ書いてある白いカードが２枚入っている。 それぞれ自分の箱の中から同時に２枚のカードを取り出して、次のルールにしたがって得点を決め、得点が高いほうを勝ちとし、得点が同じときは引き分けとする。 【ルール】 ・赤いカードと白いカードを１枚ずつ取り出したとき、書いてある数字の積を得点とする。 ・白いカードを２枚取り出したとき、書いてある数字の和を得点とする。 このとき、次の問いに答えなさい。ただし、それぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。 1）Ａさんの箱の中から同時に２枚のカードを取り出すとき、もっとも大きい場合の得点は何点か求めなさい。 2）ゲームに勝つ確率は、ＡさんとＢさんのどちらが大きいか、求めた確率と合わせて答えなさい。 1） 赤２・白４→２×４＝８点 赤２・白６→２×６＝12点 白４・白６→４＋６＝10点 よって、 12点 2） Ｂさんの箱から取り出す場合 赤４・白２→４×２＝８点 赤４・白６→４×６＝24点 白２・白６→２＋６＝８点 Ａさんが勝つ Ａ12点　Ｂ８点（赤４白２） Ａ12点　Ｂ８点（白２白６） Ａ10点　Ｂ８点（赤４白２） Ａ10点　Ｂ８点（白２白６） Ｂさんが勝つ Ｂ24点　Ａ８点 Ｂ24点　Ａ12点 Ｂ24点　Ａ10点 引き分け Ａ８点　Ｂ８点（赤４白２） Ａ８点　Ｂ８点（白２白６） すべての組み合わせは９通り Ａさんが勝つのは４通り Ｂさんが勝つのは３通り よって、 勝つ確率が大きいのは、 Ａさん 確率　 4/9 問題 下の図のような、１辺が１の正方形ＡＢＣＤがあり、頂点Ｄに点Ｐ、頂点Ａに点Ｑがある。 赤と白の２個のさいころを同時に１回投げて、赤いさいころの出た目の数だけＰを左回りに頂点から頂点へ移動させ、白いさいころの出た目の数だけＱを左回りに頂点から頂点へ移動させる。 たとえば、赤いさいころの出た目が１、白いさいころの出た目が２のときは、ＰをＤ→Ａと移動させ、ＱをＡ→Ｂ→Ｃと移動させる。次の問いに答えなさい。 1）赤と白の２個のさいころを同時に１回投げて、Ｐ、Ｑを移動させるとき、Ｐの位置が頂点Ｂで、Ｑの位置が頂点Ｄになる確率を求めなさい。 2）赤と白の２個のさいころを同時に１回投げて、Ｐ、Ｑを移動させるとき、Ｐの位置とＱの位置が同じ頂点になる確率を求めなさい。 1） ２個さいころを同時に投げたとき、 すべての組み合わせは、 ６通り×６通り＝36通り ＰがＢにあるときは、 赤が２と６のとき ＱがＤにあるときは、 白が３のとき よって、 （赤，白）＝（２，３）（６，３）の２通り 求める確率は、2／36＝ 1/18 2） 赤１のとき、Ｄ→Ａ ＱがＡにいるのは、白４のとき 赤２のとき、Ｄ→Ｂ ＱがＢにいるのは、白１・白５のとき 赤３のとき、Ｄ→Ｃ ＱがＣにいるのは、白２・白６のとき 赤４のとき、Ｄ→Ｄ ＱがＤにいるのは、白３のとき 赤５のとき、Ｄ→Ａ２周目 ＱがＡにいるのは、白４のとき 赤６のとき、Ｄ→Ｂ２周目 ＱがＢにいるのは、白１・白５のとき よって、 （赤、白）＝（１，４）（２，１）（２，５）（３，２）（３，６）（４，３）（５，４）（２，１）（２，５）の９通り 求める確率は、 ９／36＝ １／４ 問題 下の図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦと、Ａ～Ｆの文字が１つずつ書かれた６枚のカードがある。カードをよくきって３枚同時にひき、６個の頂点からカードに書かれた文字と同じ３個の頂点を結んで三角形をつくる。このとき、二等辺三角形ができる確率を求めなさい。ただし、どのカードがひかれることも同様に確からしいものとする。 二等辺三角形ができる とき １つの頂点と隣り合う２辺の頂点 👉６個できる △ＡＢＣ、ＢＣＤ、ＣＤＥ、ＤＥＦ、ＥＦＡ、ＦＡＢ　 六角形の辺を使わない３つの頂点 👉２個できる △ＡＣＥ、ＢＤＦ（正三角形） 二等辺三角形ができない とき 六角形の１辺と対角線２本 １辺につき２個できるから、計12個できる。 △ＡＢＤ、ＡＢＥなど 全部で20個の三角形ができる そのうち、二等辺三角形は８個できるから 求める確率は、 ８／20＝ ２／５ 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.23 確率 高校入試対策② 👉 ブログ TOP

面積比と体積比 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 平面図形の 面積比 は底辺と高さを、空間図形の 体積比 は底面積と高さをもとにして求めます。相似な図形の場合は、相似比の２乗が面積比、３乗が体積比になります。 問題tei 下の図で、２点Ｄ、Ｅは△ＡＢＣの辺ＢＣ上にあり、ＢＤ：ＤＥ：ＥＣ＝１：３：２である。このとき、△ＡＤＥの面積は△ＡＢＣの面積の何倍か、求めなさい。 △ＡＢＤ、△ＡＤＥ、△ＡＣＥは ともに高さが等しいから、 底辺比が面積比になる。 よって、 △ＡＢＤ：△ＡＤＥ：△ＡＣＥ ＝１：３：２ △ＡＢＣ＝１＋３＋２＝６ よって、 △ＡＤＥ÷△ＡＢＣ ＝３÷６＝ 1/2倍 問題 下の図の△ＡＢＣの面積は８cm²で、ＢＤ：ＤＣ＝５：３である。このとき、△ＡＢＤの面積を求めなさい。 ＢＤ：ＤＣ＝５：３より △ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝５：３ △ＡＢＣ＝５＋３＝８ よって、 △ＡＢＤ：△ＡＢＣ＝５：８ △ＡＢＣ＝８cm²だから △ＡＢＤ：８＝５：８ △ＡＢＤ：１＝５：１ よって、 △ＡＢＤ＝ ５cm² 問題 下の図で、△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似であり、その相似比は２：３である。このとき、△ＡＢＣの面積と△ＤＥＦの面積の比を求めなさい。 相似比は、辺の長さの比 相似比の２乗が面積比だから ２²：３²＝ ４：９ 問題 下の図で、△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似であり、その相似比は１：３である。このとき、△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの面積の何倍か、求めなさい。 △ＡＢＣ：△ＤＥＦ＝１²：３² △ＤＥＦ＝９△ＡＢＣ よって、 ９倍 問題 下の図で、四角すいＡと四角すいＢは相似であり、相似比は２：３である。このとき、四角すいＡの体積と四角すいＢの体積の比を求めなさい。 相似比の３乗が体積比だから ２³：３³＝ ８：27 問題 下の図で、円錐Ｐ、Ｑは相似で、相似比は１：２である。円錐Ｐの体積が20cm³のとき、円錐Ｑの体積を求めなさい。 円錐ＰとＱの体積比は、 １³：２³＝１：８ 円錐Ｑの体積をｘcm³とする １：８＝20：ｘ ｘ＝160 よって、 160cm³ 問題 下の図は、底面の半径がｒcm、高さがｈcmの円柱である。この円柱の底面積（１つの底面の面積）と側面積の比は１：４である。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）この円柱の底面積（１つ分）を、ｒを用いた式で表しなさい。 2）この円柱の側面積を、ｈとｒを用いた式で表しなさい。 3）ｈを、ｒを用いた式で表しなさい 。 1） 円の面積の公式より π×ｒ²＝ πｒ² 2） 側面は長方形である 縦は、円柱の高さと同じｈcm 横は、底面の円周と同じだから ２π×ｒ＝２πｒ cm よって、 ｈ×２πｒ＝ ２πｒｈ cm² 3） 底面積１つ分と側面積が１：４だから １：４＝πｒ²：２πｒｈ 右の項を２で約分 １：２＝πｒ²：πｒｈ πで約分 １：２＝ｒ²：ｒｈ ｒで約分 １：２＝ｒ：ｈ ｈ＝２ｒ 問題 下の図のように、ＡＣ＝６cm、ＢＣ＝４cm、∠ＡＣＢ＝90°の直角三角形ＡＢＣがある。あとの問いに答えなさい。ただし、円周率はπとする。 1）△ＡＢＣを、辺ＡＣを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。 2）辺ＢＣの中点をＤとする。△ＡＢＤを、辺ＡＣを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。 1） 底面の半径４cm、高さ６cmの円錐ができる。 円錐の体積の公式より （1/3）×π×４²×６ ＝ 32π cm³ 2） △ＡＢＣを回転させた円錐をＰ、 △ＡＤＣを回転させた円錐をＱとする。 ＰとＱの相似比は２：１だから 体積比は、４：１ △ＡＢＤを回転させた円錐の体積比は、 Ｐ－Ｑ＝３ 求める体積をｘcm³とする ４：３＝32π：ｘ １：３＝８π：ｘ ｘ＝24π よって、 24π cm³ 問題 図１のように、底面の半径が８cm、高さが18cmの円柱の形をした容器に、底から10cmの高さまで水を入れ、水平な台の上に置いた。この容器に、図２のように、半径３cmの球の形をした穴の空いていないガラス玉４個を、水がこぼれないように入れたところ、水面が上昇した。このとき、容器の底から水面までの高さを求めなさい。ただし、容器の厚みは考えないものとする。 球４つ分の体積は、 球の体積の公式より （4/3）×π×３³×４＝144π cm³ 水の入っている部分の体積は、 円柱の体積の公式より π×８²×10＝640π cm³ 合わせて 144π＋640π＝784π cm³ 容器と水の部分は、 底面積が同じ だから 高さと体積は比例 の関係になる。 求める高さをｘcmとする ｘ：10＝784π：640π ｘ：１＝784π：64π 64πｘ＝784π 両辺÷16π ４ｘ＝49 ｘ＝49/4 よって、 49/4cm 2022年 青森県立高校入試 問題 下の図のように、１辺の長さが12cmである立方体の容器が水平に固定されている。その容器の中には、面ＥＦＧＨを底面とし、高さが12cmの正四角錐が入っており、点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈは容器の底面ＡＢＣＤの各辺の中点にある。あとの問いに答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。 1）　辺ＥＦの長さを求めなさい。 2）　容器の中にいっぱいになるまで水を入れ、その後、容器の外に水をこぼすことなく正四角錐を取り出したとする。このとき、容器の中にある水の底面ＡＢＣＤから水面までの高さを求めなさい。 1） △ＢＥＦにおいて ∠ＥＢＦ＝90°、ＢＥ＝ＢＦ＝６cmだから 直角二等辺三角形の辺の比より ＥＦ：ＢＥ＝√２：１ ＥＦ＝６＝√２：１ ＥＦ＝６√２cm 2） 立方体の底面積は、12²＝144cm² 四角錐の底面積は、（6√2）²＝72cm² それぞれの立体の高さをｈcmとする 立方体（水）の体積は、144ｈcm³ 四角錐の体積は、 （1/3）×72×ｈ＝24ｈcm³ 取り出したあとの水の体積は、 144ｈ－24ｈ＝120ｈcm³ 体積と高さは比例の関係だから 求める水面までの高さをｘcmとして、 144ｈ：120ｈ＝12cm：ｘcm 144ｘ＝1440 ｘ＝10 よって、 10cm 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.22 面積比と体積比 👉 ブログ TOP

二等辺三角形の性質 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 三角形の２つの辺が等しい場合、または２つの角が等しい場合は、 二等辺三角形 になります。また、二等辺三角形を利用した合同の証明に関する問題もあります。 問題 ＡＢ＝ＡＣのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 1） 底角は等しいから、∠Ｂ＝∠Ｃ よって、 ｘ＝（180°－80°）÷２＝ 50° 2） ｘ＝（180°－40°）÷２＝ 70° 問題 ＡＢ＝ＡＣのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 1） 底角は等しいから ∠Ｂ＝∠Ｃ＝55° よって、 ｘ＝180°－55°×２＝ 70° 2） ｘ＝180°－65°×２＝ 50° 問題 下の３つの三角形のうち、二等辺三角形であるものを選びなさい。 △ＡＢＣにおいて ａ＝180°－（66°＋56°）＝58° △ＤＥＦにおいて ｂ＝180°－（71°＋38°）＝71° △ＧＨＩにおいて ｃ＝180°－（52°＋65°）＝63° よって、 ∠Ｄ＝∠Ｅで２つの角が等しいから △ＤＥＦ 問題 下の図で、△ＡＢＣの∠Ｂ、∠Ｃの二等分線をひき、その交点をＩとする。Ｉから辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡにそれぞれ垂線ＩＤ、ＩＥ、ＩＦをひく。あとの問いに答えなさい。 1）ＩＤ＝ＩＥ＝ＩＦであることを証明しなさい。 2）直線ＡＩをひくとき、直線ＡＩは∠ＢＡＣの二等分線になることを証明しなさい。 1） 〔証明〕 △ＩＤＢと△ＩＥＢにおいて 仮定より ∠ＩＤＢ＝∠ＩＥＢ＝90°　① ∠ＩＢＤ＝∠ＩＢＥ　② 共通な辺だから ＩＢ＝ＩＢ　③ ①、②、③より 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので △ＩＤＢ≡△ＩＥＢ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＩＤ＝ＩＥ　④ △ＩＥＣ≡△ＩＦＣだから ＩＥ＝ＩＦ　⑤ ④、⑤より ＩＤ＝ＩＥ＝ＩＦ 2） 〔証明〕 △ＩＤＡと△ＩＦＡにおいて 仮定より ∠ＩＤＡ＝∠ＩＦＡ＝90°　① 共通な辺だから ＡＩ＝ＡＩ　② 1）より、ＩＤ＝ＩＦ　③ ①、②、③より 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので △ＩＤＡ≡△ＩＦＡ 合同な図形の対応する角は等しいから ∠ＤＡＩ＝∠ＦＡＩ よって、直線ＡＩは∠ＢＡＣの二等分線である。 問題 下の図のように、ＡＢ＝ＡＣ、ＡＢ＞ＢＣである二等辺三角形ＡＢＣがある。頂点Ｃを中心として、辺ＢＣが辺ＡＣと重なるまで△ＡＢＣを回転させてつくった三角形を△ＤＥＣとする。また、頂点Ｂと点Ｅを結んだ線分ＢＥの延長上に点Ｆをとる。このとき、∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＦであることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＢＣ≡△ＤＥＣより ＢＣ＝ＥＣ △ＣＢＥは二等辺三角形だから ∠ＣＢＥ＝∠ＣＥＢ　① 対頂角だから ∠ＣＥＢ＝∠ＡＥＦ　② △ＡＢＣと△ＤＥＣは、 合同な二等辺三角形だから ∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＣ 錯角が等しいから ＢＣ//ＥＤ 同位角は等しいから ∠ＣＢＥ＝∠ＤＥＦ　 ①より ∠ＣＥＢ＝∠ＤＥＦ　③ ②、③より ∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＦ 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.22 二等辺三角形の性質 👉 ブログ TOP

数の規則性 高校入試対策 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試では 数の規則性 に関する出題があります。長文形式が多く、短時間のうちに必要な情報を抜き出して整理する力が求められます。「筋立て」が重要なため、解き方を人に説明する学習も効果的です。 問題 ユキさんは、トランプタワーを作るのに必要なトランプの枚数について考えた。あとの問いに答えなさい。 【ユキさんのまとめたこと】 「トランプタワーの作り方」 ① １段のタワーは、２枚のトランプを両側から立てかけて１個のタワーを作る。 ② ｎ段のタワーは、（ｎ－１）段のタワーの一番下の段に１個のタワーをとなり合わせに作り、その上にトランプを１枚横に置き、その上に１個のタワーを作る・・・を繰り返してｎ段のトランプタワーを作る。 図１は、１～３段のトランプタワーを真正面から見たようすと、作るのに必要なトランプの枚数をそれぞれ表したものである。 「ｎ段のトランプタワーを作るのに必要なトランプの枚数の求め方」 図２のように、タワーの１段目の下にもトランプを横に置くと考える。図３のように、図２のタワーの横に、同じタワーを上下逆にして置くと、図３の囲みで示した各段で使うトランプの枚数は（　㋐　）枚だから、図３全体で使うトランプの枚数は（　㋑　）枚である。 よって、「トランプタワーの作り方」にしたがって、ｎ段のトランプタワーを作るのに必要なトランプの枚数は（　㋒　）枚である。 1）５段のトランプタワーを作るのに必要なトランプの枚数を求めなさい。 2）㋐～㋒にあてはまる式を、ｎを用いた式で書きなさい。 3）20段のトランプタワーを作るのに必要なトランプの枚数を求めなさい。 4）ａ段のトランプタワーと（ａ＋１）段のトランプタワーを作るのに必要なトランプの枚数の差が110枚のとき、ａの値を求めなさい。 1） １段→２段　 ＋５枚 計　２＋５＝７枚 ２段→３段　 ＋８枚 計　７＋８＝15枚 ３段→４段　 ＋11枚 計　15＋11＝26枚 ４段→５段　 ＋14枚 計　26＋14＝40枚 よって、 40枚 2）㋐ ｎ＝３ の場合 　　　　　左側 ＋ 右側 １段目　 ３枚×３＋３枚×１＝12枚 👉３ｎ＋３ ２段目　 ３枚×２＋３枚×２＝12枚 👉３（ｎ－１）＋６＝３ｎ＋３ ３段目　 ３枚×１＋３枚×３＝12枚 👉３（ｎ－２）＋９＝３ｎ＋３ よって、 ３ｎ＋３ 2）㋑ （３ｎ＋３）枚がｎ段あるから （３ｎ＋３）×ｎ よって、 ３ｎ²＋３ｎ 2）㋒ 同じタワーが２つあるから２で割る。 さらに、１段目のｎ枚を引く。 （３ｎ²＋３ｎ）÷２－ｎ ＝（３ｎ²＋３ｎ－２ｎ）／２ よって、 （３ｎ²＋ｎ）／２ 3） ｎ＝20のときだから （３ｎ²＋ｎ）／２ ＝（３×20²＋20）／２ ＝600＋10 ＝610 よって、 610枚 4） ｎ＝ａのとき （３ａ²＋ａ）／２　① ｎ＝ａ＋１のとき ｛（ａ＋１）²＋（ａ＋１）｝／２　② ②－①＝110だから ｛（ａ＋１）²＋（ａ＋１）｝／２－｛（３ａ²＋ａ）／２｝＝110 両辺×２ （ａ＋１）²＋（ａ＋１）－（３ａ²＋ａ）＝220 ａ²＋２ａ＋１＋ａ＋１－３ａ²－ａ＝220 ６ａ＝216 ａ＝36 よって、 36枚 2024年 青森県立高校入試 問題 下の【自由研究】は、マユさんが冬休みの課題として提出したものの一部である。あとの問いに答えなさい。 【 自由研究 】 1）【自由研究】「３　結果」の①について、次のア、イに答えなさい。 ア　「あ」にあてはまる数を書きなさい。 イ　「い」に適切な内容を書きなさい。 2）【自由研究】「３　結果」の②について、次のア、イに答えなさい。 ア 「う」にあてはまる数を書きなさい。また、「え」にあてはまる式を書きなさい。 イ 試合数が66試合のとき、選手の人数を求めなさい。 1）ア 対角線の本数を求める式より ｛（ｎ－３）×ｎ｝／２ ＝｛（５－３）×５｝／２ ＝10／２ ＝５ よって、 ５本 1）イ 同じ対角線を２回ずつ数える 2）ア ６人の選手で対戦するとき 選手Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆとすると 選手Ａは、 Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆと１試合ずつ対戦するから 選手１人につき、５試合行う。 ただし、 Ａを基準にしたときは、 Ａ対Ｂ、Ａ対Ｃ・・・となるが、 ＢやＣを基準にしたときは、 Ｂ対Ａ、Ｃ対Ａ・・・となり、 同じ試合を２個ずつ数えることになるから ６×５／２＝15　←「う」 また、 全体でｎ人のときは、１人あたり（ｎ－１）試合 よって、全体の試合数は、 ｎ（ｎ－１）／２　←「え」 「う」　 15 「え」　 ｎ（ｎ－１）／２ 2）イ ｎ（ｎ－１）／２＝66 ｎ（ｎ－１）＝132 ｎ²－ｎ－132＝０ （ｎ－12）（ｎ＋11）＝０ ｎ＞０より ｎ＝12 よって、 12人 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.21 数の規則性 高校入試対策 👉 ブログ TOP

正弦定理 余弦定理③ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校数学の 正弦定理・余弦定理 では、円に内接する図形や空間図形から、辺の長さや正弦・余弦の値を求める問題があります。複雑な図形問題の演習を重ねることが、解法の幅を広げることにつながります。 問題 円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝２、ＢＣ＝５、ＣＤ＝４、ＤＡ＝２であるとき、次のものを求めよ。 1）cosＢの値 2）対角線ＡＣの長さ 1） △ＡＢＣにおいて、余弦定理より ＡＣ² ＝２²＋５²－２・２・５cosＢ ＝29－20cosＢ　① 円に内接する四角形の性質より Ｄ＝180°－Ｂ △ＡＣＤにおいて、余弦定理より ＡＣ² ＝２²＋４²－２・２・４cos（180°－Ｂ） cos（180°－Ｂ）＝－cosＢだから ＡＣ²＝20＋16cosＢ　② ①＝②より 29－20cosＢ＝20＋16cosＢ 36cosＢ＝９ cosＢ＝1/4 2） ②に、cosＢ＝1/4を代入 ＡＣ²＝20＋16・（1/4）＝24 ＡＣ＝２√６ （ＡＣ＞０） 問題 △ＡＢＣにおいて、次の等式が成り立つことを証明せよ。 ａ（ｂcosＣ－ｃcosＢ）＝ｂ²－ｃ² 余弦定理より cosＢ＝（ａ²＋ｃ²－ｂ²）/２ａｃ cosＣ＝（ａ²＋ｂ²－ｃ²）/２ａｂ よって、 （左辺） ＝ａ［ｂ・｛（ａ²＋ｂ²－ｃ²）/２ａｂ｝－ｃ・｛（ａ²＋ｃ²－ｂ²）/２ａｃ｝］ ＝（ａ²＋ｂ²－ｃ²－ａ²－ｃ²＋ｂ²）/２ ＝（２ｂ²－２ｃ²）/２ ＝ｂ²－ｃ²＝（右辺） 問題 △ＡＢＣにおいて、等式cosＢsinＡ＝cosＡsinＢが成り立つとき、この三角形はどのような形か。 △ＡＢＣの外接円の半径をＲとする 正弦定理より sinＡ＝ａ/２Ｒ sinＢ＝ｂ/２Ｒ 余弦定理より cosＡ＝（ｂ²＋ｃ²－ａ²）/２ｂｃ cosＢ＝（ａ²＋ｃ²－ｂ²）/２ａｃ 与式に代入すると ｛（ａ²＋ｃ²－ｂ²）/２ａｃ｝・（ａ/２Ｒ）＝｛（ｂ²＋ｃ²－ａ²）/２ｂｃ｝・（ｂ/２Ｒ） 両辺×４ｃＲより ａ²＋ｃ²－ｂ²＝ｂ²＋ｃ²－ａ² よって、 ａ²＝ｂ² ａ＞０、ｂ＞０だから　ａ＝ｂ したがって、 △ＡＢＣはＢＣ＝ＡＣの二等辺三角形である。 問題 下の図の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨにおいて、辺ＣＧの中点をＭとするとき、∠ＦＡＭの大きさと△ＡＦＭの面積を求めよ。 △ＡＦＥにおいて ∠ＡＥＦ＝90°、ＡＥ＝ＥＦ＝２だから 直角二等辺三角形の辺の比より ＡＦ：ＡＥ＝√２：１ ＡＦ：２＝√２：１ ＡＦ＝２√２ △ＡＭＣにおいて ∠ＡＣＭ＝90°、 ＡＣ＝ＡＦ＝２√２、ＣＭ＝１だから 三平方の定理より ＡＭ²＝ＡＣ²＋ＣＭ² ＡＭ²＝（２√２）²＋１²＝９ ＡＭ＝３（ＡＭ＞０） △ＭＦＧにおいて ∠ＭＧＦ＝90°、 ＭＧ＝１、ＦＧ＝２だから 三平方の定理より ＭＦ²＝ＭＧ²＋ＦＧ² ＭＦ²＝１²＋２²＝５ ＭＦ＝√５（ＭＦ＞０） よって、 △ＡＦＭにおいて、余弦定理より cos∠ＡＦＭ ＝（ＡＭ²＋ＡＦ²－ＦＭ²）/２ＡＭ・ＡＦ ＝｛3²＋（2√2）²－（√5）²｝/2・3・2√2 ＝１/√２ よって、 ∠ＡＦＭ＝45° また、 △ＡＦＭ ＝（1/2）・ＡＭ・ＡＦ・sin45° ＝（1/2）・３・２√２・（１/√２） ＝３ 問題 １辺の長さが３の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨの対角線ＣＥに頂点Ａから垂線ＡＫを下ろすとき、sin∠ＡＣＥの値と線分ＡＫの長さを求めよ。 △ＡＢＣにおいて ∠ＡＢＣ＝90°、ＡＢ＝ＢＣ＝３だから 直角二等辺三角形の辺の比より ＡＣ：ＡＢ＝√２：１ ＡＣ：３＝√２：１ ＡＣ＝３√２ △ＡＣＥにおいて、∠ＣＡＥ＝90°だから 三平方の定理より ＣＥ²＝ＡＣ²＋ＡＥ² ＣＥ²＝（３√２）²＋３²＝27 ＣＥ＝３√３（ＣＥ＞０） 正弦定理より ＡＥ／sin∠ＡＣＥ＝ＣＥ／sin∠ＣＡＥ ３／sin∠ＡＣＥ＝３√３／sin90° ３√３sin∠ＡＣＥ＝３ sin∠ＡＣＥ＝１／√３ △ＡＣＫにおいて、正弦定理より ＡＫ／sin∠ＡＣＥ＝ＡＣ／sin∠ＡＫＣ ＡＫ／（1/√3）＝3√2／sin90° √３ＡＫ＝３√２ ＡＫ＝３√２／√３＝√６ よって、 sin∠ＡＣＥ＝１／√３ ＡＫ＝√６ 問題 ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝４、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＢ＝６である四面体ＡＢＣＤにおいて、頂点Ａから△ＢＣＤに垂線ＡＨを下ろす。このとき、次のものを求めよ。 1）△ＢＣＤの外接円の半径Ｒ 2）垂線ＡＨの長さ 1） △ＢＣＤは正三角形だから 正弦定理より ６／sin60°＝２Ｒ ２Ｒ・（√３/２）＝６ Ｒ＝６/√３ 　＝ ２√３ 2） △ＡＢＨ、△ＡＣＨ、△ＡＤＨにおいて ∠ＡＨＢ＝∠ＡＨＣ＝∠ＡＨＤ＝90° ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ、ＡＨは共通 直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいから ３つの三角形は合同 よって、 ＢＨ＝ＣＨ＝ＤＨ ゆえに、Ｈは△ＢＣＤの外接円の中心である。 したがって、1）より ＢＨ＝Ｒ＝２√３ △ＡＢＨにおいて、三平方の定理より ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ² ＡＨ²＝４²－（２√３）²＝４ ＡＨ＞０より ＡＨ＝２ 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.21 正弦定理 余弦定理③ 👉 ブログ TOP

三平方の定理 高校入試対策11 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試での 三平方の定理 に関する出題では、図形に補助線をひいて辺の長さや面積を求める問題があります。また、三角形の相似と組み合わせた問題もあります。 問題 下の図のように、円Ｏの周上に２点Ａ、Ｂがあり、∠ＯＡＢ＝30°である。ＡＢ＝３√３cmのとき、円Ｏの半径を求めなさい。 点ＯからＡＢへの垂線をＯＨとする △ＯＡＨにおいて 直角三角形の辺の比より ＯＡ：ＡＨ＝２：√３ ＡＨ＝3√3×（1/2）＝3√3/2cmだから ＯＡ：3√3/2＝２：√３ √３ＯＡ＝３√３ ＯＡ＝３ よって、 ３cm 問題 下の図の直方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨにおいて、ＡＢ＝ＢＣ２cm、ＡＥ＝４cmのとき、線分ＡＧの長さを求めなさい。 △ＡＧＣにおいて、∠ＡＣＧ＝90° ＡＣは１辺２cmの正方形の対角線だから ＡＣ：ＡＢ＝√２：１ ＡＣ：２＝√２：１ ＡＣ＝２√２cm ＣＧ＝ＡＥ＝４cm 三平方の定理より ＡＧ²＝ＡＣ²＋ＣＧ² ＡＧ²＝（２√２）²＋４²＝24 ＡＧ＞０より ＡＧ＝２√６cm ※別解 縦ａ、横ｂ、高さｃ 直方体の対角線の長さ √（ａ²＋ｂ²＋ｃ²） ＡＧ＝√（２²＋２²＋４²）＝ ２√６cm 問題 下の図は、１辺の長さが６cmである正方形ＡＢＣＤを底面とし、点Ｅを頂点とする正四角錐であり、高さは６cmである。辺ＡＥ上にＡＦ：ＦＥ＝１：２となる点Ｆをとるとき、２点Ｃ、Ｆ間の距離を求めなさい。 正四角錐の高さをＥＨ、 Ｆから底面への垂線をＦＩとする。 ＡＣは１辺６cmの正方形の対角線だから ＡＣ：ＡＢ＝√２：１ ＡＣ：６＝√２：１ ＡＣ＝６√２cm ＡＨ＝（1/2）ＡＣだから ＡＨ＝（1/2）×６√２＝３√２cm ＥＨ//ＦＩだから 平行線の比の性質より ＦＩ：ＥＨ＝ＡＦ：ＡＥ ＦＩ：６＝１：３ ＦＩ＝２cm また、 ＡＩ：ＡＨ＝ＡＦ：ＡＥ ＡＩ：３√２＝１：３ ＡＩ＝√２cm よって、 ＩＣ＝ＡＣ－ＡＩ 　　＝６√２－√２＝５√２cm △ＦＣＩにおいて、∠ＦＩＣ＝90° 三平方の定理より ＦＣ²＝ＦＩ²＋ＩＣ² ＦＣ²＝２²＋（５√２）²＝54 ＦＣ＝３√６（ＦＣ＞０） よって、 ３√６cm 問題 下の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、点Ａから対角線ＢＤに垂線をひき、ＢＤとの交点をＨとする。ＡＢ＝５cm、ＢＨ＝４cm、ＨＤ＝６cmであるとき、対角線ＡＣの長さを求めなさい。 △ＡＢＨにおいて、三平方の定理より ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ² ＡＨ²＝５²－４²＝９ 対角線の交点をＯとする ＢＤ＝ＢＨ＋ＨＤ＝10cmだから ＯＢ＝（1/2）ＢＤ＝５cm よって、 ＯＨ＝ＯＢ－ＢＨ＝１cm △ＡＯＨにおいて、三平方の定理より ＡＯ²＝ＡＨ²＋ＯＨ² ＡＯ²＝９＋１²＝10 ＡＯ＝√10cm（ＡＯ＞０） ＡＣ＝２ＡＯだから ＡＣ＝２×√10＝ ２√10cm 問題 下の図のように、１辺が４cmの正三角形ＡＢＣがあり、辺ＡＣの中点をＭとする。正三角形ＡＢＣの外側に正三角形ＤＢＡをつくる。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）ＤＭの長さを求めなさい。 2）△ＡＤＭの面積を求めなさい。 1） 半直線ＤＡと、 点Ｍからの垂線の交点をＨとする。 △ＡＭＨにおいて ∠ＡＨＭ＝90° ∠ＤＡＭ＝60°＋60°＝120°だから ∠ＭＡＨ＝180°－120°＝60° 直角三角形の辺の比より ＡＨ：ＡＭ＝１：２ ＡＭ＝４÷２＝２cmだから ＡＨ：２＝１：２ ＡＨ＝１cm よって、 ＤＨ＝ＤＡ＋ＡＨ＝５cm また、 ＨＭ：ＡＨ＝√３：１ ＨＭ：１＝√３：１ ＨＭ＝√３cm △ＤＭＨにおいて、三平方の定理より ＤＭ²＝ＤＨ²＋ＨＭ² ＤＭ²＝５²＋（√３）²＝28 ＤＭ＞０より ＤＭ＝２√７cm 2） 底辺ＡＤ、高さＨＭ ＡＤ＝４cm、ＨＭ＝√３cmだから （1/2）×４×√３＝ ２√３cm² 問題 下の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形で、Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＡＤ、ＣＤ上の点である。ＥＢ＝13cm、ＢＣ＝14cm、ＦＣ＝３cm、ＥＦ＝６cmのとき、△ＥＦＤの面積を求めなさい。 △ＦＢＣにおいて、三平方の定理より ＦＢ²＝ＦＣ²＋ＢＣ² ＦＢ²＝３²＋14²＝205 また、△ＢＦＥにおいて ＥＢ²＋ＥＦ²＝13²＋６²＝205 よって、 △ＢＦＥは∠ＢＥＦ＝90°の直角三角形である。 △ＥＦＤと△ＢＥＡにおいて ∠ＥＤＦ＝∠ＢＡＥ＝90° ∠ＤＥＦ＝90°－∠ＡＥＢ ∠ＡＢＥ＝90°－∠ＡＥＢ ∠ＤＥＦ＝∠ＡＢＥだから △ＥＦＤ∽△ＢＥＡ よって、 ＤＥ：ＡＢ＝ＥＦ：ＢＥ ＤＥ＝ｘcmとする ｘ：ＡＢ＝６：13 ＡＢ＝（13/6）ｘ また、 ＤＦ：ＡＥ＝６：13 ＡＥ＝14－ｘcmだから ＤＦ：（14－ｘ）＝６：13 ＤＦ＝（6/13）（14－ｘ） ＡＢ＝ＤＣだから ＡＢ＝ＤＦ＋ＦＣ よって、 （13/6）ｘ＝（6/13）（14－ｘ）＋３ ｘ＝18/5 ＤＥ＝18/5cm、 ＤＦ＝（6/13）｛14－（18/5）｝ 　　＝（6/13）×（52/5） 　　＝24/5cm △ＥＦＤの面積は、 （1/2）×（18/5）×（24/5） ＝ 216/25 cm² 問題 下の図で、点Ｐから線分ＡＢに垂線をひき、線分ＡＢとの交点をＱとする。ＰＡ＝５cm、ＰＢ＝３cm、ＡＢ＝６cmのとき、ＡＱの長さを求めなさい。 ＰＱ⊥ＡＢだから △ＰＡＱにおいて、∠ＰＱＡ＝90° 三平方の定理より ＰＱ²＝ＰＡ²－ＡＱ² ＡＱ＝ｘcmとする ＰＱ²＝５²－ｘ²　① △ＰＱＢにおいて、∠ＰＱＢ＝90° 三平方の定理より ＰＱ²＝ＰＢ²－ＢＱ² ＢＱ＝ＡＢ－ＡＱだから ＢＱ＝６－ｘcm ＰＱ²＝３²－（６－ｘ）²　② ①＝②より ５²－ｘ²＝３²－（６－ｘ）² 25－ｘ²＝９－（36－12ｘ＋ｘ²） 25－ｘ²＝９－36＋12ｘ－ｘ² 12ｘ＝52 ｘ＝13/3 よって、 13/3cm 問題 下の図のように、点Ｏを中心とし、線分ＡＥを直径とする半円と、点Ｃを中心とし、線分ＡＥ、半円Ｏにそれぞれ点Ｆ、Ｂで接する円がある。ＡＦ＝12cm、ＦＥ＝６cm、ＡＢと円Ｃの交点をＤとする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）半円Ｏの半径を求めなさい。 2）円Ｃの半径を求めなさい。 3）△ＢＤＦの面積を求めなさい。 1） 直径ＡＥ＝12＋６＝18cm よって、 18÷２＝ ９cm 2） △ＣＯＦにおいて、三平方の定理より ＣＦ²＝ＣＯ²－ＯＦ² 半径ＣＦ＝ｘcmとする ＯＢ＝９cm、ＣＢ＝ＣＦ＝ｘcmだから ＣＯ＝９－ｘcm ＯＦ＝９－６＝３cm よって、 ｘ²＝（９－ｘ）²－３² ｘ²＝81－18ｘ＋ｘ²－９ 18ｘ＝72 ｘ＝４ よって、 ４cm 3） ＢからＡＥに垂線ＢＨをひく ∠ＡＦＣ＝∠ＡＨＢ＝90°だから ＣＦ//ＢＨ 平行線の比の性質から ＣＦ：ＢＨ＝ＯＣ：ＯＢ ＣＦ＝４cm、ＯＢ＝９cm、 ＯＣ＝ＯＢ－ＢＣ＝５cmだから ４：ＢＨ＝５：９ ＢＨ＝36/5cm △ＯＡＢは、 ＯＡ＝ＯＢの二等辺三角形だから ∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ △ＣＤＢは、 ＣＤ＝ＣＢの二等辺三角形だから ∠ＣＤＢ＝∠ＣＢＤ ∠ＯＢＡ＝∠ＣＢＤだから ∠ＯＡＢ＝∠ＣＤＢ 同位角が等しいから ＯＡ//ＣＤ 平行線の比の性質より ＡＤ：ＡＢ＝ＯＣ：ＯＢ＝５：９ よって、 ＤＢ：ＡＢ＝４：９ △ＢＤＦと△ＢＡＦにおいて 底辺比が面積比になるから △ＢＤＦ＝（9/4）△ＢＡＦ △ＢＡＦの底辺ＡＦ＝12cm、 高さＢＨ＝36/5cmだから △ＢＤＦ ＝（4/9）×（1/2）×12×（36/5） ＝ 96/5cm² ★平方数 （２乗の数） 　 11²＝121　12²＝144　13²＝169 　14²＝196　15²＝225　16²＝256 　17²＝289　18²＝324　19²＝361 　21²＝441　25²＝625 ★ピタゴラス数 　直角三角形の辺 　 ３cm、４cm、５cm 　 ３²＋４²＝５² 　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。 　 ５cm、12cm、13cm 　 ５²＋12²＝13² 　 ８cm、15cm、17cm 　 ８²＋15²＝17² ★有名角 　30°、60°、90°　直角三角形 　辺の比　 １：２：√３ 　45°、45°、90°　直角二等辺 　辺の比　 １：１：√２ 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 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こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.20 三平方の定理 高校入試対策11 👉 ブログ TOP

平行四辺形の証明 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 平行四辺形の証明 では、三角形の合同や平行線の角などをもとに、証明する四角形の「対辺が等しい」「対角が等しい」「対角線がそれぞれ中点で交わる」という性質を求めていきます。 問題 下の図のように、▱ＡＢＣＤの頂点Ｂ、Ｄから対角線ＡＣに垂線をひき、ＡＣとの交点をそれぞれＥ、Ｆとする。このとき、ＡＥ＝ＣＦとなることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＢＥと△ＣＤＦにおいて 仮定より ∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ＝90°　① ＡＢ＝ＣＤ　② ＡＤ//ＢＣより 平行線の錯角だから ∠ＥＡＢ＝∠ＦＣＤ　③ ①、②、③より 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので △ＡＢＥ≡△ＣＤＦ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＡＥ＝ＣＦ 問題 下の図の▱ＡＢＣＤで、辺ＢＡの延長上にＡＢ＝ＡＥとなる点Ｅをとり、線分ＥＣと辺ＡＤとの交点をＦとする。このとき、ＥＦ＝ＣＦとなることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＥＦと△ＤＣＦにおいて 仮定より ＡＢ＝ＡＥ、ＡＢ＝ＤＣだから ＡＥ＝ＤＣ　① ＥＡ//ＤＣより 平行線の錯角だから ∠ＡＥＦ＝∠ＤＣＦ　② ∠ＥＡＦ＝∠ＣＤＦ　③ ①、②、③より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ＡＥＦ≡△ＤＣＦ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＥＦ＝ＣＦ 問題 下の図のように、▱ＡＢＣＤの∠Ｂの二等分線が辺ＡＤと交わる点をＥ、辺ＣＤの延長と交わる点をＦとする。このとき、ＤＥ＝ＤＦとなることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＤＥＦにおいて 仮定より ∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ　① ＡＢ//ＦＤより 平行線の錯角だから ∠ＤＦＥ＝∠ＡＢＥ　② 平行線の同位角だから ∠ＤＥＦ＝∠ＥＢＣ　③ ①、②、③より ∠ＤＦＥ＝∠ＤＥＦ ２つの角が等しいから、 △ＤＥＦは二等辺三角形である。 よって、ＤＥ＝ＤＦ 問題 下の図の四角形ＡＢＣＤで、ＡＢ＝ＣＤ、ＢＣ＝ＤＡであるとき、四角形ＡＢＣＤが平行四辺形になることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＢＣと△ＣＤＡにおいて 仮定より ＡＢ＝ＣＤ　① ＢＣ＝ＤＡ　② 共通な辺だから ＡＣ＝ＣＡ　③ ①、②、③より ３組の辺がそれぞれ等しいので △ＡＢＣ≡△ＣＤＡ 合同な図形の対応する角は等しいから ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ ∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ 錯角が等しいから ＡＢ//ＤＣ、ＡＤ//ＢＣ よって、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。 問題 下の図の四角形ＡＢＣＤで対角線の交点をＯとする。ＯＡ＝ＯＣ、ＯＢ＝ＯＤのとき、四角形ＡＢＣＤが平行四辺形になることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＯＡＢと△ＯＣＤにおいて 仮定より ＯＡ＝ＯＣ　① ＯＢ＝ＯＤ　② 対頂角だから ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ　③ ①、②、③より ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＯＡＢ≡△ＯＣＤ 合同な図形の対応する角は等しいから ∠ＯＡＢ＝∠ＯＣＤ ∠ＯＢＡ＝∠ＯＤＣ 錯角が等しいから ＡＢ//ＤＣ、ＡＤ//ＢＣ よって、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。 問題 下の図のように、ＡＢ//ＤＣである四角形ＡＢＣＤがあり、辺ＡＤの中点をＥ、ＣＥの延長とＢＡの延長との交点をＦとする。このとき、四角形ＡＣＤＦは平行四辺形になることを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＦＥと△ＤＣＥにおいて 仮定より ＡＥ＝ＤＥ　① ＡＢ//ＤＣだから ＦＡ//ＤＣ 平行線の錯角だから ∠ＦＡＥ＝∠ＣＤＥ　② 対頂角だから ∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＣ　③ ①、②、③より １組の辺とその両端の角が等しいので △ＡＦＥ≡△ＤＣＥ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＡＦ＝ＤＣ ＦＡ//ＤＣより １組の対辺が等しく平行だから 四角形ＡＣＤＦは平行四辺形である。 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.20 平行四辺形の証明 👉 ブログ TOP

図形の角度 高校入試対策⑤ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試では「 図形の角度 」を求める出題があります。三角形の内角と外角の関係のほか、おうぎ形の公式、平行線の角の関係、円周角の定理などを利用します。 問題 下の図で、点Ｉは∠Ｂ、∠Ｃの二等分線の交点である。∠ｘの大きさを求めなさい。 ∠ＩＢＣ＋∠ＩＣＢ ＝（∠Ｂ＋∠Ｃ）÷２ ∠Ｂ＋∠Ｃ ＝180°－46°＝134° ∠ＩＢＣ＋∠ＩＣＢ ＝134°÷２＝67° △ＩＢＣの内角の和より ∠ｘ＝180°－67°＝ 113° 問題 下の図において、２直線ℓ,mは平行であり、△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。また、頂点Ａ、Ｃはそれぞれℓ、m上にある。このとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 ＡＢ＝ＡＣより ∠ＢＡＣ＝180°－75°×２＝30° ℓ//mより 30°＋52°の角は、∠ｘと錯角だから ∠ｘ＝30°＋52°＝ 82° 問題 下の図のような平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、∠ＢＡＤ＝105°、∠ＢＥＣ＝80°、ＥＢ＝ＥＣのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 ＥＢ＝ＥＣより ∠ＥＣＢ＝（180°－80°）÷２＝50° 平行四辺形の対角は等しいから ∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＤ＝105° よって、 ｘ＝∠ＢＣＤ－∠ＥＣＢ 　＝105°－50°＝ 55° 問題 下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上にＡＢ＝ＡＥとなるように点Ｅをとる。∠ＢＣＤ＝115°のとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 平行四辺形の隣り合う角の和は180°だから ∠ＡＢＣ ＝180°－∠ＢＣＤ ＝180°－115°＝65° ＡＢ＝ＡＥより ∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ＝65° 平行線の錯角は等しいから ∠ｘ＝∠ＡＥＢ よって、 ｘ＝ 65° 問題 下の図において、ＡＤは円Ｏの直径であり、∠ＢＡＤ＝25°のとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 点ＤとＣを結ぶ補助線をひく Ｂ⌒Ｄに対する円周角は等しいから ∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＤ＝25° 直径ＡＤに対する円周角だから ∠ＡＣＤ＝90° よって、 ｘ＝∠ＡＣＤ－∠ＢＣＤ 　＝90°－25°＝ 65° 問題 下の図の△ＡＢＣにおいて、∠ＤＡＥ＝80°、ＡＤ＝ＢＤ、ＡＥ＝ＣＥのとき、∠ＢＡＣの大きさを求めなさい。 △ＡＤＥにおいて ∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ ＝180°－80°＝100°　① ＡＤ＝ＢＤより ∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ＝ａ°、 ∠ＥＡＣ＝∠ＥＣＡ＝ｂ°とする。 △ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて 三角形の内角と外角の関係より ∠ＡＤＥ ＝∠ＤＡＢ＋∠ＤＢＡ ＝ａ°＋ａ°＝２ａ° ∠ＡＥＤ ＝∠ＥＡＣ＋∠ＥＣＡ ＝ｂ°＋ｂ°＝２ｂ° ①より ２ａ°＋２ｂ°＝100°だから ａ°＋ｂ°＝50° ∠ＢＡＣ＝ａ°＋ｂ°＋80°だから ∠ＢＡＣ＝ 130° 問題 下の図で、直線ℓは円Ｏの接線で、点Ａは接点である。また、点Ｃは弦ＡＢ上の点で、点Ｄは直線ＯＣと直線ℓとの交点である。このとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 ＯＡ＝ＯＢより 二等辺三角形ＯＡＢの底角は等しいから ∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝21° 円の接線の性質より ℓ⊥ＯＡだから ∠ＯＡＤ＝90° ∠ＣＡＤ＝∠ＯＡＤ－ＯＡＢ ∠ＣＡＤ＝90°－21°＝69° △ＣＡＤの内角と外角の関係より ∠ｘ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＤＡ ｘ＝69°＋35°＝ 104° 問題 四角形ＡＢＣＤの４つの内角の間に、∠Ａ＝２∠Ｂ、∠Ｂ＝∠Ｃ、∠Ｃ＝２∠Ｄという関係があるとき、∠Ａの大きさを求めなさい。 ∠Ｄ＝ｘとすると ∠Ｃ＝２ｘ、∠Ｂ＝２ｘ、∠Ａ＝４ｘだから 四角形の内角の和より ４ｘ＋２ｘ＋２ｘ＋ｘ＝360° ｘ＝40° ∠Ａ＝２ｘだから ２×40°＝ 80° 問題 下の図で、ℓ//mのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。 下図の通り、 △ＢＣＤにおいて 三角形の外角の性質より ∠ＥＣＦ＝75°＋25°＝100° △ＣＥＦにおいて ∠ＣＥＦ＝150°－100°＝50° ℓ//mより ∠ｘ＋∠ＣＥＦ＝180°だから　※ ｘ＋50°＝180° ｘ＝130° ※ 平行線の内側の隣り合う角度の和は180° 問題 下の図のように、長方形ＡＢＣＤを線分ＥＦを折り目として折る。∠ＣＥＢ＝30°のとき、∠ＤＦＥの大きさｘを求めなさい。 折る前の点ＣをＣ’、 折る前の点ＤをＤ’とする。 ∠Ｃ＝∠Ｃ’＝90° ∠Ｄ＝∠Ｄ’＝90° ∠ＣＥＦ＝∠Ｃ’ＥＦだから ∠ＣＥＦ＝（180°－30°）÷２＝75° 四角形ＤＣＥＦにおいて ∠ｘ ＝360°－90°－90°－75° ＝ 105° 問題 下の図で、正方形ＯＡ’Ｂ’Ｃ’は頂点Ｏを中心として、正方形ＯＡＢＣを図のように35°だけ回転したものである。∠ＢＯＢ’と∠ｘの大きさを求めなさい。 ＯＢ’はＯＢを35°移動した線分だから ∠ＢＯＢ’＝35° ＯＢ、ＯＢ’は正方形の対角線だから ∠ＯＢＣ＝∠ＯＢ’Ａ’＝45° 三角形の外角の性質より ∠ｘ ＝∠ＢＯＢ’＋∠ＯＢＣ＋∠ＯＢ’Ａ’ ＝35°＋45°＋45° ＝ 125° 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.19 図形の角度 高校入試対策⑤ 👉 ブログ TOP

円周角と三角形の相似 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 三角形の相似 では、 円周角 の定理を利用した問題があります。問題で与えられた図形の中から、同じ長さの弧に対応する円周角を見つけて、相似の証明をしたり辺の長さなどを求めたりします。 円周角の見方 問題 次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。 1） 直径ＣＤに対する円周角だから ∠ＣＥＤ＝90° △ＣＤＥにおいて ∠ＣＤＥ＝180°－90°－40°＝50° 線分ＯＥをひく △ＯＤＥは、 ＯＤ＝ＯＥの二等辺三角形だから ∠ＯＥＤ＝∠ＯＤＥ＝50° 中心角ＢＯＥは、 円周角ＢＡＥの２倍だから ∠ＢＯＥ＝27°×２＝54° △ＯＢＥにおいて内角と外角の関係より ∠ｘ＝∠ＯＥＤ＋∠ＢＯＥ 　　＝50°＋54°＝ 104° 2） 直径ＡＢに対する円周角だから ∠ＡＣＢ＝90° △ＰＢＣにおいて ∠ＰＣＢ＝90°だから ∠ＰＢＣ＝180°－90°－56°＝34° ∠ＰＢＣはＣ⌒Ｄに対する円周角だから ∠ｘ＝２∠ＰＢＣ 　　＝２×34°＝ 68° 3） 直径ＢＤに対する円周角だから ∠ＢＡＤ＝90° △ＡＢＤにおいて ∠ＡＤＢ＝180°－90°－72°＝18° よって、 ∠ＡＤＥ＝56°－18°＝38° Ａ⌒Ｅに対する円周角だから ∠ｘ＝∠ＡＤＥ＝ 38° 4） 線分ＣＤをひく Ｄ⌒Ｅに対する円周角だから ∠ＤＣＥ＝∠ＤＦＥ＝20° 対頂角だから ∠ＣＧＤ＝∠ＢＧＥ＝122° △ＧＣＤにおいて ∠ＣＤＧ＝180°－20°－122°＝38° Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから ∠ｘ＝∠ＣＤＢ＝ 38° 円周角と相似 問題 下の図で、４点Ａ、Ｂ，Ｃ、Ｄは円周上の点であり、ＡＣとＢＤの交点をＥとする。ＡＢ＝６cm、ＡＥ＝２cm、ＤＣ＝９cmのとき、ＤＥの長さを求めなさい。 △ＡＢＥと△ＤＣＥにおいて Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから ∠ＢＡＥ＝∠ＣＤＥ Ａ⌒Ｄに対する円周角だから ∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ ２組の角が等しいので △ＡＢＥ∽△ＤＣＥ 対応する辺の比は等しいから ＡＢ：ＤＣ＝ＡＥ：ＤＥ ６：９＝２：ＤＥ ２：３＝２：ＤＥ １：３＝１：ＤＥ ＤＥ＝３cm 問題 下の図のような円があり、異なる３点Ａ、Ｂ、Ｃは円周上の点で、ＡＢ＝ＡＣ、∠ＢＡＣは鋭角である。点Ｃから線分ＡＢに垂線をひき、その交点をＤとする。直線ＣＤと円との交点のうち、点Ｃと異なる点をＥとし、点Ｅと点Ａを結ぶ。 また、円周上に、点Ｅと異なる点Ｆを、Ｂ⌒Ｅ＝Ｂ⌒Ｆとなるようにとる。線分ＡＦと線分ＣＥ、線分ＢＣとの交点をそれぞれＧ、Ｈとする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＤＥ∽△ＡＨＢであることを証明しなさい。 2）点Ｂと点Ｅを結ぶとき、ＢＥ＝ＣＧであることを証明しなさい。 1） △ＡＤＥと△ＡＨＢにおいて Ｂ⌒Ｅ＝Ｂ⌒Ｆより 長さが等しい弧に対する円周角は等しいから ∠ＥＡＢ＝∠ＢＡＦ よって、 ∠ＥＡＤ＝∠ＢＡＨ　① Ａ⌒Ｃに対する円周角は等しいから ∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＣ よって、 ∠ＡＥＤ＝∠ＡＢＨ　② ①、②より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＡＤＥ∽△ＡＨＢ 2） △ＡＢＥと△ＡＣＧにおいて 仮定より ＡＢ＝ＡＣ　① Ａ⌒Ｅに対する円周角だから ∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＥ よって、 ∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＧ　② Ｂ⌒Ｅ＝Ｂ⌒Ｆより ∠ＢＡＦ＝∠ＢＣＥ　③ 三角形の内角と外角の関係より ∠ＡＤＧ＝∠ＡＧＣ－∠ＢＡＦ　④ ∠ＧＨＣ＝∠ＡＧＣ－∠ＢＣＥ　⑤ ③、④、⑤より ∠ＡＤＧ＝∠ＧＨＣ＝90° ＡＢ＝ＡＣだから ∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＧ　➅ Ｂ⌒Ｅ＝Ｂ⌒Ｆより ∠ＢＡＦ＝∠ＢＡＥ　⑦ ➅、⑦より ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＧ　⑧ ①、②、⑧より １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＥ≡△ＡＣＧ 合同な図形の対応する辺は等しいから ＢＥ＝ＣＧ 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.19 円周角と三角形の相似 👉 ブログ TOP

三平方の定理 高校入試対策10 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 三平方の定理 では、高校入試に向けて、基本公式と直角三角形（有名角）の辺の比を押さえておく必要があります。また、直角三角形の斜辺は、90°に向かい合う辺になります。 問題 下の図のような∠ＡＣＢ＝90°の直角三角形ＡＢＣがある。ＡＢ＝３cm、ＢＣ＝２ＡＣとなるとき、辺ＡＣの長さを求めなさい。 ＡＣ＝ｘcmとすると、 ＢＣ＝２ｘcm 三平方の定理より ＡＣ²＋ＢＣ²＝ＡＢ² ｘ²＋（２ｘ）²＝３² ５ｘ²＝９ ｘ²＝9/5 ｘ＝３√５/５（ｘ＞０） よって、 ３√５/５cm 問題 下の図のような長方形の紙ＡＢＣＤを、頂点Ｄが辺ＢＣ上にくるように折り、頂点Ｄが移った点をＦ、折り目の線分をＡＥとする。さらに辺ＡＢが辺ＡＦに重なるように折り、頂点Ｂが移った点をＨ、折り目の線分をＡＧとする。ＡＢ＝12cm、ＡＤ＝13cmのとき、線分ＦＧの長さを求めなさい。 △ＡＧＢ≡△ＡＧＨより ＡＨ＝ＡＢ＝12cm △ＡＥＤ≡△ＡＥＦより ＡＦ＝ＡＤ＝13cm ＨＦ＝ＡＦ－ＡＨだから ＨＦ＝13－12＝１cm △ＡＢＦにおいて、三平方の定理より ＢＦ²＝ＡＦ²－ＡＢ² ＢＦ²＝13²－12²＝25 ＢＦ＝５cm（ＢＦ＞０） ＦＧ＝ｘcmとすると、 ＢＧ＝ＢＦ－ＦＧ＝５－ｘ cm ＢＧ＝ＧＨだから ＧＨ＝５－ｘ cm ∠ＡＨＧ＝∠ＡＢＧ＝90°だから ∠ＧＨＦ＝90° △ＦＧＨにおいて、三平方の定理より ＦＧ²＝ＨＦ²＋ＧＨ² ｘ²＝１²＋（５－ｘ）² ｘ²＝１＋25－10ｘ＋ｘ₂ 10ｘ＝26 ｘ＝13/5 よって、 13/5cm 問題 下の図の長方形ＡＢＣＤを、右の図のように、線分ＥＧを折り目として折り、頂点Ａを辺ＢＣ上の点Ｆに重ねる。ＡＢ＝10cm、ＢＦ＝６cmのとき、線分ＢＥの長さを求めなさい。 ＢＥ＝ｘcmとする △ＡＥＧ≡△ＦＥＧより ＡＥ＝ＦＥ よって、 ＦＥ＝ＡＥ＝10－ｘ cm △ＥＦＢにおいて、三平方の定理より ＢＥ²＝ＦＥ²－ＢＦ² ｘ²＝（10－ｘ）²－６² ｘ²＝100－20ｘ＋ｘ²－36 20ｘ＝64 ｘ＝16/5 よって、 16/5cm 問題 下の図のように、正六角形ＡＢＣＤＥＦの各辺の中点を結んだ正六角形ＰＱＲＳＴＵがある。ＡＢ＝４cmのとき、辺ＰＱの長さを求めなさい。 △ＢＡＣにおいて ＡＢ＝ＢＣだから ∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ ∠Ｂは、正六角形の１つの内角だから ∠Ｂ＝180×（６－２）÷６＝120° よって、 ∠ＢＡＣ＝（180°－120°）÷２＝30° また、 ＢからＡＣへの垂線をＢＨとする △ＢＡＣは二等辺三角形だから ∠ＢＨＡ＝90° △ＢＨＡにおいて ∠ＢＡＨ＝30°、∠ＢＨＡ＝90°だから 直角三角形の辺の比より ＡＨ：ＡＢ＝√３：２ ＡＢ＝４cmだから ＡＨ：４＝√３：２ ＡＨ：２＝√３：１ ＡＨ＝２√３cm ＡＨ＝ＣＨ＝２√３cmより ＡＣ＝４√３cm 点Ｐ、Ｑは、ＢＡ、ＢＣの中点だから 中点連結定理より ＰＱ＝（1/2）ＡＣ 　　＝（1/2）×４√３ 　　＝ ２√３cm 2024年 青森県立高校入試 問題 図１で、①は関数ｙ＝２ｘ²のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ－１、２である。また、②は２点Ａ、Ｂを通る直線である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。 1）点Ａのｙ座標を求めなさい。 2）線分ＡＢの長さを求めなさい。 1） 点Ａは、 ｙ＝２ｘ²上にあり、ｘ＝－１だから ｙ＝２×（－１）²＝２ よって、 ２ 2） 点Ｂのｙ座標は、ｘ＝２だから ｙ＝２×２²＝８ 点Ａを通りｘ軸に平行な直線と、 点Ｂを通りｙ軸に平行な直線の交点をＣとする。 Ａ（－１，２）　Ｂ（２，８） ＡＣ＝２－（－１）＝３ ＢＣ＝８－２＝６ △ＡＢＣにおいて、三平方の定理より ＡＢ²＝ＡＣ²＋ＢＣ² ＡＢ²＝３²＋６²＝45 ＡＢ＝３√５（ＡＢ＞０） よって、 ３√５cm 図２は、図１に面積の等しい△ＡＯＢと△ＡＯＣをかき加えたものである。点Ｃはｙ軸上の点で、ｙ座標が正であるとき、あとの問いに答えなさい。 3）点Ｃの座標を求めなさい。 4）点Ａと２点Ｂ、Ｃを通る直線との距離を求めなさい。 3） △ＡＯＢ＝△ＡＯＣだから ＯＡ//ＢＣとなる直線ＢＣをひく ※共通の底辺をもち、高さが同じ。 ＯＡの傾きは、Ａ（－１，２）だから ２／（－１）＝－２ ＢＣの傾きは、ＡＣと同じだから－２ 直線ＢＣの切片の値をｂとする ｙ＝－２ｘ＋ｂ Ｂ（２，８）を通るから ８＝－２×２＋ｂ ｂ＝12 よって、 （０，12） 4） △ＡＯＣの面積を求める △ＡＯＣの底辺をＯＣとしたとき、 高さは点Ａとｘ軸との距離になる。 ＯＣ＝12－０＝12 高さは、０－（－１）＝１ よって、 △ＡＯＣ＝（1/2）×12×１＝６cm² △ＡＯＣの底辺ＡＯの長さを求める 点Ａからｘ軸への垂線をＡＨとする △ＡＯＨにおいて、三平方の定理より ＡＯ²＝ＡＨ²＋ＯＨ² ＡＨ＝２－０＝２ ＯＨ＝０－（－１）＝１だから ＡＯ²＝２²＋１²＝５ ＡＯ＝√５cm（ＡＯ＞０） 点Ａと直線ＢＣとの距離は、 底辺をＡＯとする△ＡＯＣの高さと同じ。 高さをｈcmとすると、 （1/2）×ＡＯ×ｈ＝６ （1/2）×√５×ｈ＝６ ｈ＝12√5/5 よって、 12√5/5cm ★平方数 （２乗の数） 　 11²＝121　12²＝144　13²＝169 　14²＝196　15²＝225　16²＝256 　17²＝289　18²＝324　19²＝361 　21²＝441　25²＝625 ★ピタゴラス数 　直角三角形の辺 　 ３cm、４cm、５cm 　 ３²＋４²＝５² 　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。 　 ５cm、12cm、13cm 　 ５²＋12²＝13² 　 ８cm、15cm、17cm 　 ８²＋15²＝17² ★有名角 　30°、60°、90°　直角三角形 　辺の比　 １：２：√３ 　45°、45°、90°　直角二等辺 　辺の比　 １：１：√２ 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.18 三平方の定理 高校入試対策10 👉 ブログ TOP

相似 高校入試対策9 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の 相似 の問題では、立体や円を利用した出題があります。相似な図形は互いに角度が等しいので、平行線の同位角や錯角、二等辺三角形の底角、同じ弧に対する円周角などに着目します。 問題 下の図で、△ＡＢＣは∠ＡＢＣ＝90°の直角三角形であり、辺ＡＢ上にＡＤ：ＤＢ＝２：３となるように点Ｄをとる。また、辺ＡＣ、線分ＡＤの中点をそれぞれＥ、Ｆとし、線分ＤＣと線分ＥＢとの交点をＧとする。ＡＢ＝５cm、ＢＣ＝４cmのとき、四角形ＦＤＧＥの面積を求めなさい。 ＡＥ＝ＣＥより △ＡＢＥ＝（1/2）△ＡＢＣ ※高さが同じ、底辺が半分の長さ △ＡＢＣ ＝（1/2）×４×５＝10cm²だから △ＡＢＥ＝（1/2）×10＝５cm² △ＡＢＥにおいて ＡＦ：ＦＤ：ＤＢ＝１：１：３だから △ＦＢＥ＝（4/5）△ＡＢＥ よって、 △ＦＢＥ＝（4/5）×５＝４cm² また、 ＡＦ＝ＦＤ、ＡＥ＝ＥＣだから 中点連結定理より、ＦＥ//ＤＧ △ＦＢＥと△ＤＢＧにおいて 平行線の同位角だから ∠ＢＥＦ＝∠ＢＧＤ ∠ＢＦＥ＝∠ＢＤＧ よって、 △ＦＢＥ∽△ＤＢＧ ＢＦ：ＢＤ＝４：３だから △ＦＢＥ：△ＤＢＧ＝４²：３²＝16：９ △ＦＢＥ－△ＤＢＧ＝７だから 四角形ＦＤＧＥ＝（7/16）△ＦＢＥ よって、 四角形ＦＤＧＥの面積は、 （7/16）×４＝ 7/4cm² 問題 下の図は、直方体であり、ＡＥ＝ＥＦ＝６cm、ＦＧ＝５cmとする。また、点Ｍは辺ＡＢの中点、点Ｎは線分ＡＦと線分ＭＥとの交点である。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）上の図の直方体の表面積を求めなさい。 2）５点Ｃ、Ｍ、Ｎ、Ｆ、Ｂを頂点とする四角錐ＣＭＮＦＢの体積を求めなさい。 1） ６cm×６cmの正方形が２つだから 36×２＝72cm² ５cm×６cmの長方形が４つだから 30×４＝120cm² よって、 72＋120＝ 192cm² 2） 辺ＢＣと面ＭＮＦＢが垂直になるから 底面を四角形ＭＮＦＢとする。 △ＡＭＮと△ＦＥＮにおいて ＡＭ//ＥＦより 平行線の錯角は等しいから ∠ＡＭＮ＝∠ＦＥＮ ∠ＭＡＮ＝∠ＥＦＮ よって、 △ＡＭＮ∽△ＦＥＮ ＡＢ＝ＥＦ＝６cmだから ＡＭ＝３cm よって、 ＡＭ：ＦＥ＝３：６＝１：２ 高さの比も１：２となるから △ＡＭＮの高さは、 ６cm×（1/3）＝２cm よって、△ＡＭＮの面積は、 （1/2）×３×２＝３cm² 四角形ＭＮＦＢの面積は、 △ＡＢＦ－△ＡＭＮで求められるから （1/2）×６²－３＝15cm² よって、四角錐の体積は、 高さＣＢ＝ＧＦ＝５cmだから （1/3）×15×５＝ 25cm³ 問題 下の図の４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは円Ｏの周上にあり、ＡＢ＝ＡＣ、ＢＣ＝ＣＤである。また、点Ｄを通り線分ＢＣに平行な直線と線分ＡＣとの交点をＥ、線分ＥＣと線分ＢＤとの交点をＦとする。さらに、点Ａと点Ｄを線分で結ぶ。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＤと△ＤＣＥが相似になることを証明しなさい。 2）ＡＢ＝ＡＣ＝８cm、ＢＣ＝ＣＤ＝４cm、ＡＤ＝６cmのとき、次の㋐、㋑に答えなさい。 ㋐　線分ＤＥの長さを求めなさい。 ㋑　線分ＥＦの長さを求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＤと△ＤＣＥにおいて Ａ⌒Ｄに対する円周角だから ∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ　① Ａ⌒Ｂに対する円周角だから ∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ　② ＥＤ//ＢＣより 平行線の錯角は等しいから ∠ＤＥＣ＝∠ＡＣＢ　③ ②、③より ∠ＡＤＢ＝∠ＤＥＣ　④ ①、④より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＤ∽△ＤＣＥ 2）㋐ △ＡＢＤ∽△ＤＣＥより ＡＢ：ＤＣ＝ＡＤ：ＤＥ ８：４＝６：ＤＥ ２：１＝６：ＤＥ １：１＝３：ＤＥ ＤＥ＝３cm 2）㋑ ＤＥ//ＢＣより △ＤＥＦ∽△ＢＣＦとなるから ＥＦ：ＣＦ＝ＤＥ：ＢＣ＝３：４ を利用して求める。 ＣＦの長さは、 △ＢＣＦと相似な三角形から求める。 △ＢＣＦと△ＡＣＢにおいて ∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＢ（共通） △ＣＢＤは二等辺三角形だから ∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ よって、 ∠ＣＢＦ＝∠ＣＤＢ Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから ∠ＣＡＢ＝∠ＣＤＢ よって、 ∠ＣＢＦ＝∠ＣＡＢ ２組の角が等しいから △ＢＣＦ∽△ＡＣＢ ＦＣ：ＢＣ＝ＢＣ：ＡＣが成り立つから ＦＣ：４＝４：８ ＦＣ＝２cm ＥＦ：ＣＦ＝３：４だから ＥＦ：２＝３：４ よって、 ＥＦ＝3/2cm 2024年 青森県立高校入試 問題 下の図のように、３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円があり、△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣ＝５cmの二等辺三角形である。点Ｐは点ＢをふくまないＡ⌒Ｃ上を動く点であり、直線ＡＰと直線ＢＣの交点をＱとする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＰと△ＡＱＢが相似になることを証明しなさい。 2）点Ｐが線分ＡＱの中点になるとき、線分ＡＰの長さを求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＰと△ＡＱＢにおいて 共通な角だから ∠ＢＡＰ＝∠ＱＡＢ　① △ＡＢＣは二等辺三角形だから ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ　 よって、 ∠ＡＢＱ＝∠ＡＣＢ　② Ａ⌒Ｂに対する円周角だから ∠ＡＰＢ＝∠ＡＣＢ　③ ②、③より ∠ＡＰＢ＝∠ＡＢＱ　④ ①、④より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＰ∽△ＡＱＢ 2） △ＡＢＰ∽△ＡＱＢより ＡＢ：ＡＱ＝ＡＰ：ＡＢ ＡＱ＝２ＡＰ、ＡＢ＝５cmだから ５：２ＡＰ＝ＡＰ：５ ２ＡＰ²＝25 ＡＰ²＝25/2 ＡＰ＝５√２/２cm 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 　 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2026.1.18 相似 高校入試対策9 👉 ブログ TOP

相似 高校入試対策8 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校入試の「 相似 」の問題では、相似な三角形を見つけるポイントとして、平行線によってできる２つの三角形に注目します（砂時計型、ピラミッド型）。平行線の同位角や錯角が等しくなることを利用します。 問題 下の図で、点Ｐ、Ｑはそれぞれ△ＡＢＣの辺ＡＢ、ＡＣの中点である。△ＡＰＱの面積が16cm²のとき、四角形ＰＢＣＱの面積を求めなさい。 中点連結定理より ＰＱ：ＢＣ＝１：２ ＰＱ//ＢＣより △ＡＰＱ∽△ＡＢＣだから 面積比は、 △ＡＰＱ：△ＡＢＣ＝１²：２²＝１：４ △ＡＰＱ＝16cm²だから 16：△ＡＢＣ＝１：４ △ＡＢＣ＝64cm² よって、 四角形ＰＢＣＱ＝△ＡＢＣ－△ＡＰＱ ＝64－16 ＝ 48cm² 問題 下の図の平行四辺形ＡＢＣＤで、点Ｅは辺ＤＣの中点である。直線ＡＥと対角線ＢＤとの交点をＦとする。△ＡＢＦと四角形ＦＢＣＥの面積比を、もっとも簡単な整数の比で表しなさい。 △ＡＢＦと△ＥＤＦにおいて ＡＢ//ＤＣより 平行線の錯角は等しいから ∠ＡＢＦ＝∠ＥＤＦ ∠ＢＡＦ＝∠ＤＥＦ ２組の角が等しいから △ＡＢＦ∽△ＥＤＦ ＡＢ＝２ＤＥだから ＡＢ：ＤＥ＝２：１ よって、 △ＡＢＦ：△ＥＤＦ ＝２²：１²＝４：１ △ＥＤＦ＝（1/4）△ＡＢＦ　① また、 △ＡＢＦと△ＡＤＦは、高さが等しいから、底辺比が面積比になる。 △ＡＢＦ∽△ＥＤＦより ＢＦ：ＤＦ＝２：１ よって、 △ＡＢＦ：△ＡＤＦ＝２：１ △ＡＤＦ＝（1/2）△ＡＢＦ　② 平行四辺形の性質より △ＣＤＢ＝△ＡＢＤだから 四角形ＦＢＣＥ＋△ＥＤＦ＝△ＡＢＦ＋△ＡＤＦ ①、②より 四角形ＦＢＣＥ＋（1/4）△ＡＢＦ＝△ＡＢＦ＋（1/2）△ＡＢＦ 四角形ＦＢＣＥ＝（5/4）△ＡＢＦ よって、 △ＡＢＦ：四角形ＦＢＣＥ＝ ４：５ 問題 下の図において、ＡＢ//ＥＣ、ＡＣ//ＤＢ、ＤＥ//ＢＣである。また、線分ＤＥと線分ＡＢ、ＡＣとの交点をそれぞれＦ、Ｇとすると、ＡＦ：ＦＢ＝２：３であった。ＢＣ＝10cmのとき、線分ＤＥの長さを求めなさい。 △ＡＦＧと△ＡＢＣ において ＤＥ//ＢＣより、ＦＧ//ＢＣ 平行線の同位角は等しいから ∠ＡＦＧ＝∠ＡＢＣ ∠ＡＧＦ＝∠ＡＣＢ ２組の角が等しいから △ＡＦＧ∽△ＡＢＣ よって、 ＦＧ：ＢＣ＝ＡＦ：ＡＢ ＡＦ：ＦＢ＝２：３より ＡＦ：ＡＢ＝２：５ ＢＣ＝10cmだから ＦＧ：10＝２：５ ＦＧ：２＝２：１ ＦＧ＝４cm　① △ＡＦＧと△ＢＦＤ において ＡＣ//ＤＢより、ＡＧ//ＤＢ 平行線の錯角は等しいから ∠ＡＧＦ＝∠ＢＤＦ ∠ＧＡＦ＝∠ＤＢＦ ２組の角が等しいから △ＡＦＧ∽△ＢＦＤ よって、 ＦＧ：ＦＤ＝ＡＦ：ＢＦ ＦＧ＝４cmだから ４：ＦＤ＝２：３ ２：ＦＤ＝１：３ ＦＤ＝６cm　② △ＡＦＧと△ＣＥＧ において ＡＢ//ＥＣより、ＡＦ//ＥＣ 平行線の錯角は等しいから ∠ＡＦＧ＝∠ＣＥＧ ∠ＧＡＦ＝∠ＧＣＥ ２組の角が等しいから △ＡＦＧ∽△ＣＥＧ よって、 ＦＧ：ＥＧ＝ＡＧ：ＣＧ ＡＧ：ＣＧ＝ＡＦ：ＦＢ＝２：３、 ＦＧ＝４cmだから ４：ＥＧ＝２：３ ２：ＥＧ＝１：３ ＥＧ＝６cm　③ ＤＥ＝①＋②＋③だから ＤＥ＝４＋６＋６＝ 16cm 証明問題 問題 下の図のように、∠ＢＣＡ＝90°の直角三角形ＡＢＣがあり、ＡＢ＝20cm、ＢＣ＝12cm、ＣＡ＝16cmである。点Ｄは辺ＣＡ上にあり、ＡＤ＝７cmである。点Ｅは直線ＢＤ上にあり、∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥである。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＢＣと△ＢＤＣが相似になることを証明しなさい。 2）線分ＢＥの長さを求めなさい。 1） 〔証明〕 △ＡＢＣと△ＢＤＣにおいて 仮定より ＡＣ：ＢＣ＝16：12＝４：３　① ＤＣ＝16－７＝９cmだから ＢＣ：ＤＣ＝12：９＝４：３　② ∠ＢＣＡ＝∠ＤＣＢ＝90°　③ ①、②、③より ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＣ∽△ＢＤＣ 2） △ＡＢＣ∽△ＢＤＣより ＡＢ：ＢＤ＝４：３ ＡＢ＝20cmだから 20：ＢＤ＝４：３ ５：ＢＤ＝１：３ ＢＤ＝15cm △ＢＤＣと△ＡＤＥにおいて △ＡＢＣ∽△ＢＤＣより ∠ＢＡＣ＝∠ＤＢＣ ∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥだから ∠ＤＢＣ＝∠ＤＡＥ　④ 対頂角は等しいから ∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＥ　⑤ ④、⑤より △ＢＤＣ∽△ＡＤＥ よって、 ＤＣ：ＤＥ＝ＢＤ：ＡＤ ＤＣ＝９cm、ＢＤ＝15cm、ＡＤ＝７cmだから ９：ＤＥ＝15：７ ３：ＤＥ＝５：７ ＤＥ＝21/5cm ＢＥ＝ＢＤ＋ＤＥだから ＢＥ＝15＋（21/5）＝ 96/5cm 円周角と証明 問題 下の図のように、四角形ＡＢＣＤがある。この四角形の頂点はすべて同じ円の周上にあり、点Ｐは対角線ＡＣと対角線ＢＤとの交点である。∠ＡＢＤ＝∠ＢＣＡであるとき、△ＡＣＤ∽△ＡＤＰを証明しなさい。 〔証明〕 △ＡＣＤと△ＡＤＰにおいて 共通な角だから ∠ＣＡＤ＝∠ＤＡＰ　① Ａ⌒Ｄに対する円周角だから ∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＤ　② 仮定より ∠ＢＣＡ＝∠ＡＢＤ　③ ②、③より ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＡ　④ Ａ⌒Ｂに対する円周角だから ∠ＡＤＰ＝∠ＢＣＡ　⑤ ④、⑤より ∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＰ　➅ ①、➅より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＡＣＤ∽△ＡＤＰ 問題 下の図のように、直径をＡＢとする円Ｏがある。点Ｃは円Ｏの周上の点であり、線分ＢＣの中点をＭ、線分ＡＭと線分ＯＣとの交点をＤとする。このとき、あとの問いに答えなさい。 1）△ＡＣＤと△ＭＯＤが相似になることを証明しなさい。 2）ＡＢ＝６cm、ＢＣ＝２cmのとき、線分ＤＭの長さを求めなさい。 1） △ＡＣＤと△ＭＯＤにおいて ＡＯ＝ＯＢ、ＣＭ＝ＭＢだから 中点連結定理より ＡＣ//ＯＭ 平行線の錯角は等しいから ∠ＡＣＤ＝∠ＭＯＤ　① ∠ＣＡＤ＝∠ＯＭＤ　② ①、②より ２組の角がそれぞれ等しいので △ＡＣＤ∽△ＭＯＤ 2） △ＡＢＣ において ∠ＡＣＢ＝90°だから、三平方の定理より ＡＣ²＝ＡＢ²－ＢＣ² ＡＣ²＝６²－２²＝32 ＡＣ＝４√２cm（ＡＣ＞０） △ＯＢＣ において ＯＢ＝ＯＣ、ＢＭ＝ＭＣだから ∠ＯＭＢ＝90° △ＯＢＭ において、三平方の定理より ＯＭ²＝ＯＢ²－ＢＭ² ＯＢ＝３cm、ＢＭ＝１cmだから ＯＭ²＝３²－１²＝８ ＯＭ＝２√２cm（ＯＭ＞０） △ＡＭＣ において、三平方の定理より ＡＭ²＝ＡＣ²＋ＣＭ² ＣＭ＝１cmだから ＡＭ²＝（４√２）²＋１² ＡＭ²＝33 ＡＭ＝√33cm（ＡＭ＞０） △ＡＣＤ∽△ＭＯＤより ＣＡ：ＯＭ＝ＤＡ：ＤＭ ＤＭ＝ｘcmとすると、 ＤＡ＝ＡＭ－ＤＭ＝√33－ｘcm よって、 ４√２：２√２＝（√33－ｘ）：ｘ ２：１＝（√33－ｘ）：ｘ ２ｘ＝√33－ｘ ｘ＝√33/3 よって、 √33/3cm 🌸 春の新入塾　受付中 🌸 【 たむかい学習教室 】 教員経験20年　プロ講師による 完全マンツーマン指導 追加料金なし　安心の授業料で 手厚いサポート 　 塾生のホンネ 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八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　八戸工大二高附属中　階上町立階上中　南部町立福地中　岩手県洋野町立大野中　久慈市立久慈中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小 今年度塾生35名 （2026年1月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 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