平方根の応用問題 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 夏休みまで残り２週間になりました。中３数学では、 平方根 の応用に取り組んでいます。√の数を利用した問題で、平方根の意味や整数部分と小数部分などについて理解を深めています。これから学習する二次方程式や二次関数、三平方の定理にも応用され、１学期の学習内容は今年１年の基礎になります。 問題 ｘ＝－４＋√２のとき、ｘ²＋８ｘ＋16の値を求めなさい。 ｘ²＋８ｘ＋16 ＝（ｘ＋４）² ｘに－４＋√２を代入 ｛（－４＋√２）＋４｝² ＝（√２）² ＝ ２ 問題 下の図のように、１辺の長さが２ａcmの正方形ＡＢＣＤがある。辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの中点をそれぞれＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈとし、正方形ＥＦＧＨをつくるとき、正方形ＥＦＧＨの面積と１辺の長さを、ａを使って表しなさい。 正方形ＡＢＣＤの面積 ２ａ×２ａ ＝４ａ²（cm） 正方形ＥＦＧＨの面積は、ＡＢＣＤの1/2だから、 ４ａ²×1/2 ＝２ａ²（cm²） １辺の長さは、面積２ａ²の平方根（正の数）だから、 √２ａ（cm） よって、 面積　 ２ａ² （cm²） １辺　 √２ａ （cm） 問題 √138の整数部分をａ、小数部分をｂとするとき、次の問いに答えなさい。 1）ａの値を求めなさい。 2）ｂ²＋22ｂの値を求めなさい。 1） √121＜√138＜√144 11＜√138＜12　だから ａ＝ 11 ※ √138は11と12の間にある数（ 11.747...） 2） 小数部分は、√138から整数部分をひいた数だから、 ｂ＝√138－11 ｂ²＋22ｂ ＝ｂ（ｂ＋22） ｂに（√138－11）を代入 （√138－11）｛（√138－11）＋22｝ ＝（√138－11）（√138＋11） ＝（√138）²－11² ＝138－121 ＝ 17 平方数 10²＝100　11²＝121　12²＝144 13²＝169　14²＝196　15²＝225 16²＝256　17²＝289　18²＝324 19²＝361　20²＝400　21²＝441 25²＝625 問題 √11の小数部分をａとするとき、ａ（ａ＋６）の値を求めなさい。 √９＜√11＜√16 ３＜√11＜４　だから √11の整数部分は３ √11から 整数部分を引くと、小数部分になる から、 ａ＝√11－３ よって、 ａ（ａ＋６） ＝（√11－３）｛（√11－３）＋６｝ ＝（√11－３）（√11＋３） ＝11－９ ＝ ２ 問題 √60ｎが自然数になるような自然数ｎのうちで、最も小さい値を求めなさい。 「 √60ｎが自然数になる 」 👉√の中が、 □² の数になる 　√□²＝□ 　√が外れて自然数になる 60を素因数分解する 60＝２²×３×５ √60＝√２²× ３ × ５ ３と５がぞれぞれ２乗になると√が外れる から、３と５をかけた数になる。 よって、 ｎ＝３×５ 　＝ 15 ※ √60×15＝√900＝30 問題 √（37－ａ）が自然数になるような自然数ａの値をすべて求めなさい。 √（37－ａ）が自然数になるには、 ①　 37－ａが正の数 になる ②　 37－ａが√を外す数 になる 37－ａが正の数 👉ａが1～36 この中で√を外す数になるのは、 √1　√4　√9　√16　√25　√36 よって、 37－ａ＝１　ａ＝36 37－ａ＝４　ａ＝33 37－ａ＝９　ａ＝28 37－ａ＝16　ａ＝21 37－ａ＝25　ａ＝12 37－ａ＝36　ａ＝1 ａ＝ 1,12,21,28,33,36 √を含む計算 有理化 問題 次の数の分母を有理化しなさい。 1）３／√２ 2）√３／√５ 3）√５／√６ 4）３／√３ 1） 分母・分子に×√２ ３／√２ ＝３×√２／√２×√２ ＝ ３√２／２ 2） √３／√５ ＝ √15／５ 3） √５／√６ ＝ √30／６ 4） ３／√３ ＝３√３／３ ＝ √３ 5）√２／３√５ 6）√５／√18 7）４／√27 8）３／√24 5） 分母・分子に×√５ √２／３√５ ＝√10／３×５ ＝ √10／15 6） √18を変形 √５／√18 ＝√５／３√２ ＝ √10／６ 7） ４／√27 ＝４／３√３ ＝ ４√３／９ 8） ３／√24 ＝３／２√６ ＝３√６／12 ＝ √６／４ 問題 次の計算をしなさい。 1）12／√18－√８ 2）１／√３＋√12 1） 12／√18－√８ ＝12／３√２－２√２ ＝４／√２－２√２ ＝４√２／２－２√２ ＝２√２－２√２ ＝ ０ 2） １／√３＋√12 ＝√３／３＋２√３ ＝√３／３＋６√３／３ ＝ ７√３／３ 分配法則・乗法公式 問題 次の計算をしなさい。 1）√３（－√６＋√21） 2）２√６（√27－２√８） 1） √３（－√６＋√21） ＝√３（－√６＋√３×√７） ＝－√18＋３√７ ＝ －３√２＋３√７ 2） ２√６（√27－２√８） ＝２√６（３√３－４√２） ＝６√18－８√12 ＝ 18√２－16√３ 3）（√３＋３）（√３－１） 4）（２－３√10）² 5）（√７＋１）（√７－１ ） 以下は乗法公式を利用する 3） （√３＋３）（√３－１） ＝（√３）²＋２√３－３ ＝ ２√３ 4） （２－３√10）² ＝４－12√10＋90 ＝ 94－12√10 5） （√７＋１）（√７－１） ＝７－１ ＝ ６ 6） （√３＋１）（√３－１）－√３（√３＋１） 7） （√２－√５）²－（√２＋√５）² 6） （√３＋１）（√３－１）－√３（√３＋１） ＝３－１－３－√３ ＝ －１－√３ 7） （√２－√５）²－（√２＋√５）² ＝Ａ²－Ｂ² ＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） Ａ＋Ｂ ＝√２－√５＋√２＋√５ ＝２√２ Ａ－Ｂ ＝√２－√５－（√２＋√５） ＝－２√５ （Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ） ＝２√２×（－２√５） ＝ －４√10 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.13 平方根の応用問題 👉 ブログ TOP

to不定詞 名詞用法 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 中２英語では、「to+動詞の原形」で表される「 不定詞 」の学習に入っています。不定詞には、「～すること」「～するために」「～するための」という大きく分けて３つの意味があります。このページでは、「～すること」の意味をもつ不定詞の 名詞用法 について掲載しています。 不定詞 英語では、「 to + 動詞の原形 」で表す。 日本語では、３つの意味をもつ。 「 ～すること 」（名詞用法） 「 ～するために 」（副詞用法） 「 ～するための 」（形容詞用法） ※ 副詞用法 の例文 He goes to the library to study. 彼は 勉強するために 図書館へ行っている 形容詞用法 の例文 She has a lot of things to do every day. 彼女には するための （すべき）ことが毎日たくさんある 名詞用法「～すること」 His dream is to be a doctor. 彼の夢は医師に なること She likes to read books. 彼女は読書が好き ＝ 読むこと が好き I want to drink something cold. 何か冷たいものを飲みたい ＝ 飲むこと を欲する・望む She tried to get up early this morning. 彼女は今朝早起きしようとした ＝ 早起きすること を試した・努力した He needs to study harder. 彼はもっと熱心に勉強する必要がある ＝ 勉強すること が必要 👉名詞用法では、「 動詞 to 動詞（原形） 」の形になることが多い。 主語として使う文 To study English is important. 英語を勉強することは大切 To read books is interesting. 本を読むことはおもしろい "it"（仮主語）から始まる文 It is important to study English. 英語を勉強することは大切 It is interesting to read books. 本を読むことはおもしろい It is interesting for me to read books. 私にとって本を読むことはおもしろい これらの文では、to不定詞が主語の役割をします。"it"は、「それは」の意味をもちません（訳さない"it"）。 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.15 to不定詞 名詞用法 👉 ブログ TOP

SVOOとSVOC 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 夏休みまで２週間となりました。地区の体育大会が終わり部活動を引退した中学３年生は、受験を目指して３年間の復習に取りかかり始めています。 英語には５つの基本文型があり、英語の文はそれらのいずれかで作られます。文型のしくみを正しく理解することは、読解問題や作文問題にも役立ちます。ここでは、中２英語で学習する SVOO（第４文型） と SVOC（第５文型） について掲載しています。 基本文型（SVOO） Ｓ：主語　Ｖ：動詞　Ｏ：目的語 ＳＶ （第1文型） She teaches. 主語 動 詞 彼女は教えている ＳＶＯ （第3文型） She teaches English. 　　　　　 目的語 彼女は英語を教えている ＳＶＯＯ （第4文型） She teaches us English. 　　　　　　 目的語 目的語 彼女は私たちに英語を教えている 目的語 は「 ～を 」「 ～に 」にあたる語 SVOO は、主語・動詞のあとに 目的語が連続 する文 ＳＶＯＯ　例文 He gave me a book. I showed them some pictures. She told us about her family. I bought my mother flowers. He asked her a question. 「 （人）に（もの）を～する 」 give 人 もの「人にものを与える」 show 人 もの「人にものを見せる」 tell 人 もの「人にものを伝える」 目的語が節になる場合 ※節：主語・動詞を含む文 that節 Our teacher told us that studying English is important. 私たちに「英語の勉強は大切であること」を... Please tell her that I'll be late. 彼女に「私が遅れること」を... 疑問詞節 He tell me where the station is. 私に「駅がどこにあるか」を... Tell me what you want. 私に「あなたは何がほしいのか」を... SVOOの言い換え SVO（第3文型）＋前置詞＋人 He gave me a book. ⇒ He gave a book to me. I showed them some pictures. ⇒ I showed some pictures to them. She told us about her family. ⇒ She told about her family to us. I bought my mother flowers. ⇒ I bought flowers for my mother. He asked her a question. ⇒ He asked a question of her. （もの）の代名詞を使う場合 「Eメールを書いた。彼にそれを送信した。」 I wrote an email. I sent it to him. I wrote an email. ✖ I sent him it . （もの）の代わりになる代名詞”it" / "them"を目的語として使う場合は、他の人称代名詞と連続させて使うことができない。 基本文型（SVOC） Ｓ：主語　Ｖ：動詞　C：補語 ＳＶＣ （第2文型） I am a student . 　　　 補語 私は生徒 （です） She looks happy . 彼女は幸せ （そうに見える） He became a teacher . 彼は医者 （になった） 主語Ｓは補語Ｃ（ Ｓ＝Ｃ ）の関係 ＳＶＯＣ （第5文型） We call him Mike . 　　　 目的語 補語 私たちは彼をマイクと呼んでいる →彼はマイク She makes me happy. 彼女は私を幸せにしてくれる →私は幸せ 目的語Ｏは補語Ｃ（ Ｏ＝Ｃ ）の関係 補語 は、目的語が「 なんだ 」「 どんなだ 」と補足する語 SVOC は、 目的語＝補語 の関係になる文 ＳＶＯＣ　例文 My mother named me Miki. My mother made me clean my room. She keeps her room clean. Please leave the door open. 補語が「to不定詞」になる文 SVC His dream is to become a doctor. SVOC I want them to be happy. I told him to clean my room. I asked her to close the window . 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.15 SVOOとSVOC 👉 ブログ TOP

２次方程式の平方完成 中学数学 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 夏休みまで残り２週間になりました。中３数学では、２次方程式の 平方完成 について学習しています。例えば、ｘ²＋２ｘから、（ｘ＋１）²－１² に変形するように、もとの２次式から （ｘ＋□）² の形をつくり出して、最後は平方根のしくみを利用し解いていく方法になります。他に、解の公式や因数分解を利用した解法もあります。また、平方完成や解の公式は、高校数学の２次関数の学習にもつながる内容になります。 平方完成 （ｘ＋□）² の形をつくる ｘ²＋６ｘ ＝ （ｘ＋３）² －３² ｘ²－８ｘ ＝ （ｘ－４）² －４² ① ｘの係数を半分 にする （ｘ＋半分）² の形にして、 ② 半分にした数の２乗をひく ｘ²＋ ６ ｘ ＝ （ｘ＋ ３ ）² －３² ※ （ｘ＋３）² ＝ｘ²＋６ｘ ＋３² ３²をひくと、 ｘ²＋６ｘ＋３² －３² ＝ｘ²＋６ｘ👈もとの式と同じ 平方完成を使った二次方程式の変形 例 ｘ²＋６ｘ＋２＝０ ＋２を右辺に移項 ｘ²＋ ６ ｘ＝－２ （ｘ＋ ３ ）² －３² ＝－ ２ －３²を右辺に移項 （ｘ＋３）²＝－２＋９ （ｘ＋３）²＝７ ７の平方根は±√７ だから、 ｘ＋３＝±√７ ＋３を右辺に移項 ｘ＝－３±√７ 問題 次の方程式を、（ｘ＋ｍ）²＝ｎの形に変形して解きなさい。 1）ｘ²＋４ｘ－12＝０ 2）ｘ²＋２ｘ－１＝０ 3）ｘ²－４ｘ－８＝０ 1） ｘ²＋４ｘ－12＝０ ｘ²＋４ｘ＝12 （ｘ＋２）²－２²＝12 （ｘ＋２）²＝12＋４ （ｘ＋２）²＝16 ｘ＋２＝±４ ｘ＝－２±４　 　＝ ２，－６ 因数分解の場合 ｘ²＋４ｘ－12＝０ （ｘ－２）（ｘ＋６）＝０ ｘ＝２，－６ 2） ｘ²＋２ｘ－１＝０ （ｘ＋１）²－１²＝１ （ｘ＋１）²＝２ ｘ＋１＝±√２ ｘ＝ －１±√２ 3） ｘ²－４ｘ－８＝０ （ｘ－２）²－２²＝８ （ｘ－２）²＝12 ｘ－２＝±２√３ ｘ＝ ２±２√３ 4）ｘ²＋６ｘ＋８＝０ 5）ｘ²－10ｘ＋15＝０ 6）ｘ²－３ｘ＋２＝０ 7）ｘ²＋ｘ－１＝０ 4） ｘ²＋６ｘ＋８＝０ （ｘ＋３）²－９＋８＝０ （ｘ＋３）²＝１ ｘ＋３＝±１ ｘ＝－３±１ 　＝ －２，－４ 5） ｘ²－10ｘ＋15＝０ （ｘ－５）²－25＋15＝０ （ｘ－５）²＝10 ｘ－５＝±√10 ｘ＝ ５±√10 6） ｘ²－３ｘ＋２＝０ （ｘ－3/2）²－9/4＋２＝０ （ｘ－3/2）²＝1/4 ｘ－3/2＝±1/2 ｘ＝3/2±1/2 　＝ ２，１ 7） ｘ²＋ｘ－１＝０ （ｘ＋1/2）²－1/4－１＝０ （ｘ＋1/2）²＝5/4 ｘ＋1/2＝±√5/2 ｘ＝－1/2±√5/2 　　 －１±√５ 　 ＝ ━━━━━ 　　　 ２ 解の公式 ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０ ｘ＝ －ｂ± √(ｂ²－４ａｃ) ━━━━━━━━━━ 　　　　２ａ ｂが偶数のとき ｂを半分 にする（ｂ’） ｘ＝ －ｂ’± √(ｂ’²－ａｃ) ━━━━━━━━━━ 　　　　 ａ 問題 次の方程式を、解の公式を使って解きなさい。 1）４ｘ²－７ｘ＋２＝０ 2）ｘ²＋５ｘ－１＝０ 3）３ｘ²－２ｘ－２＝０ 1） ４ｘ²－７ｘ＋２＝０ 　　７± √(49－32) ｘ＝━━━━━━━ 　　　　 ８ 　　７±√17 　＝ ━━━━ 　　　 ８ 2） ｘ²＋５ｘ－１＝０ 　　－５± √(25＋4) ｘ＝━━━━━━━ 　　　　　２ 　　－５±√29 　＝ ━━━━━ 　　　 ２ 3） ３ｘ²－２ｘ－２＝０ 　　１±√(1＋6) ｘ＝━━━━━ 　　　 ３ 　　 １±√７ 　 ＝ ━━━━ 　　　 ３ 👉 平方完成・高校数学 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.14 ２次方程式の平方完成 中学数学 👉 ブログ TOP

平方完成 高校数学 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 １学期も終盤になり、高校数学Ⅰでは２次関数の単元に入っています。単元の初めには、２次式を「 平方完成 」させる手順について学習します。２次関数のグラフ（放物線）を表すために必要な手順で、ｙの最大値や最小値を求める際にも利用します。 問題 次の２次式を平方完成せよ。 1）ｘ²＋８ｘ 2）ｘ²－６ｘ＋８ 1） ｘ²＋８ｘ ＝ （ｘ＋４）²－16 ① （ｘ＋□）²の形 にする ② □はｘの係数の半分 👉（ｘ＋４）² ③ 展開した式に出てくる □²を引く 👉（ｘ＋４）²－４² ＝（ｘ＋４）²－16 ※ （ｘ＋４）² ＝ｘ²＋８ｘ ＋16 2） ｘ²－６ｘ＋８ ＝（ｘ－３）²－９＋８ ＝ （ｘ－３）²－１ 3）２ｘ²－８ｘ＋５ 4）３ｘ²＋６ｘ＋２ 3） ２ｘ²－８ｘ＋５ ＝２（ｘ²－４ｘ）＋５ ＝２｛（ｘ－２）²－４｝＋５ ＝２（ｘ－２）²－８＋５ ＝ ２（ｘ－２）²－３ ① ｘ²の係数を（小かっこ）の前 に出す 　※共通因数 ② （ｘ＋□）²－□²を｛中かっこ｝ でくくる ③ 分配する ④ 定数項を計算する 4） ３ｘ²＋６ｘ＋２ ＝３（ｘ²＋２ｘ）＋２ ＝３｛（ｘ＋１）²－１｝＋２ ＝３（ｘ＋１）²－３＋２ ＝ ３（ｘ＋１）²－１ 5）ｘ²＋ｘ－２ 6）－２ｘ²＋６ｘ＋４ 5） ｘ²＋ｘ－２ ＝（ｘ＋1/2）²－1/4－２ ＝ （ｘ＋1/2）²－9/4 6） －２ｘ²＋６ｘ＋４ ＝－２（ｘ²－３ｘ）＋４ ＝－２｛（ｘ－3/2）²－9/4｝＋４ ＝－２（ｘ－3/2）²＋9/2＋8/2 ＝ －２（ｘ－3/2）²＋17/2 問題 次の２次関数を、ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）²＋ｑの形に変形せよ。 1） ｙ＝1/2ｘ²－3/2ｘ－８ 2） ｙ＝－1/3ｘ²－ｘ－４ 3） ｙ＝－1/4ｘ²＋1/3ｘ－1/2 1） ｙ＝1/2ｘ²－3/2ｘ－８ ＝1/2（ｘ²－３ｘ）－８　 ※ ＝1/2｛（ｘ－3/2）²－9/4｝－８ ＝1/2（ｘ－3/2）²－9/8－64/8 ＝ 1/2（ｘ－3/2）²－73/8 ※ （　）内の各項の係数 もとの係数÷（　）の前に出した数 1/2ｘ²÷1/2＝ｘ² －3/2ｘ÷1/2＝－３ｘ 2） ｙ＝－1/3ｘ²－ｘ－４ ＝－1/3（ｘ²＋３ｘ）－４ ＝－1/3｛（ｘ＋3/2）²－9/4｝－４ ＝－1/3（ｘ＋3/2）²＋3/4－16/4 ＝ －1/3（ｘ＋3/2）²－13/4 3） ｙ＝－1/4ｘ²＋1/3ｘ－1/2 ＝－1/4（ｘ²－4/3ｘ）－1/2 ＝－1/4｛（ｘ－2/3）²－4/9｝－1/2 ＝－1/4（ｘ－2/3）²＋1/9－1/2 ＝ －1/4（ｘ－2/3）²－7/18 4） ｙ＝－1/3ｘ²－5/3ｘ＋1/3 5） ｙ＝3/4ｘ²－9/4ｘ＋11/16 6） ｙ＝2/3ｘ²＋1/2ｘ－1/4 4） ｙ＝－1/3ｘ²－5/3ｘ＋1/3 両辺×３ ３ｙ＝－ｘ²－５ｘ＋１ ３ｙ＝－（ｘ²＋５ｘ）＋１ ３ｙ＝－｛（ｘ＋5/2）²－25/4｝＋１ ３ｙ＝－（ｘ＋5/2）²＋25/4＋4/4 ３ｙ＝－（ｘ＋5/2）²＋29/4 両辺×1/3 ｙ＝－1/3（ｘ＋5/2）²＋29/12 5） ｙ＝3/4ｘ²－9/4ｘ＋11/16 ＝3/4（ｘ²－３ｘ）＋11/16 ＝3/4｛（ｘ－3/2）²－9/4｝＋11/16 ＝3/4（ｘ－3/2）²－27/16＋11/16 ＝ 3/4（ｘ－3/2）²－１ 6） ｙ＝2/3ｘ²＋1/2ｘ－1/4 ＝2/3（ｘ²＋3/4ｘ）－1/4 ＝2/3｛（ｘ＋3/8）²－9/64｝－1/4 ＝2/3（ｘ＋3/8）²－3/32－8/32 ＝ 2/3（ｘ＋3/8）²－11/32 問題 次の２次関数のグラフの頂点を求めよ。 1）ｙ＝ｘ²＋８ｘ 2）ｙ＝ｘ²－４ｘ＋４ 3）ｙ＝ｘ²－３ｘ＋７ 4）ｙ＝－２ｘ²－８ｘ－３ ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）²＋ｑのグラフ 頂点 　点 （ｐ，ｑ） 軸　　直線ｘ＝ｐ 1） ｙ＝ｘ²＋８ｘ ＝（ｘ＋４）²－16 頂点 （－４，－16） 2） ｙ＝ｘ²－４ｘ＋４ ＝（ｘ－２）²－４＋４ ＝（ｘ－２）² 頂点 （２，０） 3） ｙ＝ｘ²－３ｘ＋７ ＝（ｘ－3/2）²－9/4＋28/4 ＝（ｘ－3/2）²＋19/4 頂点 （3/2，19/4） 4） ｙ＝－２ｘ²－８ｘ－３ ＝－２（ｘ²＋４ｘ）－３ ＝－２｛（ｘ＋２）²－４｝－３ ＝－２（ｘ＋２）²＋８－３ ＝－２（ｘ＋２）²＋５ 頂点 （－２，５） 5） ｙ＝3/2ｘ²－３ｘ－５ 6） ｙ＝－ｘ²＋1/3ｘ＋1/3 7） ｙ＝－1/4ｘ²－1/3ｘ－１ 5） ｙ＝3/2ｘ²－３ｘ－５ ＝3/2（ｘ²－２ｘ）－５ ＝3/2｛（ｘ－１）²－１｝－５ ＝3/2（ｘ－１）²－3/2－10/2 ＝3/2（ｘ－１）²－13/2 頂点 （1，－13/2） 6） ｙ＝－ｘ²＋1/3ｘ＋1/3 ＝－（ｘ²－1/3ｘ）＋1/3 ＝－｛（ｘ－1/6）²－1/36｝＋1/3 ＝－（ｘ－1/6）²＋1/36＋12/36 ＝－（ｘ－1/6）²＋13/36 頂点 （1/6，13/36） 7） ｙ＝－1/4ｘ²－1/3ｘ－１ ＝－1/4（ｘ²＋4/3ｘ）－１ ＝－1/4｛（ｘ＋2/3）²－4/9｝－１ ＝－1/4（ｘ＋2/3）²＋1/9－9/9 ＝－1/4（ｘ＋2/3）²－8/9 頂点 （－2/3，－8/9） ※ 一次関数の定点公式 ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）＋ｑ 傾きａ、点（ｐ，ｑ）を通る直線 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.14 平方完成 高校数学 👉 ブログ TOP

文字のかけ算 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 夏休みまで残り２週間になりました。中１数学では、１学期の最後で「 文字式 」の学習を行っています。小６算数では、ｘとｙを使って式を作る学習を行いましたが、その内容がもとになります。中学からの数学では、乗除（×÷）の記号を省略しながら文字式を計算していきます。 問題 次の数量を文字式で表しなさい。 1）１冊150円のノートをｘ冊買ったときの代金 2）ａＬのジュースを６人で等分したときの１人分のジュースの量 1） 150円のノート10冊買うと、 150 × 10＝1500円 👉 かけ算 を使う 150円のノートｘ冊買うと、 150 × ｘ＝150ｘ （円） 数字と文字のかけ算「×」は省略する 答え　 150ｘ （円） 2） 12Ｌを６等分すると、 12 ÷ ６ ＝12 × 1/6 ＝2Ｌ 　　　👇 ａＬを６等分すると、 　 1 ａ× ━ 　 6 　 1 ＝ ━ ａ （Ｌ） 　 6 係数は文字の前 答え　 1/6 ａ （Ｌ） 3）10ｇのおもりａ個と25ｇのおもりｂ個の合計の重さ 4）ａkmの道のりを、時速ｘkmの速さで３時間進んだときの残りの道のり 3） 10ｇがａ個　10ａ（ｇ） 25ｇがｂ個　25ｂ（ｇ） 合計の重さ 10ａ＋25ｂ （ｇ） 4） 時速５kmで３時間進むと、その道のりは、 速さ×時間＝道のり ５×３＝15km 道のり全体が20kmなら、残りは、 20－15＝5km 　　　👇 時速ｘkmで３時間進む道のり ｘ×３＝３ｘ（km） 道のり全体がａkmあるから、残りは、 ａ－３ｘ （km） 文字と数字や、ちがう文字どうしが「＋」「－」でつながる場合は、そのままの形で答える。 ４＋３－２ ＝５ ４ａ＋３ａ－２ ＝７ａ －２ ４ａ＋３ａ－２ｂ ＝７ａ －２ｂ 問題 次の数量を文字式で表しなさい。 1）１個ａｇのボール12個を50ｇのかごに入れたときの全体の重さ 2）周の長さｂcmの正方形の１辺の長さ 3）１冊200円のノートをｘ冊買って、1000円出したときのおつり 1） ａｇが12個　12ａ（ｇ） かご　50（ｇ） 全体の重さ 12ａ＋50 （ｇ） 2） 正方形（四角形）の周の長さ → ４辺すべての長さ 周の長さ20cmとすると、 １辺の長さは、４等分して、 20÷4 ＝20×1/4 ＝5cm 　　　👇 周の長さはｂcm １辺の長さは、４等分して ｂ÷４ ＝ｂ×1/4 ＝ 1/4 ｂ （cm） 3） ３冊買ったら、おつりは、 1000－200×3 ＝400（円） 　　👇 1000－200×ｘ ＝ 1000－200ｘ （円） 4）１個60円のみかんをｘ個、１個180円のりんごをｙ個買ったときの代金の合計 5）長さ200cmのリボンから、長さａcmのリボンをｂ本切り取ったときの残りの長さ 4） 60円のみかんがｘ個 60ｘ（円） 180円のりんごがｙ個 180ｙ（円） 代金の合計 60ｘ＋180ｙ （円） 5） 10cmのリボンを５本切り取ると、残りは、 200－10×5 ＝150cm 　　👇 200－ａ×ｂ ＝ 200－ａｂ （cm） 問題 次の式を計算しなさい。 1）ｂ×（－４）×ａ 2）ｘ×ｙ×ｘ×ｙ×ｘ 1） ｂ×（－４）×ａ ＝－４×ａ×ｂ ＝ －４ａｂ 数字（係数）はいちばん前 文字はアルファベット順 2） ｘ×ｙ×ｘ×ｙ×ｘ ＝ ｘ×ｘ×ｘ × ｙ×ｙ ＝ ｘ³ｙ² 同じ文字のかけ算は「累乗」で表す 3）ｍ×１ 4）（－１）×ｙ×ｘ 3） ｍ×１ ＝ ｍ 係数が１のときは、１を省略 4） （－１）×ｙ×ｘ ＝ －ｘｙ 5）ｘ×ａ 6）ｙ×ｘ×５ 5） ｘ×ａ ＝ ａｘ 6） ｙ×ｘ×５ ＝ ５ｘｙ 7）ｘ×ｘ×（－７）×ｘ 8）ｂ×ａ×ｂ×ｂ×ａ 9）ｎ×ｍ×ｎ×ｎ×（－５） 7） ｘ×ｘ×（－７）×ｘ ＝ －７ｘ³ 8） ｂ×ａ×ｂ×ｂ×ａ ＝ ａ²ｂ³ 9） ｎ×ｍ×ｎ×ｎ×（－５） ＝ －５ｍｎ³ 問題 次の計算をしなさい。 1）ｙ×ｘ×１×ｘ 2）ｂ×（－１）×ａ 3）ｙ×0.1×ｚ 1） ｙ×ｘ×１×ｘ ＝ ｘ²ｙ 2） ｂ×（－１）×ａ ＝ －ａｂ 3） ｙ×0.1×ｚ ＝ 0.1ｙｚ 小数の0.1や0.01は省略しない 4）ａ×４－９ 5）ｍ×（－６）＋２×ｎ 4） ａ×４－９ ＝ ４ａ－９ 文字式も「かけ算が先」になる 5） ｍ×（－６）＋２×ｎ ＝ －６ｍ＋２ｎ 6）ａ÷７ 7）（－９）÷ｍ 8）ｘ÷３×ｙ 6） ａ÷７ 　　　１ ＝ａ× ━ 　　　７ 　 １ ＝ ━ ａ 　 ７ 「ａ/ 7」と同じ（分子の１を省略） 7） （－９）÷ｍ 　　　　１ ＝－９× ━ 　　　　ｍ 　　 ９ ＝ － ━ 　　 ｍ 「－」の符号は前に置く 8） ｘ÷３×ｙ 　　　１ ＝ｘ× ━ ×ｙ 　　　３ 　 １ ＝ ━ ｘｙ 　 ３ 問題 次の計算をしなさい。 1）ｙ÷４ 2）（－６）÷ａ 1） ｙ÷４ 　 ｙ ＝ ━ 　 ４ 2）（－６）÷ａ 　　 ６ ＝ － ━ 　　 ａ 3）２ｘ÷５ 4）８ｍ ÷（－３） 3） ２ｘ÷５ 　 ２ ＝ ━ ｘ 　 ５ 4） ８ｍ ÷（－３） 　　 ８ ＝ － ━ ｍ 　　 ３ 5）（ａ＋１）÷２ 6）（ｘ－ｙ）÷（－７） 5） （ａ＋１）÷２ 　 ａ＋１ ＝ ━━━ 　　 ２ （　）内の項それぞれに×1/2 （ａ＋１）×1/2 ＝ａ×1/2＋１×1/2 ＝ ａ/2 ＋ 1/2 6） （ｘ－ｙ）÷（－７） 　  １ ＝－ ━ ×（ｘ－ｙ） 　 ７ 　 －（ｘ－ｙ） ＝ ━━━━━━ 　 　 ７ 　  －ｘ＋ｙ ＝  ━━━━ 　 　 ７ （ －ｘ/７＋ｙ/７ ） 8）ａ×ｂ÷３ 9）ｘ÷ｙ÷（－５） 8） ａ×ｂ÷３ 　　　　１ ＝ａｂ× ━ 　　　　３ 　 １ ＝ ━ａｂ 　 ３ 9） ｘ÷ｙ÷（－５） 　　　１　　　１ ＝ｘ× ━ ×（－ ━ ） 　　　ｙ　　　５ 　　 ｘ ＝ － ━━ 　　 ５ｙ 問題 ｘ＝３ のとき、次の式の値を求めなさい。 1）２ｘ＋４ 2）９－６ｘ 「 式の 値 を求めなさい 」の問題は、 数字が答え になる（文字は入らない）。 「 値 」は数字のこと 1） ２ｘ＋４にｘ＝３を代入 代入 文字の代わりに数字 を入れること ※代わりに文字を入れる問題もある ２×３＋４ ＝６＋４ ＝ 10 2） ９－６ｘ ＝９－６×３ ＝９－18 ＝ －９ 問題 ｘ＝－４ のとき、次の式の値を求めなさい。 1）３ｘ－２ 2）８＋７ｘ 1） ３ｘ－２ ＝３×（－４）－２ ＝－12－２ ＝ －14 2） ８＋７ｘ ＝８＋７×（－４） ＝８－28 ＝ －20 問題 ｘ＝－２ のとき、次の式の値を求めなさい。 1）６ｘ² 2）（－ｘ）³ 1） ６ｘ² ＝６×（－２）² ＝６×４ ＝ 24 2） （－ｘ）³ ＝－ｘ³ ＝－（－２）³ ＝－（－８） ＝ ８ （－　）の奇数乗は、負の数になる 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 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八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.13 文字のかけ算 👉 ブログ TOP

事象と確率 高校数学 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 １学期も終盤に入り、高校数学Ａでは「 確率 」の学習に入っています。確率でいう事象は、試行によって起こり得る結果のことで、確率を求めるときに使う和事象と積事象、余事象については、「集合」「順列」「組合せ」の学習がもとになります。 問題 １個のさいころを投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）４以下の目が出る。 2）３の倍数の目が出る。 1） すべての出方　6通り ４以下　1,2,3,4　4通り 確率　4/6＝ 2/3 2） ３の倍数　3,6　2通り 確率　2/6＝ 1/3 問題 赤玉２個、白玉４個の入った袋から、玉を１個取り出すとき、白玉の出る確率を求めよ。 すべての取り出し方　6通り 白玉を取り出す場合　4通り 確率　4/6＝ 2/3 問題 ３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）すべて１の目が出る。 2）すべて奇数の目が出る。 1） １個につき１が出る確率　1/6 ３個すべて１が出る確率 （1/6）³＝ 1/216 2） １個につき奇数が出る確率 3/6＝1/2（1,3,5の３つ） ３個すべて奇数が出る確率 （1/2）³＝ 1/8 問題 ２個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）目の和が10以上になる。 2）大きい目から小さい目を引いた差が４になる。 1） すべての出方　36通り 目の和が10以上の場合　6通り （４，６）（６，４）（５，５）（５，６）（６，５）（６，６）　 確率　6/36＝ 1/6 2） 大きい目と小さい目の差４　4通り （２，６）（６，２）（１，５）（５，１） 確率　4/36＝ 1/9 問題 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇの７人の水泳選手のコース順を、くじ引きで決めるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）Ａが１コースにくる。 2）ＡまたはＢが１コースにくる。 3）Ａが１コース、Ｇが７コースにくる。 1） Ａのすべての引き方　7通り Ａが１コースを引く場合　1通り 確率　 1/7 ※ ７人の順列の総数　7！ Ａを１コースに固定、他６人の順列の総数　6！ 確率　7！/ 6！＝1/7 2） Ｂが１コースを引く場合　1通り 確率　1/7 ＡまたはＢの確率だから 1/7＋1/7＝ 2/7 ※ Ａを１コースに固定の場合、他６人の順列の総数　6！ Ｂを１コースに固定の場合、他６人の順列の総数　6！ ＡとＢは同じコースに来ないから、それぞれの総数を合わせて、6！＋6！ 確率　（6!＋6!）/ 7!＝2/7 3） Ｇが残り６つのくじから７コースを引く場合　1通り 確率　1/6 ＡかつＧの確率だから 1/7×1/6＝ 1/42 ※ Ａを１コース、Ｇを７コースに固定 他５人の順列の総数　5！ 確率　5！/ 7！＝1/42 問題 20人の生徒から４人の委員をくじ引きで選ぶとき、ある特定のＡ、Ｂがともに委員として選ばれる確率を求めよ。 20人から4人選ぶ組合せ 20Ｃ₄ ＝20・19・18・17 / 4・3・2・1 ＝5・19・3・17 通り 他２人がすでに選ばれていて、残り18人からＡとＢを選ぶ組合せ 18Ｃ₂ ＝18・17 / 2・1 ＝9・17 通り 確率 9・17 / 5・19・3・17 ＝3 / 5・19 ＝ 3/95 問題 白玉２個、赤玉４個の入った袋から玉を取り出す。 1）２個の玉を同時に取り出すとき、２個とも赤玉である確率を求めよ。 2）３個の玉を同時に取り出すとき、白玉１個、赤玉２個が出る確率を求めよ。 1） 計６個から２個取り出す組合せ ₆Ｃ₂＝15通り 赤玉４個から２個取り出す組合せ ₄Ｃ₂＝6通り 確率　6/15＝ 2/5 2） 計６個から３個取り出す組合せ ₆Ｃ₃＝20通り 白１個かつ赤２個の組み合わせだから ₂Ｃ₁×₄Ｃ₂＝12通り 確率　12/20＝ 3/5 問題 くじが10本あり、このうち４本が当たりくじである。このくじから同時に３本引くとき、２本だけ当たる確率を求めよ。 計10本から３本引く組合せ 10Ｃ₃＝120通り 当たり４本から２本引く組合せ ₄Ｃ₂＝6通り はずれ６本から１本引く組合せ ₆Ｃ₁＝6通り 当たり２本かつはずれ１本だから、積の法則より、 6×6＝36通り 以上から、 確率　36/120＝ 3/10 問題 Ａ、Ｂ、Ｃの３人がじゃんけんを１回するとき、次の場合の確率を求めよ。 1）ＡとＢの２人が勝つ。 2）１人だけが勝つ。 1） １人につき３通りの出し方だから、 すべての組合せ　３³＝27通り ＡとＢが勝つにはＣと違う手が出ればよいから、 ＡとＢが勝つ組合せ　3通り 確率　3/27＝ 1/9 2） 1）より、Ｃだけ負けとＣだけ勝ちは同じ確率 １人につき、１人だけ勝つ確率は1/9 ＡまたはＢまたはＣの確率だから 1/9＋1/9＋1/9 ＝ 1/3 問題 ３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）目の和が６になる。 2）目の積が５の倍数になる。 1） すべての目の出方　６³＝216通り 和が６になる出方 （１，１，４）の場合 （１，１，４）（１，４，１）（４，１，１）　３通り※ （１，２，３）の場合　３！＝６通り （２，２，２）の場合　１通り 確率　10/216＝ 5/108 ※ 同じものを含む順列の総数 すべての個数ｒ　同じものの個数ｎ ｒ！／ｎ！ （１，１，４） すべての個数３、同じものの個数２ ３！／２！＝３通り 2） 積が５の倍数 少なくとも１つのさいころの目が５の場合 （すべての出方）－（どの目も５でない場合） どの目も５でない場合の数　５³＝125 積が５の倍数になる出方は、 216－125＝91 確率　 91/216 問題 大中小の３個のさいころを投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）出る目がすべて異なる。 2）大中小の順に、出る目が小さくなる。 1） すべての目の出方　６³＝216通り 大の目　6通り 中の目　大以外の目　5通り 小の目　大・中以外　4通り すべて異なる場合の数（大かつ中かつ小の場合） 6×5×4＝120通り 確率　120/216＝ 5/9 2） 大　 ①②③④ ⑤ ➅ 中　①②③ ④ ⑤ ➅ 小　①② ③ ④ ⑤➅ 上図のように、さいころ３個に分けて６→５→４、５→４→３、・・と数えていく場合と、 下図のように、さいころ１個の中だけで数えていく場合は同じことになる。 ①②③ ④⑤➅　 ①② ③④⑤ ➅ ... 異なる６つの数字から３つを選ぶ組合せだから、 ₆Ｃ₃＝20通り 確率　20/216＝ 5/54 問題 次の考え方は間違っている。正しい考え方で確率を求めよ。 1）３枚の硬貨を同時に投げるとき、（表、裏）の枚数について、（３，０）、（２，１）、（１，２）、（０，３）の４通りがある。よって、３枚とも表が出る確率は1/4である。 2）２個のさいころを同時に投げるとき、目の積は偶数か奇数になる。したがって、目の積が偶数になる確率は1/2である。 1） ３枚の硬貨を区別すると、起こり得る場合は全部で８通りある。 そのうち、（表、裏）の出方について、（３，０）は１通り、（２，１）は３通り、（１，２）は３通り、（０，３）は１通り。 したがって、３枚とも表が出る確率は1/8。 2） ２個のさいころを区別すると、起こりうる場合は全部で36通りある。そのうち、目の積が偶数になる場合は27通り。 したがって、目の積が偶数になる確率は3/4。 ※ 偶数×奇数のとき （１，②か④か➅）　３通り （３，〃）　３通り （５，〃）　３通り 片方偶数のとき （２，①～➅）　６通り （４，①～➅）　６通り （６，①～➅）　６通り 計27通り ※ （すべての出方）－（積が奇数） 積が奇数になるのは、奇数×奇数 （１，①か③か⑤）　３通り （３，〃）　３通り （５，〃）　３通り よって、36－9＝27通り 問題 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの８文字を無作為に横１列に並べるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）ＡとＢが両端にある。 2）ＡはＢより左で、ＢはＣより左にある。 1） 異なる８文字を並べる順列　８！ ＡとＢは右端か左端のどちらかだから、並び方は２！ 残りの異なる６文字を並べる順列の総数は６！ 積の法則より、ＡとＢが両端にある場合は、２！×６！ 確率は、 ２！×６！/８！ ＝ 1/28 2） ＡはＢより左にある ＢはＣより左にある 以上から、３つの文字は、他の文字の間に入ったとしても、左からＡ→Ｂ→Ｃの順に並ぶ。 同じものを含む順列の数は、８！/３！ 求める確率は、 ８！/３！÷８！ ＝１/３！ ＝ 1/6 ※ 同じものを含む順列の総数 すべての個数ｒ　同じものの個数ｎ ｒ！／ｎ！ 問題 大人６人、子ども２人が、くじ引きで席を決めて円卓に座るとき、次の場合の確率を求めよ。 1）子ども２人が隣り合う。 2）子ども２人が真正面に向かい合う。 1） 円順列だから、順列の総数は（８－１）！＝７！ 子ども以外の６席に座る大人の順列の総数　６！ 子ども２人の順列の総数　２！ 確率 ６！×２！/７！＝ 2/7 2） 子どもから見て、右手と左手の３席ずつに大人が座る。 計６席に座る順列の総数　６！ 確率　６！/７！＝ 1/7 問題 赤玉と白玉が合わせて８個入った袋から、２個の玉を同時に取り出すとき、２個とも赤玉である確率が5/14であるという。赤玉の個数を求めよ。 赤玉の個数をｘとする 計８個から２個取り出す組合せ ₈Ｃ₂＝28通り 赤玉ｘ個から２個取り出す組合せ xＣ₂ ＝ｘ（ｘ－1）/ 2 確率5/14から ｘ（ｘ－1）/ 2×1/28＝5/14 ｘ（ｘ－1）＝20 ｘ²－ｘ－20＝０ （ｘ－５）（ｘ＋４）＝０ ｘ＝５（ｘ＞０） よって、 ５個 問題 ３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）出る目の積が150になる。 2）出る目の積が18になる。 3）出る目の積が135以上となる。 1） すべての出方　６³＝216通り 150＝２×３×５² よって、出る目は５が２個、６が１個出た場合のみ（５，５，６） この順列の総数は、３個のうち同じものが２個あるから、 ３！／２！＝３通り 以上から、 確率　3/216＝ 1/72 2） 18＝２×３² よって、（１，３，６）と（２，２，３）が出た場合 １と３と６の順列の総数は、異なる３個から３個並べるから、 ３！＝６通り ２と２と３の順列の総数は、３個のうち同じものが２個あるから、 ３！／２！＝３通り （１，３，６）または（２，２，３）のときだから、和の法則より、 ６＋３＝９通り 以上から、 確率　9/216＝ 1/24 3） 積の最大値は、6×6×6＝216 次に大きい値は、順に 5×6×6＝180 5×5×6＝150 4×6×6＝144 5×5×5＝125（適さない） となり、（６，６，６）（５，６，６）（５，５，６）（４，６，６）が出た場合になる。 （６，６，６）　1通り （５，６，６）　3通り （５，５，６）　3通り （４，６，６）　3通り 以上から、 確率　10/216＝ 5/108 問題 １個のさいころを投げるとき、「奇数の目が出る」という事象をＡ、「素数の目が出る」という事象をＢとする。 1）事象Ａ∩Ｂ、Ａ∪Ｂを表す集合をそれぞれ求めよ。 2）確率Ｐ（Ａ∩Ｂ）、Ｐ（Ａ∪Ｂ）をそれぞれ求めよ。 1） Ａ＝｛１,３,５｝ Ｂ＝｛２,３,５｝ Ａ∩Ｂ＝｛３,５｝ Ａ∪Ｂ＝｛１,２,３,５｝ 2） 目の出方　６通り Ａ∩Ｂ　２通り Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝1/3 Ａ∪Ｂ　４通り Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝2/3 問題 １から10までの10枚の番号札の中から１枚引くとき、次の事象のどれとどれが互いに排反であるか。 事象Ａ：偶数の札が出る 事象Ｂ：奇数の札が出る 事象Ｃ：６の約数の札が出る 事象Ｄ：７の札が出る Ａ＝｛2,4,6,8,10｝ Ｂ＝｛1,3,5,7,9｝ Ｃ＝｛1,2,3,6｝ Ｄ＝｛7｝ よって、 ＡとＢ　ＡとＤ　ＣとＤ 問題 １等、２等、３等の当たる確率がそれぞれ5/100、10/100、30/100であるくじがある。このくじを１本引くとき、次の場合の確率を求めよ。 1）１等または２等が当たる。 2）１等、２等、３等のいずれかが当たる。 1） ２つの事象「１等が当たる」「２等が当たる」は互いに排反であるから、加法定理より、 5/100＋10/100 ＝15/100 ＝ 3/20 2） 「３等が当たる」と上の２つの事象は互いに排反であるから、加法定理より、 5/100＋10/100＋30/100 ＝45/100 ＝ 9/20 問題 白玉５個、赤玉６個、青玉１個の入った袋から、２個の玉を同時に取り出すとき、２個とも同じ色である確率を求めよ。 計12個から２個取り出す組合せ 12Ｃ₂＝66通り ２個とも同じ色であるのは、 「白玉５個から２個」または「赤玉６個から２個」取り出すとき ₅Ｃ₂＝10通り ₆Ｃ₂＝15通り 和の法則より、計25通り 確率　 25/66 問題 赤玉５個、白玉７個の入った袋から、４個の玉を同時に取り出すとき、その中に赤玉が３個以上含まれる確率を求めよ。 計12個から４個取り出す組合せ 12Ｃ₄＝495通り 赤玉３個以上であるのは、 「赤玉５個から３個」かつ「白玉７個から１個」取り出すとき ₅Ｃ₃＝₅Ｃ₂＝10通り ₇Ｃ₁＝7通り 積の法則より、計70通り 「赤玉５個から４個」取り出すとき ₅Ｃ₄＝₅Ｃ₁＝5通り 赤玉３個以上であるのは、和の法則より、計75通り 確率　75/495＝ 5/33 問題 ４枚の硬貨を同時に投げるとき、表が３枚以上出る確率を求めよ。 すべての出方 １枚の硬貨につき２通りあるから　２⁴＝16通り （表、表、表、裏）の場合 ４枚のうち３枚が同じだから、同じものを含む順列の式より、 ４！／３！＝4通り （表、表、表、表） 1通り 合わせて計5通り 確率　 5/16 問題 大小２個のさいころを投げるとき、次の事象の余事象をいえ。また、余事象の確率から、もとの事象の確率を求めよ。 1）目の和が５より大きい 2）異なる目が出る 1） 余事象「 目の和が５以下 」 ５以下になるのは、 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1) すべての出方　６×６＝36通り 余事象の確率　10/36＝5/18 もとの確率＝１－余事象の確率だから、 1－5/18 ＝ 13/18 ※ Ａ＝｛ｘ＞５｝　Ａ⁻＝｛ｘ≦５｝ 2） 余事象「 同じ目が出る 」 同じ目になるのは、 （１，１）～（６，６）　6通り 余事象の確率　6/36＝1/6 もとの確率は、 1－1/6 ＝ 5/6 問題 １から100までの100枚の番号札から１枚引くとき、５の倍数または８の倍数が出る確率を求めよ。 ５の倍数　100÷5＝20個 確率　20/100 ８の倍数　100÷8＝12.5　12個 確率　12/100 重複している倍数　40と80の2個 確率　2/100 重複する倍数は除くから 20/100＋12/100－2/100 ＝ 3/10 ※ 一般の和事象の確率 P（A∪B） ＝P（A）＋P（B）－P（A∩B） 問題 赤玉４個、青玉６個、黄玉３個の入った袋から、４個の玉を同時に取り出すとき、次の場合の確率を求めよ。 1）少なくとも２個は黄玉が出る。 2）取り出した玉にどの色のものも含まれる。 1） 計13個から４個取り出す組合せ 13Ｃ₄＝13・11・5 通り 「少なくとも」２個だから、「黄玉３個から２個と他色10個から２個」または「黄玉３個から３個と他色10個から１個」の組合せを求める。 「黄玉３個から２個と他色10個から２個」 ₃Ｃ₂×10Ｃ₂ ＝3×45 ＝135通り 「黄玉３個から３個と他色10個から１個」 ₃Ｃ₃×10Ｃ₁ ＝1×10 ＝10通り 少なくとも２個は黄玉が出る組合せは、和の法則より、145通り 確率 145/ 13・11・5 ＝ 29/143 2） どれか１色は２個、それ以外は１個ずつの組合せ 赤玉が２個の場合 ₄Ｃ₂×₆Ｃ₁×₃Ｃ₁ ＝6×6×3 ＝108通り 青玉が２個の場合 ₄Ｃ₁×₆Ｃ₂×₃Ｃ₁ ＝4×15×3 ＝180通り 黄玉が２個の場合 ₄Ｃ₁×₆Ｃ₁×₃Ｃ₂ ＝4×6×3 ＝72通り どの色のものも含まれる組合せは、和の法則より、 108＋180＋72＝360通り 確率 360/ 13・11・5 ＝ 72/143 問題 当たりくじ４本を含む10本のくじがある。このくじから同時に３本引くとき、次の場合の確率を求めよ。 1）３本ともはずれる。 2）少なくとも１本が当たる。 1） 計10本から３本引く組合せ 10Ｃ₃＝120通り はずれ６本から３本引く組合せ ₆Ｃ₃＝20通り 確率　20/120＝ 1/6 2） 少なくとも１本当たるの余事象は「３本ともはずれる」 少なくとも１本当たる確率は、１－余事象の確率だから、 1－1/6 ＝ 5/6 問題 ３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）少なくとも２個の目が同じである。 2）３個の目の積が偶数である。 1） 「すべて異なる目が出る」の余事象 すべての目が異なる場合 １個目　6通り ２個目　残り5通り ３個目　残り4通り 積の法則より、6×5×4＝120通り ※ １個目かつ２個目が異なる ２個目かつ３個目が異なる １個目かつ３個目が異なる すべての出方　６³＝216通り 余事象の確率 120/216＝5/9 少なくとも２個の目が同じである確率は、 1－5/9 ＝ 4/9 2） ３つの目がすべて奇数のときに、積は奇数になる。 「積が奇数である」の余事象 積が奇数である場合 各さいころの目が奇数の場合は３通りだから、3×3×3＝27通り 余事象の確率　27/216＝1/8 ３個の目の積が偶数である確率は、 1－1/8 ＝ 7/8 問題 赤玉５個、白玉６個の入った袋から、４個の玉を同時に取り出すとき、次の場合の確率を求めよ。 1）４個とも同じ色の玉が出る。 2）赤玉と白玉が出る。 1） 計11個から４個取り出す組合せ 11Ｃ₄＝11・10・3 通り 「赤玉５個から４個」または「白玉６個から４個」取り出す組合せ ₅Ｃ₄＝₅Ｃ₁＝5通り ₆Ｃ₄＝₆Ｃ₂＝15通り 和の法則より、5＋15＝20通り 確率 20 / 11・10・3 ＝ 2/33 2） ４個の中に、別々の色が含まている場合だから、「４個とも同じ色の玉が出る」の余事象である。 余事象の確率　2/33 よって、赤玉と白玉が出る確率は、 1－2/33 ＝ 31/33 問題 白玉７個、赤玉３個の入った袋から、６個の玉を同時に取り出すとき、白玉の個数が赤玉の個数より多い確率を求めよ。 計10個から６個取り出す組合せ 10Ｃ₆＝10Ｃ₄＝5・3・2・7 通り 白玉の個数が赤玉より多い場合は、 白玉６個　赤玉０個 白玉５個　赤玉１個 白玉４個　赤玉２個 白玉７個から６個、赤玉３個から０個取り出す組合せ ₇Ｃ₆×₃Ｃ₀ ＝₇Ｃ₁×1 ＝7通り 白玉７個から５個、赤玉３個から１個取り出す組合せ ₇Ｃ₅×₃Ｃ₁ ＝₇Ｃ₂×₃Ｃ₁ ＝21×3 ＝63通り 白玉７個から４個、赤玉３個から２個取り出す組合せ ₇Ｃ₄×₃Ｃ₂ ＝₇Ｃ₃×₃Ｃ₂ ＝35×3 ＝105通り これらの組み合わせは、和の法則より、 7＋63＋105＝175通り 求める確率は、 175 / 5・3・2・7 ＝ 5/6 問題 50から100までの番号札が各数字１枚ずつある。この中から１枚引くとき、その番号が次のような数である確率を求めよ。 1）３の倍数 2）７の倍数 3）３の倍数または７の倍数 4）３の倍数でも７の倍数でもない 1） 51から100までの札は50枚 50から100までの札は51枚になる 1から100までの３の倍数 100÷3＝33.3　33枚 1から49までの３の倍数 49÷3＝16.3　16枚 よって、51枚の中にある３の倍数の札は、 33－16＝17枚 確率　17/51＝ 1/3 2） 1から100までの７の倍数 100÷7＝14.2　14枚 1から49までの７の倍数 49÷7＝7　7枚 よって、51枚の中にある７の倍数の札は、 14－7＝7枚 確率　 7/51 3） ３の倍数と７の倍数で、重複する数 50から100までの中に、63と84の２枚ある ※21×3＝63　21×4＝84 重複する数を引く確率　2/51 求める確率は、 1/3＋7/51－2/51 ＝ 22/51 4） 「３の倍数または７の倍数」の余事象 求める確率は、 1－22/51 ＝ 29/51 問題 ３個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 1）出る目の最小値が３以上である。 2）出る目の最小値が３以上５以下である。 3）出る目の最小値が３である。 1） 各さいころの目は3,4,5,6の４通り １個目　４通り ２個目　４通り ３個目　４通り 3,4,5,6が１個目かつ２個目かつ３個目に出るときだから、積の法則より、 4×4×4＝64通り すべての出方　６³＝216通り 確率　64/216＝ 8/27 2） （最小値３以上）－（最小値６以上） 最小値３以上　64通り 最小値６以上　すべて６だから1通り よって、64－1＝63通り 確率　63/216＝ 7/24 3） （最小値が３以上）－（最小値４以上） ※最小値＝４、最小値＝５、最小値＝６の場合の数を引いて求める。 最小値４以上の場合 各さいころの目が4,5,6の３通りだから、３³＝27通り よって、出る目の最小値が３の場合は、 64－27＝37通り 確率　 37/216 問題 １から10までの自然数から異なる３個の数を選び出すとき、次の場合の確率を求めよ。 1）最大の数が８である。 2）最大の数が８で、かつ最小の数が４以下である。 1） 計10個から異なる３個を選ぶ組合せ 10Ｃ₃＝120通り 最大が８だから、１～７の７個から２個選ぶ組合せ ₇Ｃ₂＝21通り 確率　21/120＝ 7/40 2） 最小の数をａ、次に大きい数をｂとする。 ａ＝１のとき、ｂは２から７までの６通り ａ＝２のとき、ｂは３から７までの５通り ａ＝３のとき、ｂは４から７までの４通り ａ＝４のとき、ｂは５から７までの３通り ａが１または２、３、４のいずれかだから、和の法則より、 6＋5＋4＋3＝18通り 確率　18/120＝ 3/20 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 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お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.12 事象と確率 高校数学 👉 ブログ TOP

集合 順列 組合せ 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 期末考査が終わり、１学期も終盤に入っています。高校生は、１学期の学習内容について補習を進めています。数学Ａでは、「 集合 」の学習から始まり、「 順列 nＰr 」や「 組合せ nＣr 」の場合の数について学習しました。 集合 問題 次の集合について、Ａ⊂Ｂであることを示せ。 Ａ＝｛４ｍ－１| ｍは整数｝ Ｂ＝｛２ｎ＋１| ｎは整数｝ 〔証明〕 ｘ∈Ａとすると、ｘ＝４ｍ－１と表せる ｘ＝２×２ｍ－１ 　＝２（２ｍ－１）＋２－１ 　＝２（２ｍ－１）＋１ ２ｍ－１は整数なので、ｘ∈Ｂである ※ Ａ　２（２ｍ－１）＋１ Ｂ　２ｎ＋１ 同じ「２×○＋１」の形にすると、 Ａでは、 ○の ２ｍ－１は奇数 だから、Ａの要素は「 奇数だけ２倍 して＋１」 Ｂでは、 ○の ｎはすべての整数 だから、Ｂの要素は「 すべての整数を２倍 して＋１」 以上のことが言える。 よって、ＡはＢに含まれるから、Ａ⊂Ｂ 問題 100以下の自然数のうち、次のような数は何個あるか。 1）３の倍数 2）４の倍数 3）３の倍数かつ４の倍数 4）３の倍数または４の倍数 ３の倍数全体の集合をＡ、４の倍数全体の集合をＢとする。 1） 100÷3＝33.3... 1から33までの数に、3をかけた数となる。 Ａ＝｛3・1, 3・2, 3・3, ... ,3・33｝ ｎ（Ａ）＝33 よって、 33個 2） 100÷4＝25 1から25までの数に、4をかけた数となる。 Ｂ＝｛4・1, 4・2, 4・3, ... ,4・25｝ ｎ（Ｂ）＝25 よって、 25個 3） ＡとＢどちらにも含まれる（Ａ∩Ｂ）から、12の倍数全体の集合。 100÷12＝8.33... 1から8までの数に、12をかけた数となる。 Ａ∩Ｂ＝｛12・1, 12・2, 12・3, ... , 12・8｝ ｎ（Ａ∩Ｂ）＝8 よって、 ８個 4） ＡかＢのどちらかに含まれるが、重複する12の倍数を除いた集合。 ｎ（Ａ∪Ｂ） ＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）－ｎ（Ａ∩Ｂ） ＝33＋25－8 ＝50 よって、 50個 問題 １桁の自然数を全体集合Ｕとし、その２つの部分集合Ａ、Ｂについて、Ａ⁻∩Ｂ＝｛3, 9｝、Ａ∩Ｂ⁻＝｛2, 4, 8｝、Ａ⁻∩Ｂ⁻｛1, 5, 7｝が成り立つとき、集合Ａ、Ｂを求めよ。 Ｕ＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝ 　　　　　━━━ Ａ⁻∩Ｂ⁻＝ Ａ∪Ｂ Ａ⁻∩Ｂ⁻＝｛1, 5, 7｝より、 Ａ∪Ｂ＝｛2, 3, 4, 6, 8, 9｝　① Ａ⁻∩Ｂ＝｛3, 9｝より、 Ａは1,2,4,5,6,7,8を含むが、①より、 Ａ＝｛2, 4, 6, 8｝ Ａ∩Ｂ⁻＝｛2, 4, 8｝より、 Ｂは1,3,5,6,7,9を含むが、①より、 Ｂ＝｛3, 6, 9｝ 順列 問題 母音ａ、ｉ、ｕ、ｅ、ｏと子音ｋ、ｓ、ｔの８個を１列に並べるとき、次のような並べ方は何通りあるか。 1）両端が母音である。 2）母音５個が続いて並ぶ。 1） 左端の母音　5通り 右端の母音　4通り（左端を除いた残り） 残り６文字の順列の総数（異なるものを全て並べる順列） ６！＝720通り 積の法則より、 5×4×720 ＝ 14400通り 2） 母音５文字を１個と考える（⑤とする） ⑤ ｋ ｓ ｔ 異なる４個の順列の総数　４！ 母音５個の中での順列の総数　５！ 積の法則より、 ４！×５！ ＝24×120 ＝ 2880通り 👉 和の法則・積の法則 重複順列 問題 次の問いに答えよ。 1）３個の数字１，２，３を重複を許して使ってできる４桁の数は何個あるか。 2）１枚の硬貨を７回投げるとき、表と裏の出方は何通りあるか。 3）１個のさいころを３回投げるとき、目の出方は何通りあるか。 4）５人を１号室、２号室のどちらかの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、空きの部屋があってもよいものとする。 5）集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝の部分集合は何個あるか。 重複順列　ｎのｒ乗 異なるｎ個のものから、重複を許してｒ個取り出して並べた順列の総数 1） 千の位　３通り 百の位　３通り 十の位　３通り 一の位　３通り 積の法則より、 ３⁴＝81　 81個 2） １回目　２通り ２回目　２通り ・ ・ ７回目　２通り 積の法則より、 ２⁷＝128　 128通り 3） １回目　６通り ２回目　６通り ３回目　６通り 積の法則より、 ６³＝216　 216通り 4） １人目　２通り ２人目　２通り ３人目　２通り ４人目　２通り ５人目　２通り ※５人全員が同室に入る場合に、片方が空き部屋になる。 積の法則より、 ２⁵＝32　 32通り 5） ｛1｝について、 属するか、属さないかの２通り 他の数字にも同じことがいえるので、 ２⁸＝256　 256個 円順列 問題 議長、書記各１人、委員６人の計８人が円形のテーブルに着席するとき、次のような並び方は何通りあるか。 1）議長、書記が真正面に向かい合う。 2）議長、書記が隣り合わない。 1） 委員３人ずつをひとまとめにする（Ａ、Ｂ） 議長、書記、Ａ、Ｂ 議長の右手にＡ、左手にＢ 　　　議長 　　　 ↓ Ａ 　　　　　　 Ｂ 　　　書記 議長の右手にＢ、左手にＡ 　　　議長 　　　 ↓ Ｂ 　　　　　　 Ａ 　　　書記 議長と書記を入れかえる 議長の右手にＢ、左手にＡ 　　　書記 　　　 Ａ 　　　　　　 Ｂ 　　　 ↑ 　　　議長 議長の右手にＡ、左手にＢ 　　　書記 　　　 Ｂ 　　　　　　 Ａ 　　　 ↑ 　　　議長 議長と書記を入れかえても同じ配置になる 残り委員６人の並び方を求める 異なるｎ個すべてを並べる順列の総数　ｎ！ ６！ ＝6・5・4・3・2・1 ＝ 720通り 2） （すべての並び方）－（議長と書記が隣り合う場合） 異なるｎ個の円順列の総数は（ｎ－１）！ すべての並び方は、 （８－１）！＝７！ 議長と書記が隣り合う場合 議長と書記をひとまとめにすると、 議長から見て書記が右にいる場合 （７－１）！＝６！        ○　 ○   ○　　 　 ○    ○　 ○ 　 議　書 議長から見て書記が左にいる場合 （７－１）！＝６！        ○　 ○   ○　　 　 ○    ○　 ○ 　 書　議 　 以上から ７！－６！×２ ６！×７－６！×２ ６！（７－２） ＝720×5 ＝ 3600通り 問題 色の異なる７個の玉を糸でつないでブレスレットをつくる方法は何通りあるか。 裏返すと同じ配列になる数珠順列 （ｎ－１）！／２ （７－１）！／２ ＝720／2 ＝ 360通り 組合せ 問題 次の問いに答えよ。 1）10色の色鉛筆から３色の色鉛筆を選ぶとき、選び方は何通りあるか。 2）９種類の選択教科から４教科選ぶとき、選び方は何通りあるか。 3）14人のクラスから委員を２人選ぶ方法は何通りあるか。 4）正八角形の頂点を結んでできる三角形は何個できるか。 5）バスケットボールのチームが６チームある。どの２チームも互いに試合ができるようにすると、全部で何試合になるか。 組合せ　nＣr 異なるｎ個のものから異なるｒ個を選ぶ組合せの総数 1） 異なる10色から異なる３色を選ぶ 10Ｃ₃ ＝10・9・8 / 3・2・1 ＝120　 120通り 2） 異なる９教科から異なる４教科を選ぶ ₉Ｃ₄ ＝9・8・7・6 / 4・3・2・1 ＝126　 126通り 3） 異なる14人から異なる2人を選ぶ 14Ｃ₂ ＝14・13 / 2・1 ＝91　 91通り 4） 異なる８つの点から異なる３つの点を選ぶ ₈Ｃ₃ ＝8・7・6 / 3・2・1 ＝56　 56通り 異なる頂点を３つ選ぶと、三角形が１つできる。 逆に、３つの中で同じ点を選ぶと三角形はできない。 5） 異なる６チームから異なる２チームを選ぶ ₆Ｃ₂ ＝6・5 / 2・1 ＝15　 15通り 異なる２チームを選ぶと、１試合成立する。 逆に、同じチームを２つ選ぶと試合は成立しない。 問題 大人８人、子ども４人の計12人から５人を選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。 1）すべての選び方 2）大人３人、子ども２人を選ぶ。 1） 計12人から５人選ぶ 12Ｃ₅ ＝11・9・8 ＝792　 792通り 2） 大人８人から３人選ぶ ₈Ｃ₃ ＝8・7 ＝56通り 子ども４人から２人選ぶ ₄Ｃ₂ ＝2・3 ＝6通り 積の法則より、 56×6＝336　 336通り 問題 Ａチーム６人、Ｂチーム４人の中から４人のメンバーを選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。 1）すべての選び方 2）Ａチーム、Ｂチームともに２人ずつ選ぶ 3）Ｂチームから少なくとも１人選ばれる 4）特定の２人ａ、ｂがともに選ばれる 5）特定の２人ａ、ｂについて、ａが選ばれるがｂは選ばれない 1） 計10人から４人を選ぶ 10Ｃ₄ ＝10・3・7 ＝210　 210通り 2） Ａチーム６人から２人選ぶ ₆Ｃ₂ ＝3・5 ＝15通り Ｂチーム４人から２人選ぶ ₄Ｃ₂ ＝2・3 ＝6通り 積の法則より、 15×6＝90　 90通り 3） （全体）－（Ｂから選ばれない場合） ※全体－A全員が選ばれる 10Ｃ₄－₆Ｃ₄ ＝10Ｃ₄－₆Ｃ₂ ＝210－15 ＝195　195通り 別解 Ｂチームから４人 ₄Ｃ₄＝1 Ｂから３人、Ａから１人 ₄Ｃ₃×₆Ｃ₁＝24 Ｂから２人、Ａから２人 ₄Ｃ₂×₆Ｃ₂＝90 Ｂから１人、Ａから３人 ₄Ｃ₁×₆Ｃ₃＝80 和の法則より、 ＝1＋24＋90＋80 ＝195　 195通り 4） 特定のａ、ｂ以外に２人選ぶ必要がある 残り８人から２人選ぶ ₈Ｃ₂＝28　 28通り 5） 特定のａ以外に、ｂを除いて３人選ぶ必要がある ｂを除いた８人から３人選ぶ ₈Ｃ₃＝56　 56通り 問題 下の図のような道のある町で、ＰからＱまで遠回りをしないで行くのに、次の場合の道順の総数を求めよ。 1）Ｒを通って行く。 2）✖印の箇所は通らないで行く。 3）Ｒを通り、✖印の箇所は通らないで行く。 1） ＰからＲまで 縦に合計２、横に合計２移動する組合せ ₄Ｃ₂ ＝4・3 / 2・1 ＝６通り ＲからＱまで 縦に合計３、横に合計４移動する組合せ ₇Ｃ₃ ＝7・6・5 / 3・2・1 ＝35通り 積の法則より、 ６×35＝210　 210通り 2） （全ての行き方）－（ｘを通る行き方）で求める ＰからＱまですべての行き方 縦に合計５、横に合計６移動する組合せ 11Ｃ₅ ＝11・10・9・8・7 / 5・4・3・2・1 ＝462通り ｘを通る行き方 ① Ｐからｘの左側の点（交差点）まで 縦に合計２、横に合計３ ₅Ｃ₂ ＝5・4 / 2・1 ＝10通り ② ｘの左側から右側の点まで　1通り ③ ｘの右側の点からＱまで 縦に合計３、横に合計２ ₅Ｃ₂＝10通り ｘを通るのは、①かつ②かつ③の行き方だから 10×1×10＝100通り 以上から、 462－100＝362　 362通り 3） （Ｒを通るすべての行き方）－（Ｒを通りｘを通る行き方）で求める 1）より、Ｒを通るすべての行き方は、210通り Ｒを通りｘを通る行き方 ① ＰからＲまで ₄Ｃ₂＝６通り ② Ｒからｘの右側の点まで　1通り ③ ｘの右側の点からＱまで ₅Ｃ₂＝10通り Ｒを通りｘを通るのは、①かつ②かつ③の行き方だから 6×1×10＝60通り 以上から、 210－60＝150　 150通り 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.12 集合 順列 組合せ 👉 ブログ TOP

逆と対偶と裏 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 高校数学Ａでは、「命題と証明」の学習があります。証明の前段階として、命題に対する「 逆 」「 対偶 」「 裏 」の関係について学習します。 命題の逆、対偶、裏 ｘを実数とするとき、 命題　ｘ＝ １ ⇒ ｘ²＝１ 逆　　ｘ²＝１ ⇒ ｘ ＝１ 対偶　ｘ²≠１ ⇒ ｘ ≠１ 裏　　ｘ ≠１ ⇒ ｘ²≠１ 問題 ｘ、ｙは実数とする。次の命題の真偽を調べよ。また、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。 1）ｘ＞ｙ⇒ｘ－ｙ＞０ 2）ｘ≠０⇒ｘｙ≠０ 1） 命題　 真 逆　　 ｘ－ｙ＞０⇒ｘ＞ｙ 対偶　 ｘ≦ｙ⇒ｘ－ｙ≦０ 裏　　 ｘ－ｙ≦０⇒ｘ≦ｙ 真偽 ｘ－ｙ＞０⇒ｘ＞ｙ　 真 ｘ≦ｙ⇒ｘ－ｙ≦０　 真 ｘ－ｙ≦０⇒ｘ≦ｙ　 真 ※それぞれ反例なし 2） 命題　 偽 反例　ｘ＝１、ｙ＝０　 逆　　 ｘｙ≠０⇒ｘ≠０ 対偶　 ｘｙ＝０⇒ｘ＝０ 裏　　 ｘ＝０⇒ｘｙ＝０ 真偽 ｘｙ≠０⇒ｘ≠０　 真 ｘｙ＝０⇒ｘ＝０　 偽 反例　ｘ＝１、ｙ＝０ ｘ＝０⇒ｘｙ＝０　 真 問題 ｘ、ｙは実数とする。次の命題の逆を述べ、その真偽を調べよ。 1）ｘ＝－１⇒ｘ²＝１ 2）ｘ＋ｙ＝５⇒ｘ＝３かつｙ＝２ 1） ｘ²＝１⇒ｘ＝－１　 偽 反例　ｘ＝１も解である 2） ｘ＝３かつｙ＝２⇒ｘ＋ｙ＝５　 真 問題 ｎは自然数とする。次の命題の裏を述べよ。 1）四角形ＡＢＣＤが長方形ならば、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。 2）ｎ²が奇数⇒ｎが奇数 1） 逆 ABCDは平行四辺形⇒ABCDは長方形 対偶 ABCDは平行四辺形でない⇒ABCDは長方形でない 裏 ABCDは長方形でない⇒ABCDは平行四辺形でない よって、 四角形ABCDが長方形でないならば、四角形ABCDは平行四辺形でない 2） 逆 ｎが奇数⇒ｎ²が奇数 対偶 ｎが偶数⇒ｎ²が偶数 ※ｎは自然数だから、奇数と偶数のみ 裏 ｎ²が偶数⇒ｎが偶数 問題 ｍ、ｎ、ｋは自然数とする。次の命題の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べよ。 積ｍｎｋは偶数⇒ｍ、ｎ、ｋの少なくとも１つは偶数 逆 ｍ、ｎ、ｋの少なくとも１つは偶数⇒積ｍｎｋは偶数 対偶 ｍ、ｎ、ｋはいずれも奇数⇒積ｍｎｋは奇数 裏 積ｍｎｋは奇数⇒ｍ、ｎ、ｋはいずれも奇数 真偽 逆： 真 偶数が１つあれば、積は必ず偶数になる。 例）１・３・４ 対偶： 真 すべて奇数の場合、積は必ず奇数になる。 例）１・３・５ 裏： 真 積が奇数であれば、どの数も必ず奇数である。 問題 命題「２|ｘ－２|－ｘ＞０ならばｘ＞４」について 1）この命題の逆、対偶、裏を述べよ。 2）この命題とその逆、対偶、裏の真偽をそれぞれ調べよ。 1） 逆 ｘ＞４ならば２|ｘ－２|－ｘ＞０ 対偶 ｘ≦４ならば２|ｘ－２|－ｘ≦０ 裏 ２|ｘ－２|－ｘ≦０ならばｘ≦４ 2） 命題　 偽 ２|ｘ－２|－ｘ＞０より ｘ－２＜０　ｘ＜２のとき －２（ｘ－２）－ｘ＞０ ｘ＜4/3 ｘ－２≧０　ｘ≧２のとき ２（ｘ－２）－ｘ＞０ ｘ＞４ ｘ＜4/3を満たさない（反例ｘ＝１） 逆 ｘ＞４ならば２|ｘ－２|－ｘ＞０ ｘ≧２のとき ２（ｘ－２）－ｘ＞０ ｘ＞４ ｘ＞４を満たすので 真 対偶 ｘ≦４ならば２|ｘ－２|－ｘ≦０ ２|ｘ－２|－ｘ≦０より ｘ＜２のとき －２（ｘ－２）－ｘ≦０ ｘ≧4/3 4/3≦ｘ＜２　① ｘ≧２のとき ２（ｘ－２）－ｘ≦０ ｘ≦４ ２≦ｘ≦４　② ①、②から、4/3≦ｘ≦４ 4/3≦ｘ≦４を満たす必要があるので 偽 反例　ｘ＝１ 裏 ２|ｘ－２|－ｘ≦０ならばｘ≦４ 「4/3≦ｘ≦４ならばｘ≦４」であるから 真 👉 必要条件と十分条件 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.11 逆と対偶と裏 👉 ブログ TOP

文字式と円 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 １学期の期末考査が終わり、中学生と高校生にはテストの解説を行っています。１学期の中学数学では、２，３年生が 文字式 の学習を中心に行いました。基本計算のあとには、図形や説明による応用の学習があります。ここでは、円に関する問題について掲載しています。 問題 半径ｒの円の円周の長さをℓとすると、ℓ＝２πｒである。このとき、次の問いに答えなさい。 1）ℓ＝２πｒをｒについて解きなさい。 2）1）で変形した式を使って、円周の長さが36πcmのときの円の半径を求めなさい。 1） ℓ＝２πｒ ２πｒ＝ℓ 両辺÷2π ｒ＝ℓ／２π 2） ℓ＝36πだから、 ｒ＝ℓ／２π 　＝36π／２π 　＝18 よって、 18cm 問題 下の図のような∠Ｃ＝90°である直角三角形ＡＢＣを辺ＡＣを軸として１回転させてできる立体の底面積が16πcm²、体積が48πcm³である。この立体の高さＡＣを求めよ。 円すいの体積の公式より 1/3×16π×AC＝48π 16/3 πAC ＝48π 両辺÷π 16/3 AC ＝48 両辺×3/16 AC＝９ よって、 ９cm 問題 下の図は、ＡＢ＝ａcm、ＢＣ＝２ａcmの直角三角形ＡＢＣである。この直角三角形を辺ＡＢを軸として１回転させてできる立体の体積をＰ、辺ＢＣを軸として１回転させてできる立体の体積をＱとする。このとき、Ｐ：Ｑを求めなさい。 ＡＢを軸とした円すい 高さ ａcm 底面の半径 ２ａcm 底面積 π×（２ａ）² cm² Ｐ＝1/3×４πａ²×ａ 　＝4/3πａ³ ＢＣを軸とした円すい 高さ ２ａcm 底面の半径 ａcm 底面積 π×ａ² cm² Ｑ＝1/3×πａ²×２ａ 　＝2/3πａ³ 以上から Ｐ：Ｑ ＝4/3πａ³：2/3πａ³ ＝ 2：1 問題 下の図のように、１辺の長さがｘの正方形の内部に、２種類の模様を作った。 図１の模様は、１つの円が正方形に接していて、図２の模様は、４つの同じ大きさの円が、正方形やとなり合う円と接している。 図１、図２の模様で、色をつけた部分の面積をそれぞれＳ、Ｔとするとき、正しいものを次の㋐～㋒から選び、その理由を説明しなさい。ただし、Ｔは４つの円の面積の和とする。 ㋐ Ｓ＞Ｔ　㋑ Ｓ＜Ｔ　㋒ Ｓ＝Ｔ 答え：㋒ Ｓ、Ｔの面積をそれぞれ求めると、 Ｓ＝π×（ｘ/２）² 　＝πｘ²/４ Ｔ＝π×（ｘ/４）²×４ 　＝πｘ²/４ したがって、Ｓ＝Ｔ 問題 下の図のような陸上トラックがある。 直線部分の長さはａm、最も小さい半円の直径はｂm、各レーンの幅は１mである。また、最も内側を第１レーン、最も外側を第４レーンとする。ラインの幅は考えず、円周率をπとする。 第１レーンの内側のライン１周の距離をℓとすると、ℓ＝２ａ＋πｂと表される。図のトラックについて、すべてのレーンのゴールラインの位置を同じようにして、第１レーンの走者が走る１周分と同じ距離を、各レーンの走者が走るためには、第２レーンから第４レーンのスタートラインの位置を調整する必要がある。第４レーンは、第１レーンよりスタートラインの位置を何m前に調整するとよいか、求めなさい。 第４レーンの内側のライン 直線部分　ａ×２＝２ａ m 第１レーンの内側から第４レーンの内側まで３mあるから、 半円の直径は、（ｂ＋６）m ２つの半円部分の長さは、直径（ｂ＋６）ｍの円周の長さに等しいから、 π×（ｂ＋６） ＝πｂ＋６π 以上から、第４レーンの内側の長さは、 ２ａ＋πｂ＋６π 第４レーンの内側の長さから第１レーンの長さをひいて求めればよいから、 （２ａ＋πｂ＋６π）－（２ａ＋πｂ） ＝６π よって、 ６π （m） 問題 下の図のような半径ｒmの円形の池のまわりに、幅２mの道がついている。道の面積をＳm²、道の真ん中を通る円周の長さをℓmとするとき、Ｓ＝２ℓとなることを説明しなさい。 〔説明〕 大きい円の半径は、（ｒ＋２）mだから、道の面積Ｓは、 Ｓ＝π（ｒ＋２）²－πｒ² 　＝π（ｒ²＋４ｒ＋４）－πｒ² 　＝４πｒ＋４π　① また、道の真ん中を通る円の半径は、（ｒ＋１）mだから、 ℓ＝２π（ｒ＋１） 　＝２πｒ＋２π このことから、 ２ℓ＝４πｒ＋４π　② よって、 ①・②より、Ｓ＝２ℓとなる。 文字式による説明 問題 ２けたの自然数から、その数の各位の数の和をひくと９の倍数になる。このことを、文字を使って説明しなさい。 〔説明〕 十の位の数をｘ、一の位の数をｙとすると、 ２けたの自然数は、10ｘ＋ｙと表される。 この数から各位の数の和をひくと、 （10ｘ＋ｙ）－（ｘ＋ｙ） ＝10ｘ＋ｙ－ｘ－ｙ ＝９ｘ ｘは自然数だから、９ｘは９の倍数になる。 したがって、 ２けたの自然数から、その数の各位の数の和をひくと９の倍数になる。 等式の変形 問題 次の等式を〔　〕の文字について解きなさい。 1） 　　 ２ｂ－ｃ ａ＝ ━━━━ 〔ｂ〕 　　　 ３ 2） 　　 ｈ（ａ＋ｂ） Ｓ＝ ━━━━━━ 〔ｈ〕 　　　　 ２ 1） 　　 ２ｂ－ｃ ａ＝ ━━━━ 〔ｂ〕 　　　 ３ 両辺×３ ３ａ＝２ｂ－ｃ ２ｂ－ｃ＝３ａ ２ｂ＝３ａ＋ｃ 両辺×1/2 　　 ３ａ＋ｃ ｂ＝ ━━━━ 　　　 ２ 2） 　　 ｈ（ａ＋ｂ） Ｓ＝ ━━━━━━ 〔ｈ〕 　　　　 ２ 両辺×２ ２Ｓ＝ｈ（ａ＋ｂ） ｈ（ａ＋ｂ）＝２Ｓ 両辺×1/(a+b) 　　　 ２Ｓ ｈ＝ ━━━━ 　　 ａ＋ｂ 問題 ある式の３倍から、－２ｘ²＋５ｘの５倍をひいた結果は、ｘ²＋８ｘになる。ある式を求めなさい。 ある式をＡとすると、 ３Ａ－５（－２ｘ²＋５ｘ）＝ｘ²＋８ｘ Ａについて解くと、 ３Ａ＋10ｘ²－25ｘ＝ｘ²＋８ｘ ３Ａ＝－９ｘ²＋33ｘ 両辺÷３ Ａ＝－３ｘ²＋11ｘ よって、求める式は、 －３ｘ²＋11ｘ 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.10 文字式と円 👉 ブログ TOP

連立方程式の文章題 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 連立方程式 では、加減法や代入法の計算学習から 文章題 の学習に入っています。 問題文を式にするときには、文を区切りながら等しい関係を見つけ出すことがポイントになります。 連立方程式の前に 方程式のつくり方 問題 同じ値段のドーナツ３個と、120円の缶ジュースを１本買うと、全部で510円だった。ドーナツ１個の値段を求めなさい。 「 〇〇を求めなさい 」 → 〇〇を”ｘ”にする ドーナツ１個の値段 をｘ円とする ドーナツ３個の合計金額 ３×ｘ＝３ｘ（円） ジュースの合計金額 120×1＝120（円） 合わせて510円だから、 ３ｘ＋120＝510 ３ｘ＝390 ｘ＝130 よって、 130円 問題 家から駅へ行くのに、毎分90mの速さで歩くと、毎分80mの速さで歩くより５分早く到着する。家から駅までの道のりを求めなさい。 家から駅までの道のり をｘｍとする ※分速○ｍとあるから、道のりの単位はｍにする。 毎分90mでかかる時間 ｘ÷90＝ｘ／90（分） 毎分80mでかかる時間 ｘ÷80＝ｘ／80（分） かかった時間は、毎分80mのほうが多い → 多い－少ない＝５ ｘ／80－ｘ／90＝５ ９ｘ－８ｘ＝3600 ｘ＝3600 よって、 3600m ※別解 毎分90mでかかる時間 をｘ分とする 毎分80mでかかる時間は（ｘ＋５）分 毎分90mで進む道のり 90×ｘ＝90ｘ（m） 毎分80mで進む道のり 80×（ｘ＋５） ＝80（ｘ＋５）（m） 進む道のりは同じだから、 90ｘ＝80（ｘ＋５） ９ｘ＝８ｘ＋40 ｘ＝40 毎分90mで40分かかるから、 90×40＝3600 よって、 3600m 問題 ある数に５を加えて３倍しようとしたが、ある数から５をひいて６倍したので計算の結果が15大きくなった。ある数を求めなさい。 ある数 をｘとする ５加えて３倍した数 （ｘ＋５）×３ ５ひいて６倍した数 （ｘ－５）×６ ６（ｘ－５）のほうが大きい → 大きい－小さい＝15 ６（ｘ－５）－３（ｘ＋５）＝15 両辺÷３ ２（ｘ－５）－（ｘ＋５）＝５ ２ｘ－10－ｘ－５＝５ ｘ＝20 よって、 20 連立方程式の文章題 問題 ２つの自然数がある。２つの自然数の和は25である。また、小さいほうの自然数を２倍すると、大きいほうの自然数より２大きくなる。小さいほうの自然数をｘ、大きいほうの自然数より２大きくなる。小さいほうの自然数をｘ、大きいほうの自然数をｙとして、次の問いに答えなさい。 1）２つの自然数についての連立方程式をつくりなさい。 2）２つの自然数を求めなさい。 ポイント ☆ ２つの自然数はｘとｙ ☆２つの自然数の 和は25 ☆ 小さい自然数の２倍は 、 大きい自然数より２大きい 。 1） ｘとｙの和は25だから、 ｘ＋ｙ＝25 小さい自然数を２倍した数　２ｘ 大きい自然数より２大きい数　ｙ＋２ ２ｘ＝ｙ＋２ よって、 ｘ＋ｙ＝25 ２ｘ＝ｙ＋２ 2） ｘ＋ｙ＝25　① ２ｘ＝ｙ＋２　② ②より ｙ＝２ｘ－２ ①のｙに代入 ｘ＋（２ｘ－２）＝25 ３ｘ＝27 ｘ＝９ ①に代入 ９＋ｙ＝25 ｙ＝16 よって、 ９と16 ※ 自然数：０以外の正の整数 問題 ２つの自然数がある。小さいほうの自然数を４倍すると、大きいほうの自然数より８大きくなる。また、小さいほうの自然数を６倍すると、大きいほうの自然数の２倍より10小さくなる。小さいほうの自然数をｘ、大きいほうの自然数をｙとして、次の問いに答えなさい。 1）２つの自然数についての連立方程式をつくりなさい。 2）２つの自然数を求めなさい。 1） 小さい自然数を４倍した数　４ｘ 大きい自然数より８大きい数　ｙ＋８ ４ｘ＝ｙ＋８ 小さい自然数を６倍　６ｘ 大きい自然数の２倍より10小さい　２ｙ－10 ６ｘ＝２ｙ－10 よって、 ４ｘ＝ｙ＋８ ６ｘ＝２ｙ－1 0 2） ４ｘ＝ｙ＋８　① ６ｘ＝２ｙ－10　② ①より ｙ＝４ｘ－８　①’ ②の両辺÷２ ３ｘ＝ｙ－５ ｙに４ｘ－８を代入 ３ｘ＝（４ｘ－８）－５ ｘ＝13 ①’に代入 ｙ＝４×13－８ ｙ＝44 よって、 13と44 問題 ２けたの自然数がある。この自然数の十の位の数は、一の位の数より２小さい。また、この自然数を２倍すると、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数より６大きくなる。もとの自然数の十の位の数をｘ、一の位の数をｙとして、もとの自然数を求めなさい。 ポイント ☆ 十の位 の数が ｘ 、 一の位 の数が ｙ ☆ ２けた の自然数は、 10ｘ＋ｙ ☆ 位を入れかえた 自然数は、 10ｙ＋ｘ ｘはｙより２小さいから ｘ＝ｙ－２　① 位を入れかえる前 の数は、 十の位がｘ、一の位がｙだから 10×ｘ＋1×ｙ＝10ｘ＋ｙ 位を入れかえた後 の数は、 十の位が ｙ 、一の位が ｘ だから 10×ｙ＋1×ｘ＝10ｙ＋ｘ 問題文より ２（10ｘ＋ｙ）＝（10ｙ＋ｘ）＋６　② ②より 20ｘ＋２ｙ＝10ｙ＋ｘ＋６ 19ｘ－８ｙ＝６ ｘにｙ－２を代入 19（ｙ－２）－８ｙ＝６ 19ｙ－38－８ｙ＝６ 11ｙ＝44 ｙ＝４ ①に代入 ｘ＝４－２ ｘ＝２ もとの自然数は10ｘ＋ｙだから、 10×２＋４＝24 よって、 24 問題 ２けたの自然数がある。この自然数の十の位の数の３倍は、一の位の数より２大きい。また、この自然数の２倍は、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数より１大きくなる。もとの自然数を求めなさい。 もとの自然数の、十の位の数をｘ、一の位の数をｙとする。 ３ｘ＝ｙ＋２　① ２（10ｘ＋ｙ）＝（10ｙ＋ｘ）＋１　② ①より ｙ＝３ｘ－２　①’ ②より 20ｘ＋２ｙ＝10ｙ＋ｘ＋１ 19ｘ－８ｙ＝１ ｙに３ｘ－２を代入 19ｘ－８（３ｘ－２）＝１ 19ｘ－24ｘ＋16＝１ －５ｘ＝－15 ｘ＝３ ①’に代入 ｙ＝９－２ ｙ＝７ もとの自然数を10ｘ＋ｙとしたから、 10×３＋７＝37 よって、 37 途中の計算では、 代入法 で求めた方が手間が省けることもある。 連立方程式では、筆算型の加減法でない計算手順があることも押さえておく。 問題 花子さんの家から学校までの道のりは1200mである。ある朝、花子さんは、学校の始業時刻の17分前に家を出て、途中のＡ地点までは分速100mで走り、Ａ地点から学校までは分速60mで歩いたところ、始業時刻の２分前に学校に到着した。花子さんの家からＡ地点までの道のりは何mか、求めなさい。 家からＡ地点までをｘm、Ａ地点から学校までをｙmとする。 道のりの合計は1200mだから、 ｘ＋ｙ＝1200　① ｘmの道のりを分速100mで進んだから、かかる時間は、 ｘ÷100＝ｘ／100（分） ｙmの道のりを分速60mで進んだから、かかる時間は、 ｙ÷60＝ｙ／60（分） 時間の合計は15分（17－2）だから、 ｘ／100＋ｙ／60＝15　② ②より ３ｘ＋５ｙ＝4500　②’ ①×３－②’ 　　３ｘ＋３ｙ＝3600 －）３ｘ＋５ｙ＝4500 　　　　－２ｙ＝－900 　　　　　　ｙ＝450 ①に代入 ｘ＋450＝1200 ｘ＝750 家からＡ地点までの距離をｘmとしたから、 750m 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.9 連立方程式 文章題 👉 ブログ TOP

正負の数 基準と平均 当ブログでは、授業のポイント解説をしています。 中１数学では、 正負の数 の応用として、基準値をもとしにして平均値や実際の数値を求める問題があります。基準より大きい値を正の数、小さい値を負の数で表して求めます。 平均を求める問題 問題 下の数値は、Ａさんの立ち幅跳びの６回の記録を示したものである。６回の記録の平均を求めなさい。 単位cm 203　201　210　197　214　208 基準を205cmとする 基準との差 －2　－4　＋5　－8　＋9　＋3 差の合計 －2－4＋5－8＋9＋3 ＝＋３ 差の平均 （＋３）÷６ ＝＋0.5 基準との差の平均が＋0.5cmだから、 205＋0.5 ＝205.5　 205.5cm 問題 Ｂさんは、ボウリングを５ゲーム行った。次の表は、100点を基準として、それぞれのゲームにおけるＢさんの得点と基準との差を、Ｂさんの得点が基準より多い場合は正の数、少ない場合は負の数で表したものである。この５ゲームの得点の平均値を求めなさい。 差の合計 ９－５＋６＋11－３ ＝＋18 差の平均 （＋18）÷５ ＝＋3.6 基準との差の平均が＋3.6点だから、 100＋3.6 ＝103.6　 103.6 点 問題 下の表は、ある店の月曜日から金曜日までの来客の人数を示したものである。これについて、あとの問いに答えなさい。 1）100人を基準にして、それより多い場合を正の数、少ない場合を負の数で表すと、水曜日の来客の人数はどのように表されるか、求めなさい。 2）５日間の来客の人数の平均を求めなさい。 1） 92－100＝ －８ 2） 各曜日の基準との差 月　88－100＝－12 火　119－100＝＋19 水　－８ 木　96－100＝－４ 金　125－100＝＋25 差の合計 －12＋19－８－４＋25 ＝＋20 差の平均 （＋20）÷５＝＋４ 基準との差の平均が＋４人だから、 100＋４ ＝104　 104人 最大値と最小値を求める問題 問題 下の表は、Ｃさんの月曜日から金曜日の読書時間の変化を、前日の時間を基準にして、それより長い場合を正の数、短い場合を負の数で表したものである。読書時間がもっとも長い曜日と、もっとも短い曜日を答えなさい。 日曜日を基準にする 日曜日との時間差 月　－６ 火　－６－２＝－８ 水　－８＋８＝０ 木　０－４＝－４ 金　－４＋５＝＋１ 以上から もっとも長い曜日　 金曜日 もっとも短い曜日　 火曜日 平均から基準を求める問題 問題 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅさんの５人は、あるゲームをした。５人がそれぞれ獲得した得点の平均点は、67点だった。下の表は、ある得点を基準にして、それより高い場合を正の数、低い場合を負の数で表したものである。基準にした得点を求めなさい。 基準との差の合計 ７－13＋５－９＋20 ＝＋10 差の平均 （＋10）÷５ ＝＋２点 平均点が67点だから基準点は、 67－２＝65　 65点 基準から値を求める問題 問題 下の表は、ある中学校のバスケットボール部が、過去５試合の１試合で決まったシュートの数についてまとめたものである。「前試合との差」は、前の試合を基準にして多い場合を正の数、少ない場合を負の数で表している。㋐と㋑にあてはまる数を求めなさい。 ４試合目の値から、３試合目の回数が求められる。 ４試合目は３試合目より５回多い →３試合目は４試合目より５回少ない ３試合目の回数は、 32－５＝27 ２試合目の回数は、 27－６＝21 １試合目の回数は、２試合目より２回多い 21＋２＝ 23　㋐ ５試合目と４試合目の回数差は、 29－32＝ －３　㋑ 基準と平均から値を求める問題 問題 下の表は、今週１週間のそれぞれの日の最高気温を20℃を基準にして、それより高い場合を正の数、低い場合を負の数で表したものである。土曜日は汚れて見えなくなっている。１週間の平均が19℃であるとき、土曜日の最高気温を求めなさい。 基準との差の平均 19－20＝－１ 差の平均が－1℃だから、７日間の差の合計は、 －１×７＝－７ 日曜から金曜までの６日間の差の合計 3－4＋0－7－5＋8 ＝－５ 土曜日の基準との差を□とすると、 －５＋□＝－７ □＝－７－（－５） 　＝－２ 基準との差は－２℃だから、 20－２＝18　 18℃ 体験学習 受付中！ 【 たむかい学習教室 】 完全1対1 個別指導 教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！ 追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！ 全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！ 多くの生徒さんや親御さんのご期待に、 本当の意味でお応えできる よう、当塾では 「 生徒一人に教師一人 」の授業 で、 塾生の学習を本格的にサポート しております。 塾生のホンネ 「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」 「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」 「学校の授業で難しいことが増えてきた」 「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」 完全１対１授業でホンネを解決！ ★ 苦手の克服 に最適 ★ ★ 受験に強い 個別指導 ★ ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ ★ 苦手の克服 に最適 ★ 　 ５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、 「わかる・できる」 につながります。 学校の授業が定着しやくすなり、 成績アップ も期待できます。 ★ 受験に強い 個別指導 ★ 　 入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、 対策時間と学習量をしっかりと確保できる のは、完全１対１授業の強みです。 ★ 経験豊富な講師 の一貫指導 ★ 　 教員経験20年の講師が確かなノウハウで、 難解な内容もわかりやすく丁寧に指導 いたします。 初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。 ★ 安心の授業料 で全力サポート ★ 　 入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。 安心の授業料 で全力サポートいたします。 　 ＜１か月授業料（税込）＞ 　 90分授業：14,800円 （月4回）    120分授業：17,600円 （月4回） 　 (例)１回・90分授業の場合 　教師１名・生徒３名の複数指導 　→ １名につき30分 の個別指導 　指導時間3分の1、 実質料金は割高に 。 　　 ↕ 　教師1名・生徒1名の完全個別指導 　⇒ 完全90分の個別指導（当塾） 　 生徒1名に100％の指導時間 親御さんの声 「 できる問題が増え勉強に自信 がついたようで、期待感があります」 「苦手だった 英語と数学が伸び始めた ので、正直ホッとしています」 「 成績の伸び幅と年間の費用 を考えると、転塾して正解でした」 合格実績 八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科 八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学 指導実績 八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中 八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ 吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小 今年度塾生28名 （2025年4月現在） 「 体験学習 」を実施しています 通塾をご検討の方に 無料体験学習 を実施しております。 当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。 ご入塾までの流れ 体験学習 （60分） 入塾をご希望の場合、 保護者面談の日程調整 ↓ 保護者面談 （40分程度） お子様の受講に関わるご説明 保護者の方からのご相談・ご要望 ↓ 受講開始手続き 体験学習・実施日時 は こちら 塾生の声 苦手意識から「自信」へ （中学３年） 　 今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。 ３年間の積み重ねで受験合格 （小学６年） 　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。 苦手の克服が高得点に （高校１年） 　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。 受講に関するお問い合わせ ご相談はお気軽にお尋ねください 電話番号 050-3637-1500 電話受付　10:00-21:00 体験学習のお申し込みはこちら 体験学習お申し込み 住所 ​八戸市田向四丁目13-21 イオン田向店から車で１分 【周辺道路　車での所要時間】 八戸大野線 三陸道是川IC２分 パークホテル５分 八戸環状線 八戸道八戸IC８分 四本松交差点８分 10分圏内の地区 八戸市田向　吹上　南類家 中居林　石手洗　十日市 柏崎　青葉　類家　諏訪 長者　糠塚　沢里　根城 旭ヶ丘　新井田　妙 白山台　是川 2025.7.8 正負の数 基準と平均 👉 ブログ TOP